磁場中電荷的圓周運動：HSC 物理

一個質子以與磁場成直角的方向射入均勻磁場。磁力作用在側向，而不是向前或向後。那麼接下來會發生甚麼事：質子會加速、減速、以螺旋路徑離開，還是沿圓周運動？

關鍵在於，側向的力可以改變速度的方向，而不改變速率。如果磁場均勻，這個側向力會隨粒子的運動持續轉向，並始終指向同一個隨路徑而定的圓心。結果就是圓周運動。

這立即帶來兩個很有用的問題：這個圓有多大？完成一圈需要多長時間？

01為甚麼磁場可以使粒子沿圓周運動

先考慮一個質量為 \(m\)、電荷為 \(q\)、速率為 \(v\) 的粒子，沿垂直於大小為 \(B\) 的均勻磁場方向運動。

對於運動中的電荷，磁力的大小為

\[ F_B = |q|vB \]

前提是速度與磁場垂直。這裡的絕對值 \( |q| \) 很重要，因為力的大小必須為正值。電荷的正負則決定力的方向，我們稍後會處理這一點。

如果你需要複習如何求出這個力及其方向，請參閱 磁場中運動電荷所受的力。

現在想像你以恆定速率繞著圓環行駛。即使速度計的讀數保持不變，你的速度仍然在改變，因為速度包含方向。一定有某種力持續把你拉向或推向圓心。

帶電粒子在磁場中的行為也很相似。這個類比之所以有用，是因為磁力就像使物體向內轉彎的力。不過，這個類比也有其限制：汽車需要路面提供接觸力，而且會因摩擦而損失能量；理想情況下，磁力則直接作用於運動中的電荷，而且不做功。

對於圓周運動，所需的向內合力為

\[ F_c = \frac{mv^2}{r} \]

其中 \(r\) 是圓的半徑。

這裡有一個重要的用語要注意。「向心力」並不是在磁力之外額外出現的一種力。它只是我們對「指向圓心的合力」所使用的名稱。

在這種情況下，磁力就是向心力。

02推導半徑

由於磁力提供所需的向內力，

\[ F_B = F_c \]

所以

\[ |q|vB = \frac{mv^2}{r}. \]

對於正在運動的粒子，兩邊同除以 \(v\)：

\[ |q|B = \frac{mv}{r}. \]

重新整理可得

\[ r = \frac{mv}{|q|B}. \]

這個方程式值得理解，而不只是背下來。

如果粒子具有以下特徵，半徑會變大：

• 較大的質量 \(m\)，
• 較大的速率 \(v\)，或
• 較弱的磁場 \(B\)。

如果電荷量的大小 \( |q| \) 較大，半徑就會變小。

在非相對論性的 HSC 模型中，由於 \(p=mv\)，分子也可以寫成動量：

\[ r = \frac{p}{|q|B}. \]

因此，磁場實際上反映了粒子的動量有多難被彎轉。

一個高速、質量大的粒子很難改變方向。相反，在強磁場中的高電荷量粒子則容易得多。

03為甚麼粒子的速率保持不變

一個常見的初步猜想是：磁力持續作用，最終應該會令粒子減速。畢竟，它一直迫使粒子偏離它原本「想要」前進的方向。

但看看力與瞬時運動方向之間的夾角。它始終都是 \(90^\circ\)。

恆力在一小段位移中所做的功可表示為

\[ W = Fs\cos\theta. \]

對磁力而言，

\[ \theta = 90^\circ \]

因此，磁力不對粒子做功。

不做功就表示動能沒有改變。因此，如果磁力是唯一具有顯著作用的力，

\[ K = \frac{1}{2}mv^2 \]

便保持不變，速率也同樣保持不變。

然而，速度仍然會改變，因為它的方向持續改變。

這個區別正是圓周運動模型的核心：速率不變並不代表速度不變。

04推導週期

週期 \(T\) 是完成一個完整軌道所需的時間。

粒子繞一整圈時，所走過的距離等於圓周長，

\[ 2\pi r. \]

時間等於距離除以速率，因此

\[ T = \frac{2\pi r}{v}. \]

現在代入

\[ r = \frac{mv}{|q|B}. \]

則

\[ T = \frac{2\pi}{v}\left(\frac{mv}{|q|B}\right) = \frac{2\pi m}{|q|B}. \]

因此，

\[ \boxed{T = \frac{2\pi m}{|q|B}}. \]

注意哪一個量消失了：\(v\)。

在這個非相對論模型中，週期並不取決於粒子的速率。

一開始這可能有點反直覺。如果粒子運動得更快，難道不應該更快完成一圈嗎？

如果軌道的大小保持不變，確實如此。但實際上軌道大小並不固定。由

\[ r=\frac{mv}{|q|B}, \]

