電場與磁場的差異：HSC 物理解說

把一個靜止的質子放在同時存在電場和磁場的區域中。哪一個場會推動它？

電場會。磁場對靜止的質子不施加任何力。

現在讓質子穿過同一區域。此時磁場也可能突然對它施力。更重要的預測是：如果這個磁力使質子大幅轉向，磁場是否把能量傳遞給了質子？

不會。磁場可以大幅改變帶電粒子的運動方向，同時讓其速率保持不變，因此其動能也保持不變。分清「改變運動」與「改變能量」之間的差異，是在 HSC 物理中區分電場與磁場的關鍵。

01第一個心智模型：推動與轉向

無論電荷正在運動還是靜止，電場都可以對它施力。

磁場則需要電荷正在運動。即使如此，磁力也不會沿著粒子的運動方向向前或向後推動它，而是作用在側向。

一個有用的初步圖像是：

• 電場可以像加速器一樣，因為它的力可以具有沿運動方向的分量；
• 磁場則更像是轉向作用，因為它的力與運動方向垂直。

這個模型很有用，但並不完整。如果電場力與速度並不平行，電場也可以使粒子轉向；而磁場也不會對每一個運動中的電荷施力：若電荷的運動方向恰好與磁場平行，它便不受磁力。

轉向的類比也有其限制。真實汽車的轉向涉及輪胎與路面之間的作用力。對 HSC 模型中的理想帶電粒子而言，磁力精確地垂直於粒子的瞬時速度，這正是磁力不做功的原因。

02電力：不需要粒子運動

對於位於電場 \(\mathbf E\) 中、電荷量為 \(q\) 的電荷，

\[ \mathbf F_E=q\mathbf E \]

其中：

• \(\mathbf F_E\) 是電力，單位為牛頓 N，
• \(q\) 是電荷量，單位為庫侖 C，而
• \(\mathbf E\) 是電場強度，單位為牛頓每庫侖 N C\(^{-1}\)，等價於伏特每米 V m\(^{-1}\)。

若只考慮大小，

\[ F_E=|q|E \]

正電荷所受的力與電場方向相同。負電荷所受的力則與電場方向相反。

請注意方程式中缺少了什麼：速度。電荷不需要正在運動。

一個靜止於向右電場中的質子會立即受到向右的力。同一電場中的靜止電子則會立即受到向左的力。

03磁力：速度很重要

對於在磁場中運動的電荷，

\[ \mathbf F_B=q\mathbf v\times\mathbf B \]

在 HSC 計算中，其大小通常寫成

\[ F_B=|q|vB\sin\theta \]

其中：

• \(F_B\) 是磁力，單位為牛頓 N，
• \(v\) 是粒子的速率，單位為米每秒 m s\(^{-1}\)，
• \(B\) 是磁場強度，單位為特斯拉 T，而
• \(\theta\) 是速度與磁場之間的夾角。

由此立即可以得到三種常見情況。

對正電荷，使用右手定則判斷 \(\mathbf v\times\mathbf B\) 的方向。對負電荷，則把這個方向反轉。

重要的幾何事實是，只要磁力不為零，它就必定與粒子的速度垂直。

這就是為什麼磁場可以使粒子產生加速度，卻不增加其速率。加速度表示速度向量發生改變，而只改變方向也算是速度向量的改變。

04如果兩種場同時存在呢？

電力和磁力只需按照向量相加：

\[ \mathbf F=q(\mathbf E+\mathbf v\times\mathbf B) \]

這就是洛倫茲力。

不要直接把 \(E\) 和 \(B\) 的數值拿來比較，因為它們的單位不同。應比較實際的力：

\[ F_E=|q|E \]

以及在垂直運動的情況下，

\[ F_B=|q|vB \]

由於兩個式子中都有相同的 \(|q|\)，因此常見的一種特殊情況，是兩個力方向相反而且大小相等：

\[ |q|E=|q|vB \]

