المدى الأفقي للمقذوف: دليل فيزياء HSC

يغادر مقذوفان النقطة نفسها بالسرعة نفسها. يُطلَق أحدهما بزاوية \(30^\circ\)، والآخر بزاوية \(60^\circ\). أيهما يقطع مسافة أفقية أكبر قبل أن يعود إلى ارتفاع الإطلاق؟

قد تجادل لصالح \(30^\circ\): فلديه سرعة أفقية أكبر. وقد تجادل لصالح \(60^\circ\): فهو يبقى في الهواء مدة أطول. وفق نموذج المقذوفات المعتاد في HSC، يتعادل هذان التأثيران تمامًا. ولهما المدى الأفقي نفسه.

هذا التعادل هو مفتاح فهم المدى. يقطع المقذوف مسافة أكبر إذا تحرك جانبيًا بسرعة، أو بقي في الهواء مدة طويلة، أو جمع بين الأمرين.

01المدى يساوي السرعة الأفقية مضروبة في الزمن

تخيّل تقسيم حركة المقذوف إلى مهمتين.

الجزء الأفقي ينقله عبر الأرض. أما الجزء الرأسي فيحدد المدة التي يبقى فيها في الهواء. وفق الافتراضات القياسية لحركة المقذوفات، تغيّر الجاذبية السرعة الرأسية لكنها لا تغيّر السرعة الأفقية.

بالنسبة إلى مقذوف يُطلَق بسرعة \(u\) وبزاوية \(\theta\) فوق الأفقي،

\[
u_x=u\cos\theta
\]

و

\[
u_y=u\sin\theta
\]

حيث \(u_x\) هي السرعة الأفقية الابتدائية و\(u_y\) هي السرعة الرأسية الابتدائية. إذا كان تحليل المتجهات لا يزال غير مريح بالنسبة لك، فراجع أولًا مركبتي السرعة الابتدائية للمقذوف.

إذا بقي المقذوف في الهواء زمنًا مقداره \(T\)، فإن مداه الأفقي \(R\) هو

\[
R=u_xT=u\cos\theta\,T
\]

وهذه هي أكثر معادلات المدى فائدة كنقطة بداية.

وهي توضح أمرًا مهمًا: لا توجد في الحقيقة «حركة مدى» مستقلة وغامضة. فالمدى ينتج من الجمع بين الحركة الأفقية والزمن الذي تحدده الحركة الرأسية.

ولاحظ أيضًا ما لا يمثله المدى. فهو ليس المسافة المنحنية المقطوعة على طول المسار، بل الإزاحة الأفقية بين نقطة الإطلاق ونقطة الهبوط.

02لماذا يهم ارتفاع الهبوط

افترض أن المقذوف يهبط عند الارتفاع نفسه تمامًا الذي أُطلِق منه.

اعتبر الاتجاه إلى أعلى موجبًا. عندئذ يكون التسارع الرأسي \(a_y=-g\)، حيث \(g=9.8\text{ m s}^{-2}\) بالقرب من سطح الأرض.

الإزاحة الرأسية بعد زمن \(T\) هي

\[
\Delta y=u_yT-\frac12gT^2
\]

بالنسبة إلى هبوط عند الارتفاع نفسه، تكون \(\Delta y=0\)، ولذلك

\[
0=u\sin\theta\,T-\frac12gT^2
\]

أخرج \(T\) عاملًا مشتركًا:

\[
T\left(u\sin\theta-\frac12gT\right)=0
\]

هناك حلان. يصف \(T=0\) لحظة الإطلاق. أما الهبوط اللاحق فيحدث عندما

\[
T=\frac{2u\sin\theta}{g}
\]

والآن عوّض بزمن التحليق هذا في \(R=u\cos\theta\,T\):

\[
R=u\cos\theta\left(\frac{2u\sin\theta}{g}\right)
=\frac{2u^2\sin\theta\cos\theta}{g}
\]

وباستخدام \(2\sin\theta\cos\theta=\sin(2\theta)\)،

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

هذه هي صيغة مدى المقذوف المعروفة.

لكنها اختصار مرتبط بشرط: يجب أن يهبط المقذوف عند المستوى الرأسي نفسه الذي أُطلِق منه.

