직렬 회로: 전류, 전압, 저항 및 전력

두 개의 저항기를 배터리에 직렬로 연결해 보자. 한 저항기의 저항값은 다른 저항기의 세 배이다. 계산을 하기 전에 두 가지를 예측해 보자. 첫 번째 저항기로 들어간 전류보다 나오는 전류가 더 작을까? 그리고 각 저항기에 배터리 전압의 절반씩이 걸릴까?

두 예측 모두 그럴듯해 보인다. 하지만 둘 다 틀렸다.

직렬 회로에서는 모든 부품을 통과하는 전류가 같다. 전압은 나뉘지만, 보통 똑같이 나뉘지는 않는다. 일반적인 고정 저항기의 경우 저항값이 클수록 전압 강하도 크다. 그 이유를 이해하면 직렬 회로망에서 전류, 전압, 저항, 전력을 분석하는 데 필요한 거의 모든 것을 알 수 있다.

01무엇이 회로를 “직렬”로 만드는가?

직렬 회로에는 전류가 흐를 수 있는 경로가 하나뿐이다. 전류가 서로 다른 가지로 갈라질 수 있는 분기점이 없다.

여러 개의 회전문을 차례로 지나가는 사람들이 한 줄로 이동한다고 생각해 보자. 첫 번째 회전문을 매분 20명이 통과한다면, 두 번째 회전문도 매분 20명이 통과해야 한다. 중간에서 사람이 사라지지는 않는다.

전류도 이와 비슷하게 거동한다. 한 부품을 통해 전하가 \(0.50\ \text{A}\)의 전류로 흐른다면, 정상 상태에서 같은 직렬 고리의 다른 모든 부품을 흐르는 전류도 \(0.50\ \text{A}\)이다.

하지만 이 비유에는 한계가 있다. 전하가 마치 사람들이 줄에 들어서듯, 처음에는 비어 있던 도선을 따라 배터리에서부터 이동하는 것은 아니다. 금속 도체 전체에는 이미 전하 운반자가 존재하며, 회로에 형성된 전기장이 이들을 표류하게 한다. 이 부분이 낯설다면 도체에서 전류가 어떻게 흐르는지 다시 살펴볼 가치가 있다.

이상적인 직렬 회로에서는

\[ I_{\text{전원}} = I_1 = I_2 = I_3 = \cdots \]

이다. 여기서 \(I\)는 암페어, \(\text{A}\)로 측정하는 전류이다.

이는 전하 보존의 결과이다. 정상 상태에서 부품 사이에 전하가 계속 쌓이지는 않는다.

02전류는 “소모되는” 것이 아니다

흔한 실수 중 하나는 각 저항기가 전류를 소비한다고 생각하는 것이다.

예를 들어 첫 번째 저항기에 \(0.40\ \text{A}\)가 들어간다고 하자. 어떤 학생은 저항기가 전류의 일부를 “사용”했기 때문에 나오는 전류는 \(0.30\ \text{A}\)뿐일 것이라고 예상할 수 있다.

그렇다면 저항기 내부에 전하가 계속 축적되고 있다는 뜻이 된다. 이런 일이 계속된다면 저장된 전하량은 매초 증가해야 한다. 정상 상태의 직류 회로에서는 이런 일이 일어나지 않는다.

저항기가 전달하는 것은 에너지이지 전하가 아니다.

전하가 흐르는 비율은 회로 전체에서 동일하게 유지되지만, 전하가 부품을 통과할 때 전기적 퍼텐셜 에너지는 열에너지와 다른 형태의 에너지로 전환된다.

이 차이 때문에 직렬 회로에서는 다음 두 가지가 동시에 가능하다.

• 모든 곳에서 전류는 같지만
• 서로 다른 부품 양단의 전위차는 서로 다를 수 있다.

03전압은 에너지 전달을 나타낸다

전위차는 단위 전하당 전달되는 에너지를 나타낸다.

\(12\ \text{V}\) 전원이 전하 \(1\)쿨롱마다 \(12\ \text{J}\)의 에너지를 공급한다면, 회로의 부품들은 합쳐서 쿨롱당 그 \(12\ \text{J}\)를 다른 형태로 전달해야 한다.