所以

\[ v=\frac{E}{B} \]

以這個速率運動的粒子可以直線穿過彼此交叉的電場和磁場，而不發生偏轉。

這並不表示兩個場都沒有作用。兩個不為零的力可以互相抵消。

05力和能量不是同一個問題

這是許多原本相當扎實的答案出錯的地方。

力告訴你動量如何改變。功則告訴你是否發生了能量轉移。

電場可以對電荷做功。磁場單獨存在時則不能。

電場可以改變動能

電荷的電勢能為

\[ U=qV \]

其中 \(V\) 是以伏特為單位的電勢。

如果電荷從初始電勢 \(V_i\) 移動到最終電勢 \(V_f\)，

\[ \Delta U=q(V_f-V_i) \]

電場所做的功等於電勢能變化量的負值：

\[ W_E=-\Delta U=q(V_i-V_f) \]

如果沒有其他力傳遞能量，

\[ \Delta K=W_E \]

因此

\[ \Delta K=q(V_i-V_f) \]

這通常比逐一追蹤軌跡的每一部分更實用。

對均勻電場，同一概念也可以寫成

\[ W_E=qEs\cos\phi \]

其中 \(s\) 是位移，而 \(\phi\) 是電場與位移之間的夾角。

因此，電場並不一定總會傳遞能量。如果電荷的運動方向恰好與 \(\mathbf E\) 垂直，那麼 \(\cos90^\circ=0\)，在這段位移中電場不做功。

磁場不做功

功取決於力在位移方向上的分量。

磁力始終與瞬時速度垂直，因此也與粒子的瞬時位移垂直。

所以

\[ W_B=0 \]

磁場可以改變粒子的動量方向，但在 HSC 的非相對論模型中，不能改變其動量大小。

換句話說，它可以改變方向而不改變動能。

這也是為什麼在勻速圓周運動中，即使持續存在加速度，速率仍可保持不變。

一個很容易想到的論證是：「存在磁力，所以粒子有加速度，因此它一定會加速、速率增加。」

前兩句是正確的。最後一句則不正確。加速度可以改變方向，而不一定改變速率。

在 HSC 的處理中，我們也忽略加速電荷所產生的輻射，以及粒子與物質碰撞等效應。

一個實用的能量判斷方法

當電場和磁場同時存在時，請分開問兩個問題：

1. 合力是多少，因此軌跡如何改變？
2. 做了多少功，因此動能如何改變？

磁場需要納入第一項計算。它不會直接對第二項作出貢獻。

對靜電場，

\[ \Delta K=q(V_i-V_f) \]

無論磁場令起點與終點之間的路徑變得多麼複雜，這個關係仍然成立。

這一點稍後會變得很重要。

範例：在電場中由靜止釋放的電子

一個電子最初靜止於強度為 \(2.5\times10^4\) N C\(^{-1}\) 的均勻電場中。它沿著與電場相反的方向移動 \(4.0\) mm。求電力大小、電場所做的功，以及電子的最終速率。

使用 \(|q_e|=1.60\times10^{-19}\) C 和 \(m_e=9.11\times10^{-31}\) kg。

步驟 1：在計算任何數值之前，先判斷力的方向。

電子帶負電，因此它受到的電力與 \(\mathbf E\) 方向相反。它的位移同樣與 \(\mathbf E\) 方向相反，因此力與位移方向相同。

所以電場對電子做正功。

步驟 2：計算力的大小。

\[ F_E=|q|E =(1.60\times10^{-19})(2.5\times10^4) =4.0\times10^{-15}\text{ N} \]

步驟 3：計算在 \(4.0\) mm 位移中所做的功。

位移為

\[ d=4.0\times10^{-3}\text{ m} \]

所以

\[ W_E=|q|Ed =(1.60\times10^{-19})(2.5\times10^4)(4.0\times10^{-3}) =1.60\times10^{-17}\text{ J} \]

