مركبات السرعة الابتدائية للمقذوفات في فيزياء HSC

يُطلق مقذوف بسرعة ابتدائية مقدارها \(20.0\ \text{m s}^{-1}\)، بزاوية \(30^\circ\) فوق الأفقي. أنت تعرف مقدار سرعته واتجاهها، لكن معادلات حركة المقذوفات تحتاج إلى معلومات أكثر فائدة: ما سرعته الابتدائية أفقيًا، وما سرعته الابتدائية رأسيًا؟

قبل إجراء الحسابات، توقّع أي المركبتين يجب أن تكون أكبر. بما أن اتجاه الإطلاق أقرب بكثير إلى الأفقي منه إلى الرأسي، فيجب أن تكون المركبة الأفقية أكبر. إذا أعطتك الحسابات لاحقًا النتيجة العكسية، فهذه إشارة مفيدة إلى أن هناك خطأ ما.

01سرعة واحدة، ننظر إليها في اتجاهين

لا يمتلك المقذوف في الواقع سرعة أفقية وسرعة رأسية منفصلتين تتنافسان على تحديد اتجاه حركته. بل يمتلك متجه سرعة واحدًا.

نحلّل هذا المتجه إلى مركبتين متعامدتين لأن الحركة الأفقية والحركة الرأسية تتصرفان بصورة مختلفة بعد الإطلاق.

تخيّل سهم السرعة بوصفه وتر مثلث قائم الزاوية. تمثل مركبته الأفقية عرض المثلث، وتمثل مركبته الرأسية ارتفاعه.

لسرعة ابتدائية \(u\) تُطلق بزاوية \(\theta\) فوق الأفقي،

\[
u_x=u\cos\theta
\]

و

\[
u_y=u\sin\theta
\]

حيث:

• \(u\) هي السرعة الابتدائية، بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)،
• \(u_x\) هي مركبة السرعة الابتدائية الأفقية، بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)،
• \(u_y\) هي مركبة السرعة الابتدائية الرأسية، بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)، و
• \(\theta\) هي زاوية الإطلاق المقاسة من الأفقي.

لماذا نستخدم جيب التمام أفقيًا والجيب رأسيًا؟ بالنسبة إلى الزاوية \(\theta\)، تمثل \(u_x\) الضلع المجاور في المثلث القائم الزاوية، بينما تمثل \(u_y\) الضلع المقابل.

الجملة الأخيرة أهم من حفظ عبارة «جيب التمام للأفقي». فإذا كانت الزاوية مقاسة من اتجاه مختلف، تتغير علاقات الجيب وجيب التمام.

02فحص سريع لمعقولية النتيجة

افترض أن \(u=20.0\ \text{m s}^{-1}\) و\(\theta=30^\circ\).

إذن

\[
u_x=(20.0)\cos30^\circ=17.3\ \text{m s}^{-1}
\]

و

\[
u_y=(20.0)\sin30^\circ=10.0\ \text{m s}^{-1}.
\]

وهذا يطابق توقعنا: المركبة الأفقية أكبر.

لاحظ أن \(17.3+10.0\neq20.0\). فالمركبات لا تُجمع كالأعداد العادية لأنها تشير إلى اتجاهات متعامدة.

بل إن

\[
u=\sqrt{u_x^2+u_y^2}.
\]

وبالتحقق،

\[
\sqrt{(17.3)^2+(10.0)^2}\approx20.0\ \text{m s}^{-1}.
\]

يُعد هذا الفحص باستخدام نظرية فيثاغورس من أسرع الطرق لاكتشاف خطأ في المركبات.

03الزاوية هي التي تحدد أي مركبة تستخدم الجيب

من الاختصارات الشائعة:

الأفقي \(=\cos\)، الرأسي \(=\sin\)

لكن هذا لا يصح إلا عندما تكون الزاوية المعطاة مقاسة من الأفقي.

افترض بدلًا من ذلك أن متجه السرعة يصنع زاوية \(\phi\) مع الرأسي. تصبح المركبة الرأسية الآن مجاورة للزاوية، ولذلك

\[
u_y=u\cos\phi,
\]

بينما تكون المركبة الأفقية مقابلة لها:

\[
u_x=u\sin\phi.
\]

لذلك فالقاعدة الأكثر أمانًا هي:

• حدِّد الزاوية المعطاة،
• حدِّد الضلع المجاور لهذه الزاوية،
• استخدم جيب التمام للمركبة المجاورة،
• استخدم الجيب للمركبة المقابلة.

