磁場中運動電荷所受的力：HSC 物理

一個正電荷向右飛行，穿過一個指向紙面內的磁場。磁場會對它施加力。接下來會發生甚麼：電荷會加速、減速，還是轉彎？

在繼續閱讀之前，先作出預測。

它會向上轉彎。令人意外的是，磁力的方向與運動方向成側向關係。磁場可以持續使帶電粒子的路徑彎曲，而不令它的速率增加。

這一個概念已能解釋大多數 HSC 關於磁力的題目。計算會告訴你這個側向力有多大，而方向規則則告訴你粒子會向哪一邊轉彎。

01從側向力模型開始

想像一個粒子在空間中運動，而某種作用一直恰好從側面推它。每一次側向推力都會改變粒子的前進方向，但不會改變它的速率。

對於運動中的電荷，磁場的作用就像這樣。這個類比很有用，但並不完整。磁力不只是「某個側向力」。它的大小取決於電荷量、速率、磁場強度，以及速度與磁場之間的夾角。

它的方向也受到嚴格限制：磁力同時垂直於粒子的速度方向和磁場方向。

這立即帶來一個值得注意的結果。如果粒子沿著磁場方向直接運動，速度和磁場便無法共同定出一個側向方向。此時磁力為零。

02計算磁力的大小

當一個電荷在磁場中運動時，磁力的大小為

\[ F=|q|vB\sin\theta \]

其中：

• \(F\) 是磁力，單位為牛頓，\(\text{N}\)，
• \(q\) 是電荷量，單位為庫侖，\(\text{C}\)，
• \(v\) 是粒子的速率，單位為米每秒，\(\text{m s}^{-1}\)，
• \(B\) 是磁場強度，單位為特斯拉，\(\text{T}\)，而
• \(\theta\) 是粒子速度方向與磁場方向之間的夾角。

你也會經常看到它寫成

\[ F=qvB\sin\theta. \]

當你計算力的大小時，要使用電荷量的絕對值。換句話說，電子的電荷應代入 \(1.60\times10^{-19}\text{ C}\)，而不是得到一個「負的力」。負號的重要性在於判斷方向。

為甚麼會有 \(\sin\theta\)？

假設粒子的運動有一部分沿著磁場，另一部分則橫越磁場。哪一部分的運動會產生磁力？

只有垂直於磁場的分量。

這個垂直速率為

\[ v_\perp=v\sin\theta. \]

因此，磁力也可以寫成

\[ F=|q|v_\perp B. \]

速度中平行於磁場的分量不會產生磁力。

由此可得到一組很有用的極端情況：

最後一行很容易令人出錯。即使粒子沿著與磁場相反的方向運動，它仍然是沿著磁場的作用線運動，因此沒有磁力。

03判斷方向

方程式會給出力的大小，但本身不會告訴你力在空間中的方向。

完整的關係是

\[ \vec F=q\vec v\times\vec B. \]

你不需要把每一道 HSC 題目都變成向量代數。右手定則可以做到同樣的事。

對正電荷而言：

1. 讓右手食指指向速度 \(\vec v\) 的方向。
2. 讓中指指向磁場 \(\vec B\) 的方向，並保持它與食指垂直。
3. 拇指所指的方向就是磁力 \(\vec F\) 的方向。

對負電荷而言，先找出正電荷所受力的方向，再把方向反轉。

在考試壓力下，這最後一步通常比嘗試使用某種特殊的左手定則更可靠。

電荷的正負只改變方向，不改變大小

假設一個質子和一個電子具有相同速率，並以相同方向穿過同一磁場。

它們電荷量的大小相等：

\[ |q_p|=|q_e|=1.60\times10^{-19}\text{ C}. \]

因此，兩者所受磁力的大小相同。

但由於它們的電荷符號相反，力的方向也相反。

這就是為甚麼在純量的力計算中直接代入電子的負電荷可能會令人誤解。力的大小不可能是 \(-3.0\times10^{-13}\text{ N}\)。先計算正的力值，再另外處理方向。

04如果粒子的運動方向不是與磁場成 \(90^\circ\) 呢？

這正是盲目使用 \(F=qvB\) 容易出問題的地方。

假設粒子的運動方向與磁場成 \(35^\circ\)。只有垂直於磁場的速度分量會產生力，因此磁力會小於其可能的最大值。

你可以先計算 \(v_\perp\)，也可以直接使用 \(\sin35^\circ\)。兩種方法其實完全相同。

05為甚麼磁場能使路徑彎曲，卻不改變速率

有一個很容易令人產生的直覺：如果有力作用在粒子上，那麼粒子不是應該加速，就是應該減速嗎？

只有當力在運動方向上或相反方向上有分量時，這才成立。

磁力與瞬時速度垂直：

\[ \vec F\perp\vec v. \]

