التحقق التجريبي من حركة المقذوفات: فيزياء HSC

أسقط كرة من فوق مقعد، وأطلق كرة مطابقة لها أفقيًا من الارتفاع نفسه. أيّهما تصل إلى الأرض أولًا؟

من التوقعات الشائعة أن الكرة المُطلَقة ينبغي أن تبقى في الهواء مدة أطول لأن لديها «حركة أكثر». لكن وفق النموذج القياسي لحركة المقذوفات، تصل الكرتان إلى الأرض في الوقت نفسه. فالسرعة الأفقية تغيّر المسافة التي تقطعها الكرة الثانية، لكنها لا تغيّر سرعة سحب الجاذبية لها إلى أسفل.

هذا توقع أنيق. وهو أيضًا بالضبط النوع من الادعاءات الذي ينبغي للفيزياء أن تثبته تجريبيًا.

01ما الذي نحاول التحقق منه فعليًا؟

بالنسبة إلى مقذوف يتحرك بالقرب من سطح الأرض، يفترض نموذج HSC المعتاد افتراضين مهمين:

• تسارع الجاذبية ثابت ومتجه رأسيًا إلى أسفل،
• مقاومة الهواء مهملة.

اختر \(+x\) أفقيًا في اتجاه الإطلاق و\(+y\) رأسيًا إلى أعلى. عندئذٍ

\[ a_x = 0 \]

و

\[ a_y = -g \]

حيث \(g\) هو مقدار تسارع الجاذبية، ويساوي تقريبًا \(9.8\ \text{m s}^{-2}\) بالقرب من سطح الأرض.

ينتج عن ذلك حركتان تحدثان في الوقت نفسه:

\[ x = u_x t \]

و

\[ y = u_y t - \frac{1}{2}gt^2 \]

حيث:

• \(x\) هي الإزاحة الأفقية بالمتر،
• \(y\) هي الإزاحة الرأسية بالمتر،
• \(u_x\) هي السرعة الأفقية الابتدائية بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)،
• \(u_y\) هي السرعة الرأسية الابتدائية بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)،
• \(t\) هو الزمن بالثواني.

في الإطلاق الأفقي، \(u_y=0\). وتصبح المعادلتان

\[ x=u_x t \]

و

\[ y=-\frac{1}{2}gt^2 \]

الفكرة المهمة ليست مجرد وجود معادلتين. بل إن المعادلة الأفقية لا تحتوي على سرعة رأسية، بينما لا تحتوي المعادلة الرأسية على سرعة أفقية.

يمكنك أن تتخيل أن للكرة حياتين عاطفيتين منفصلتين. أفقيًا، تستمر في الحركة بالمعدل نفسه. ورأسيًا، الجاذبية هي العلاقة الجدية الوحيدة في حياتها. تستخدم الحركتان الساعة نفسها، لكنهما لا تخبر إحداهما الأخرى بما ينبغي أن تفعله.

لكن لهذا التشبيه حدود. فعندما تصبح مقاومة الهواء مهمة، تعتمد قوة السحب على حركة المقذوف خلال الهواء. وعندها يمكن أن يصبح السلوكان الأفقي والرأسي مترابطين.

02توقع يستحق الاختبار

لنفترض أن كرة أُطلقت أفقيًا من ارتفاع \(h\).

تكون إزاحتها الرأسية عند وصولها إلى الأرض \(y=-h\)، ولذلك

\[ -h=-\frac{1}{2}gt^2 \]

ومنها

\[ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} \]

لاحظ ما هو غير موجود: \(u_x\).

لذلك يتنبأ النموذج بأن زمن التحليق لا يعتمد على سرعة الإطلاق الأفقية.

المدى الأفقي \(R\) هو

\[ R=u_x t \]

إذًا

\[ R=u_x\sqrt{\frac{2h}{g}} \]

وعند ثبات ارتفاع الإطلاق، يتنبأ النموذج بأن

\[ R\propto u_x \]

إذا تضاعفت سرعة الإطلاق الأفقية، فينبغي أن يتضاعف المدى.

وعند ثبات السرعة الأفقية،

\[ R^2=\frac{2u_x^2}{g}h \]

ولذلك

\[ R^2\propto h \]

تعطينا هذه العلاقات عدة اختبارات تجريبية بدلًا من سؤال غامض واحد حول ما إذا كان المسار «يبدو قطعًا مكافئًا».

هذا هو المقصود من «التحقق من علاقات حركة المقذوفات». فأنت تختبر تنبؤات محددة للنموذج.

03التصميم الأول: دحرجة كرة من فوق مقعد

لا تتطلب أبسط نسخة سوى قدر قليل جدًا من المعدات.

ضع منحدرًا على مقعد بحيث يكون الجزء الأخير منه أفقيًا. تتدحرج كرة إلى أسفل المنحدر، وتتحرك على الجزء الأفقي، ثم تغادر حافة المقعد.