فكّر في الجيب وجيب التمام على أنهما مرتبطان بالمثلث، لا بما إذا كان الاتجاه قد سُمّي «أفقيًا» أو «رأسيًا».

04للمركبات إشارات بالإضافة إلى المقادير

حتى الآن، كانت كلتا المركبتين موجبتين. لكن هذا ليس مضمونًا دائمًا.

افترض أننا نختار:

• اليمين اتجاه \(x\) الموجب،
• الأعلى اتجاه \(y\) الموجب.

المقذوف الذي يُطلق إلى أسفل وإلى اليمين تكون له:

• \(u_x>0\)،
• \(u_y<0\).

والمقذوف الذي يُطلق إلى أعلى وإلى اليسار تكون له:

• \(u_x<0\)،
• \(u_y>0\).

السرعة \(u\) نفسها مقدار، ولذلك لا تكون سالبة. أما المركبات فيمكن أن تكون سالبة لأنها تصف الاتجاه إلى جانب المقدار.

05لماذا يُعد تحليل السرعة مفيدًا جدًا؟

تصبح هذه التجزئة مفيدة للغاية لأن المركبتين، وفق النموذج القياسي لحركة المقذوفات، تتغيران بطرق مختلفة.

أفقيًا، عند إهمال مقاومة الهواء،

\[
a_x=0.
\]

لذلك تظل السرعة الأفقية ثابتة:

\[
v_x=u_x.
\]

أما رأسيًا،

\[
a_y=-g,
\]

حيث \(g\approx9.8\ \text{m s}^{-2}\).

ولذلك تتغير السرعة الرأسية باستمرار:

\[
v_y=u_y-gt.
\]

لهذا السبب يكون تحليل السرعة الابتدائية عادةً أول خطوة فعلية في مسألة عن حركة المقذوفات. فبمجرد معرفة \(u_x\) و\(u_y\)، يمكن استخدام المعادلات الأفقية والرأسية بصورة منفصلة مع اشتراكهما في الزمن نفسه \(t\).

تعتمد هذه النتائج على النموذج المعتاد لحركة المقذوفات. وبوجه خاص، تعتمد على افتراضات مثل إهمال مقاومة الهواء واعتبار تسارع الجاذبية ثابتًا تقريبًا. وتُشرح هذه الافتراضات بمزيد من التفصيل في شرح افتراضات حركة المقذوفات في فيزياء HSC.

06الخطأ الأكثر إغراءً: استخدام الإزاحة لإيجاد زاوية الإطلاق

افترض أن مقذوفًا يصل لاحقًا إلى نقطة تبعد \(20\ \text{m}\) أفقيًا وترتفع \(10\ \text{m}\) عن نقطة الإطلاق.

قد يكون من المغري أن تقول

\[
\tan\theta=\frac{10}{20}
\]

وتستنتج أن زاوية الإطلاق كانت \(26.6^\circ\).

لكن هذا لا ينجح عمومًا.

فالخط الواصل بين نقطة الإطلاق وموضع المقذوف لاحقًا هو متجه إزاحة. أما السرعة الابتدائية فتتجه على امتداد المماس للمسار في لحظة الإطلاق. تعمل الجاذبية على تقويس المسار بعد الإطلاق، ولذلك يكون اتجاه الإزاحة واتجاه السرعة الابتدائية مختلفين عادةً.

يشبه المقذوف قليلًا شخصًا يغادر منزله سائرًا نحو الشمال الشرقي، لكنه يتلقى دفعة نحو الجنوب كل ثانية. إن رسم خط مستقيم من منزله إلى المكان الذي يصل إليه في النهاية لا يخبرك بالاتجاه الذي بدأ السير نحوه أولًا.

هذا التشبيه ليس مطابقًا تمامًا لأن الجاذبية تغيّر السرعة بسلاسة بدلًا من أن تأتي في صورة سلسلة من الدفعات الفعلية. والنقطة المفيدة ببساطة هي أن الموضع اللاحق لا يكشف مباشرة عن الاتجاه الابتدائي.

