为什么光速在现代 SI 中定义了公尺

想像一下，位于世界两端的两间物理实验室需要重现完全相同的一公尺。把同一把「完美」尺的复制品寄给两间实验室，听起来很合理。但如果其中一把尺升温了 \(0.1^\circ\text{C}\)、被刮伤，或随著时间而发生些微变化，会怎样？

还有一个更奇特的方法。给每间实验室一座原子钟和一部雷射，然后告诉他们真空中光速的精确值。这样，他们就能利用时间重建长度，而不需要使用同一把实体尺。

在继续阅读之前，先预测一下现代物理采用哪一种方法：保存一根尽可能完美的公尺棒，还是利用自然界的一种性质来定义长度？

现代 SI 采用第二种方法。不过，标题有一点需要特别修正：光速并不定义秒。秒是利用铯-133 原子中的一个跃迁来定义的。接著，光速的精确值把这个时间单位与公尺连结起来。换句话说，原子物理给了我们秒，而 \(c\) 让我们把秒转换成公尺。

01保存一把完美尺所带来的问题

对日常测量来说，尺非常好用。但对基本计量而言，实体物件会带来麻烦。

金属棒的长度会随温度略微改变。它的表面可能受损。不同复制品也无法保证永远保持完全相同。更重要的是，每间实验室都必须以某种方式把自己的测量追溯到同一个物件。

公尺过去确实就是这样运作的。1889 年，国际公尺与一个铂铱合金原器连结。1960 年，这根实体金属棒被一个以氪-86 所发出特定波长光线为基础的定义取代。接著在 1983 年，公尺再次被重新定义，改为真空中的光在指定时间内所行进的距离。

这些改变并不是因为较早的定义很愚蠢，而是因为随著测量技术进步，每一个旧定义最终都成了限制。

这是计量学–也就是测量科学–中反复出现的主题：到了某个阶段，你的测量标准本身可能会比你想进行的实验更不精确。

02首先，物理学家需要一个更好的秒

只有当时间本身能够被精确定义后，长度才能精确地与光连结。

一个很直观的做法，是利用地球自转来定义一秒。一天既熟悉又容易想像，所以早期的一秒，是把平均太阳日分成 \(86\,400\) 等份来定义的。

问题是，地球并不是一座完美的时钟。对高精度计量而言，它的自转不够均匀。后来的定义曾利用地球的公转运动，但原子跃迁被证明具有更好的可重现性。因此在 1967 年，SI 秒改为与铯-133 相连。现代的表述把铯原子的超精细跃迁频率 \(\Delta \nu_{\text{Cs}}\) 精确固定为

\[
\Delta \nu_{\text{Cs}}=9\,192\,631\,770\ \text{Hz}.
\]

其中，\(\Delta \nu_{\text{Cs}}\) 是与未受扰动的铯-133 基态中两个超精细能级之间某个特定跃迁相关的频率，而 Hz 表示每秒的周期数。

因此，一秒对应这种辐射的 \(9\,192\,631\,770\) 个周期。

一个周期的持续时间约为

\[
T=\frac{1}{9\,192\,631\,770}
\approx 1.09\times10^{-10}\ \text{s}.
\]

也就是每个周期约 \(0.109\) 奈秒。

原子钟实际上在做什么

你可能很想把一个铯原子想像成一座微小的时钟，每秒「滴答、滴答、滴答」约 \(9.2\) 十亿次。这个想像大概有十秒钟是有用的，之后它就开始误导你了。

现代铯原子喷泉钟更像是一个极度精密的调谐实验。

按照空间中的顺序：

1. 铯原子进入真空腔。
2. 雷射光束使原子减速，形成一团非常冷的原子云。
3. 原子云被向上抛射。
4. 上升途中，原子通过一个含有微波的区域。
5. 重力使原子云减速、停止，然后再让它向下落回微波区域。
6. 雷射与侦测器判定有多少原子改变了量子态。
7. 微波频率会被调整，直到原子的反应显示它与铯原子的共振频率极为接近。

