串联电路：电流、电压、电阻与功率

把两个电阻串联到一个电池上。其中一个电阻的电阻值是另一个的三倍。在进行任何计算之前，先预测两件事：流出第一个电阻的电流会不会比流入它的电流少？每个电阻是否各分到电池一半的电压？

这两个预测都很容易让人信服。但两个都是错的。

在串联电路中，相同的电流会流过每一个元件。电压会由各元件分担，但通常不会平均分配。对一般的固定电阻而言，电阻较大的元件会有较大的电压降。理解其中原因，就几乎掌握了分析串联网路中电流、电压、电阻与功率所需的一切。

01什么使电路成为「串联」？

串联电路具有单一的电流路径。电路中没有让电流分流到不同支路的接点。

想像一群人排成康加舞队伍，依次通过几个闸机。如果每分钟有 20 人通过第一个闸机，那么每分钟也必须有 20 人通过第二个闸机。人不会在两个闸机之间消失。

电流的情况很相似。如果电荷以 \(0.50\ \text{A}\) 的电流流过某个元件，那么在稳态下，同一串联回路中每个其他元件的电流也都是 \(0.50\ \text{A}\)。

不过，这个类比有其限制。电荷并不是像人进入队伍一样，从电池出发并穿过一条原本没有电荷的导线。金属导体中原本就存在电荷载流子，而在整个电路中建立的电场会使它们产生漂移。如果这部分对你来说不熟悉，值得重新复习导体中的电流如何运动。

对理想的串联电路而言，

\[ I_{\text{电源}} = I_1 = I_2 = I_3 = \cdots \]

其中 \(I\) 是电流，以安培 \(\text{A}\) 为单位。

这是电荷守恒的结果。在稳态运作时，电荷不会持续累积在元件之间。

02电流不会被「用掉」

一个常见错误，是把电流想成会被每个电阻消耗掉。

假设有 \(0.40\ \text{A}\) 的电流流入第一个电阻。学生可能会预测，只有 \(0.30\ \text{A}\) 流出，因为电阻已经「用掉」了一部分电流。

这表示电荷正在电阻内累积。如果这种情况持续下去，储存的电荷量就会每秒增加。但在稳态直流电路中，实际情况并非如此。

电阻所转移的是能量，而不是电荷。

电荷流动的速率会在整个电路中保持相同，但当电荷通过元件时，电位能会转移成热能及其他形式的能量。

这个区别说明了为什么一个电路可以同时具有：

• 串联各处都具有相同的电流，但
• 不同元件两端具有不同的电位差。

03电压反映能量转移

电位差表示每单位电荷所转移的能量。

如果一个 \(12\ \text{V}\) 电源对每库仑电荷提供 \(12\ \text{J}\) 的能量，那么回路中的各元件加起来，就必须把每库仑的这 \(12\ \text{J}\) 能量转移成其他形式。

对两个电阻而言，

\[ V_s = V_1 + V_2 \]

其中：

• \(V_s\) 是电源的电位差，单位为伏特，
• \(V_1\) 是第一个电阻两端的电位差，而
• \(V_2\) 是第二个电阻两端的电位差。

若有更多元件，

\[ V_s = V_1 + V_2 + V_3 + \cdots \]

这是一个能量守恒的表述。在一个完整回路中，每库仑电荷从电源获得的能量，等于各元件每库仑所转移的能量。

对理想连接导线而言，我们把导线的电阻视为可忽略，因此其电压降约为零。真实导线确实具有一些电阻，但在 HSC 电路计算中，除非题目资讯显示不能这样处理，否则通常可以采用这个近似。

04为什么电压通常不会平均分配

现在回到最初的预测。假设一个串联电阻的电阻值是另一个的三倍。

哪一个具有较大的电压降？

电阻较大的那一个。

对符合欧姆定律的固定电阻而言，

\[ V = IR \]