因為電子由靜止開始，

\[ K_f=1.60\times10^{-17}\text{ J} \]

步驟 4：把動能換算成速率。

使用

\[ K=\frac12mv^2 \]

可得

\[ v=\sqrt{\frac{2K}{m}} =\sqrt{\frac{2(1.60\times10^{-17})}{9.11\times10^{-31}}} =5.9\times10^6\text{ m s}^{-1} \]

步驟 5：解釋結果。

電子獲得動能，是因為電場對它做了正功。

這裡有一個值得注意的正負號細節。沿著與 \(\mathbf E\) 相反的方向移動，表示朝較高的電勢移動。電勢差為

\[ \Delta V=Ed=(2.5\times10^4)(4.0\times10^{-3})=100\text{ V} \]

然而，電子的電勢能反而下降，因為 \(q\) 是負值：

\[ \Delta U=q\Delta V=(-e)(100\text{ V})=-100\text{ eV} \]

所以，「較高的電勢」並不自動表示「較高的電勢能」。電荷的正負號很重要。

範例：質子筆直穿過交叉電場與磁場

一個質子水平向右移動，穿過一個向上的均勻電場，電場強度為 \(3.6\times10^4\) N C\(^{-1}\)。一個強度為 \(1.5\times10^{-2}\) T 的均勻磁場則由紙面向外。

求質子不發生偏轉而通過時的速率。然後計算兩個力各自的大小，並求質子在這些場中水平移動 \(0.20\) m 時的動能變化。

使用 \(q_p=1.60\times10^{-19}\) C。

步驟 1：判斷力的方向。

質子帶正電，因此電力向上。

對一個向右運動的正電荷，當 \(\mathbf B\) 指向紙面外時，\(\mathbf v\times\mathbf B\) 向下。

因此兩個力可以互相抵消。

步驟 2：令兩個力的大小相等。

若沒有偏轉，

\[ qE=qvB \]

電荷量可以約去：

\[ v=\frac{E}{B} =\frac{3.6\times10^4}{1.5\times10^{-2}} =2.4\times10^6\text{ m s}^{-1} \]

步驟 3：計算其中任一個力。

\[ F_E=qE =(1.60\times10^{-19})(3.6\times10^4) =5.8\times10^{-15}\text{ N} \]

在所選定的速率下，

\[ F_B=qvB =(1.60\times10^{-19})(2.4\times10^6)(1.5\times10^{-2}) =5.8\times10^{-15}\text{ N} \]

兩個力大小相等、方向相反，因此合力為零。

步驟 4：判斷所做的功。

質子水平運動，而電場垂直向上。

因此，

\[ W_E=qEs\cos90^\circ=0 \]

磁場同樣不做功：

\[ W_B=0 \]

所以，

\[ \Delta K=0 \]

步驟 5：解釋結果。

兩個場都施加了不為零的力，但在這段水平直線運動中，兩者都沒有傳遞能量。

磁力永遠不做功。此處電力剛好也不做功，因為它始終與位移垂直。

06簡明比較

一個實用的考試判斷原則很簡單：如果題目問的是軌跡，就要考慮兩種場。如果題目問的是動能，就找電場做功或電勢的變化。不要把能量轉移歸因於磁力。

07題目與解答

題目 1

一個質子和一個電子最初都靜止在某區域中。該區域包含一個強度為 \(4.0\times10^3\) N C\(^{-1}\)、方向向東的均勻電場，以及一個強度為 \(0.20\) T、方向向北的均勻磁場。

對每一個粒子：

(a) 求其初始電力的大小與方向，

(b) 求其初始磁力，以及

(c) 指出粒子被釋放後，哪一個場可以改變其動能。

使用 \(e=1.60\times10^{-19}\) C。

解答 1

質子最初受到大小為 \(6.4\times10^{-16}\) N、向東的電力；電子則受到相同大小、向西的電力。兩者最初所受的磁力都為零，而且只有電場可以直接改變它們的動能。