接著，时钟利用这个原子共振来控制一个振荡器，而振荡器的周期可以被计数。

可以把它想成调整一台老式收音机。你转动旋钮，直到某个电台的讯号最强。铯原子就是参考标准，告诉时钟它的微波振荡器何时已经正确调谐。

这个类比也有其限制，因为原子并不是在广播一个微型电台。实际上，是透过测量它们的量子态反应，来判断外加的微波频率有多接近它们天然的跃迁频率。

喷泉式设计也改善了较早期的原子束钟。高速移动的热原子只能在装置中与微波作用很短的时间。相较之下，缓慢向上、再向下移动的冷原子可以被观察更长时间，因此能更精确地找出共振频率。

03现在，光可以把时间转换成长度

一旦一秒能够被精确重现，假设你让光在真空中传播一段已知的时间。

距离为

\[
d=ct,
\]

其中：

• \(d\) 是以公尺为单位的距离，
• \(c\) 是真空中的光速，而
• \(t\) 是以秒为单位的时间。

在现代 SI 中，

\[
c=299\,792\,458\ \text{m s}^{-1}
\]

是精确值。公尺就是透过固定 \(c\) 的这个数值来定义，而秒已经先利用铯原子定义好了。

这表示光在真空中精确走一公尺所需的时间为

\[
t=\frac{1}{299\,792\,458}
\approx 3.33564\times10^{-9}\ \text{s}.
\]

因此，一公尺相当于光在真空中传播约 \(3.34\) 奈秒的距离。

这就是最基本的心智模型：原子钟提供极其精确的时间间隔，而光把这段时间间隔转换成距离。

04干涉仪可以把光当作尺

飞行时间并不是把 \(c\) 转化为长度测量的唯一方法。

对较小的距离而言，干涉仪可以把某个距离与雷射的波长进行比较。

按照装置的顺序来想像：一束雷射光先到达分光镜。部分光沿著其中一条臂传到一面镜子，其余的光则沿著第二条臂传到另一面镜子。两束光都被反射回分光镜，重新叠加，然后朝侦测器前进。

当返回的波彼此重叠时，它们的电场会相加。视它们的相对相位而定，会产生相长干涉或相消干涉。

现在先预测一下，如果其中一面镜子移动一小段距离 \(x\)，会发生什么事。

光在前往镜子的途中多走一次这段距离，返回时又多走一次。因此，镜子移动 \(x\) 会使光程改变 \(2x\)。

如果光程差改变一个波长 \(\lambda\)，干涉图样就会完整经历一次条纹周期。因此，如果有 \(N\) 条完整干涉条纹通过侦测器，

\[
2x=N\lambda,
\]

所以

\[
x=\frac{N\lambda}{2}.
\]

这个二分之一因子，就是干涉仪版本的同一个陷阱：光会先走到镜子，再返回。

05波长从哪里来？

对真空中的电磁波而言，

\[
c=f\lambda,
\]

其中：

• \(c\) 是真空中的光速，
• \(f\) 是以赫兹为单位的频率，而
• \(\lambda\) 是以公尺为单位的波长。

重新整理，

\[
\lambda=\frac{c}{f}.
\]

这正是现代时间与长度测量彼此扣合的地方。

如果雷射频率 \(f\) 是利用可追溯至 SI 秒的频率标准来测量，而 \(c\) 采用其精确的 SI 值，就可以计算出对应的真空波长。接著，这个波长便能用于干涉测量以量度长度。这是一条把原子时间标准连结到实际物理距离的实用途径。

061983 年发生的奇特反转

这就是历史上的转折点。

在 1983 年以前，物理学家可以利用

\[
c=f\lambda
\]

以实验方式测定光速。

频率 \(f\) 可以相对于愈来愈精确的时间标准来测量。波长 \(\lambda\) 则可以相对于当时既有的公尺定义来测量。

随著雷射和频率测量技术进步，对 \(c\) 的测量变得非常精确，以致最大的限制不再来自雷射频率，而是当时的公尺本身能够被实现得多精确。

这就产生了一个很奇怪的情况。

假设你想更精确地测量 \(c\)，但最大的测量不确定度却来自你对长度的定义。这时，改良光学实验本身并不能解决瓶颈。你的「尺」反而成了整个实验最弱的一环。

到了 1983 年，国际度量衡大会指出，稳频雷射的可重现性已经优于氪-86 长度标准，而且对光的频率与波长的测量所得到的 \(c\) 值彼此一致，其精确度主要受到当时公尺实现方式的限制。解决办法就是把原本的关系反过来：不再利用公尺测量 \(c\)，而是固定 \(c\)，并利用它来定义公尺。