07طريقة موثوقة للتعامل مع المركبات

في معظم أسئلة HSC، تكفي هذه العملية القصيرة:

يحتاج الصف الأخير إلى عناية. فقد تعطيك دالة الظل العكسية في الآلة الحاسبة زاوية من دون أن تفهم في أي ربع يقع متجه السرعة فعليًا. ارسم دائمًا إشارات \(u_x\) و\(u_y\) أولًا.

08أسئلة وحلول

السؤال 1

تُركل كرة بسرعة \(25.0\ \text{m s}^{-1}\)، بزاوية \(53.0^\circ\) فوق الأفقي.

أوجد مركبتي سرعتها الابتدائية الأفقية والرأسية.

الحل 1

تبلغ المركبتان الابتدائيتان تقريبًا \(u_x=15.0\ \text{m s}^{-1}\) أفقيًا و\(u_y=20.0\ \text{m s}^{-1}\) إلى أعلى.

بما أن الزاوية مقاسة من الأفقي،

\[
u_x=u\cos\theta,
\qquad
u_y=u\sin\theta.
\]

بالتعويض،

\[
\begin{aligned}
u_x&=(25.0)\cos53.0^\circ\\
&=15.0\ \text{m s}^{-1},
\\[4pt]
u_y&=(25.0)\sin53.0^\circ\\
&=20.0\ \text{m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

من الأخطاء المغرية تبديل الجيب وجيب التمام. لكن الهندسة تكشف هذا الخطأ: فإطلاق بزاوية \(53^\circ\) أكثر انحدارًا من \(45^\circ\)، ولذلك ينبغي أن تكون مركبته الرأسية أكبر من مركبته الأفقية.

السؤال 2

يُطلق مقذوف من نقطة الأصل. بعد \(1.20\ \text{s}\)، يكون على بُعد \(18.0\ \text{m}\) أفقيًا من نقطة الإطلاق وبارتفاع \(8.00\ \text{m}\) فوقها.

أهمل مقاومة الهواء واستخدم \(g=9.80\ \text{m s}^{-2}\).

أوجد:

• مركبة السرعة الابتدائية الأفقية،
• مركبة السرعة الابتدائية الرأسية،
• السرعة الابتدائية، و
• زاوية الإطلاق فوق الأفقي.

الحل 2

أُطلق المقذوف بمركبتين \(u_x=15.0\ \text{m s}^{-1}\) و\(u_y=12.5\ \text{m s}^{-1}\)، ما يعطي سرعة ابتدائية مقدارها \(19.6\ \text{m s}^{-1}\) بزاوية تقارب \(39.9^\circ\) فوق الأفقي.

أفقيًا، التسارع يساوي صفرًا، لذا

\[
x=u_xt.
\]

ومن ثم،

\[
u_x=\frac{x}{t}
=\frac{18.0}{1.20}
=15.0\ \text{m s}^{-1}.
\]

رأسيًا،

\[
y=u_yt+\frac12a_yt^2,
\]

حيث \(a_y=-9.80\ \text{m s}^{-2}\). ومن ثم،

\[
8.00=(u_y)(1.20)-\frac12(9.80)(1.20)^2.
\]

بإعادة الترتيب،

\[
\begin{aligned}
u_y
&=\frac{8.00+\frac12(9.80)(1.20)^2}{1.20}\\
&=\frac{8.00+7.056}{1.20}\\
&=12.5\ \text{m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

السرعة الابتدائية هي مقدار متجه السرعة:

\[
\begin{aligned}
u&=\sqrt{u_x^2+u_y^2}\\
&=\sqrt{(15.0)^2+(12.5)^2}\\
&=19.6\ \text{m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

وأخيرًا،

\[
\begin{aligned}
\tan\theta&=\frac{u_y}{u_x}\\
&=\frac{12.5}{15.0},
\end{aligned}
\]

لذلك

\[
\theta\approx39.9^\circ.
\]

من الطرق المغرية حساب \(8.00/1.20=6.67\ \text{m s}^{-1}\) واعتبار ذلك السرعة الرأسية الابتدائية. لكنه ليس كذلك. هذه القيمة هي متوسط السرعة الرأسية خلال الفترة \(1.20\ \text{s}\). لقد ظلت الجاذبية تقلل السرعة الصاعدة طوال الحركة، ولذلك يجب أن تكون المركبة الرأسية الابتدائية أكبر.