對任一粒子，

\[ F_E=|q|E =(1.60\times10^{-19})(4.0\times10^3) =6.4\times10^{-16}\text{ N} \]

質子帶正電，因此受力方向與 \(\mathbf E\) 相同：向東。

電子帶負電，因此受力方向與 \(\mathbf E\) 相反：向西。

對磁力而言，

\[ F_B=|q|vB\sin\theta \]

初始時 \(v=0\)，所以

\[ F_B=0 \]

對兩個粒子都是如此。

一個常見的錯誤，是使用 \(F_B=qvB\) 並代入磁場數值，卻忘記粒子本身是靜止的。磁場可以存在，但仍不對靜止的點電荷施加任何力。

粒子開始運動後，視其速度方向而定，可能會開始受到磁力。這些磁力可以改變其運動路徑，但仍然不做功。動能的改變由電場提供。

題目 2

一個電子以 \(3.0\times10^6\) m s\(^{-1}\) 的速度水平向右進入某區域。

電場強度為 \(1.0\times10^5\) N C\(^{-1}\)，方向向上；磁場強度為 \(5.0\times10^{-2}\) T，方向指向紙面內。

使用 \(|q_e|=1.60\times10^{-19}\) C。

(a) 求初始電力的大小與方向。

(b) 求初始磁力的大小與方向。

(c) 求初始合力。

(d) 在電子進入該區域的精確瞬間，它的速率是在增加、減少，還是瞬間保持不變？說明緊接著會發生什麼。

解答 2

兩個初始力都向下，因此合力為 \(4.0\times10^{-14}\) N、方向向下。儘管合力不為零，電子在剛進入區域的那一瞬間速率仍瞬間保持不變，因為力與它的初始速度垂直；緊接著，電場便開始增加它的動能。

對電力，

\[ F_E=|q|E =(1.60\times10^{-19})(1.0\times10^5) =1.60\times10^{-14}\text{ N} \]

電場向上，但電子帶負電，因此它所受的電力向下。

對磁力，

\[ F_B=|q|vB \]

因為速度與磁場垂直。

因此，

\[ F_B=(1.60\times10^{-19})(3.0\times10^6)(5.0\times10^{-2}) =2.40\times10^{-14}\text{ N} \]

對一個向右運動、穿過指向紙面內磁場的正電荷，\(\mathbf v\times\mathbf B\) 會向上。電子帶負電，因此它所受的磁力向下。

所以兩個力相加：

\[ F_{\text{net}} =1.60\times10^{-14}+2.40\times10^{-14} =4.00\times10^{-14}\text{ N，向下} \]

很容易誤以為，只要合力不為零，就代表速率一定立即增加。其實不一定如此。

在剛進入的瞬間，電子的速度向右，而合力向下。力與速度垂直，因此瞬時做功率為零。

所以電子最初只是開始改變方向。

過了一瞬間後，它已經具有一些向下的速度分量。此時向下的電力便有一個沿運動方向的分量，並開始做正功。電子的動能於是開始增加。

磁力則始終保持與瞬時速度垂直，因此不做功。

題目 3

一個帶單位正電荷的離子向右穿過交叉的電場和磁場。電場強度為 \(2.4\times10^4\) N C\(^{-1}\)，方向向上；磁場強度為 \(1.2\times10^{-2}\) T，方向由紙面向外。

(a) 求離子不發生偏轉而通過時的速率。

實際上，離子以 \(2.5\times10^6\) m s\(^{-1}\) 進入。

(b) 說明其初始偏轉方向。

稍後，離子位於其初始水平線下方 \(5.0\) mm 處。

(c) 計算它從進入時到達該點之間的動能變化。

(d) 解釋為什麼不需要知道磁場造成的曲線軌跡，也能計算這個能量變化。

使用 \(e=1.60\times10^{-19}\) C。

解答 3

不偏轉時的速率為 \(2.0\times10^6\) m s\(^{-1}\)。當速率為 \(2.5\times10^6\) m s\(^{-1}\) 時，離子最初向下偏轉；到達低 \(5.0\) mm 的位置後，其動能減少 \(120\) eV，也就是 \(1.92\times10^{-17}\) J。