因此，磁場改變的是速度的方向，而不是其大小。

想像用一條繩子使一個物體在水平圓周上旋轉。張力會持續改變物體的運動方向，但不一定要增加物體的速率。這個類比有其限制，因為磁力並不是繩子的張力，而且它的方向由 \(q\vec v\times\vec B\) 決定，但「從側面改變運動方向」這個概念是一樣的。

這也表示磁場本身不會對帶電粒子做功。

如果粒子最初以垂直於均勻磁場的方向運動，磁力會充當向心力。粒子可以沿圓形路徑運動。

如果粒子同時具有某個平行於磁場的速度分量，這個平行分量會保持不變，而垂直分量則不斷轉向。所得的運動可以形成螺旋線。

關鍵原因仍然相同：

\[ F=|q|v_\perp B. \]

06不要把磁力和電力混淆

電場和磁場對電荷的作用方式不同。

電場可以對靜止的電荷施力。其作用力為

\[ \vec F=q\vec E. \]

磁場則需要電荷正在運動，其作用力也取決於運動方向。

因此，電場可以更直接地改變粒子的動能。你可以在電場中的帶電粒子軌跡：HSC 物理中看到這項對比。如果電場由兩塊平行板產生，關係 \(E=V/d\) 則在平行板之間的電場：使用 E = V/d中進一步說明。

一個實用的考試判斷方式是：

07最實用的解題程序

當你看到一個運動電荷處於磁場中時，不要立即開始計算。

先問：

1. 粒子正向哪個方向運動？
2. 磁場指向哪個方向？
3. 兩者之間的夾角是多少？
4. 電荷是正還是負？
5. 我需要整個速度，還是只需要 \(v_\perp\)？
6. 如果是正電荷，力會指向哪個方向？
7. 如果粒子帶負電，我有沒有把這個方向反轉？

然後才計算力的大小。

這個次序可以避免兩個常見錯誤：在運動方向並非垂直於磁場時仍使用 \(F=qvB\)，以及算出完全正確的力值，卻把方向判斷錯誤。

08問題與解答

問題 1

一個質子以 \(2.0\times10^6\text{ m s}^{-1}\) 向右運動，穿過一個指向紙面內、強度為 \(0.30\text{ T}\) 的均勻磁場。

計算質子所受磁力的大小和方向。

解答 1

磁力為 \(9.6\times10^{-14}\text{ N}\)，方向向上。

速度與磁場互相垂直，因此

\[ \theta=90^\circ. \]

使用質子的電荷量 \(q=1.60\times10^{-19}\text{ C}\)，

\[ \begin{aligned} F&=|q|vB\sin\theta\\ &=(1.60\times10^{-19})(2.0\times10^6)(0.30)\sin90^\circ\\ &=9.6\times10^{-14}\text{ N}. \end{aligned} \]

對正電荷而言，向右叉乘指向紙面內，所得的力向上。

一個很容易犯的錯誤，是因為磁場指向紙面內，就以為磁場會把質子推向紙面內或紙面外。實際上並非如此。磁力同時垂直於 \(\vec v\) 和 \(\vec B\)。

問題 2

一個電子以 \(6.0\times10^6\text{ m s}^{-1}\) 的速率沿東偏北 \(50^\circ\) 的方向運動。一個強度為 \(0.25\text{ T}\) 的均勻磁場指向東方。

另一個電子在同一磁場中具有相同速率，但沿東偏南 \(50^\circ\) 的方向運動。

對每個電子：

• 計算磁力的大小，以及
• 判斷力的方向。

解釋為甚麼兩者的速度方向不同，但所受磁力的大小卻相同。

解答 2

兩個電子所受的力都約為 \(1.8\times10^{-13}\text{ N}\)，但第一個電子所受的力指向紙面外，第二個則指向紙面內。

對任何一個電子而言，速度與磁場之間夾角的大小都是 \(50^\circ\)。因此，

\[ \begin{aligned} F&=|q|vB\sin\theta\\ &=(1.60\times10^{-19})(6.0\times10^6)(0.25)\sin50^\circ\\ &=1.84\times10^{-13}\text{ N}. \end{aligned} \]

所以

\[ F\approx1.8\times10^{-13}\text{ N}. \]