مباشرة أسفل نقطة الإطلاق، علّق خيط شاقول لتحديد الأصل الأفقي على الأرض. وعلى مسافة أبعد، ضع ورقًا فوق ورق كربون أو سطحًا آخر يترك علامة عند الاصطدام حتى يمكن تحديد نقطة التلامس الأولى.

قِس:

• الهبوط الرأسي \(h\)،
• المدى الأفقي \(R\)،
• موضع التحرير على المنحدر.

كرّر كل عملية تحرير عدة مرات.

ماذا ينبغي أن يحدث؟

قبل النظر إلى أي قياسات، توقّع الاتجاه العام.

إذا أُطلقت الكرة من موضع أعلى على المنحدر، فينبغي أن تغادره بسرعة أكبر. وإذا بقي ارتفاع الإطلاق فوق الأرض دون تغيير، فينبغي أن يبقى زمن بقائها في الهواء دون تغيير تقريبًا. لذلك ينبغي أن تظهر السرعة الإضافية أساسًا على شكل زيادة في المدى الأفقي.

ومن ثم ينبغي أن يؤدي موضع تحرير أعلى إلى قيمة أكبر لـ \(R\).

هذه قرينة في الاتجاه الصحيح، لكن توجد مشكلة.

التصميم الأول لا يقيس سرعة الإطلاق

موضع التحرير على المنحدر ليس الكمية الموجودة في معادلة المقذوف. فالمعادلة تحتوي على \(u_x\).

قد تحاول حساب سرعة الإطلاق من طاقة الوضع الجذبية. لكنك ستحتاج حينها إلى أخذ طاقة الحركة الدورانية للكرة، وسلوك التدحرج، والاحتكاك، وأي فقد في الطاقة على المنحدر في الحسبان.

لقد جمعَت التجربة من غير قصد بين نموذجين:

1. ميكانيكا حركة كرة على المنحدر،
2. حركة المقذوف بعد أن تغادر الكرة المنحدر.

إذا كان هدفك هو التحقق من \(R\propto u_x\)، فإن قياس \(u_x\) مباشرةً أكثر وضوحًا بكثير.

04تصميم مُنقّح: قِس المتغيرات التي تحتوي عليها المعادلة فعليًا

يقيس إعداد أقوى سرعة إطلاق المقذوف ومساره مباشرة.

رتّب من اليسار إلى اليمين:

1. قاذفًا أو منحدرًا له جزء خروج أفقي قصير،
2. زوجًا من البوابات الضوئية بالقرب من المخرج تفصل بينهما مسافة أفقية معلومة،
3. حافة الإطلاق،
4. منطقة تحليق المقذوف،
5. سطح اصطدام أو صندوق استقبال.

ضع كاميرا إلى جانب الحركة. وينبغي أن يكون محورها البصري أقرب ما يمكن إلى العمودي على مستوى مسار المقذوف. ضع مقياس معايرة في المستوى نفسه الذي تحدث فيه الحركة.

تمر الكرة عبر البوابة الضوئية الأولى ثم الثانية. إذا كانت المسافة بينهما \(d\) والزمن اللازم للانتقال بينهما \(\Delta t\)، فإن سرعة الإطلاق الأفقية تكون تقريبًا

\[ u_x=\frac{d}{\Delta t} \]

ثم تغادر الكرة القاذف، وتعبر مجال رؤية الكاميرا، وتهبط على سطح الاصطدام. يوفّر الفيديو موضع الكرة عند أزمنة معلومة، بينما توفر علامة الاصطدام قياسًا مستقلًا للمدى الكلي.

يمكن لهذا الإعداد أن يختبر أكثر بكثير من مجرد «أين هبطت الكرة؟».

05المتغيرات والعوامل المضبوطة

لنفترض أن الهدف هو اختبار \(R\propto u_x\).

المتغير المستقل هو سرعة الإطلاق \(u_x\). والمتغير التابع هو المدى الأفقي \(R\).

يجب ضبط عدة كميات أخرى.

يُعد تغيير سرعة الإطلاق مع تغيير زاوية الإطلاق بالخطأ مشكلة مزعجة بشكل خاص. فكلا التغييرين يؤثر في المدى، ولذلك لن تعرف أي متغير هو الذي تسبب في النتيجة.

06إجراء عملي ينتج بيانات مفيدة

يمكن أن تسير دراسة مناسبة على النحو الآتي:

1. ثبّت القاذف وتحقق من أن مخرجه أفقي.
2. حدّد نقطة الإطلاق واستخدم خيط شاقول لتحديد موضع الصفر الأفقي.
3. قِس الهبوط الرأسي من مستوى إطلاق المقذوف إلى مستواه عند أول ملامسة للأرض.
4. ضع الكاميرا عمودية على مستوى الحركة.
5. ضع مقياسًا في مستوى المقذوف حتى يمكن معايرة المسافات في الفيديو.
6. اختر إعدادًا للإطلاق وحرّر المقذوف من دون إضافة دفعة إضافية.
7. قِس \(u_x\) باستخدام البوابات الضوئية.
8. سجّل المسار وموضع الهبوط.
9. كرّر التجربة عدة مرات.
10. غيّر سرعة الإطلاق وكرّر.
11. ارسم \(R\) المقاسة بدلالة \(u_x\) المقاسة.