可知把 \(v\) 加倍會令 \(r\) 也加倍。因此，圓周長同樣加倍。粒子以兩倍速率走過一條長度也是兩倍的路徑，所以完成一圈所需的時間保持不變。

這種抵消關係是本主題中最有用的結果之一。

05哪些因素控制半徑和週期？

除非另有說明，以下比較均針對同一種粒子：

反轉電荷的正負或磁場方向，會改變路徑彎曲的方向，但不會改變圓的大小。

06甚麼決定運動方向？

半徑和週期的方程式使用的是 \( |q| \)，因此它們不能告訴你路徑會順時針還是逆時針彎曲。

方向取決於磁力。

對正電荷，使用

\[ \vec F_B = q\vec v\times\vec B. \]

的方向。

對負電荷，則把相同運動情況下正電荷所受力的方向反轉。

假設粒子一開始向右運動，而磁場指向紙面內。正電荷會受到向上的磁力；負電荷則會受到向下的力。

當粒子運動時，這個力的方向會持續改變，但始終與粒子的速度垂直，並指向其圓形路徑的圓心。

07學生常常忽略的條件：\(v\) 必須垂直於 \(B\)

簡單的方程式

\[ F_B=|q|vB \]

假設粒子的運動方向與磁場成 \(90^\circ\)。

更一般地，

\[ F_B=|q|vB\sin\theta, \]

其中 \(\theta\) 是速度與磁場之間的夾角。

只有垂直於磁場的速度分量會被彎轉。

如果把這個分量稱為 \(v_\perp\)，則圓周半徑為

\[ r=\frac{mv_\perp}{|q|B}. \]

任何平行於磁場的速度分量 \(v_\parallel\) 都不受磁力影響。因此，粒子一邊沿磁場方向前進，一邊繞著磁場方向旋轉，形成螺旋線。

有兩個重要的極限情況：

• 如果 \(\theta=90^\circ\)，全部速度都垂直於磁場，因此路徑是一個圓。
• 如果 \(\theta=0^\circ\)，則 \(\sin\theta=0\)，因此沒有磁力，粒子會繼續沿直線運動。

所以，「帶電粒子在磁場中會做圓周運動」並不是完全精確的說法。

一個垂直於均勻磁場運動的帶電粒子，在磁力提供合力的情況下，會做圓周運動。

10三個很容易犯的錯誤

把向心力當成額外的一種力

學生可能會寫成

\[ F_{\text{net}}=F_B+F_c. \]

這樣其實把同一個物理作用計算了兩次。

「向心力」是指圓周運動所需要的向內合力。在這裡，

\[ F_B=F_c. \]

認為較快的粒子有較短的週期

較快的粒子確實能更快走過一段距離，但它的軌道同時也會變大。

因為

\[ r\propto v, \]

軌道距離增加的比例恰好與速率增加的比例相同。因此，

\[ T=\frac{2\pi m}{|q|B} \]

在非相對論模型中與 \(v\) 無關。

認為磁場賦予粒子動能

磁場會彎曲粒子的軌跡，但不會增加粒子的動能，因為磁力與運動方向垂直。

如果速率發生改變，就必定涉及其他相互作用，例如電場。

11問題與解答

問題 1

一個電子以 \(4.00\times10^6\text{ m s}^{-1}\) 的速率向右運動，通過一個大小為 \(0.250\text{ T}\)、方向指向紙面內的均勻磁場。

計算其圓形路徑的半徑，並說明它最初會向上還是向下彎曲。

使用 \(m_e=9.11\times10^{-31}\text{ kg}\) 及 \(e=1.60\times10^{-19}\text{ C}\)。

解答 1

電子沿半徑為 \(9.11\times10^{-5}\text{ m}\) 的路徑運動，並且最初向下彎曲。

計算半徑時，使用電子電荷量的大小：

\[ \begin{aligned} r &=\frac{mv}{|q|B}\\ &=\frac{(9.11\times10^{-31})(4.00\times10^6)} {(1.60\times10^{-19})(0.250)}\\ &=9.11\times10^{-5}\text{ m}. \end{aligned} \]

如果是正電荷向右運動，而 \(B\) 指向紙面內，磁力會指向上方。電子帶負電，因此其受力方向相反：向下。

一個很容易犯的錯誤，是把電子的負電荷直接代入半徑方程式，得到「負半徑」。半徑是一個大小。電荷的正負決定彎曲方向，而不是軌道的大小。

問題 2

一個帶電粒子垂直於 \(0.300\text{ T}\) 的均勻磁場運動。它沿半徑為 \(0.0800\text{ m}\) 的圓形路徑，恰好走過半圓，所需時間為 \(3.30\times10^{-7}\text{ s}\)。