ماذا تخبرك صيغة المدى

بالنسبة إلى إطلاق وهبوط عند الارتفاع نفسه مع إهمال مقاومة الهواء:

لماذا تعطي الزوايا المتتامة المدى نفسه؟

عندما تكون \(\theta=30^\circ\)،

\[
\sin(2\theta)=\sin 60^\circ
\]

بينما عندما تكون \(\theta=60^\circ\)،

\[
\sin(2\theta)=\sin 120^\circ
\]

و\(\sin60^\circ=\sin120^\circ\).

من الناحية الفيزيائية، يتمتع المسار المنخفض بسرعة أفقية أكبر لكنه يقضي زمنًا أقل في الهواء. أما المسار الأعلى فلديه سرعة أفقية أقل لكنه يبقى في الهواء مدة أطول. بالنسبة إلى الزوايا المتتامة، يتوازن هذان التغيران تمامًا.

03قاعدة \(45^\circ\) لها شروط

إليك تنبؤًا يستحق التفكير فيه. يُطلَق الآن مقذوف من أعلى جرف ويهبط على الأرض أسفله. هل تظل \(45^\circ\) هي الزاوية التي تعطي أكبر مدى ممكن؟

لا.

تأتي النتيجة المعتادة الخاصة بـ \(45^\circ\) من

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

وقد اشتُقت هذه المعادلة بوضع الإزاحة الرأسية النهائية مساوية للصفر. عند الإطلاق من جرف، يملك المقذوف مسافة سقوط إضافية بعد أن يمر مرة أخرى بارتفاع الإطلاق.

يغيّر هذا الزمن الإضافي الموازنة بين التأثيرين. يمكن لمسار أقل انحدارًا بعض الشيء أن يحتفظ بسرعة أفقية أكبر، وفي الوقت نفسه يظل لديه وقت كافٍ للحركة لأن المقذوف لديه جرف ليسقط منه. لذلك، عندما تكون نقطة الهبوط أخفض، تكون الزاوية المثلى لأقصى مدى في نموذج إهمال مقاومة الهواء أقل من \(45^\circ\).

هذه إحدى أسهل قواعد المقذوفات التي قد تُحفَظ بصورة أعم من اللازم. فالقول إن «أقصى مدى يحدث عند \(45^\circ\)» ليس قانونًا طبيعيًا غير مشروط.

04المدى عندما يهبط المقذوف عند ارتفاع مختلف

إذا كانت نقطة الهبوط أعلى أو أخفض من نقطة الإطلاق، فارجع إلى الطريقة الأكثر أمانًا:

1. حلّل السرعة الابتدائية؛
2. استخدم الحركة الرأسية لإيجاد زمن التحليق؛
3. استخدم \(R=u_xT\).

افترض أن نقطة الهبوط تقع على مسافة رأسية \(h\) أسفل نقطة الإطلاق. عندئذ تكون الإزاحة الرأسية \(\Delta y=-h\)، ولذلك

\[
-h=u\sin\theta\,T-\frac12gT^2
\]

حل هذه المعادلة لإيجاد \(T\). احتفظ بالحل الموجب الذي يمثل التحليق الفيزيائي الفعلي.

ثم احسب

\[
R=u\cos\theta\,T
\]

تحدد الحركة الرأسية المدة التي يستطيع فيها المقذوف الاستفادة من سرعته الأفقية.

للمزيد من التدريب على هذا الجزء من الطريقة، راجع زمن تحليق المقذوف للهبوط على المستوى نفسه وعند مستويات غير متساوية.

05حالة خاصة مفيدة: الإطلاق الأفقي

المقذوف الذي يُطلَق أفقيًا تكون له \(\theta=0^\circ\)، ولذلك

\[
u_y=0
\]

قد يبدو ذلك غريبًا في البداية. إذا لم تكن هناك سرعة رأسية ابتدائية، فكيف يصل إلى الأرض؟

تُنتج الجاذبية فورًا سرعة رأسية باتجاه الأسفل. بالنسبة إلى إطلاق من ارتفاع \(h\)،

\[
-h=-\frac12gT^2
\]

ومن ثم

\[
T=\sqrt{\frac{2h}{g}}
\]

إذا كانت سرعة الإطلاق الأفقية \(u\)،

\[
R=u\sqrt{\frac{2h}{g}}
\]

لاحظ البنية نفسها مرة أخرى: السرعة الأفقية مضروبة في الزمن في الهواء.