對不偏轉運動，

\[ qE=qvB \]

所以

\[ v=\frac{E}{B} =\frac{2.4\times10^4}{1.2\times10^{-2}} =2.0\times10^6\text{ m s}^{-1} \]

實際離子的速率比這更高。

當速率為 \(2.5\times10^6\) m s\(^{-1}\) 時，

\[ vB=(2.5\times10^6)(1.2\times10^{-2}) =3.0\times10^4\text{ N C}^{-1} \]

這比 \(2.4\times10^4\) N C\(^{-1}\) 的電場強度更大，因此磁力的初始大小較大。

對向右運動的正電荷，若 \(\mathbf B\) 指向紙面外，磁力方向向下。電力則向上。因此合力最初向下。

對於能量變化，向下移動 \(5.0\) mm 表示沿著與向上電場相反的方向移動。因此電勢上升

\[ \Delta V=Ed =(2.4\times10^4)(5.0\times10^{-3}) =120\text{ V} \]

對正離子，

\[ \Delta K=q(V_i-V_f)=-q\Delta V \]

所以

\[ \Delta K=-(1.60\times10^{-19})(120) =-1.92\times10^{-17}\text{ J} \]

等價地，

\[ \Delta K=-120\text{ eV} \]

一個容易犯的錯誤，是因為磁力最初較大，就把能量減少歸因於磁場。

磁場決定了大部分軌跡形狀，但它所做的功為零。動能變化由起點和終點之間的電勢差決定。

對靜電場而言，這兩點之間的具體路徑與電場所做的功無關。

題目 4

在兩個實驗中使用同一個帶單位正電荷的離子。假設運動為非相對論運動，而且每次進入磁場時速度都與磁場垂直。

在實驗 A 中，離子由靜止開始，在通過加速電勢差時獲得 \(800\) eV 的動能，然後進入一個 \(0.20\) T 的磁場。它的圓形軌跡半徑為 \(r\)。

在實驗 B 中，離子進入一個加速區域時具有某個未知的初始動能 \(K_0\)。之後，電場為其動能增加 \(400\) eV。它進入一個 \(0.10\) T 的磁場，而測得的半徑同樣為 \(r\)。

是否存在任何物理上可能的 \(K_0\) 值，能使這些觀察結果彼此一致？請說明理由。

解答 4

沒有。這些觀察結果會要求 \(K_0=-200\) eV，而這是不可能的，因為動能不能為負。因此，題目所述的假設或測量中至少有一項必定有誤。

對於在均勻磁場中作垂直運動的粒子，

\[ r=\frac{mv}{|q|B} \]

或者使用動量 \(p=mv\)，

\[ p=|q|Br \]

兩次實驗使用的是同一種離子，而且測得的半徑相同。

因此，

\[ \frac{p_B}{p_A} =\frac{B_B}{B_A} =\frac{0.10}{0.20} =\frac12 \]

對同一個非相對論粒子，

\[ K=\frac{p^2}{2m} \]

因此，若動量減半，動能就會變成原來的四分之一：

\[ K_B=\frac14K_A \]

實驗 A 中，

\[ K_A=800\text{ eV} \]

所以磁場半徑的測量結果表示

\[ K_B=\frac14(800)=200\text{ eV} \]

但在實驗 B 中，

\[ K_B=K_0+400\text{ eV} \]

因此，

\[ K_0+400=200 \]

得到

\[ K_0=-200\text{ eV} \]