其中 \(V\) 是电阻两端的电位差，\(I\) 是流过它的电流，而 \(R\) 是其电阻，单位为欧姆 \(\Omega\)。

串联中的每个电阻都有相同的 \(I\)。因此，如果一个电阻的电阻值是另一个的三倍，它的电压降也会是三倍。

例如，如果

\[ R_2 = 3R_1, \]

那么

\[ V_2 = IR_2 = I(3R_1) = 3V_1. \]

因此，电压会按照电阻值的比例分配。

这个推理假设元件可以视为固定电阻。例如，灯丝灯泡的电阻可能会随温度改变。串联元件中的电流仍然相同，而且各元件的电压降总和仍然等于电源电压，但你不能直接把灯泡的电阻视为恒定不变。

如果想复习何时可以直接使用 \(V=IR\)，请参阅 HSC 物理中的欧姆定律。

05为什么串联电阻会相加

假设两个电阻 \(R_1\) 和 \(R_2\) 串联。

电源电压为

\[ V_s = V_1 + V_2. \]

利用 \(V=IR\)，

\[ V_s = IR_1 + IR_2. \]

电流 \(I\) 对两个电阻而言是相同的，因此

\[ V_s = I(R_1 + R_2). \]

如果我们用单一的等效电阻 \(R_{\text{等效}}\) 取代这两个电阻，它必须在相同电源下汲取相同的电流：

\[ V_s = IR_{\text{等效}}. \]

因此，

\[ R_{\text{等效}} = R_1 + R_2. \]

对任意数量的串联固定电阻而言，

\[ R_{\text{等效}} = R_1 + R_2 + R_3 + \cdots \]

因此，再串联一个电阻会增加电路的总电阻。

如果电源电压保持不变，增加 \(R_{\text{等效}}\) 就表示电路电流会减小：

\[ I = \frac{V_s}{R_{\text{等效}}}. \]

这种整个系统的变化很重要。你不能加上一个电阻之后，就假设所有其他电流、电压和功率仍然保持原来的数值。

06值得掌握的四条规则

这张表很有用，但不要把它当成四条彼此无关的公式。真正支撑大部分推理的是电荷守恒与能量守恒。

07一个实用的分压关系

对两个串联固定电阻而言，

\[ I = \frac{V_s}{R_1+R_2}. \]

因此，\(R_1\) 两端的电压为

\[ V_1 = IR_1 = \frac{V_sR_1}{R_1+R_2}. \]

同样地，

\[ V_2 = \frac{V_sR_2}{R_1+R_2}. \]

更一般地，

\[ V_i = V_s\frac{R_i}{R_{\text{等效}}}, \]

其中 \(V_i\) 是某个特定电阻 \(R_i\) 两端的电压。

你不需要把这当成一条神秘的新定律来背。它直接来自两个事实：

1. 每个电阻中的电流都相同，而且
2. \(V=IR\)。

如果某个电阻占串联总电阻的四分之一，它就会分到电源电压的四分之一。

08串联电路中的功率

电功率是能量转移的速率。

对一个元件而言，

\[ P=VI, \]

其中 \(P\) 是功率，单位为瓦特，\(V\) 是元件两端的电位差，而 \(I\) 是流过元件的电流。

对固定电阻而言，把 \(P=VI\) 与欧姆定律结合可得到

\[ P=I^2R \]

以及

\[ P=\frac{V^2}{R}. \]

只要使用正确，这些形式是等价的。

这里有一个重要陷阱。在 \(P=V^2/R\) 中，\(V\) 必须是该电阻两端的电压。在串联电路中，你不能自动把总电源电压代入每一个电阻。

在同一个串联电路内，所有电阻都承载相同的电流。因此，

\[ P_i=I^2R_i. \]