ترتيب الخطوات أقل أهمية من ضبط الفيزياء. فعلى سبيل المثال، لا تفيد خمسة إعدادات إطلاق متباعدة بشكل جميل إذا كان القاذف يميل قليلًا في كل مرة تعدّله فيها.

07كيف تبدو البيانات المقنعة؟

تخيّل أن ارتفاع الإطلاق ظل ثابتًا.

إذا كان النموذج يعمل جيدًا ضمن نطاق السرعات المختبرة، فينبغي أن يكون منحنى \(R\) بدلالة \(u_x\) قريبًا من خط مستقيم.

من

\[ R=u_x\sqrt{\frac{2h}{g}} \]

ينبغي أن يكون الميل

\[ \sqrt{\frac{2h}{g}} \]

ووحدته هي الثانية.

وهذا منطقي فيزيائيًا. فالميل يخبرك بعدد أمتار المدى التي تُكتسب مقابل كل متر لكل ثانية إضافي في السرعة الأفقية. وعدديًا، يساوي زمن تحليق المقذوف.

يمنحك الرسم البياني معلومات أكثر من فحص تجربة واحدة. إذ يمكنه الكشف عن:

• ما إذا كانت العلاقة خطية،
• ما إذا كان الجزء المقطوع قريبًا من الصفر،
• ما إذا كانت إحدى النقاط شاذة،
• ما إذا كانت الأخطاء تزداد عند السرعات الأعلى،
• ما إذا كان هناك انحناء منهجي.

لا تُجبر الخط تلقائيًا على المرور بنقطة الأصل لمجرد أن النظرية تقول إنه ينبغي أن يمر بها. انظر أولًا فيما إذا كان الجزء المقطوع المقاس يحمل دليلًا مفيدًا على وجود خطأ منهجي.

08اختبار المسار نفسه

المدى ليس إلا النتيجة النهائية. يمكن لبيانات الفيديو اختبار الحركة أثناء التحليق.

في الإطلاق الأفقي،

\[ x=u_x t \]

ولذلك ينبغي أن يكون رسم \(x\) بدلالة \(t\) خطيًا.

بالنسبة إلى الحركة الرأسية، عرّف \(d_y\) بأنه المسافة الموجبة التي تسقطها الكرة إلى أسفل. عندئذٍ

\[ d_y=\frac{1}{2}gt^2 \]

ولذلك ينبغي أن يكون رسم \(d_y\) بدلالة \(t^2\) خطًا مستقيمًا ميله

\[ \frac{g}{2} \]

ويمكنك أيضًا حذف الزمن تمامًا.

بما أن

\[ t=\frac{x}{u_x} \]

فإن التعويض في المعادلة الرأسية يعطي

\[ d_y=\frac{g}{2u_x^2}x^2 \]

إذًا ينبغي أن يكون رسم \(d_y\) بدلالة \(x^2\) خطيًا.

هذا اختبار أقوى بكثير من القول إن المسار «يبدو كقطع مكافئ». فالكثير من المسارات المنحنية قليلًا تبدو للعين كأنها قطع مكافئ.

09التحقق ليس هو نفسه الإثبات

لا تستطيع البيانات التجريبية إثبات أن معادلات المقذوف المثالي قوانين دقيقة تنطبق في كل حالة.

فالمعادلات نفسها تتضمن افتراضات أصلًا.

تكون الخلاصة الدقيقة أقرب إلى الآتي:

ضمن نطاق سرعات الإطلاق المقاسة، كانت البيانات متوافقة مع علاقة المقذوف المتوقعة في حدود عدم اليقين التجريبي.

هذه صياغة علمية أقوى من قول «أثبتت التجربة حركة المقذوفات».

لماذا؟ لأن كرة جولف، وورقة، ونيزكًا لا تتعرض جميعها لمقاومة هواء مهملة. فمدى فائدة النموذج يعتمد على الظروف.

10الموثوقية والصلاحية والدقة لها أدوار مختلفة

غالبًا ما تختلط هذه الكلمات معًا.

الموثوقية

تكون النتائج موثوقة إذا كانت متسقة عند تكرار القياس.

إذا هبطت خمس عمليات إطلاق يُفترض أنها متطابقة عند

\(1.31\)، و\(1.32\)، و\(1.31\)، و\(1.32\)، و\(1.31\ \text{m}\)،

فالنتيجة عالية القابلية للتكرار.

لكن هذا لا يضمن أنها صحيحة. فقد يؤدي تحديد أصل المدى في موضع خاطئ إلى إزاحة جميع القياسات بالمقدار نفسه.

الصلاحية

تكون الدراسة صالحة عندما تختبر فعلًا العلاقة التي تدّعي اختبارها.