두 개의 저항기에 대해

\[ V_s = V_1 + V_2 \]

이다. 여기서:

• \(V_s\)는 볼트 단위의 공급 전위차,
• \(V_1\)은 첫 번째 저항기 양단의 전위차,
• \(V_2\)는 두 번째 저항기 양단의 전위차이다.

부품이 더 많다면

\[ V_s = V_1 + V_2 + V_3 + \cdots \]

이다.

이는 에너지 보존을 나타내는 식이다. 완전한 회로 한 바퀴를 따라가면 전원으로부터 쿨롱당 얻은 에너지는 부품들이 쿨롱당 전달한 에너지와 같다.

이상적인 연결 도선은 저항을 무시할 수 있다고 가정하므로, 도선에서의 전압 강하는 약 0으로 본다. 실제 도선에도 어느 정도 저항은 있지만, 별도의 정보가 주어지지 않는 한 HSC 회로 계산에서는 일반적으로 이러한 근사가 적절하다.

04전압이 보통 똑같이 나뉘지 않는 이유

이제 처음의 예측으로 돌아가 보자. 직렬로 연결된 한 저항기의 저항값이 다른 저항기의 세 배라고 하자.

어느 저항기에 더 큰 전압 강하가 생길까?

저항값이 더 큰 저항기이다.

옴의 법칙을 따르는 고정 저항기에 대해

\[ V = IR \]

이다. 여기서 \(V\)는 저항기 양단의 전위차, \(I\)는 저항기를 흐르는 전류, \(R\)은 옴, \(\Omega\) 단위의 저항이다.

직렬 회로의 모든 저항기에는 같은 \(I\)가 흐른다. 따라서 한 저항기의 저항값이 세 배라면 그 저항기의 전압 강하도 세 배이다.

예를 들어,

\[ R_2 = 3R_1, \]

이면

\[ V_2 = IR_2 = I(3R_1) = 3V_1. \]

따라서 전압은 저항에 비례하여 나뉜다.

이러한 추론은 부품을 고정 저항기로 취급할 수 있다고 가정한다. 예를 들어 필라멘트 전구는 온도가 변하면서 저항도 변할 수 있다. 직렬 부품을 흐르는 전류가 같고 전압 강하의 합이 공급 전압과 같다는 사실은 여전히 성립하지만, 전구의 저항을 무조건 일정하다고 가정할 수는 없다.

\(V=IR\)을 언제 직접 사용할 수 있는지 다시 확인하려면 HSC 물리의 옴의 법칙을 참고하자.

05직렬 저항의 저항값을 더하는 이유

두 저항기 \(R_1\)과 \(R_2\)가 직렬로 연결되어 있다고 하자.

공급 전압은

\[ V_s = V_1 + V_2. \]

\(V=IR\)을 사용하면

\[ V_s = IR_1 + IR_2. \]

전류 \(I\)는 두 저항기에 공통이므로

\[ V_s = I(R_1 + R_2). \]

두 저항기를 하나의 등가 저항 \(R_{\text{eq}}\)으로 바꾼다면, 같은 전원에서 같은 전류가 흘러야 한다.

\[ V_s = IR_{\text{eq}}. \]

따라서

\[ R_{\text{eq}} = R_1 + R_2. \]

고정 저항기가 몇 개이든 직렬로 연결되어 있다면

\[ R_{\text{eq}} = R_1 + R_2 + R_3 + \cdots \]

이다.

따라서 저항기를 하나 더 직렬로 추가하면 회로의 전체 저항이 증가한다.

공급 전압이 일정하게 유지된다면 \(R_{\text{eq}}\)이 증가할수록 회로 전류는 감소한다.

\[ I = \frac{V_s}{R_{\text{eq}}}. \]

이처럼 회로 전체에 생기는 변화가 중요하다. 저항기를 하나 추가한 뒤 다른 모든 전류, 전압, 전력이 이전과 그대로라고 가정해서는 안 된다.

06알아둘 가치가 있는 네 가지 규칙

이 표는 유용하지만, 네 가지가 서로 무관한 공식이라고 생각해서는 안 된다. 대부분의 원리는 전하 보존과 에너지 보존에서 나온다.