求：

• 粒子的速率，以及
• 其質量與電荷量大小之比 \(m/|q|\)。

解答 2

粒子的速率為 \(7.62\times10^5\text{ m s}^{-1}\)，其質量與電荷量大小之比為 \(3.15\times10^{-8}\text{ kg C}^{-1}\)。

對半圓而言，走過的距離不是 \(2\pi r\)，而是

\[ s=\pi r. \]

因此，

\[ \begin{aligned} v &=\frac{\pi r}{t}\\ &=\frac{\pi(0.0800)} {3.30\times10^{-7}}\\ &=7.62\times10^5\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

題目所給的時間是半個週期，所以

\[ T=2(3.30\times10^{-7}) =6.60\times10^{-7}\text{ s}. \]

使用

\[ T=\frac{2\pi m}{|q|B}, \]

重新整理：

\[ \frac{m}{|q|} =\frac{TB}{2\pi}. \]

因此

\[ \begin{aligned} \frac{m}{|q|} &=\frac{(6.60\times10^{-7})(0.300)} {2\pi}\\ &=3.15\times10^{-8}\text{ kg C}^{-1}. \end{aligned} \]

一個很容易選錯的方法，是直接把走半圓所需的時間當成 \(T\)。這會使計算出的 \(m/|q|\) 變成正確值的一半。路徑的幾何形狀決定了實際經過了完整週期的多少部分。

問題 3

一個質子和一個 α 粒子垂直於磁力線進入同一個均勻磁場。它們具有相同的動能。

在本題中，取

\[ m_\alpha=4m_p \]

以及

\[ q_\alpha=2q_p. \]

比較：

• 它們的軌道半徑，以及
• 它們的週期。

解答 3

質子和 α 粒子的軌道半徑相同，而 α 粒子的週期是質子的兩倍。

令人意外的是半徑。很容易從

\[ r=\frac{mv}{qB} \]

出發，認為 α 粒子的質量較大，因此必定形成較大的圓。但這兩個粒子的速率並不相同。

對固定動能 \(K\)，

\[ K=\frac12mv^2. \]

因此，

\[ v=\sqrt{\frac{2K}{m}}. \]

把這個式子代入半徑方程式：

\[ \begin{aligned} r &=\frac{m}{|q|B}\sqrt{\frac{2K}{m}}\\ &=\frac{\sqrt{2mK}}{|q|B}. \end{aligned} \]

比較 α 粒子與質子：

\[ \frac{r_\alpha}{r_p} = \frac{\sqrt{m_\alpha}/q_\alpha} {\sqrt{m_p}/q_p}. \]

使用 \(m_\alpha=4m_p\) 及 \(q_\alpha=2q_p\)，

\[ \frac{r_\alpha}{r_p} = \frac{\sqrt4}{2} =1. \]

所以它們的半徑相同。

至於週期，

\[ T=\frac{2\pi m}{|q|B}, \]

因此

\[ \frac{T_\alpha}{T_p} = \frac{m_\alpha/q_\alpha} {m_p/q_p} = \frac{4}{2} =2. \]

所以 α 粒子完成同樣大小的圓形軌道所需的時間是質子的兩倍。

關鍵限制條件是動能相同，而不是速率相同。α 粒子的質量較大，因此運動得較慢；這個較低的速率恰好抵消了半徑式中的質量和電荷因素。

問題 4

一個未知的正電粒子由靜止開始，經 \(30.0\text{ kV}\) 的電勢差加速。之後，它以直角進入 \(0.200\text{ T}\) 的均勻磁場。

其圓形路徑的半徑為 \(0.150\text{ m}\)，測得週期為 \(4.71\times10^{-7}\text{ s}\)。

一名學生主張：

「我們知道加速電壓、磁場、半徑和週期，所以已有足夠資料分別計算粒子的質量和電荷。」

檢驗這名學生的說法。求出粒子的速率和 \(m/q\)，檢查加速電壓是否與磁場測量結果一致，並判斷是否真的可以分別求出 \(m\) 和 \(q\)。

解答 4

粒子的速率約為 \(2.00\times10^6\text{ m s}^{-1}\)，其質量與電荷之比為 \(1.50\times10^{-8}\text{ kg C}^{-1}\)，而 \(30.0\text{ kV}\) 的加速電壓與這些測量結果一致。然而，僅根據題目所提供的資料，仍然無法分別確定質量和電荷。

首先，把半徑和週期關係結合起來。

由於

\[ T=\frac{2\pi r}{v}, \]

速率為

\[ \begin{aligned} v &=\frac{2\pi r}{T}\\ &=\frac{2\pi(0.150)} {4.71\times10^{-7}}\\ &=2.00\times10^6\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]

接著使用週期方程式：

\[ T=\frac{2\pi m}{qB}. \]