إذا كنت تختبر تأثير \(u_x\) في \(R\)، فلا ينبغي أن يتغير ارتفاع الإطلاق أو زاويته بهدوء في الوقت نفسه.

كما أن قياس سرعة الإطلاق مباشرة يحسّن الصلاحية لأن \(u_x\)، لا موضع التحرير على المنحدر، هو المتغير الموجود في النموذج.

الدقة

تتعلق الدقة بمدى الاتفاق مع قيمة مقبولة أو متوقعة.

يمكن أن يكون القياس موثوقًا لكنه غير دقيق. فقد تتجمع خمس قراءات بصورة ممتازة حول إجابة خاطئة بسبب خطأ منهجي.

11الخطأ العشوائي والخطأ المنهجي يتركان دلائل مختلفة

يؤدي الخطأ العشوائي إلى تشتت القياسات المتكررة.

ومن الأمثلة:

• عدم اليقين في تحديد نقطة التلامس الأولى بدقة،
• تغيرات صغيرة في تشغيل القاذف،
• عدم اليقين من إطار إلى آخر عند اختيار مركز المقذوف.

يساعد تكرار التجارب على كشف أثر الخطأ العشوائي وتقليله.

أما الخطأ المنهجي فيدفع القياسات في اتجاه ثابت.

ومن الأمثلة:

• قياس المدى من أصل أفقي خاطئ،
• عدم كون الكاميرا عمودية على الحركة،
• مقياس معايرة غير مضبوط بصورة صحيحة،
• ميل القاذف قليلًا إلى أعلى،
• قياس ارتفاع الإطلاق من مستوى مرجعي خاطئ.

لا يزيل تكرار التجربة الخطأ المنهجي. يمكنك إجراء 500 قياس وما زلت تحصل على إجابة خاطئة شديدة الضبط.

12لماذا يمكن لشكل الرسم البياني أن يشخّص خطأً؟

لنفترض أن النظرية تتنبأ بخط مستقيم يمر بنقطة الأصل، لكن رسمك التجريبي خط مستقيم له جزء مقطوع واضح غير صفري.

هذا النمط دليل.

قد يعني أن موضع الصفر لديك خاطئ. وقد يعني أن متغيرًا افترضت أنه يساوي صفرًا لم يكن صفرًا فعلًا. وقد يعني أن تحويل الرسم البياني يتفاعل مع خطأ القياس بطريقة أقل وضوحًا.

لهذا تكون أنماط البواقي والأجزاء المقطوعة مفيدة. لا تعاملها على أنها تفاصيل مزعجة حول الميل.

وغالبًا ما يكون الرسم المنحني عندما تتنبأ النظرية بخط مستقيم أكثر إفادة. فهو يشير إلى أن أحد الأمور الآتية قد يكون صحيحًا:

• العلاقة المقترحة غير صحيحة ضمن ذلك النطاق،
• إحدى الكميات التي يُفترض ضبطها تتغير فعليًا،
• أحد التأثيرات المهملة يصبح أكثر أهمية مع زيادة المتغير المستقل.

مقاومة الهواء مثال جيد. فعند السرعات الكبيرة بما يكفي، يصبح افتراض أن السحب يساوي صفرًا أقل إقناعًا.

13فخ شائع بشكل خاص: افتراض أن الإطلاق أفقي

قد يبدو القاذف أفقيًا مع أنه يمنح المقذوف مركبة رأسية صغيرة.

إذا كان

\[ u_y>0 \]

فإن المقذوف يرتفع في البداية قبل أن يسقط. ويكون زمن تحليقه أطول من تنبؤ الإطلاق الأفقي.

وإذا كان

\[ u_y<0 \]

فإنه يبدأ الحركة إلى أسفل فورًا، ما يقصّر زمن التحليق.

يمكن لتتبّع الفيديو كشف ذلك. ففي الإطلاق الأفقي الحقيقي، ينبغي أن يعطي ملاءمة الموضع الرأسي بدلالة الزمن سرعة رأسية ابتدائية متسقة مع الصفر.

إذا كان تحليل سرعة الإطلاق إلى مركبات يحتاج إلى مراجعة، فراجع مركبات السرعة الابتدائية للمقذوف في فيزياء HSC قبل تفسير بيانات الإطلاق بزاوية.

14ماذا ينبغي أن تتضمنه الخلاصة التجريبية؟

ينبغي أن تربط الخلاصة المفيدة البيانات مباشرة بالعلاقة التي يجري اختبارها.

على سبيل المثال:

• اذكر ما إذا كان الرسم البياني له الشكل المتوقع،
• قارن الميل المقاس بالقيمة النظرية،
• ناقش ما إذا كان الجزء المقطوع متسقًا مع الصفر،
• أشر إلى عدم اليقين في القياس أو التشتت،
• حدّد التأثيرات المنهجية التي تشير إليها البيانات،
• اذكر الظروف التي دعمت فيها النتائج النموذج.