07유용한 전압 분배 관계

두 개의 고정 저항기가 직렬로 연결되어 있다면

\[ I = \frac{V_s}{R_1+R_2}. \]

따라서 \(R_1\) 양단의 전압은

\[ V_1 = IR_1 = \frac{V_sR_1}{R_1+R_2}. \]

마찬가지로,

\[ V_2 = \frac{V_sR_2}{R_1+R_2}. \]

더 일반적으로,

\[ V_i = V_s\frac{R_i}{R_{\text{eq}}}, \]

이며, 여기서 \(V_i\)는 특정 저항기 \(R_i\) 양단의 전압이다.

이 식을 새로운 신비한 법칙처럼 외울 필요는 없다. 다음 두 사실에서 바로 나온다.

1. 각 저항기를 흐르는 전류는 같고,
2. \(V=IR\)이다.

어떤 저항기가 전체 직렬 저항의 4분의 1을 차지한다면, 그 저항기에는 공급 전압의 4분의 1이 걸린다.

08직렬 회로에서의 전력

전력은 에너지가 전달되는 속도이다.

한 부품에 대해

\[ P=VI, \]

이며, 여기서 \(P\)는 와트 단위의 전력, \(V\)는 부품 양단의 전위차, \(I\)는 부품을 흐르는 전류이다.

고정 저항기의 경우 \(P=VI\)와 옴의 법칙을 결합하면

\[ P=I^2R \]

및

\[ P=\frac{V^2}{R}. \]

이 식들은 올바르게 적용하면 서로 동등하다.

여기에는 중요한 함정이 있다. \(P=V^2/R\)에서 \(V\)는 반드시 그 저항기 양단의 전압이어야 한다. 직렬 회로의 모든 저항기에 전체 공급 전압을 자동으로 대입해서는 안 된다.

하나의 직렬 회로 안에서는 모든 저항기에 같은 전류가 흐른다. 따라서

\[ P_i=I^2R_i. \]

그러므로 같은 전류가 흐를 때에는 저항값이 큰 저항기가 작은 저항기보다 더 많은 전력을 소모한다.

하지만 서로 다른 두 회로를 비교할 때는 주의해야 한다. 저항을 바꾸면 일반적으로 전류도 함께 변한다. 회로 전체가 변경된 뒤에는 저항이 더 크다고 해서 자동으로 전력이 더 커지는 것은 아니다.

11직렬 회로 문제를 안정적으로 푸는 방법

문제에 여러 전기적 물리량이 등장할 때, 미지수가 포함된 공식을 무작정 골라 쓰고 싶은 유혹을 피하자. 회로 전체를 하나의 시스템으로 보고 풀이해야 한다.

신뢰할 수 있는 순서는 다음과 같다.

1. 실제로 직렬 회로인지 확인한다. 분석하려는 부품들을 통과하는 전류 경로가 하나뿐이어야 한다.
2. 각 저항값이 주어졌다면 등가 저항을 구한다.
3. 전체 공급 전압과 등가 저항을 이용해 공통 전류를 구한다.
4. \(V_i=IR_i\)를 사용해 각 전압 강하를 구한다.
5. 이미 알고 있는 물리량에 맞는 유효한 공식을 사용해 각 부품의 전력을 구한다.
6. 전체값을 확인한다. 각 전압 강하의 합은 공급 전압과 같아야 하고, 각 전력의 합은 전원이 공급한 전체 전력과 같아야 한다.

때로는 주어진 정보에 따라 다른 출발점이 더 적절할 수 있다. 두 번째 예제에서는 전체 전력으로부터 먼저 전류를 구했다. 물리 법칙이 바뀐 것이 아니라, 그 법칙들을 적용하는 가장 효율적인 순서만 달라진 것이다.

12가장 큰 문제를 일으키는 오개념

\(6.0\ \Omega\) 저항기 하나가 \(12\ \text{V}\) 전원에 직접 연결되어 있다고 하자. 그런 다음 \(6.0\ \Omega\) 저항기 하나를 더 직렬로 연결한다.

어떤 학생은 이렇게 말할 수 있다. “첫 번째 저항기는 여전히 같은 12 V 배터리에 연결되어 있으니, 그 양단에는 계속 12 V가 걸려야 한다.”

배터리가 모든 부품에 각각 \(12\ \text{V}\)를 준다고 생각한다면 그럴듯하게 들린다.

하지만 배터리는 전체 회로망 양단에 \(12\ \text{V}\)를 제공한다.