對第一個電子而言，相關的垂直速度分量指向北方。向北叉乘向東，對正電荷會得到指向紙面內的力。電子帶負電，因此它所受的力指向紙面外。

對第二個電子而言，垂直分量指向南方。向南叉乘向東，對正電荷會得到指向紙面外的力，因此電子所受的力指向紙面內。

一個很容易走錯的思路，是認為速度方向改變就必定會改變力的大小。真正重要的是垂直速度分量的大小。兩個粒子都有

\[ v_\perp=v\sin50^\circ, \]

因此它們所受磁力的大小完全相同。把這個垂直分量的方向反轉，就會使力的方向反轉。

問題 3

一個帶單位正電荷的離子在一個均勻的 \(0.80\text{ T}\) 磁場中運動。它的速度由以下兩部分組成：

• \(3.0\times10^5\text{ m s}^{-1}\)，平行於磁場，以及
• \(4.0\times10^5\text{ m s}^{-1}\)，垂直於磁場。

離子的電荷為 \(+1.60\times10^{-19}\text{ C}\)。

計算磁力的大小。然後解釋磁場是否會改變：

1. 平行速度分量，
2. 垂直速度分量的大小，以及
3. 離子的總速率。

解答 3

磁力為 \(5.1\times10^{-14}\text{ N}\)。平行速度保持不變，垂直速度的方向改變但大小不變，而總速率保持不變。

只有垂直分量會產生磁力，因此

\[ \begin{aligned} F&=|q|v_\perp B\\ &=(1.60\times10^{-19})(4.0\times10^5)(0.80)\\ &=5.12\times10^{-14}\text{ N}. \end{aligned} \]

因此，

\[ F\approx5.1\times10^{-14}\text{ N}. \]

\(3.0\times10^5\text{ m s}^{-1}\) 的平行分量不會產生磁力，因此保持不變。

垂直分量會受到磁力持續轉向。它的方向改變，但大小仍然是 \(4.0\times10^5\text{ m s}^{-1}\)。

初始總速率為

\[ \begin{aligned} v&=\sqrt{(3.0\times10^5)^2+(4.0\times10^5)^2}\\ &=5.0\times10^5\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

這個總速率也保持不變，因為磁力始終垂直於瞬時速度，因此不做功。

一個很容易犯的錯誤，是說垂直分量「因為磁力與它相反，所以會減小」。實際上並不會。磁力是不斷使這個分量旋轉，而不是沿著它本身的方向與它相反。把不變的平行運動與旋轉中的垂直運動結合起來，就會形成螺旋軌跡。

問題 4

在紙面平面內使用一個 \(x\)-\(y\) 坐標系。

一個正粒子從原點進入均勻磁場，沿 \(+x\) 方向運動。磁場指向紙面內。它的路徑半徑為 \(R\)。

在恰好完成四分之一圓周後，它到達 \((R,R)\)，並沿 \(+y\) 方向運動。此時，它突然越過邊界進入第二個區域，該區域的磁場大小相同，但方向指向紙面外。

假設不存在邊緣磁場效應。

一名學生提出：

把磁場方向反轉就會令力的方向反轉，所以粒子一定會沿著剛才的圓形路徑原路返回。

判斷這個說法是否正確。找出粒子新的圓形路徑的圓心、再完成四分之一圓周後的位置，以及當時的運動方向。

解答 4

這個說法不正確。新圓的圓心是 \((2R,R)\)。再完成四分之一圓周後，粒子位於 \((2R,2R)\)，並沿 \(+x\) 方向運動。

在第一個區域中，粒子最初沿 \(+x\) 方向運動，而磁場指向紙面內。對正電荷而言，磁力指向 \(+y\)，所以路徑向上彎曲。

在 \((R,R)\) 處，粒子的速度方向為 \(+y\)。

越過邊界並不會瞬間使這個速度反向。這就是學生的論證所忽略的關鍵限制。磁場改變的是加速度，而不是粒子原有的速度。

剛進入第二個區域時：

• \(\vec v\) 指向 \(+y\)，
• \(\vec B\) 指向紙面外。

對正電荷而言，\(+y\) 叉乘指向紙面外，所得的力指向 \(+x\)。

這個力是向心力，因此新圓形路徑的圓心必須位於粒子右方一個半徑 \(R\) 的位置：

\[ (R,R)+(R,0)=(2R,R). \]

磁場大小、電荷量和速率都沒有改變，因此曲率半徑仍然是 \(R\)。

粒子從這個新圓的最左端 \((R,R)\) 出發，速度向上，並沿順時針方向運動。完成該圓的四分之一圓周後，它到達

\[ (2R,2R) \]