06أخطاء شائعة في مسائل المدى

استخدام صيغة الأرض المستوية كلما ظهرت كلمة «المدى»

الصيغة

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

تتطلب تساوي ارتفاعي الإطلاق والهبوط.

إذا اختلف الارتفاعان، فأوجد \(T\) من الحركة الرأسية ثم استخدم \(R=u_xT\).

استخدام \(u\) باعتبارها السرعة الأفقية

ما لم يكن الإطلاق أفقيًا تمامًا،

\[
u_x\ne u
\]

المركبة الأفقية الصحيحة هي

\[
u_x=u\cos\theta
\]

قد تكون للمقذوف الذي يُطلَق بزاوية شديدة الانحدار سرعة كلية كبيرة، لكن سرعته الأفقية تكون أصغر بكثير.

الاعتقاد أن زمن التحليق الأكبر يعني بالضرورة مدى أكبر

ليس بمفرده.

يمكن لإطلاق شديد الانحدار أن يبقى في الهواء مدة طويلة لكنه يتحرك جانبيًا ببطء. يعتمد المدى على حاصل الضرب \(u_xT\)، وليس على أي من العاملين منفردًا.

في الحالة الحدية \(\theta=90^\circ\)، يمتلك المقذوف زمن تحليق كبيرًا، لكن

\[
u_x=u\cos90^\circ=0
\]

ولذلك يكون مداه الأفقي صفرًا.

افتراض أن \(45^\circ\) تعطي دائمًا أقصى مدى

إنها تعطي أقصى مدى مثالي عند ثبات سرعة الإطلاق عندما يكون ارتفاعا الإطلاق والهبوط متساويين.

تغيّر نقطة الهبوط الأخفض الزاوية المثلى. كما تغيّر مقاومة الهواء النتيجة لأن السرعة الأفقية لا تعود ثابتة.

اعتبار جذري المعادلة التربيعية زمنَي هبوط محتملين

قد تنتج معادلة الحركة الرأسية زمنًا موجبًا وآخر سالبًا. ينتمي الجذر السالب عادة إلى الجزء الرياضي من القطع المكافئ قبل اللحظة المختارة على أنها \(t=0\).

تحقق من المعنى الفيزيائي لكل جذر قبل استخدامه.

07طريقة موثوقة لمسائل المدى في HSC

عندما تبدو مسألة المدى معقدة، تجنب البحث عن صيغة خاصة. استخدم التسلسل نفسه.

أولًا، ارسم نقطة الإطلاق ونقطة الهبوط، وحدد الفرق الرأسي بينهما.

ثم حلّل سرعة الإطلاق:

\[
u_x=u\cos\theta,\qquad u_y=u\sin\theta
\]

استخدم الحركة الرأسية لإيجاد زمن التحليق المناسب \(T\):

\[
\Delta y=u_yT-\frac12gT^2
\]

وأخيرًا، استخدم الحركة الأفقية:

\[
R=u_xT
\]

لا تستبدل كل ذلك بالصيغة

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

إلا بعد التأكد من أن ارتفاعي الإطلاق والهبوط متساويان.

08أسئلة وحلول

السؤال 1

يُطلَق مقذوف من أرض مستوية بسرعة \(24.0\text{ m s}^{-1}\) وبزاوية \(35.0^\circ\) فوق الأفقي. ويهبط عند الارتفاع نفسه. أهمل مقاومة الهواء.

احسب مداه الأفقي.

الحل 1

المدى الأفقي يساوي تقريبًا \(55.2\text{ m}\).

لأن المقذوف يهبط عند ارتفاع الإطلاق نفسه، يمكن استخدام صيغة المدى على أرض مستوية:

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

عوّض بـ \(u=24.0\text{ m s}^{-1}\)، و\(\theta=35.0^\circ\)، و\(g=9.8\text{ m s}^{-2}\):

\[
R=\frac{(24.0)^2\sin70.0^\circ}{9.8}
=\frac{576(0.940)}{9.8}
=55.2\text{ m}
\]

إذن يهبط المقذوف على بُعد يقارب \(55.2\text{ m}\) من نقطة الإطلاق.