처음에는

\[ I=\frac{12}{6.0}=2.0\ \text{A}. \]

두 번째 저항기를 추가한 뒤에는

\[ R_{\text{eq}}=6.0+6.0=12\ \Omega, \]

이므로

\[ I=\frac{12}{12}=1.0\ \text{A}. \]

원래 저항기 양단의 전압은 이제

\[ V_1=IR_1=(1.0)(6.0)=6.0\ \text{V}. \]

두 번째 저항기를 추가하면서 전체 저항이 바뀌었고, 그 결과 전류가 바뀌었으며, 따라서 첫 번째 저항기 양단의 전압도 바뀌었다.

이러한 추론의 흐름은 “같은 저항기들은 전압을 똑같이 나눈다”라고 외우는 것보다 훨씬 유용하다. 저항값이 같지 않을 때도 그대로 적용되기 때문이다.

13문제와 풀이

문제 1

\(5.0\ \Omega\) 저항기와 \(10\ \Omega\) 저항기가 이상적인 \(15\ \text{V}\) 전원에 직렬로 연결되어 있다.

회로 전류와 각 저항기 양단의 전위차를 계산하라.

풀이 1

회로 전류는 \(1.0\ \text{A}\)이며, \(5.0\ \Omega\) 저항기에는 \(5.0\ \text{V}\), \(10\ \Omega\) 저항기에는 \(10\ \text{V}\)의 전압이 걸린다.

먼저 등가 저항을 구한다.

\[ R_{\text{eq}}=5.0+10=15\ \Omega. \]

직렬 회로의 공통 전류는

\[ I=\frac{V_s}{R_{\text{eq}}} =\frac{15}{15} =1.0\ \text{A}. \]

이제 각 저항기에 \(V=IR\)을 적용한다.

\[ \begin{aligned} V_1&=(1.0)(5.0)=5.0\ \text{V}\\ V_2&=(1.0)(10)=10\ \text{V}. \end{aligned} \]

전압 강하의 합도 올바르다.

\[ 5.0+10=15\ \text{V}. \]

\(10\ \Omega\) 저항기에는 같은 전류가 흐르면서 저항값이 두 배이므로 전압도 두 배가 걸린다.

문제 2

\(2.0\ \Omega\), \(3.0\ \Omega\), \(7.0\ \Omega\)의 세 저항기가 이상적인 \(24\ \text{V}\) 전원에 직렬로 연결되어 있다.

전류, 각 저항기 양단의 전압, 각 저항기에서 소모되는 전력, 전원이 공급하는 전체 전력을 계산하라.

풀이 2

전류는 \(2.0\ \text{A}\)이다. 전압 강하는 각각 \(4.0\ \text{V}\), \(6.0\ \text{V}\), \(14\ \text{V}\)이며, 이에 해당하는 전력은 \(8.0\ \text{W}\), \(12\ \text{W}\), \(28\ \text{W}\)이다. 전원은 \(48\ \text{W}\)를 공급한다.

전체 저항은

\[ R_{\text{eq}}=2.0+3.0+7.0=12\ \Omega. \]

따라서

\[ I=\frac{24}{12}=2.0\ \text{A}. \]

전압 강하는

\[ \begin{aligned} V_1&=(2.0)(2.0)=4.0\ \text{V}\\ V_2&=(2.0)(3.0)=6.0\ \text{V}\\ V_3&=(2.0)(7.0)=14\ \text{V}. \end{aligned} \]

이들의 합은

\[ 4.0+6.0+14=24\ \text{V}. \]

세 저항기에 모두 같은 전류가 흐르므로 \(P=I^2R\)을 사용하면 편리하다.

\[ \begin{aligned} P_1&=(2.0)^2(2.0)=8.0\ \text{W}\\ P_2&=(2.0)^2(3.0)=12\ \text{W}\\ P_3&=(2.0)^2(7.0)=28\ \text{W}. \end{aligned} \]

따라서

\[ P_{\text{total}}=8.0+12+28=48\ \text{W}. \]

전원에서 계산해도 같은 결과가 나온다.

\[ P_{\text{source}}=V_sI=(24)(2.0)=48\ \text{W}. \]

세 저항기에 같은 전류가 흐르므로 \(7.0\ \Omega\) 저항기가 가장 큰 전압 강하와 가장 큰 전력 소모를 갖는다.