這個結果並不是帶電粒子某種奇怪但可接受的性質，而是一個矛盾。

一個常見陷阱是在得到 \(-200\) eV 後仍繼續操作方程式，最後直接把它當作答案。物理限制 \(K\geq0\) 也必須得到滿足。

由於實驗 B 中僅電場就增加了 \(400\) eV，因此離子到達磁場時至少必須具有 \(400\) eV 的動能。它不可能同時只有題目所述磁場半徑所要求的 \(200\) eV。

可能不成立的假設包括所聲稱的場強、測得的半徑、垂直入射、粒子的種類，或所述的能量增加量。

題目 5

一個帶單位正電荷的離子在 A 點進入裝置，而 A 點的電勢為 \(100\) V。其初始動能為 \(500\) eV。

裝置包含一個靜電場和一個可調磁場。裝置有兩個出口狹縫：

• 狹縫 C 位於 \(100\) V 等電勢面上；
• 狹縫 D 位於 \(40\) V 等電勢面上。

不存在碰撞或其他能量轉移。

在某一磁場設定下，離子沿著一條很長的彎曲路徑由 A 運動到 C。

只改變磁場後，同一離子沿另一條彎曲路徑由 A 運動到 D。

(a) 求離子在 C 點的最終動能。

(b) 求離子在 D 點的最終動能。

(c) 一名學生主張：「唯一改變的是磁場，所以 D 點額外增加的動能證明磁場做了功。」另一名學生則主張：「磁場不做功，所以改變磁場永遠不可能改變粒子的最終動能。」

解釋為什麼兩個說法都是錯的。

(d) 假設再次改變磁場，使通往 C 的路徑變成原來的兩倍長，但仍然從 A 出發並在 C 結束。求最終動能。

解答 5

離子從 C 離開時具有 \(500\) eV 的動能，而從 D 離開時具有 \(560\) eV。由此可見，在包含多種場的裝置中，改變磁場確實可以改變粒子的最終動能，但只能透過改變粒子到達的電勢位置而間接造成；磁力本身仍然做零功。

對從 A 到 C 的運動，

\[ \Delta K=q(V_A-V_C) \]

兩點的電勢都是 \(100\) V，所以

\[ \Delta K=e(100-100)=0 \]

因此，

\[ K_C=500\text{ eV} \]

對從 A 到 D 的運動，

\[ \Delta K=e(100-40) =60\text{ eV} \]

所以

\[ K_D=500+60 =560\text{ eV} \]

第一名學生注意到了一個真實的相關性，但對機制的解釋錯了。改變磁場改變了粒子的軌跡，使離子從位於不同電勢的狹縫離開。這 \(60\) eV 的能量增加來自電場所做的功。

磁力本身仍然與粒子的瞬時速度垂直，因此不做功。

第二名學生則犯了相反的錯誤。「磁場不做功」並不表示，在一個還包含其他場的裝置中，改變磁場永遠不可能改變最後觀察到的能量。

磁場可以透過改變粒子的運動方向，決定粒子最終到達哪一個位置。如果可能到達的終點具有不同的電勢，電場便可能做不同大小的功。

因此可以作出以下實用區分：

• 若起點和終點的電勢固定，改變磁場造成的路徑不會改變電場做功；
• 如果改變磁場也改變了最終到達位置的電勢，那麼最終動能可以改變，即使磁場本身仍然沒有直接傳遞能量。

最後，若把 A 到 C 的路徑變成原來的兩倍長，能量結果仍然不變。起點和終點的電勢仍然都是 \(100\) V：

\[ \Delta K=e(100-100)=0 \]

所以離子離開時仍具有

\[ K_C=500\text{ eV} \]

較長的路徑可能會改變運動時間與軌跡細節，但靜電場所做的功取決於電勢差，而不是粒子行進的距離。

一旦把力與能量分開處理，帶電粒子的運動就容易整理得多。均勻電場可以同時改變速率與方向，這會進一步引出電場中的帶電粒子軌跡。當均勻磁場與速度垂直時，粒子的速率保持不變，而運動方向持續改變，這就直接引出電荷在磁場中的圓周運動。