而其切線速度指向 \(+x\)。

為甚麼它不會沿舊路徑返回？若要原路返回，粒子在 \((R,R)\) 處的速度必須沿著舊圓向下。把 \(\vec B\) 反轉會使磁加速度反向，但不會使 \(\vec v\) 反向。因此，粒子會在另一側沿著新的相切圓弧開始運動。

問題 5

一群電荷正負未知的粒子向右進入一個區域。均勻磁場指向紙面內，而均勻電場指向下方。

當速率為 \(v_0\) 時，粒子不發生偏轉，直接穿過該區域。

然後調整粒子源，使粒子以 \(1.20v_0\) 的速率進入，運動方向仍然向右。這些較快的粒子最初向下偏轉。

其中一個粒子開始彎曲後，其速度仍然主要指向右方，但已獲得一個很小的向下速度分量。

回答以下所有問題：

1. 推導 \(v_0\)、電場強度 \(E\) 和磁場強度 \(B\) 之間的關係。
2. 單憑粒子在 \(v_0\) 時不偏轉的運動，能否判斷粒子帶正電還是負電？
3. 利用在 \(1.20v_0\) 時觀察到的向下偏轉，判斷電荷的正負。
4. 假設粒子獲得少量向下速度分量後，電場突然被關閉。此時磁力具有一個向左的分量。這個向左分量會令粒子的速率降低嗎？
5. 如果電場沒有被關閉，當向下速度分量形成後，判斷電場最初會使粒子的動能增加還是減少。

解答 5

粒子帶負電，\(v_0=E/B\)，磁場本身不能改變它們的速率，而當粒子開始有部分速度向下時，電場最初會使它們的動能減少。

對最初不偏轉的粒子束而言，電力和磁力的大小必須相等：

\[ F_E=F_B. \]

由於粒子進入時的運動方向垂直於磁場，

\[ |q|E=|q|v_0B. \]

約去 \(|q|\) 後得到

\[ v_0=\frac{E}{B}. \]

直線路徑並不能顯示電荷的正負。

要理解原因，先假設粒子帶正電。它向右運動，而 \(\vec B\) 指向紙面內，因此磁力向上。它所受的電力則向下。兩個力可以互相抵消。

現在把電荷符號反轉。兩個力都會反向：磁力向下，電力向上。它們仍然互相抵消。

因此，當粒子以選擇器速率運動而不偏轉時，我們可以知道它的速率，卻不能知道它帶正電還是負電。很容易有人得出「力的方向是這樣，所以粒子一定帶正電」這個結論，但這忽略了當 \(q\) 的符號改變時，兩個力都會同時反向。

現在把速率增加到 \(1.20v_0\)。

電力的大小仍然是

\[ F_E=|q|E. \]

磁力則變成

\[ F_B=|q|(1.20v_0)B. \]

由於 \(v_0B=E\)，

\[ F_B=1.20|q|E. \]

此時磁力大於電力。

對正粒子而言，較大的磁力會指向上方，產生向上的合偏轉。實際觀察到的偏轉卻向下，因此粒子必定帶負電。

現在考慮稍後的一刻，此時負粒子同時向右運動，並有少量向下運動。

如果關閉電場，就只剩下磁力。由於速度已不再完全水平，磁力方向也不再完全垂直。對這個負粒子而言，磁力同時具有向左和向下的分量。

看到向左的力分量時，很容易作出這樣的結論：「粒子正在向右運動，所以這個分量一定會令它減速。」

但這只考慮了運動的一個分量。

粒子同時具有向下的速度分量，而磁力也有相應的向下分量。這兩方面配合起來，使完整的磁力仍然恰好垂直於完整的速度。

因此，磁場不做功，也不能改變粒子的總速率。當軌跡彎曲時，它會使速度在水平與垂直方向之間重新分配，但

\[ |\vec v| \]

保持不變。

最後，讓電場保持開啟。

電場指向下方，但粒子帶負電，因此它所受的電力指向上方。此時粒子已有一個向下的速度分量，因此電力有一個與粒子運動方向相反的分量，並在最初做負功。

粒子的動能開始減少。

這就是概念上的關鍵：磁力可以具有一個與某個坐標方向的速度分量相反的分量，卻不會降低總速率，因為完整的磁力仍然垂直於完整的速度。電力則沒有這種限制，因此可以改變粒子的動能。

理解這項差異後，你就能從個別的 \(F=qvB\sin\theta\) 計算，進一步預測粒子在電場和磁場同時存在時的完整帶電粒子軌跡。