所采用的数值为

\[
c=299\,792\,458\ \text{m s}^{-1}.
\]

为什么不干脆把它四舍五入成更漂亮的 \(300\,000\,000\ \text{m s}^{-1}\)？

因为目的并不是创造一个明显不同的公尺。选定的精确值与当时最好的测量结果非常接近，因此在定义改变后，日常使用的长度并不会突然发生改变。1983 年的决议中特别考虑了与旧公尺之间的连续性。

这正是「测量值」与「定义值」之间的一个重要差别。

在改变以前，实验问的是：

已知我们对公尺和秒的定义，\(c\) 的数值是多少？

改变之后，逻辑变成：

我们固定 \(c\) 的数值。已知我们的一秒，那么多长才算一公尺？

2018 年，SI 更有系统地改写成以七个定义常数为基础，修订后的定义于 2019 年 5 月 20 日生效。公尺与 \(c\) 的精确值之间的物理连结仍然保留。

07所以，光速现在不再被测量了吗？

在 SI 中，\(c\) 的数值

\[
299\,792\,458\ \text{m s}^{-1}
\]

是精确的。并没有更多小数位等著我们去发现。

这乍听之下很可疑。一个物理量怎么可能完全没有测量不确定度？

一个有用的类比是

\[
1\ \text{inch}=2.54\ \text{cm}.
\]

这个换算是精确的，因为单位就是这样定义的。不断重复测量尺，并不会发现一个更准确的换算值，例如 \(2.5399998\ \text{cm}\)。

但这个类比有一个重要的限制。数字 \(2.54\) 本质上是一种单位约定；而 \(c\) 所选定的数值则源自实验物理：光的行为先经过极高精度的测量，之后才选择一个固定数值，以保持既有单位的连续性。

把 \(c\) 精确定义下来，也不代表实验物理一般而言会变成循环论证。

物理学家仍然可以检验电磁波传播是否符合相对论、比较不同方向上的共振器频率、研究物理定律是否显示洛伦兹对称性破缺，或测量光在材料中的速度。他们不会做的，是利用「公尺除以秒」去发现 SI 中 \(c\) 的更多位数，因为公尺与秒的定义已经把同一个数值纳入其中。

08光速有定义秒吗？

没有。

这是最值得记住的区别之一。

因此，整条关系链是

\[
\text{铯原子频率}
\longrightarrow
\text{秒}
\longrightarrow
\text{利用 }c\text{ 得到公尺}.
\]

那么，为什么人们会说光把空间与时间连结起来？

因为一旦秒已经确立，\(c\) 就提供了一个精确的换算关系，把一段时间与光在真空中于这段时间内行进的距离连结起来。这个连结在狭义相对论中也具有更深层的重要性，因为 \(c\) 把时间座标与空间座标联系起来。

不过，SI 定义本身不应与相对论的物理公设混为一谈。定义 \(c\) 的数值，并不能证明每一个惯性观察者都会测得相同的真空光速。相对论是一套受到实验支持的物理模型；SI 定义则是一套配合这套物理理论而建立的测量约定。

09为什么定义总是强调「真空中」？

光在一般玻璃、水或空气中，并不以 \(299\,792\,458\ \text{m s}^{-1}\) 的速度传播。

对折射率为 \(n\) 的材料，

\[
n=\frac{c}{v},
\]

所以

\[
v=\frac{c}{n},
\]

其中 \(v\) 是光在该材料中的相速度。

对 \(n>1\) 而言，\(v<c\)。

这并不代表雷射进入玻璃后，公尺就改变了。作为定义常数的是光在真空中的速度。

因此，在空气中进行高精度光学测量时，必须考虑空气的折射率，或者把光路抽成真空。否则，如果在材料中直接把波长当作

\[
\lambda=\frac{c}{f}
\]