السؤال 3

يُطلق مقذوف من مستوى سطح الأرض بسرعة \(40.0\ \text{m s}^{-1}\) وبزاوية مجهولة \(\theta\) فوق الاتجاه الأفقي الموجب.

بعد \(2.00\ \text{s}\) بالضبط، يشير متجه سرعته بزاوية \(10.0^\circ\) أسفل الاتجاه الأفقي الموجب.

أهمل مقاومة الهواء واستخدم \(g=9.80\ \text{m s}^{-2}\).

أوجد زاوية الإطلاق \(\theta\).

الحل 3

أُطلق المقذوف بزاوية تقارب \(18.9^\circ\) فوق الأفقي.

التمييز المهم هنا هو بين السرعة الابتدائية والسرعة بعد \(2.00\ \text{s}\). ظلت المركبة الأفقية ثابتة، لكن الجاذبية غيّرت المركبة الرأسية.

في البداية،

\[
u_x=40.0\cos\theta
\]

و

\[
u_y=40.0\sin\theta.
\]

بعد \(2.00\ \text{s}\)،

\[
v_x=40.0\cos\theta
\]

و

\[
v_y=40.0\sin\theta-(9.80)(2.00).
\]

يشير متجه السرعة النهائية بزاوية \(10.0^\circ\) أسفل الأفقي، لذا

\[
\frac{v_y}{v_x}=\tan(-10.0^\circ).
\]

ومن ثم،

\[
\frac{40.0\sin\theta-19.6}{40.0\cos\theta}
=-\tan10.0^\circ.
\]

بإعادة الترتيب،

\[
\sin\theta+\tan10.0^\circ\cos\theta
=\frac{19.6}{40.0}.
\]

وباستخدام

\[
\sin\theta+\tan10^\circ\cos\theta
=\frac{\sin(\theta+10^\circ)}{\cos10^\circ},
\]

نحصل على

\[
\sin(\theta+10.0^\circ)
=\frac{19.6}{40.0}\cos10.0^\circ.
\]

إذن،

\[
\sin(\theta+10.0^\circ)\approx0.4826.
\]

لإطلاق نحو اليمين حيث \(0^\circ<\theta<90^\circ\)،

\[
\theta+10.0^\circ\approx28.9^\circ,
\]

ومن ثم،

\[
\theta\approx18.9^\circ.
\]

من الطرق المغرية التعامل مع اتجاه \(10^\circ\) بعد ثانيتين كما لو كان يحدد مباشرةً نسبة المركبتين الأصلية. لكنه لا يفعل ذلك. فقد غيّرت الجاذبية \(v_y\)، بينما ظلت \(v_x\) مساوية لقيمتها الابتدائية.

السؤال 4

يُطلق مقذوف من نقطة الأصل. يمر لاحقًا بالنقطة \(P\)، الواقعة على بُعد \(20.0\ \text{m}\) أفقيًا من نقطة الإطلاق وعلى ارتفاع \(10.0\ \text{m}\) فوقها. ثم يصل إلى النقطة \(Q\)، الواقعة على بُعد \(40.0\ \text{m}\) أفقيًا من نقطة الإطلاق وعند المستوى الرأسي نفسه لنقطة الإطلاق.

أهمل مقاومة الهواء واستخدم \(g=9.80\ \text{m s}^{-2}\).

حدِّد:

• ما إذا كانت \(P\) أعلى نقطة في المسار،
• مركبتي السرعة الابتدائية الأفقية والرأسية،
• السرعة الابتدائية، و
• زاوية الإطلاق.

الحل 4

النقطة \(P\) هي أعلى نقطة، وقد أُطلق المقذوف بحيث \(u_x=14.0\ \text{m s}^{-1}\) و\(u_y=14.0\ \text{m s}^{-1}\)، ما يعطي \(u=19.8\ \text{m s}^{-1}\) عند زاوية \(45.0^\circ\).

الجزء الدقيق هنا هو إثبات أن \(P\) تمثل قمة المسار بدلًا من افتراض ذلك لمجرد أن موضعها يبدو ملائمًا.