تجنب خلاصات مثل «كانت التجربة ناجحة لأن الرسم بدا صحيحًا».

السؤال المثير للاهتمام هو مدى القوة التي تفرض بها القياسات قيودًا على النموذج.

15أسئلة وحلول

السؤال 1

أُطلقت كرة أفقيًا بسرعة \(2.50\ \text{m s}^{-1}\) من ارتفاع \(0.800\ \text{m}\).

استخدم \(g=9.8\ \text{m s}^{-2}\).

1. احسب زمن التحليق المتوقع.
2. احسب المدى الأفقي المتوقع.
3. أعطت تجربة مدى مقداره \(0.980\ \text{m}\). هل تتحقق صحة نموذج المقذوف من هذه النتيجة الواحدة؟

الحل 1

زمن التحليق المتوقع هو \(0.404\ \text{s}\)، والمدى المتوقع هو \(1.01\ \text{m}\)، وقياس واحد مقداره \(0.980\ \text{m}\) لا يكفي بمفرده للتحقق من النموذج.

بالنسبة إلى الحركة الرأسية،

\[ h=\frac{1}{2}gt^2 \]

ومنها

\[ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} =\sqrt{\frac{2(0.800\ \text{m})}{9.8\ \text{m s}^{-2}}} =0.404\ \text{s} \]

المدى الأفقي هو

\[ R=u_x t =(2.50\ \text{m s}^{-1})(0.404\ \text{s}) =1.01\ \text{m} \]

القيمة التجريبية أقل من القيمة النظرية بنحو \(0.030\ \text{m}\)، أو \(3.0\%\).

الاستنتاج المغري هو أن «3% قريبة، إذًا تم التحقق من النموذج». لكن المشكلة أننا لا نعرف بعد ما إذا كان فرق \(3\%\) صغيرًا مقارنةً بعدم اليقين التجريبي.

ولدينا أيضًا سرعة إطلاق واحدة فقط. فقد ينتج خطأ منهجي بالصدفة نتيجة قريبة من التنبؤ.

تستخدم دراسة أقوى تجارب متكررة وعدة قيم لـ \(u_x\)، ثم تختبر ما إذا كانت \(R\) تتغير خطيًا مع \(u_x\).

السؤال 2

يُحفظ قاذف أفقي على ارتفاع \(1.00\ \text{m}\) فوق مستوى الهبوط. وتم الحصول على البيانات التوضيحية الآتية.

يكون تقريب ملاءمة خط مستقيم لـ \(R\) بدلالة \(u_x\) كما يأتي:

\[ R=(0.458\ \text{s})u_x-0.008\ \text{m} \]

1. اشرح لماذا يُعد \(R\) بدلالة \(u_x\) الرسم البياني المناسب.
2. استخدم الميل لتقدير \(g\).
3. دقة الفصل للقياسات الفردية للمدى تقارب \(0.01\ \text{m}\). اشرح ما الذي يخبرك به الجزء المقطوع وما الذي لا يخبرك به.

الحل 2

البيانات متسقة مع \(R\propto u_x\)، ويعطي الميل تقديرًا تجريبيًا لـ \(g\approx9.5\ \text{m s}^{-2}\).

عند ثبات الارتفاع،

\[ R=u_x\sqrt{\frac{2h}{g}} \]

وهذا على الصورة

\[ R=mu_x \]

حيث الميل النظري هو

\[ m=\sqrt{\frac{2h}{g}} \]

الميل المقاس هو \(0.458\ \text{s}\)، ولذلك

\[ m^2=\frac{2h}{g} \]

ومن ثم

\[ g=\frac{2h}{m^2} \]

بالتعويض،

\[ g=\frac{2(1.00\ \text{m})}{(0.458\ \text{s})^2} \approx9.5\ \text{m s}^{-2} \]

النتيجة قريبة بصورة معقولة من \(9.8\ \text{m s}^{-2}\).

للملاءمة جزء مقطوع مقداره \(-0.008\ \text{m}\)، أو \(-8\ \text{mm}\). وهذا صغير مقارنة بدقة الفصل التقريبية للقياس، وهي \(0.01\ \text{m}\)، ولذلك لا تقدم هذه البيانات وحدها دليلًا قويًا على أن للجزء المقطوع معنى فيزيائيًا.

الطريق المغري هو إجبار الرسم على المرور بنقطة الأصل فورًا لأن النظرية تتنبأ بأن \(R=0\) عندما \(u_x=0\). لكن القيام بذلك قد يخفي إزاحة منهجية. من الأفضل فحص الملاءمة غير المقيّدة أولًا، ثم تحديد ما إذا كان الجزء المقطوع متسقًا مع الصفر.

ومن الأساليب المغرية الأخرى حساب \(g\) بصورة منفصلة من كل صف ثم أخذ متوسط النتائج ببساطة. ويمكن لذلك أن ينجح، لكن الرسم البياني يختبر في الوقت نفسه الخطية والميل والجزء المقطوع، ولذلك يكشف معلومات أكثر عن مدى صلاحية العلاقة نفسها.