这表示，当它们承载相同电流时，电阻值较大的电阻所耗散的功率会比电阻值较小的电阻大。

但比较两个不同电路时要小心。改变一个电阻通常也会改变电流。因此，在整个电路已经改变之后，较大的电阻并不会自动代表较大的功率。

09范例：12 V 电源上的两个电阻

两个固定电阻 \(4.0\ \Omega\) 和 \(8.0\ \Omega\) 串联在一个理想 \(12\ \text{V}\) 电源两端。计算总电阻、电路电流、每个电阻两端的电压，以及每个电阻所耗散的功率。

步骤 1：把串联电阻相加。

\[ R_{\text{等效}}=4.0+8.0=12\ \Omega \]

从电源的角度来看，整个电路的效果就像一个 \(12\ \Omega\) 的电阻。

步骤 2：利用电源电压求共同电流。

\[ I=\frac{V_s}{R_{\text{等效}}} =\frac{12}{12} =1.0\ \text{A} \]

所以 \(1.0\ \text{A}\) 的电流会流过两个电阻。

步骤 3：求每个电压降。

\[ \begin{aligned} V_1 &= IR_1=(1.0)(4.0)=4.0\ \text{V}\\ V_2 &= IR_2=(1.0)(8.0)=8.0\ \text{V} \end{aligned} \]

检查能量关系：

\[ V_1+V_2=4.0+8.0=12\ \text{V}. \]

\(8.0\ \Omega\) 电阻的电阻值是另一个的两倍，因此它得到的电压降也是两倍。

步骤 4：计算每个电阻中的功率。

使用 \(P=I^2R\)，

\[ \begin{aligned} P_1&=(1.0)^2(4.0)=4.0\ \text{W}\\ P_2&=(1.0)^2(8.0)=8.0\ \text{W} \end{aligned} \]

较大的电阻耗散较多功率，因为两个电阻都承载相同的 \(1.0\ \text{A}\) 电流。

总功率为

\[ P_{\text{总}}=4.0+8.0=12\ \text{W}. \]

这与电源所提供的功率一致：

\[ P_{\text{电源}}=V_sI=(12)(1.0)=12\ \text{W}. \]

因此，功率计算通过了一项独立检查。

10范例：从总功率反推

一个 \(4.0\ \Omega\) 电阻和一个未知电阻 \(R\) 串联在理想 \(18\ \text{V}\) 电源两端。电源向电路提供 \(27\ \text{W}\) 的功率。求 \(R\)、每个电阻两端的电压，以及每个电阻所耗散的功率。

这里没有直接给出总电阻。如果从 \(R_{\text{等效}}=R_1+R_2\) 开始，就会留下太多未知数。总功率提供了更好的切入点。

步骤 1：利用总功率求电路电流。

对完整电路而言，

\[ P_{\text{总}}=V_sI. \]

因此，

\[ I=\frac{P_{\text{总}}}{V_s} =\frac{27}{18} =1.5\ \text{A}. \]

因为这些元件是串联的，所以这个 \(1.5\ \text{A}\) 的电流会流过两个电阻。

步骤 2：求等效电阻。

\[ R_{\text{等效}}=\frac{V_s}{I} =\frac{18}{1.5} =12\ \Omega. \]

步骤 3：求未知电阻。

\[ R_{\text{等效}}=R_1+R \]

所以

\[ 12=4.0+R. \]

因此，

\[ R=8.0\ \Omega. \]

步骤 4：求两个电压降。

\[ \begin{aligned} V_1&=(1.5)(4.0)=6.0\ \text{V}\\ V_2&=(1.5)(8.0)=12\ \text{V}. \end{aligned} \]

它们的总和是 \(18\ \text{V}\)，符合要求。

步骤 5：求每个电阻所耗散的功率。

\[ \begin{aligned} P_1&=V_1I=(6.0)(1.5)=9.0\ \text{W}\\ P_2&=V_2I=(12)(1.5)=18\ \text{W}. \end{aligned} \]

同样地，

\[ P_1+P_2=9.0+18=27\ \text{W}. \]