التسارع الأفقي يساوي صفرًا، ولذلك تتوافق المسافات الأفقية المتساوية مع فترات زمنية متساوية. تقع النقطة \(P\) في منتصف المسافة من \(x=0\) إلى \(x=40.0\ \text{m}\)، ولذلك يصل المقذوف إلى \(P\) عند منتصف زمن طيرانه الكلي حتى \(Q\).

وبما أن \(Q\) تقع عند الارتفاع نفسه لنقطة الإطلاق، فإن جزأي الحركة الرأسية، الصاعد والهابط، متماثلان زمنيًا. ويصل المقذوف إلى أعلى نقطة في منتصف زمن الرحلة.

إذن، \(P\) هي قمة المسار.

عند القمة،

\[
v_y=0.
\]

وباستخدام

\[
v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y,
\]

حيث \(\Delta y=10.0\ \text{m}\) و\(a_y=-9.80\ \text{m s}^{-2}\)،

\[
0=u_y^2-2(9.80)(10.0).
\]

إذن،

\[
\begin{aligned}
u_y&=\sqrt{196}\\
&=14.0\ \text{m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

الزمن الكلي للعودة إلى الارتفاع الأصلي هو

\[
T=\frac{2u_y}{g}
=\frac{2(14.0)}{9.80}
=2.86\ \text{s}.
\]

أفقيًا،

\[
x=u_xT,
\]

ولذلك

\[
u_x=\frac{40.0}{2.86}
=14.0\ \text{m s}^{-1}.
\]

السرعة الابتدائية هي

\[
\begin{aligned}
u&=\sqrt{u_x^2+u_y^2}\\
&=\sqrt{(14.0)^2+(14.0)^2}\\
&=19.8\ \text{m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

وزاوية الإطلاق هي

\[
\tan\theta=\frac{14.0}{14.0}=1,
\]

ومن ثم،

\[
\theta=45.0^\circ.
\]

من الادعاءات المغرية أن منتصف المدى الأفقي يجب أن يكون دائمًا أعلى نقطة. وهذا غير صحيح عمومًا للحركة الاعتباطية. لكنه يصح هنا لأن السرعة الأفقية ثابتة ولأن المقذوف يهبط عند المستوى الرأسي نفسه الذي أُطلق منه.

السؤال 5

يُطلق مقذوف من نقطة الأصل بسرعة ثابتة مقدارها \(25.0\ \text{m s}^{-1}\). ويجب أن يمر عبر هدف يقع على بُعد \(30.0\ \text{m}\) أفقيًا وعلى ارتفاع \(5.00\ \text{m}\) فوق نقطة الإطلاق.

أهمل مقاومة الهواء واستخدم \(g=9.80\ \text{m s}^{-2}\).

أوجد:

• جميع زوايا الإطلاق الممكنة بين \(0^\circ\) و\(90^\circ\)،
• مركبتي السرعة الابتدائية الأفقية والرأسية لكل إطلاق،
• الزمن اللازم للوصول إلى الهدف لكل إطلاق، و
• سرعة المقذوف أثناء مروره بالهدف في كل حالة.

اشرح النتيجة الأخيرة.

الحل 5

يوجد إطلاقان ممكنان: عند زاويتين تقاربان \(24.2^\circ\) و\(75.3^\circ\). ويصلان إلى الهدف بعد نحو \(1.32\ \text{s}\) و\(4.72\ \text{s}\)، على الترتيب، لكن كليهما يمران بالهدف بالمقدار نفسه للسرعة، وهو نحو \(23.0\ \text{m s}^{-1}\).

الأمر المثير للاهتمام هو أن أحد الإطلاقين يقضي وقتًا أطول بكثير في الهواء، ومع ذلك يكون مقدار سرعته عند الهدف هو نفسه.