السؤال 3

يستخدم تحليل فيديو نقطة الإطلاق أصلًا، بحيث يكون \(+x\) أفقيًا إلى الأمام و\(+y\) رأسيًا إلى أعلى.

معادلات الموضع الناتجة عن الملاءمة هي

\[ x=(2.60\ \text{m s}^{-1})t \]

و

\[ y=(0.100\ \text{m s}^{-1})t-(4.90\ \text{m s}^{-2})t^2 \]

يقع مستوى الهبوط على مسافة \(0.900\ \text{m}\) أسفل نقطة الإطلاق.

1. حدّد \(u_x\)، و\(u_y\)، و\(a_x\)، و\(a_y\).
2. احسب زاوية الإطلاق فوق الأفقي.
3. احسب زمن التحليق الفعلي والمدى.
4. اشرح لماذا يؤدي التعامل مع هذا على أنه إطلاق أفقي تمامًا إلى خطأ صغير لكنه منهجي.

الحل 3

أُطلق المقذوف بزاوية تقارب \(2.20^\circ\) فوق الأفقي، ما يعطي زمن تحليق فعليًا مقداره \(0.439\ \text{s}\) ومدى مقداره \(1.14\ \text{m}\).

بمقارنة

\[ x=u_x t+\frac{1}{2}a_xt^2 \]

مع

\[ x=(2.60)t \]

نحصل على

\[ u_x=2.60\ \text{m s}^{-1} \]

و

\[ a_x=0 \]

بالنسبة إلى الحركة الرأسية،

\[ y=u_y t+\frac{1}{2}a_yt^2 \]

وبمقارنة ذلك مع

\[ y=(0.100)t-(4.90)t^2 \]

نحصل على

\[ u_y=0.100\ \text{m s}^{-1} \]

ولأن

\[ \frac{1}{2}a_y=-4.90\ \text{m s}^{-2} \]

فإننا نحصل على

\[ a_y=-9.80\ \text{m s}^{-2} \]

زاوية الإطلاق هي

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{u_y}{u_x}\right) \]

إذًا

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{0.100}{2.60}\right) \approx2.20^\circ \]

عند الهبوط،

\[ y=-0.900\ \text{m} \]

ولذلك

\[ -0.900=(0.100)t-4.90t^2 \]

أو

\[ 4.90t^2-0.100t-0.900=0 \]

وبأخذ الحل الموجب نحصل على

\[ t=0.439\ \text{s} \]

ومن ثم يكون المدى الأفقي

\[ R=u_xt =(2.60\ \text{m s}^{-1})(0.439\ \text{s}) =1.14\ \text{m} \]

إذا عومل الإطلاق خطأً على أنه أفقي، فسيكون زمن التحليق المتوقع

\[ t=\sqrt{\frac{2(0.900)}{9.8}} =0.429\ \text{s} \]

ما يعطي

\[ R=(2.60)(0.429)=1.11\ \text{m} \]

الافتراض المغري هو أن القاذف الذي يبدو مستويًا لا بد أن تكون له \(u_y=0\). لكن المسار الملائم للبيانات يبين خلاف ذلك.

تحافظ القيمة الموجبة الصغيرة لـ \(u_y\) على بقاء المقذوف في الهواء مدة أطول قليلًا، فتزيد المدى بنحو \(0.03\ \text{m}\). ويمكن بسهولة أن يُعزى هذا الفرق المنهجي إلى مقاومة الهواء إذا لم تُفحص زاوية الإطلاق مطلقًا.

السؤال 4

يحافظ طالب على سرعة الإطلاق الأفقية المقاسة عند \(3.00\ \text{m s}^{-1}\) ويغيّر ارتفاع الإطلاق المقاس \(h\).

ويختبر العلاقة المتوقعة

\[ R^2=\frac{2u_x^2}{g}h \]

ينتج رسمه البياني

\[ R^2=(1.79\ \text{m})h+0.080\ \text{m}^2 \]

وتقع النقاط قريبة جدًا من خط مستقيم.

يقترح الطالب تفسيرين محتملين للجزء المقطوع غير الصفري:

• يوجد خطأ صفري ثابت في الارتفاع المقاس،
• يوجد خطأ صفري ثابت في المدى المقاس.

حدّد أي التفسيرين أكثر اتساقًا بصورة طبيعية مع الرسم البياني الخطي. وقدّر الخطأ الصفري الموافق.

الحل 4

الخطأ الثابت في قياس الارتفاع أكثر اتساقًا بصورة طبيعية مع الرسم المستقيم لـ \(R^2\) بدلالة \(h\)، والإزاحة الضمنية في الارتفاع تبلغ نحو \(4.5\ \text{cm}\).