未知的 \(8.0\ \Omega\) 电阻得到的电压是 \(4.0\ \Omega\) 电阻的两倍，耗散的功率也是两倍，因为它们承载相同的电流。

11解答串联电路问题的可靠方法

当一道题目包含多个电学物理量时，不要急著抓一条刚好含有未知数的公式。应该把整个电路视为一个系统来处理。

一个可靠的顺序是：

1. 先确认它确实是串联电路。 你正在分析的元件之间应该只有一条电流路径。
2. 求等效电阻，如果已知各个电阻值。
3. 求共同电流，使用总电源电压与等效电阻。
4. 求各个电压降，使用 \(V_i=IR_i\)。
5. 求各个功率，选择包含你已知物理量的有效公式形式。
6. 检查总量。 各个电压降应相加等于电源电压，而各个功率应相加等于电源所提供的总功率。

有时候，题目提供的资讯会暗示另一个起点。在第二个范例中，总功率让我们先求出了电流。物理规则并没有改变，只是找出答案的最高效率路径不同。

12最容易造成问题的迷思

假设一个 \(6.0\ \Omega\) 电阻直接接在 \(12\ \text{V}\) 电源两端。接著，你再串联另一个 \(6.0\ \Omega\) 电阻。

学生可能会说：「第一个电阻仍然接在同一个 12 V 电池上，所以它两端应该仍然是 12 V。」

如果你认为电池只是简单地给每一个元件 \(12\ \text{V}\)，这种说法听起来很合理。

但是，电池所提供的 \(12\ \text{V}\) 是加在整个网路两端。

最初，

\[ I=\frac{12}{6.0}=2.0\ \text{A}. \]

加入第二个电阻后，

\[ R_{\text{等效}}=6.0+6.0=12\ \Omega, \]

所以

\[ I=\frac{12}{12}=1.0\ \text{A}. \]

现在原本那个电阻两端的电压为

\[ V_1=IR_1=(1.0)(6.0)=6.0\ \text{V}. \]

加入第二个电阻改变了总电阻，总电阻的改变又改变了电流，而电流的改变进一步改变了第一个电阻两端的电压。

这条推理链比单纯背诵「相同电阻会平均分配电压」更有用。即使电阻不相等，它仍然适用。

13问题与解答

问题 1

一个 \(5.0\ \Omega\) 电阻和一个 \(10\ \Omega\) 电阻串联在理想 \(15\ \text{V}\) 电源两端。

计算电路电流以及每个电阻两端的电位差。

解答 1

电路电流为 \(1.0\ \text{A}\)，其中 \(5.0\ \Omega\) 电阻两端为 \(5.0\ \text{V}\)，而 \(10\ \Omega\) 电阻两端为 \(10\ \text{V}\)。

先求等效电阻：

\[ R_{\text{等效}}=5.0+10=15\ \Omega. \]

共同的串联电流为

\[ I=\frac{V_s}{R_{\text{等效}}} =\frac{15}{15} =1.0\ \text{A}. \]

现在对每个电阻使用 \(V=IR\)：

\[ \begin{aligned} V_1&=(1.0)(5.0)=5.0\ \text{V}\\ V_2&=(1.0)(10)=10\ \text{V}. \end{aligned} \]

各电压降的总和正确：

\[ 5.0+10=15\ \text{V}. \]

\(10\ \Omega\) 电阻得到的电压是两倍，因为在承载相同电流的情况下，它的电阻值是两倍。

问题 2

三个 \(2.0\ \Omega\)、\(3.0\ \Omega\) 和 \(7.0\ \Omega\) 的电阻串联在理想 \(24\ \text{V}\) 电源两端。

计算电流、每个电阻两端的电压、每个电阻所耗散的功率，以及电源提供的总功率。

解答 2

电流为 \(2.0\ \text{A}\)。各电压降分别为 \(4.0\ \text{V}\)、\(6.0\ \text{V}\) 和 \(14\ \text{V}\)，相应的功率分别为 \(8.0\ \text{W}\)、\(12\ \text{W}\) 和 \(28\ \text{W}\)。电源提供 \(48\ \text{W}\)。