ابدأ بمعادلات المركبات:

\[
x=(u\cos\theta)t
\]

و

\[
y=(u\sin\theta)t-\frac12gt^2.
\]

من المعادلة الأفقية،

\[
t=\frac{x}{u\cos\theta}.
\]

عوِّض بذلك في المعادلة الرأسية:

\[
y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}.
\]

وباستخدام

\[
\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta,
\]

وبالتعويض بـ \(x=30.0\ \text{m}\)، و\(y=5.00\ \text{m}\)، و\(u=25.0\ \text{m s}^{-1}\)،

\[
5.00
=30.0\tan\theta
-\frac{(9.80)(30.0)^2}{2(25.0)^2}
\left(1+\tan^2\theta\right).
\]

المعامل العددي هو

\[
\frac{(9.80)(900)}{1250}=7.056.
\]

لنضع

\[
T=\tan\theta.
\]

إذن،

\[
5.00=30.0T-7.056(1+T^2),
\]

ومن ثم،

\[
7.056T^2-30.0T+12.056=0.
\]

بحل المعادلة التربيعية نحصل على

\[
T\approx0.4494
\]

أو

\[
T\approx3.802.
\]

لذلك،

\[
\theta\approx24.2^\circ
\]

أو

\[
\theta\approx75.3^\circ.
\]

للمسار المنخفض،

\[
\begin{aligned}
u_x&=(25.0)\cos24.2^\circ\\
&=22.8\ \text{m s}^{-1},
\\
u_y&=(25.0)\sin24.2^\circ\\
&=10.2\ \text{m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

وزمن وصوله إلى الهدف هو

\[
t=\frac{30.0}{22.8}=1.32\ \text{s}.
\]

للمسار الأعلى،

\[
\begin{aligned}
u_x&=(25.0)\cos75.3^\circ\\
&=6.36\ \text{m s}^{-1},
\\
u_y&=(25.0)\sin75.3^\circ\\
&=24.2\ \text{m s}^{-1}.
\end{aligned}
\]

وزمن وصوله إلى الهدف هو

\[
t=\frac{30.0}{6.36}=4.72\ \text{s}.
\]

والآن قارن السرعتين عند الهدف.

لأي من الإطلاقين، يكون التسارع الأفقي صفرًا، بينما تحقق المركبة الرأسية

\[
v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y.
\]

وبما أن \(a_y=-g\) و\(\Delta y=5.00\ \text{m}\)،

\[
v_y^2=u_y^2-2g(5.00).
\]

ويحقق مقدار السرعة الكلية

\[
v^2=v_x^2+v_y^2.
\]

وبما أن \(v_x=u_x\)،

\[
\begin{aligned}
v^2
&=u_x^2+u_y^2-2g(5.00)\\
&=u^2-2g(5.00).
\end{aligned}
\]

بدأ كلا المقذوفين بالسرعة نفسها \(u=25.0\ \text{m s}^{-1}\)، ونفحص كليهما عند الارتفاع النهائي نفسه. لذلك،

\[
\begin{aligned}
v^2
&=(25.0)^2-2(9.80)(5.00)\\
&=527,
\end{aligned}
\]

ومن ثم،

\[
v=23.0\ \text{m s}^{-1}.
\]

يصل المسار المنخفض إلى الهدف بحيث تكون تقريبًا

\[
v_x=22.8\ \text{m s}^{-1},
\qquad
v_y=-2.65\ \text{m s}^{-1},
\]

بينما يصل المسار الأعلى بحيث تكون تقريبًا

\[
v_x=6.36\ \text{m s}^{-1},
\qquad
v_y=-22.1\ \text{m s}^{-1}.
\]

اتجاهاهما مختلفان جدًا، لكن مقداري سرعتيهما متساويان.

من التوقعات المغرية أن المسار الأعلى لا بد أن يصل بسرعة أقل لأن الجاذبية أثرت فيه مدة أطول بكثير. صحيح أن الجاذبية تؤثر مدة أطول، لكن المقذوف يرتفع أيضًا إلى مستوى أعلى بكثير ثم يكتسب تلك السرعة الرأسية من جديد أثناء سقوطه. بالنسبة إلى سرعة ابتدائية معينة وارتفاع نهائي معين، يكون مقدار السرعة النهائية ثابتًا وفق هذا النموذج المثالي لحركة المقذوفات.

بمجرد أن تتمكن من تحليل \(u\) إلى \(u_x\) و\(u_y\) بثقة، تصبح حركة المقذوفات مسألتين أحاديتَي البعد مترابطتين. والخطوة المفيدة التالية هي تعلّم اختيار المعادلة الأفقية أو الرأسية التي تعطي الزمن المشترك، ثم استخدام الزمن نفسه للربط بين الاتجاهين.