لنفترض أن الارتفاع المقاس هو \(h_m\)، بينما الارتفاع الحقيقي هو

\[ h=h_m+\Delta h \]

تصبح معادلة المقذوف

\[ R^2=\frac{2u_x^2}{g}(h_m+\Delta h) \]

وبالتوسيع،

\[ R^2=\frac{2u_x^2}{g}h_m+ \frac{2u_x^2}{g}\Delta h \]

ولا تزال هذه العلاقة خطية تمامًا في الارتفاع المقاس \(h_m\). ولذلك يؤدي خطأ صفري ثابت في الارتفاع إلى جزء مقطوع غير صفري دون إحداث انحناء.

باستخدام الخط التجريبي،

\[ R^2=(1.79\ \text{m})h+0.080\ \text{m}^2 \]

تكون الإزاحة

\[ \Delta h=\frac{\text{الجزء المقطوع}}{\text{الميل}} \]

ومن ثم

\[ \Delta h= \frac{0.080\ \text{m}^2}{1.79\ \text{m}} =0.0447\ \text{m} \]

أو نحو

\[ 4.5\ \text{cm} \]

والآن لنتأمل خطأ ثابتًا في المدى \(\Delta R\).

إذا كان

\[ R_m=R+\Delta R \]

فإن

\[ R_m^2=(R+\Delta R)^2 \]

ومن ثم

\[ R_m^2=R^2+2R\Delta R+(\Delta R)^2 \]

لكن \(R\propto\sqrt{h}\). ولذلك يتغير الحد الأوسط وفق \(\sqrt{h}\)، وليس وفق \(h\).

وعليه، فإن إزاحة ثابتة وكبيرة في المدى ستؤدي عمومًا إلى انحناء في رسم \(R_m^2\) بدلالة \(h\).

الطريق المغري هو القول: «أي خطأ صفري يغيّر الجزء المقطوع فقط». وهذا صحيح لبعض أشكال الرسوم البيانية، لكنه ليس صحيحًا بعد تربيع متغير مقاس. فالتحويل مهم.

كما أن الميل التجريبي منطقي. تتنبأ النظرية بأن

\[ \frac{2u_x^2}{g} = \frac{2(3.00\ \text{m s}^{-1})^2}{9.8\ \text{m s}^{-2}} =1.84\ \text{m} \]

وهو قريب من القيمة المقاسة \(1.79\ \text{m}\).

لذلك فإن اجتماع ميل قريب من الصحيح، وخطية قوية، وجزء مقطوع موجب، يتسق مع خطأ صفري في الارتفاع يبلغ نحو \(4.5\ \text{cm}\).

السؤال 5

أُطلقت كرتان متماثلتان أفقيًا من الارتفاع نفسه البالغ \(1.20\ \text{m}\).

للكرة A سرعة أفقية ابتدائية مقدارها \(2.0\ \text{m s}^{-1}\). وللكرة B سرعة أفقية ابتدائية مقدارها \(8.0\ \text{m s}^{-1}\).

تعطي القياسات المتكررة عالية السرعة

\[ t_A=0.496\pm0.001\ \text{s} \]

و

\[ t_B=0.503\pm0.001\ \text{s} \]

يتنبأ نموذج المقذوف المثالي بزمن التحليق نفسه لكلتا الكرتين.

لنفترض بدلًا من ذلك أن قوة مقاومة الهواء موصوفة نوعيًا بالعلاقة

\[ \vec F_d=-c v\vec v \]

حيث \(c\) ثابت موجب، و\(v\) هي السرعة القياسية الكلية للمقذوف، و\(\vec v\) متجه سرعته.

يقول أحد الطلاب:

تبقى الكرة B في الهواء مدة أطول، لذا لا بد أن الحركة الأفقية الأسرع تُضعف الجاذبية بطريقة ما.

قيّم هذا الادعاء. اشرح كيف يمكن لنموذج السحب أن ينتج الاتجاه الملحوظ للفرق، ولماذا يتحدى ذلك العبارة المبسطة القائلة إن «الحركتين الأفقية والرأسية مستقلتان»، وما الاختبار اللاحق الذي يمكن أن يساعد على التمييز بين السحب وخطأ في التوقيت.

الحل 5

لا تُظهر القياسات أن الجاذبية تصبح أضعف عند زيادة السرعة الأفقية؛ لكنها تتسق مع كون مقاومة الهواء تربط بين الحركتين الأفقية والرأسية، وهو تأثير مستبعد من نموذج المقذوف المثالي.

تحقق أولًا من التنبؤ المثالي.

لكل من الكرتين،

\[ t=\sqrt{\frac{2h}{g}} \]

ومن ثم

\[ t=\sqrt{\frac{2(1.20\ \text{m})}{9.8\ \text{m s}^{-2}}} =0.495\ \text{s} \]

القيمة المقاسة للكرة A وهي \(0.496\ \text{s}\) قريبة جدًا من هذه النتيجة.