就会得到错误的实际波长。

真空波长为

\[
\lambda_0=\frac{c}{f},
\]

而在简单介质中，

\[
\lambda=\frac{v}{f}
=\frac{c}{nf}
=\frac{\lambda_0}{n}.
\]

当波穿过一个静止的介面时，频率保持不变，但速度与波长会改变。

10为什么光是一个特别有用的选择

光处于一个非常有利的位置。它速度极快、属于电磁波，而且能以极度稳定、明确的频率产生。

这背后的 HSC 故事其实早得多就开始了。麦克斯韦对电与磁的统一显示，电场与磁场同属一套相互连结的理论。他的方程式接著推导出能够传播的电磁扰动，这一点在麦克斯韦对电磁波的预测中有进一步探讨。

计量学的故事则发生得更晚。当雷射、原子钟和频率测量变得足够精密之后，电磁波就不再只是某种「可以测量其速度」的东西。它们成为重现长度单位所使用的工具之一。

11HSC 题目中值得留意的四个陷阱

一个实用的判断规则很简单：每当 \(c\) 出现时，先问清楚实际测量的是什么。光是在真空中，还是在材料中？给定的时间是单程还是来回？\(c\) 是作为定义常数使用，还是在讨论历史上最初测定它的实验？

12问题与解答

问题 1

一个雷射脉冲在真空中传到反射器，再返回光源，整个过程花了 \(2.00\ \mu\text{s}\)。

计算光源到反射器的距离。

解答 1

反射器距离光源约 \(300\ \text{m}\)。

测得的时间是完整的去程加回程，因此总路径为 \(2d\)：

\[
2d=ct.
\]

因此，

\[
d=\frac{ct}{2}.
\]

使用 \(t=2.00\times10^{-6}\ \text{s}\)，

\[
\begin{aligned}
d
&=\frac{(299\,792\,458)(2.00\times10^{-6})}{2}\\
&=299.792458\ \text{m}.
\end{aligned}
\]

取三位有效数字，

\[
d=300\ \text{m}.
\]

很容易犯的错误是使用 \(d=ct\)。这样得到的是脉冲行进的总距离，而不是到反射器的单程距离。

问题 2

一部雷射的真空频率为 \(5.00\times10^{14}\ \text{Hz}\)。它被用在一个迈克耳孙干涉仪中。当其中一面镜子移动时，有 \(1200\) 条完整干涉条纹通过侦测器。

计算：

a. 雷射的真空波长

b. 镜子移动的距离。

假设光路位于真空中。

解答 2

波长为 \(5.996\times10^{-7}\ \text{m}\)，而镜子的移动距离约为 \(3.60\times10^{-4}\ \text{m}\)，也就是 \(0.360\ \text{mm}\)。

对 a 部分，使用

\[
c=f\lambda.
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
\lambda
&=\frac{c}{f}\\
&=\frac{299\,792\,458}{5.00\times10^{14}}\\
&=5.99585\times10^{-7}\ \text{m}.
\end{aligned}
\]

对 b 部分，镜子移动距离 \(x\) 时，来回光程改变 \(2x\)。如果有 \(N=1200\) 条条纹通过，

\[
2x=N\lambda.
\]

所以，

\[
\begin{aligned}
x
&=\frac{N\lambda}{2}\\
&=\frac{1200(5.99585\times10^{-7})}{2}\\
&=3.59751\times10^{-4}\ \text{m}.
\end{aligned}
\]

因此，

\[
x\approx0.360\ \text{mm}.
\]

一个看似合理但错误的方法是使用 \(x=N\lambda\)。这忽略了分光镜与可移动镜子之间的第二次行程：任何镜子的位移都会同时改变去程与回程的路径。

问题 3

在 1970 年代末的一次测量中，某实验室利用原子时间标准测定一部稳频雷射的频率 \(f\)，并利用当时既有的氪-86 公尺标准测量其波长 \(\lambda\)。实验室计算

\[
c=f\lambda.
\]