문제 3

\(6.0\ \Omega\) 저항기 하나가 처음에는 이상적인 \(12\ \text{V}\) 전원에 단독으로 연결되어 있다. 그런 다음 두 번째 \(6.0\ \Omega\) 저항기를 직렬로 연결한다.

두 번째 저항기를 추가하기 전과 후에 원래 저항기를 흐르는 전류와 그 저항기에서 소모되는 전력을 계산하라. 공급 전압이 계속 \(12\ \text{V}\)인데도 전력이 변하는 이유를 설명하라.

풀이 3

원래 저항기의 전력은 \(24\ \text{W}\)에서 \(6.0\ \text{W}\)로 감소한다. 두 번째 저항기를 추가하면 전체 저항은 두 배가 되고 전류는 절반으로 줄며, 원래 저항기 양단에는 \(6.0\ \text{V}\)만 걸린다.

두 번째 저항기를 추가하기 전에는

\[ I_{\text{before}}=\frac{12}{6.0}=2.0\ \text{A}. \]

그 저항기의 전력은

\[ P_{\text{before}}=I^2R=(2.0)^2(6.0)=24\ \text{W}. \]

또 다른 \(6.0\ \Omega\) 저항기를 직렬로 추가하면

\[ R_{\text{eq}}=6.0+6.0=12\ \Omega. \]

새로운 전류는

\[ I_{\text{after}}=\frac{12}{12}=1.0\ \text{A}. \]

이제 원래 저항기에서 소모되는 전력은

\[ P_{\text{after}}=(1.0)^2(6.0)=6.0\ \text{W}. \]

그 양단의 전압도 변했다.

\[ V=(1.0)(6.0)=6.0\ \text{V}. \]

함정은 회로가 바뀐 뒤에도 한 부품에 전원의 전체 전압이 계속 걸린다고 가정하는 것이다. \(12\ \text{V}\)는 각 저항기 하나하나가 아니라 전체 직렬 회로망 양단에 걸린다.

전류가 절반으로 줄면서 저항기의 전력은 원래 값의 4분의 1로 감소했다는 점에 주목하자. 이는 \(P=I^2R\)이기 때문이다.

문제 4

이상적인 \(18\ \text{V}\) 전원이 미지의 저항기 \(R\)과 \(12\ \Omega\) 저항기에 직렬로 연결되어 있다. \(12\ \Omega\) 저항기 양단에 연결된 이상적인 전압계가 \(9.0\ \text{V}\)를 나타낸다.

\(R\)과 각 저항기에서 소모되는 전력을 구하라.

그다음 저항이 아주 크지는 않은 실제 전압계를 대신 사용한다. 이 경우 같은 단순한 직렬 회로 분석으로 실제 회로값을 구하지 못할 수 있는 이유를 설명하라.

풀이 4

미지의 저항은 \(12\ \Omega\)이며, 각 저항기는 \(6.75\ \text{W}\)의 전력을 소모한다. 비이상적인 전압계는 측정 대상 저항기 양단에 추가적인 전류 경로를 만들기 때문에 회로에 영향을 줄 수 있다.

\(12\ \Omega\) 저항기를 흐르는 전류는

\[ I=\frac{V}{R} =\frac{9.0}{12} =0.75\ \text{A}. \]

이상적인 전압계에는 전류가 흐르지 않는다. 따라서 두 저항기는 여전히 단순한 직렬 회로를 이루며, 같은 \(0.75\ \text{A}\)가 미지의 저항기를 통과한다.

전원은 \(18\ \text{V}\)를 공급하고, 그중 \(9.0\ \text{V}\)가 알려진 저항기에 걸린다. 따라서 미지의 저항기에도

\[ V_R=18-9.0=9.0\ \text{V} \]

가 걸린다.

그 저항은

\[ R=\frac{V_R}{I} =\frac{9.0}{0.75} =12\ \Omega. \]

각 저항기의 전력은

\[ P=VI=(9.0)(0.75)=6.75\ \text{W}. \]

여기서 중요한 숨은 가정은 이상적이라는 말이다. 이상적인 전압계는 사실상 무한대의 저항을 가지므로 전류를 끌어가지 않는다.