تستغرق الكرة B مدة أطول من الكرة A بنحو

\[ 0.503\ \text{s}-0.496\ \text{s} =0.007\ \text{s} \]

هذا الفرق أكبر من عدم اليقين المقاس المعلن لكل نتيجة منفردة، وهو \(0.001\ \text{s}\)، ولذلك يستحق الدراسة بدلًا من استبعاده باعتباره مجرد دقة فصل القياس.

والآن لنتأمل قوة السحب المعطاة:

\[ \vec F_d=-c v\vec v \]

تتجه القوة عكس اتجاه سرعة المقذوف.

مباشرة بعد إطلاق أفقي تمامًا، تكون السرعة الرأسية صفرًا، ولذلك لا تكون لقوة السحب مركبة رأسية في تلك اللحظة.

ثم تولّد الجاذبية سرعة إلى أسفل.

وبمجرد أن يصبح \(v_y\) متجهًا إلى أسفل، يتجه جزء من قوة السحب إلى أعلى. وتقاوم هذه المركبة المتجهة إلى أعلى السقوط.

وهنا يأتي التفاعل الأساسي: يعتمد مقدار قوة السحب على السرعة الكلية \(v\)، لا على السرعة الرأسية وحدها.

تبدأ الكرة B بمركبة أفقية أكبر بكثير، ولذلك يمكن أن تكون سرعتها الكلية أكبر حتى عندما تكون السرعتان الرأسيتان للكرتين متقاربتين. ووفق نموذج السحب هذا، يمكن للكرة B لذلك أن تتعرض لمركبة رأسية أكبر من قوة السحب ومتجهة إلى أعلى أثناء سقوطها.

وقد يصبح تسارعها إلى أسفل أصغر قليلًا في المقدار من تسارع الكرة A، ما يسمح لها بالبقاء في الهواء مدة أطول.

الجاذبية نفسها لم تتغير. الذي تغيّر هو محصلة القوة الرأسية بسبب وجود قوة أخرى.

الطريق المغري هو التعامل مع عبارة «الحركتان الأفقية والرأسية مستقلتان» على أنها حقيقة كونية عن الطبيعة. لكنها ليست كذلك.

تكون المركبتان مستقلتين في نموذج HSC المثالي للمقذوف لأن

\[ a_x=0 \]

و

\[ a_y=-g \]

بحيث لا يعتمد أي من التسارعين على مركبة السرعة الأخرى.

أما مع قانون السحب المعطى، فتعتمد قوة السحب الرأسية جزئيًا على السرعة الكلية

\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} \]

ولذلك يمكن لتغيير \(v_x\) أن يغيّر القوة الرأسية. وهكذا تصبح المركبتان مترابطتين.

من الاختبارات اللاحقة المفيدة تكرار التجربة باستخدام مقذوفات لها الحجم والشكل نفسيهما لكن بكتل مختلفة بدرجة كبيرة، مع قياس سرعات إطلاقها الفعلية.

بالنسبة إلى قوة السحب الديناميكية الهوائية نفسها، يكون التسارع الناتج عن السحب

\[ a_d=\frac{F_d}{m} \]

ولذلك ينبغي أن يُظهر المقذوف الأثقل تغيرًا أصغر في زمن التحليق ناتجًا عن السحب. فإذا أصبح الفرق \(t_B-t_A\) أصغر بكثير مع المقذوف الأثقل، فإن ذلك يدعم تفسير السحب.

أما إذا بقي فرق التوقيت الثابت نفسه بغض النظر عن كتلة المقذوف أو سرعة الإطلاق، فسيصبح وجود خطأ منهجي في التوقيت أو آلية التفعيل أكثر احتمالًا.

والدرس الأعمق هو أن التجربة لا تتحقق فقط مما إذا كان رقم ما «قريبًا». بل تخبرك بأي الافتراضات اجتاز الاختبار وأيها يحتاج إلى نموذج آخر.

16إلى أين يقودنا هذا بعد ذلك؟

بعد فهم تجربة الإطلاق الأفقي، لا يصبح المقذوف المنطلق بزاوية مشكلة جديدة تمامًا. فما زال النموذج الأفقي والرأسي نفسه ينطبق، لكن كلتا المركبتين الابتدائيتين تصبحان مهمتين:

\[ u_x=u\cos\theta \]

و

\[ u_y=u\sin\theta \]

ويعطيك ذلك سؤالًا تجريبيًا أكثر تطلبًا: إذا ظلت سرعة الإطلاق ثابتة بينما تغيرت الزاوية، فهل تتبع قيم الارتفاع وزمن التحليق والمدى المقاسة العلاقات المتوقعة؟

الخطوة المفيدة التالية هي ربط هذه القياسات بـ زاوية إطلاق المقذوف: الارتفاع وزمن التحليق والمدى. وينبغي أن تبقى العادة التجريبية نفسها: اشتق تنبؤًا، وحدّد الرسم البياني الذي سيكشفه بوضوح، وقِس الكميات التي تظهر فعلًا في النموذج، وتعامل مع أي اختلاف منهجي على أنه دليل بدلًا من محاولة إخفائه.