假设技术改良后，\(f\) 的不确定度远小于 \(\lambda\) 的不确定度。

解释：

a. 现在哪一项测量限制了所计算 \(c\) 值的精度

b. 为什么这种情况支持固定 \(c\) 并重新定义公尺

c. 为什么这样做仍不会消除实际长度测量中的所有不确定度。

解答 3

波长的测量，也就是旧公尺的实现方式，会成为限制精度的测量；固定 \(c\) 之后，就可以利用可重现性更高的频率标准来实现长度，但实际的长度测量仍然会有实验不确定度。

对 a 部分，计算式为

\[
c=f\lambda.
\]

如果 \(f\) 的精度远高于 \(\lambda\)，那么继续改善 \(f\) 几乎不会改善最后的结果。与 \(\lambda\) 有关的不确定度会主导最终结果。从历史上看，这基本上就是 1983 年重新定义前人们所认识到的情况：以稳频雷射进行的测量已经进步到既有公尺标准本身成为主要限制的程度。

对 b 部分，固定

\[
c=299\,792\,458\ \text{m s}^{-1}
\]

会把计算方向反转。原本是利用 \(f\) 和 \(\lambda\) 来求 \(c\)，现在则可以利用精确测得的频率来决定相应的真空波长：

\[
\lambda=\frac{c}{f}.
\]

因此，更强大的时间与频率测量能力就能帮助实现长度单位。

一个很容易得出的错误结论，是认为新定义让所有距离都变得精确。事实并非如此。

对 c 部分，实际实验仍然存在不确定度。雷射频率的实现具有有限的实验精度。镜子必须正确对准。干涉条纹必须正确计数。可能需要抽除空气，或者测量其折射率。热膨胀也可能改变被测物体。

公尺的定义不会因 \(c\) 而具有不确定度。但某个长度的具体实现或测量仍然可能具有不确定度。

问题 4

一部雷射测距仪透过折射率为

\[
n=1.000270
\]

的空气测量一个反射器。

它的时钟有 \(+2.0\times10^{-8}\) 的相对频率误差，也就是时钟走得偏快。因此，在真实时间间隔 \(t\) 内，它会回报

\[
t_{\text{reported}}=(1+2.0\times10^{-8})t.
\]

仪器回报的来回时间恰好为 \(2.000000\ \mu\text{s}\)。它的软体错误地假设时钟完美无误，而且光在真空中传播，因此计算

\[
d_{\text{reported}}=\frac{ct_{\text{reported}}}{2}.
\]

求反射器的修正后距离。同时求出错误结果与修正后结果大约相差多少，并判断忽略的哪一项效应影响较大。

解答 4

修正后的距离约为 \(299.712\ \text{m}\)，比仪器未修正的结果少约 \(80.9\ \text{mm}\)。空气的折射率修正远比时钟误差重要。

软体首先回报

\[
\begin{aligned}
d_{\text{reported}}
&=\frac{(299\,792\,458)(2.000000\times10^{-6})}{2}\\
&=299.792458\ \text{m}.
\end{aligned}
\]

不过，其中有两个假设是错的。

第一，光在空气中的传播速度为

\[
v=\frac{c}{n}.
\]

第二，由于时钟走得偏快，

\[
t_{\text{reported}}=(1+\epsilon)t_{\text{true}},
\]

其中

\[
\epsilon=2.0\times10^{-8}.
\]

因此，

\[
t_{\text{true}}
=\frac{t_{\text{reported}}}{1+\epsilon}.
\]

所以真实距离为

\[
d_{\text{true}}
=\frac{vt_{\text{true}}}{2}
=\frac{ct_{\text{reported}}}{2n(1+\epsilon)}.
\]

代入数值，

\[
\begin{aligned}
d_{\text{true}}
&=
\frac{(299\,792\,458)(2.000000\times10^{-6})}
{2(1.000270)(1+2.0\times10^{-8})}\\
&\approx299.711530\ \text{m}.
\end{aligned}
\]

因此，未修正结果的误差为

\[
\begin{aligned}
\Delta d
&=299.792458-299.711530\\
&\approx0.080928\ \text{m}\\
&\approx80.9\ \text{mm}.
\end{aligned}
\]