الخطأ المغري هو استخدام \(\sin35^\circ\) في صيغة المدى. الزاوية داخل دالة الجيب هي \(2\theta\)، لأن الصيغة جاءت من ضرب العامل الأفقي \(\cos\theta\) في عامل زمن التحليق \(\sin\theta\).

السؤال 2

يُطلَق مقذوف من منصة ارتفاعها \(1.80\text{ m}\) فوق أرض مستوية بسرعة \(16.0\text{ m s}^{-1}\) وبزاوية \(30.0^\circ\) فوق الأفقي. يوجد سياج ارتفاعه \(3.80\text{ m}\) على بُعد أفقي \(18.0\text{ m}\) من نقطة الإطلاق.

أهمل مقاومة الهواء.

حدّد:

• ما إذا كان المقذوف يتجاوز السياج، وبأي مسافة رأسية؛
• ما إذا كان صاعدًا أم هابطًا عند مروره فوق السياج؛ و
• المسافة الأفقية من نقطة الإطلاق التي يصل عندها إلى الأرض.

الحل 2

يتجاوز المقذوف السياج بمقدار يقارب \(0.124\text{ m}\)، ويكون هابطًا عند مروره فوق السياج، ويهبط على بُعد أفقي يقارب \(25.4\text{ m}\) من نقطة الإطلاق.

حلّل سرعة الإطلاق أولًا:

\[
u_x=(16.0)\cos30.0^\circ=13.9\text{ m s}^{-1}
\]

\[
u_y=(16.0)\sin30.0^\circ=8.00\text{ m s}^{-1}
\]

عند السياج، تكون الإزاحة الأفقية \(18.0\text{ m}\). وبما أن السرعة الأفقية ثابتة،

\[
t=\frac{x}{u_x}
=\frac{18.0}{13.9}
=1.299\text{ s}
\]

اعتبر مستوى الأرض عند \(y=0\). يبدأ المقذوف عند \(y_0=1.80\text{ m}\)، ولذلك يكون ارتفاعه في هذا الزمن

\[
y=y_0+u_yt-\frac12gt^2
\]

\[
y=1.80+(8.00)(1.299)-4.90(1.299)^2
=3.924\text{ m}
\]

ارتفاع السياج هو \(3.80\text{ m}\)، ولذلك فإن مقدار التجاوز هو

\[
3.924-3.80=0.124\text{ m}
\]

والآن تحقق من السرعة الرأسية عند السياج:

\[
v_y=u_y-gt
\]

\[
v_y=8.00-(9.8)(1.299)
=-4.73\text{ m s}^{-1}
\]

تعني الإشارة السالبة أن المقذوف يتحرك إلى أسفل. فهو يتجاوز السياج في الجزء الهابط من مساره.

لإيجاد زمن الهبوط، ضع \(y=0\):

\[
0=1.80+8.00T-4.90T^2
\]

أو

\[
4.90T^2-8.00T-1.80=0
\]

الحل الموجب هو

\[
T=\frac{8.00+\sqrt{(8.00)^2+4(4.90)(1.80)}}{9.80}
=1.83\text{ s}
\]

لذلك،

\[
R=u_xT=(13.9)(1.83)=25.4\text{ m}
\]

من المغري استخدام صيغة الأرض المستوية مباشرة. فهي تعطي نحو \(22.6\text{ m}\)، لكنها تجيب عن سؤال مختلف: إذ تحدد الموضع الذي سيعود عنده المسار المثالي إلى ارتفاع الإطلاق البالغ \(1.80\text{ m}\)، وليس الموضع الذي يصل عنده إلى الأرض.

السؤال 3

يقذف جهاز إطلاق مقذوفًا بسرعة \(25.0\text{ m s}^{-1}\) نحو هدف يبعد \(40.0\text{ m}\) ويقع عند الارتفاع نفسه تمامًا الذي يوجد عنده جهاز الإطلاق.

يوجد سقف أفقي على ارتفاع \(15.0\text{ m}\) فوق مستوى الإطلاق، ويمتد عبر المنطقة بأكملها بين جهاز الإطلاق والهدف.

أهمل مقاومة الهواء.

أوجد جميع زوايا الإطلاق بين \(0^\circ\) و\(90^\circ\) التي ستوصل المقذوف إلى الهدف لو لم يكن السقف موجودًا. ثم حدّد أي منها، إن وُجد، ممكن فيزيائيًا عند وجود السقف.