실제 전압계에는 유한한 저항이 있다. 실제 전압계를 \(12\ \Omega\) 저항기 양단에 연결하면 두 지점 사이에 또 하나의 경로가 만들어진다. 그러면 일부 전류가 전압계를 통해 흐를 수 있으므로 저항기와 전압계가 병렬 구간을 이룬다. 따라서 전체 회로는 더 이상 동일한 하나의 전류가 두 저항기를 흐르는 단순한 회로가 아니다.

일반적인 학교 실험용 전압계는 이 효과가 작도록 매우 큰 저항을 갖도록 설계되지만, 추론에서는 여전히 이러한 이상화가 중요하다.

문제 5

가변 저항기 \(R\)이 고정된 \(6.0\ \Omega\) 저항기와 직렬로 연결되어 이상적인 \(12\ \text{V}\) 전원에 연결되어 있다.

한 학생이 다음과 같이 말한다.

가변 저항기를 \(18\ \Omega\)으로 설정하면 \(6.0\ \Omega\)으로 설정했을 때보다 반드시 더 많은 전력을 소모해야 한다. \(P=I^2R\)이고 \(18\ \Omega\)이 더 큰 저항이기 때문이다.

\(R=6.0\ \Omega\)일 때와 \(R=18\ \Omega\)일 때 가변 저항기에서 소모되는 전력을 계산하라. 학생의 주장에 정확히 무엇이 잘못되었는지 설명하라.

풀이 5

가변 저항기는 \(6.0\ \Omega\)으로 설정했을 때 \(6.0\ \text{W}\)를 소모하지만, \(18\ \Omega\)으로 설정하면 \(4.5\ \text{W}\)만 소모한다. 학생의 실수는 \(R\)이 변하는 동안에도 전류 \(I\)가 일정하게 유지된다고 생각한 것이다.

\(R=6.0\ \Omega\)일 때 전체 저항은

\[ R_{\text{eq}}=6.0+6.0=12\ \Omega. \]

전류는

\[ I=\frac{12}{12}=1.0\ \text{A}. \]

따라서 가변 저항기의 전력은

\[ P_R=I^2R=(1.0)^2(6.0)=6.0\ \text{W}. \]

이제 가변 저항기를 \(18\ \Omega\)으로 설정한다.

전체 저항은

\[ R_{\text{eq}}=6.0+18=24\ \Omega. \]

전류는 이제

\[ I=\frac{12}{24}=0.50\ \text{A}. \]

가변 저항기의 전력은

\[ P_R=(0.50)^2(18) =4.5\ \text{W}. \]

학생이 \(P=I^2R\)을 사용한 것 자체가 틀린 것은 아니다. 숨은 오류는 \(I\)가 변하지 않는다고 가정한 것이다.

가변 저항을 \(6.0\ \Omega\)에서 \(18\ \Omega\)으로 증가시키면 회로 전체의 저항도 증가한다. 전류는 \(1.0\ \text{A}\)에서 \(0.50\ \text{A}\)로 감소한다. \(P=I^2R\)에서는 전류가 제곱되므로 이 감소 효과가 충분히 커서 \(R\) 증가의 효과를 넘어선다.

안전하게 적용할 수 있는 규칙은 다음과 같다. 변하지 않은 하나의 직렬 회로 안에서는 전류가 공통이므로 저항이 큰 저항기가 더 많은 전력을 소모한다. 회로 자체를 변경한다면 전력을 비교하기 전에 전류를 다시 계산해야 한다.

14직렬 회로가 다음 단계의 학습에 주는 기반

직렬 회로에서는 회로 분석에서 계속 반복해서 등장하는 두 가지 개념을 가장 단순한 형태로 확인할 수 있다. 전하는 보존되고, 에너지도 보존된다.

경로가 하나뿐인 회로에서는 전하 보존으로 인해 모든 곳의 전류가 같아지고, 에너지 보존으로 인해 전압 강하의 합이 전원 전압과 같아진다. 회로에 가지가 생기면 계산 방식이 달라진다. 전류는 분기점에서 나뉠 수 있고, 같은 두 지점에 연결된 부품들은 같은 전위차를 가질 수 있다.

따라서 다음으로 유용한 단계는 단순한 직렬 회로 규칙이 정확히 언제 적용되지 않게 되는지를 알아보고, 같은 보존 법칙을 이용해 병렬 회로와 혼합 회로망을 분석하는 것이다.