总电阻为

\[ R_{\text{等效}}=2.0+3.0+7.0=12\ \Omega. \]

因此，

\[ I=\frac{24}{12}=2.0\ \text{A}. \]

各电压降为

\[ \begin{aligned} V_1&=(2.0)(2.0)=4.0\ \text{V}\\ V_2&=(2.0)(3.0)=6.0\ \text{V}\\ V_3&=(2.0)(7.0)=14\ \text{V}. \end{aligned} \]

它们的总和为

\[ 4.0+6.0+14=24\ \text{V}. \]

由于三个电阻的电流相同，使用 \(P=I^2R\) 很方便：

\[ \begin{aligned} P_1&=(2.0)^2(2.0)=8.0\ \text{W}\\ P_2&=(2.0)^2(3.0)=12\ \text{W}\\ P_3&=(2.0)^2(7.0)=28\ \text{W}. \end{aligned} \]

因此，

\[ P_{\text{总}}=8.0+12+28=48\ \text{W}. \]

用电源计算也得到相同结果：

\[ P_{\text{电源}}=V_sI=(24)(2.0)=48\ \text{W}. \]

\(7.0\ \Omega\) 电阻具有最大的电压降和功率耗散，因为三个电阻都承载相同的电流。

问题 3

一个 \(6.0\ \Omega\) 电阻最初单独连接在理想 \(12\ \text{V}\) 电源两端。接著，再将第二个 \(6.0\ \Omega\) 电阻与它串联。

计算加入第二个电阻之前与之后，原本电阻中的电流与其耗散的功率。说明为什么即使电源仍保持在 \(12\ \text{V}\)，功率仍然会改变。

解答 3

原本电阻的功率从 \(24\ \text{W}\) 降低至 \(6.0\ \text{W}\)。加入第二个电阻使总电阻加倍、电流减半，并使原本电阻两端只剩下 \(6.0\ \text{V}\)。

加入第二个电阻之前，

\[ I_{\text{加入前}}=\frac{12}{6.0}=2.0\ \text{A}. \]

其功率为

\[ P_{\text{加入前}}=I^2R=(2.0)^2(6.0)=24\ \text{W}. \]

再串联另一个 \(6.0\ \Omega\) 电阻后，

\[ R_{\text{等效}}=6.0+6.0=12\ \Omega. \]

新的电流为

\[ I_{\text{加入后}}=\frac{12}{12}=1.0\ \text{A}. \]

原本的电阻现在耗散

\[ P_{\text{加入后}}=(1.0)^2(6.0)=6.0\ \text{W}. \]

它两端的电压也改变了：

\[ V=(1.0)(6.0)=6.0\ \text{V}. \]

陷阱在于假设电路改变之后，一个元件仍然会保持完整的电源电压。\(12\ \text{V}\) 是加在完整串联网路两端，而不是分别加在每一个电阻两端。

注意，因为 \(P=I^2R\)，所以当电流减半时，这个电阻的功率会降低到原来的四分之一。

问题 4

一个理想 \(18\ \text{V}\) 电源与一个未知电阻 \(R\) 以及一个 \(12\ \Omega\) 电阻串联。接在 \(12\ \Omega\) 电阻两端的理想电压表读数为 \(9.0\ \text{V}\)。

求 \(R\) 以及每个电阻所耗散的功率。

接著改用一个电阻并非极大的真实电压表。说明为什么相同的简单串联分析可能不再能给出实际的电路数值。

解答 4

未知电阻为 \(12\ \Omega\)，而每个电阻都耗散 \(6.75\ \text{W}\)。非理想电压表可能会改变电路，因为它在被测电阻两端形成了一条额外的电流路径。

流过 \(12\ \Omega\) 电阻的电流为

\[ I=\frac{V}{R} =\frac{9.0}{12} =0.75\ \text{A}. \]