الحل 3

من دون السقف، زاويتا الإطلاق هما تقريبًا \(19.4^\circ\) و\(70.6^\circ\). ومع وجود السقف، يكون مسار \(19.4^\circ\) وحده ممكنًا.

بما أن ارتفاعي الإطلاق والهبوط متساويان،

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

ولذلك

\[
40.0=\frac{(25.0)^2\sin(2\theta)}{9.8}
\]

ومن ثم

\[
\sin(2\theta)=\frac{(40.0)(9.8)}{625}=0.6272
\]

أحد الحلول هو

\[
2\theta=\sin^{-1}(0.6272)=38.84^\circ
\]

فينتج

\[
\theta=19.42^\circ
\]

لكن لدالة الجيب حل آخر بين \(0^\circ\) و\(180^\circ\):

\[
2\theta=180^\circ-38.84^\circ=141.16^\circ
\]

ومن ثم

\[
\theta=70.58^\circ
\]

إذن تعطي كلتا الزاويتين المدى الصحيح في فضاء خالٍ من العوائق.

أما الآن فيفرض السقف قيدًا إضافيًا. أقصى ارتفاع فوق نقطة الإطلاق هو

\[
H=\frac{u_y^2}{2g}
=\frac{u^2\sin^2\theta}{2g}
\]

بالنسبة إلى مسار \(19.42^\circ\)،

\[
H=\frac{(25.0)^2\sin^2(19.42^\circ)}{2(9.8)}
=3.53\text{ m}
\]

وهذا أقل بكثير من السقف البالغ ارتفاعه \(15.0\text{ m}\).

وبالنسبة إلى مسار \(70.58^\circ\)،

\[
H=\frac{(25.0)^2\sin^2(70.58^\circ)}{2(9.8)}
=28.4\text{ m}
\]

يصطدم هذا المسار بالسقف قبل الوصول إلى أقصى ارتفاع طبيعي له، ولذلك فهو غير ممكن فيزيائيًا.

الإجابة المغرية هي التوقف بعد إيجاد زاويتين، لأن زوايا الإطلاق المتتامة تعطي المدى نفسه. هذه العبارة صحيحة رياضيًا لحركة على أرض مستوية بلا عوائق. لكن السقف يضيف شرطًا فيزيائيًا ثانيًا لا يحققه إلا المسار المنخفض.

السؤال 4

يُطلَق مقذوف من أرض مستوية ثم يهبط لاحقًا عند الارتفاع نفسه على بُعد \(50.0\text{ m}\).

خلال تحليقه، يمر بنقطتين تقع كلتاهما على ارتفاع \(8.00\text{ m}\) فوق مستوى الإطلاق. وتفصل بين النقطتين مسافة أفقية مقدارها \(30.0\text{ m}\).

أهمل مقاومة الهواء.

حدّد:

• الموضع الأفقي لكل نقطة من النقطتين اللتين ارتفاعهما \(8.00\text{ m}\)، مقاسًا من نقطة الإطلاق؛
• زاوية الإطلاق؛
• سرعة الإطلاق الابتدائية؛ و
• الزمن اللازم للانتقال بين النقطتين اللتين ارتفاعهما \(8.00\text{ m}\).

الحل 4

يكون المقذوف على ارتفاع \(8.00\text{ m}\) عندما \(x=10.0\text{ m}\) وعندما \(x=40.0\text{ m}\)، وزاوية الإطلاق هي \(45.0^\circ\)، وسرعة الإطلاق تقارب \(22.1\text{ m s}^{-1}\)، والزمن بين النقطتين يقارب \(1.92\text{ s}\).

القيد الأول هو التناظر.

عندما يتساوى ارتفاعا الإطلاق والهبوط وتُهمَل مقاومة الهواء، يكون المسار قطعًا مكافئًا متناظرًا حول أعلى نقطة فيه. وبما أن المدى الكلي هو \(50.0\text{ m}\)، فإن القمة تقع في المنتصف:

\[
x_{\text{apex}}=25.0\text{ m}
\]

النقطتان لهما الارتفاع نفسه وتفصل بينهما مسافة \(30.0\text{ m}\)، ولذلك لا بد أن تقع كل منهما على مسافة متساوية من القمة، واحدة على كل جانب.