时钟误差的相对大小只有 \(2.0\times10^{-8}\)。对大约 \(300\ \text{m}\) 的距离而言，这只相当于数微米。

折射率修正的相对大小约为

\[
n-1=2.70\times10^{-4},
\]

比时钟的相对误差大一万倍以上。

其中较隐晦的陷阱，是以为既然 \(c\) 是精确的，那么使用 \(c\) 就一定会得到精确距离。精确的 \(c\) 无法挽救一个使用了错误传播速度或未校准时钟的实验。

问题 5

一名学生提出以下实验，要「检查光速是否仍然精确等于 \(299\,792\,458\ \text{m s}^{-1}\)」。

首先，他们把一面镜子放在一段距离之外。他们测量真空雷射脉冲的来回时间 \(t_0\)，并利用 SI 中 \(c\) 的精确值，把镜子距离定义为

\[
L=\frac{ct_0}{2}.
\]

第二天，在装置完全没有改变的情况下，他们再次测得相同的来回时间 \(t_0\)，并利用

\[
v=\frac{2L}{t_0}
\]

计算光速。

他们得到恰好 \(299\,792\,458\ \text{m s}^{-1}\)，并宣称这是对 \(c\) 数值的实验确认。

a. 说明为什么他们的方法必然会得到这个结果。

b. 解释这个所谓的检验有何循环论证之处。

c. 如果 \(c\) 在 SI 中具有精确值，解释实验如何仍然可以检验有关光的行为与狭义相对论的物理主张。

解答 5

这个实验并没有独立测量 \(c\)；第二次计算必然会重现第一次计算中代入的数值，因此所谓的确认是循环的。

对 a 部分，学生先把距离定义为

\[
L=\frac{ct_0}{2}.
\]

接著他们计算

\[
v=\frac{2L}{t_0}.
\]

把第一条方程代入第二条：

\[
\begin{aligned}
v
&=\frac{2(ct_0/2)}{t_0}\\
&=c.
\end{aligned}
\]

测得的时间会完全约掉。只要他们再次使用同一个 \(t_0\)，得到 \(v=c\) 就已经内建在这个程序中。

对 b 部分，距离 \(L\) 并不是在不依赖 \(c\) 的情况下独立建立的。它正是透过学生后来宣称要检验的同一个光行进关系所建立。

这就像用计算机把一个神秘数字定义成 \(7\times6\)，然后再很自豪地把 \(42\) 除以 \(6\)，并宣布原来的 \(7\) 已经得到实验确认。算术没有错，缺少的是独立性。

真正使学生推理失去独立性的步骤，就是这个校准步骤：

\[
L=\frac{ct_0}{2}.
\]

一旦已经利用 \(c\) 来指定长度的数值，再利用相同的时间资讯计算 \(2L/t_0\)，就不可能得到一个独立的 \(c\) 值。

对 c 部分，把 SI 中 \(c\) 的数值固定下来，并不会阻止物理学家检验光传播背后的物理理论。

一个有意义的实验，可以比较不会只是把 \(c\) 代入后再重新得到 \(c\) 的无因次量。例如，实验可以比较指向不同方向、经过精密控制的光学共振腔之共振频率，旋转整套装置，并寻找是否存在依赖方向的变化。其他实验也可以比较不同类型的原子钟，或检验相对论对频率位移的预测。

如果在排除系统性效应之后，仍然出现可重现的差异，正确的结论不会只是「新测得的 \(c\) 是 \(299\,792\,450\ \text{m s}^{-1}\)」。在现行 SI 中，指定给 \(c\) 的数值是精确的。相反地，这个结果会表示：在把实验、单位实现方式与背后理论连结起来的某个物理假设，需要加以修正。

这就是概念上的关键转折：一个定义常数可以作为单位系统的一部分而具有精确值，同时，使这个定义具有实际意义的物理理论仍然可以接受实验检验。

因此，下一个值得探讨的步骤，是狭义相对论对 \(c\) 更深层的主张：重点不在于它每秒是多少公尺，而在于为什么同一个不变速度能够连结不同惯性观察者对空间与时间所作的测量。