使用理想电压表时，没有电流流过电表。因此，两个电阻仍然构成一个简单串联电路，所以相同的 \(0.75\ \text{A}\) 电流也会流过未知电阻。

电源提供 \(18\ \text{V}\)，而已知电阻两端有 \(9.0\ \text{V}\)。因此，未知电阻两端也有

\[ V_R=18-9.0=9.0\ \text{V} \]

的电压。

它的电阻为

\[ R=\frac{V_R}{I} =\frac{9.0}{0.75} =12\ \Omega. \]

每个电阻的功率为

\[ P=VI=(9.0)(0.75)=6.75\ \text{W}. \]

重要而隐含的假设，就是理想这个词。理想电压表实际上具有无限大的电阻，因此不会汲取电流。

真实电压表具有有限的电阻。当它接在 \(12\ \Omega\) 电阻两端时，它会在同样的两个接点之间形成另一条路径。此时，一部分电流可以流过电表，因此电阻和电表形成一个并联部分。完整电路不再只是两个承载相同电流的电阻。

在一般学校实验中，电压表会被设计成具有非常高的电阻，因此这个影响很小，但这个理想化假设对推理仍然很重要。

问题 5

一个可变电阻 \(R\) 与一个固定 \(6.0\ \Omega\) 电阻串联在理想 \(12\ \text{V}\) 电源两端。

一名学生说：

把可变电阻设定为 \(18\ \Omega\) 时，它耗散的功率一定比设定为 \(6.0\ \Omega\) 时大，因为 \(P=I^2R\)，而 \(18\ \Omega\) 的电阻值较大。

计算当 \(R=6.0\ \Omega\) 与 \(R=18\ \Omega\) 时，可变电阻所耗散的功率。精确说明这名学生的论证错在哪里。

解答 5

可变电阻设定为 \(6.0\ \Omega\) 时耗散 \(6.0\ \text{W}\)，但设定为 \(18\ \Omega\) 时只耗散 \(4.5\ \text{W}\)。学生的错误，是把电流 \(I\) 当成在 \(R\) 改变时仍保持不变。

当 \(R=6.0\ \Omega\) 时，总电阻为

\[ R_{\text{等效}}=6.0+6.0=12\ \Omega. \]

电流为

\[ I=\frac{12}{12}=1.0\ \text{A}. \]

因此，可变电阻的功率为

\[ P_R=I^2R=(1.0)^2(6.0)=6.0\ \text{W}. \]

现在把可变电阻设定为 \(18\ \Omega\)。

总电阻变成

\[ R_{\text{等效}}=6.0+18=24\ \Omega. \]

此时的电流为

\[ I=\frac{12}{24}=0.50\ \text{A}. \]

它的功率为

\[ P_R=(0.50)^2(18) =4.5\ \text{W}. \]

学生使用 \(P=I^2R\) 本身并没有错。隐含的错误是假设 \(I\) 不会改变。

把可变电阻从 \(6.0\ \Omega\) 增加至 \(18\ \Omega\)，也会增加整个电路的总电阻。电流从 \(1.0\ \text{A}\) 降低至 \(0.50\ \text{A}\)。因为在 \(P=I^2R\) 中电流会被平方，所以这个电流减少的影响足以超过 \(R\) 增加的影响。

安全的判断原则是：在同一个未改变的串联电路中，电阻值较大的电阻会耗散较多功率，因为所有电阻的电流相同。如果你改变了电路本身，就必须先重新计算电流，再比较功率。

14串联电路为下一步学习奠定什么基础

串联电路最清楚地呈现了两个会在电路分析中反复出现的概念：电荷守恒，以及能量守恒。

在单一路径电路中，电荷守恒表示各处具有相同的电流，而能量守恒使各电压降的总和等于电源电压。当电路出现支路时，计算方式就会改变。电流可以在接点分流，而连接在相同两个接点之间的元件可以具有相同的电位差。

下一个实用步骤，就是准确辨认简单的串联规则何时不再适用，然后利用相同的守恒概念来分析并联与混合网路。