إذا كان موضعاهما \(x_1\) و\(x_2\)،

\[
x_2-x_1=30.0
\]

و

\[
\frac{x_1+x_2}{2}=25.0
\]

إذن،

\[
x_1=10.0\text{ m},\qquad x_2=40.0\text{ m}
\]

استخدم الآن معادلة المسار

\[
y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}
\]

بالنسبة إلى مقذوف مداه عند العودة إلى الارتفاع نفسه هو \(R\)،

\[
R=\frac{u^2\sin(2\theta)}{g}
\]

وهذا يسمح بكتابة معادلة المسار بالشكل

\[
y=x\tan\theta\left(1-\frac{x}{R}\right)
\]

عند \(x=10.0\text{ m}\)، و\(y=8.00\text{ m}\)، و\(R=50.0\text{ m}\):

\[
8.00=(10.0)\tan\theta\left(1-\frac{10.0}{50.0}\right)
\]

\[
8.00=(10.0)\tan\theta(0.800)
\]

\[
8.00=8.00\tan\theta
\]

ومن ثم

\[
\tan\theta=1
\]

ولذلك

\[
\theta=45.0^\circ
\]

استخدم الآن معادلة المدى:

\[
50.0=\frac{u^2\sin90.0^\circ}{9.8}
\]

وبما أن \(\sin90^\circ=1\)،

\[
u^2=(50.0)(9.8)=490
\]

\[
u=\sqrt{490}=22.1\text{ m s}^{-1}
\]

السرعة الأفقية هي

\[
u_x=u\cos45.0^\circ
=(22.1)(0.707)
=15.7\text{ m s}^{-1}
\]

المسافة الأفقية بين النقطتين المتساويتين في الارتفاع هي \(30.0\text{ m}\)، ولذلك

\[
\Delta t=\frac{\Delta x}{u_x}
=\frac{30.0}{15.7}
=1.92\text{ s}
\]

النهج المغري هو البدء بالبحث عن \(u\) و\(\theta\) باستخدام عدة معادلات حركة متزامنة. سينجح ذلك في النهاية، لكنه يتجاهل أقوى معلومة في السؤال: يجب أن تقع نقطتان لهما الارتفاع نفسه على مسار مقذوف يعود إلى مستوى الإطلاق بشكل متناظر حول القمة. استخدام هذا القيد أولًا يبسط المسألة بصورة كبيرة.

السؤال 5

يوجد جهاز إطلاق عند حافة جرف ارتفاعه \(20.0\text{ m}\). يطلق مقذوفًا بسرعة ثابتة مقدارها \(20.0\text{ m s}^{-1}\)، لكن يمكن تغيير زاوية الإطلاق.

يهبط المقذوف على أرض مستوية تقع على بُعد رأسي \(20.0\text{ m}\) أسفل جهاز الإطلاق. أهمل مقاومة الهواء.

حدّد زاوية الإطلاق التي تنتج أكبر مدى أفقي ممكن، واحسب ذلك المدى الأقصى. ثم قارن النتيجة بإطلاق عند \(45.0^\circ\).

الحل 5

يحدث أقصى مدى عند زاوية تقارب \(35.4^\circ\)، وليس \(45^\circ\)، ويبلغ أقصى مدى أفقي نحو \(57.4\text{ m}\). أما الإطلاق عند \(45.0^\circ\) فيقطع نحو \(55.5\text{ m}\).

القيد الأساسي هو أن المقذوف يهبط أسفل نقطة إطلاقه، ولذلك لا يمكن استخدام صيغة الأرض المستوية لتحسين الزاوية.

ابدأ بمعادلة المسار

\[
y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}
\]

عند نقطة الهبوط،

\[
y=-h,\qquad x=R
\]

حيث \(h=20.0\text{ m}\). كذلك،

\[
\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta
\]

لتكن

\[
q=\tan\theta
\]

وعرّف

\[
A=\frac{g}{2u^2}
\]

عندئذ يصبح شرط الهبوط

\[
-h=Rq-AR^2(1+q^2)
\]

وبإعادة الترتيب نحصل على معادلة تربيعية في \(q\):

\[
AR^2q^2-Rq+(AR^2-h)=0
\]

لكي يكون مدى معيّن \(R\) ممكنًا فيزيائيًا، يجب أن تكون لهذه المعادلة التربيعية قيمة حقيقية واحدة على الأقل لـ \(q\)، وبالتالي زاوية إطلاق حقيقية واحدة على الأقل.

يحدث أكبر \(R\) ممكن بالضبط عند الحد الفاصل بين المديات الممكنة وغير الممكنة. وعند هذا الحد، يكون للمعادلة التربيعية حل مكرر واحد، ولذلك يساوي مميزها صفرًا:

\[
R^2-4(AR^2)(AR^2-h)=0
\]

وبالقسمة على \(R^2\) والتبسيط نحصل على

\[
R_{\max}=\frac{u}{g}\sqrt{u^2+2gh}
\]

عوّض بـ \(u=20.0\text{ m s}^{-1}\)، و\(g=9.8\text{ m s}^{-2}\)، و\(h=20.0\text{ m}\):

\[
R_{\max}
=\frac{20.0}{9.8}
\sqrt{(20.0)^2+2(9.8)(20.0)}
\]

\[
R_{\max}
=\frac{20.0}{9.8}\sqrt{792}
=57.4\text{ m}
\]

عند الجذر المكرر،

\[
q=\frac{1}{2AR_{\max}}
\]

والذي يُبسَّط إلى

\[
\tan\theta_{\text{opt}}
=\frac{u}{\sqrt{u^2+2gh}}
\]

لذلك،

\[
\tan\theta_{\text{opt}}
=\frac{20.0}{\sqrt{792}}
=0.7107
\]

ومن ثم

\[
\theta_{\text{opt}}=35.4^\circ
\]

قارن الآن ذلك بإطلاق عند \(45.0^\circ\).

عند \(45.0^\circ\)،

\[
u_x=u_y=(20.0)\frac{1}{\sqrt2}=14.1\text{ m s}^{-1}
\]

شرط الهبوط الرأسي هو

\[
-20.0=(14.1)T-4.90T^2
\]

الجذر الموجب هو

\[
T=3.93\text{ s}
\]

ولذلك

\[
R=(14.1)(3.93)=55.5\text{ m}
\]

إذن يقطع الإطلاق عند \(35.4^\circ\) مسافة أكبر بمقدار يقارب

\[
57.4-55.5=1.9\text{ m}
\]

من الإطلاق عند \(45.0^\circ\).

الحجة المغرية هي أن \(\sin(2\theta)\) تبلغ أكبر قيمة عند \(45^\circ\)، ولذلك لا بد أن تعطي \(45^\circ\) دائمًا أقصى مدى. لكن الخلل مخفي في المعادلة المستخدمة. فالمعادلة \(R=u^2\sin(2\theta)/g\) تفترض أصلًا هبوطًا عند ارتفاع الإطلاق نفسه. هنا لدى المقذوف مسافة إضافية مقدارها \(20.0\text{ m}\) ليسقطها، ولذلك يتبع زمن التحليق علاقة مختلفة مع زاوية الإطلاق.

يعني زمن السقوط الإضافي هذا أن المقذوف يستطيع التضحية بجزء من سرعته الرأسية إلى أعلى، والاحتفاظ بجزء أكبر من سرعته أفقيًا، ومع ذلك يظل في الهواء مدة كافية ليقطع مسافة أكبر.

09ما الذي يتيح لك المدى حسابه بعد ذلك

الفكرة المفيدة التي ينبغي أن تنتقل بها إلى الخطوة التالية ليست مجرد صيغة، بل هي البنية

\[
\text{المدى الأفقي}=\text{السرعة الأفقية}\times\text{زمن التحليق}
\]

تغيّر زاوية الإطلاق الجزأين في الوقت نفسه: فزيادة الزاوية تقلل عادة السرعة الأفقية، لكنها قد تزيد الزمن في الهواء. ويمكن لارتفاع الهبوط أن يغيّر هذا التوازن مرة أخرى.

ولهذا لا ينبغي التعامل مع المدى والارتفاع الأقصى وزمن التحليق باعتبارها موضوعات منفصلة في حركة المقذوفات. فهي نتائج مختلفة للمركبتين الأفقية والرأسية نفسيهما. والخطوة المفيدة التالية هي مقارنة هذه التأثيرات المتنافسة مباشرة عندما تتغير زاوية إطلاق المقذوف.