由於粒子帶正電，\(q=|q|\)。重新整理，

\[ \frac{m}{q} =\frac{TB}{2\pi}. \]

所以

\[ \begin{aligned} \frac{m}{q} &=\frac{(4.71\times10^{-7})(0.200)} {2\pi}\\ &=1.50\times10^{-8}\text{ kg C}^{-1}. \end{aligned} \]

現在檢查加速電壓。

由靜止開始，

\[ qV=\frac12mv^2. \]

兩邊同除以 \(q\)：

\[ V=\frac12\left(\frac{m}{q}\right)v^2. \]

代入磁場測量所得的數值，

\[ \begin{aligned} V &=\frac12(1.50\times10^{-8})(2.00\times10^6)^2\\ &=3.00\times10^4\text{ V}\\ &=30.0\text{ kV}. \end{aligned} \]

所以這些測量結果彼此一致。

這名學生的想法很容易令人信服，因為看起來我們有多條方程式，也有多個未知量。問題在於，這些方程式並沒有提供彼此獨立的 \(m\) 與 \(q\) 資訊。

磁場中的週期決定的是比值

\[ \frac{m}{q}, \]

而不是單獨的 \(m\) 或 \(q\)。加速電壓方程式同樣會化簡成涉及相同比值的條件：

\[ \frac{m}{q}=\frac{2V}{v^2}. \]

例如，如果 \(m\) 和 \(q\) 同時加倍，以上所有測量結果都會保持不變。

要分別確定實際的質量和電荷，還需要一項額外的獨立測量，或對粒子的電荷態作出額外假設。

問題 5

一個正離子在均勻磁場 \(B\) 中運動。一個狹窄的加速間隙位於其軌道的一條直徑上。離子每次穿過間隙時，電場都會令其動能增加相同的量 \(\Delta K\)。在間隙之外，只有均勻磁場作用。

在某一次特定穿越之後，離子的動能為 \(K_0\)。

假設運動始終保持在非相對論範圍。

求：

1. 連續兩次穿過間隙之間的時間，
2. 再經過 \(n\) 次能量增加後的半徑，
3. 相鄰兩個軌道半徑之差是保持不變、增加還是減少，以及
4. 為甚麼即使每一段半圓路徑都愈來愈大，具有固定單一頻率的交變電場仍可持續加速離子。

解答 5

離子每隔 \(\pi m/(qB)\) 穿過一次間隙；再經過 \(n\) 次能量增加後，其半徑為

\[ r_n=\frac{\sqrt{2m(K_0+n\Delta K)}}{qB}, \]

相鄰半徑之間的間距會減少；而固定頻率的交變電場之所以能保持同步，是因為路徑長度的增加恰好由速率的增加所抵消。

先從完整磁場軌道所需的時間開始：

\[ T=\frac{2\pi m}{qB}. \]

間隙位於一條直徑上，因此離子每走完一個半圓就會到達間隙。所以，

\[ t_{\text{gap}} =\frac{T}{2} =\frac{\pi m}{qB}. \]

這個時間不包含 \(v\)，也不包含動能。

現在考慮軌道大小。

再經過 \(n\) 次穿越，而每次都增加 \(\Delta K\) 後，

\[ K_n=K_0+n\Delta K. \]

利用

\[ K_n=\frac12mv_n^2, \]

速率為

\[ v_n=\sqrt{\frac{2K_n}{m}}. \]

磁場中的軌道半徑為

\[ r_n=\frac{mv_n}{qB}. \]

代入可得

\[ \begin{aligned} r_n &=\frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2(K_0+n\Delta K)}{m}}\\ &=\frac{\sqrt{2m(K_0+n\Delta K)}}{qB}. \end{aligned} \]

因此，

\[ r_n\propto\sqrt{K_0+n\Delta K}. \]

每次加速後，半徑都會增加，但相同的動能增量並不會造成相同的半徑增量。

相鄰兩個半徑之間的差為

\[ r_{n+1}-r_n = \frac{\sqrt{2m}}{qB} \left[ \sqrt{K_0+(n+1)\Delta K} - \sqrt{K_0+n\Delta K} \right]. \]

隨著 \(n\) 增大，兩個平方根之間的差會變小。因此，各個軌道半徑會逐漸靠得更近。

主要的概念陷阱，是只注意到半徑愈來愈大。較大的半圓具有較長的路徑，因此很容易認為離子每次都會更晚到達間隙。

但它的速率也提高了。

對一個半圓，

\[ t=\frac{\pi r}{v}. \]

代入

\[ r=\frac{mv}{qB} \]

可得

\[ t = \frac{\pi}{v}\frac{mv}{qB} = \frac{\pi m}{qB}. \]

速率恰好完全抵消。

所以，即使離子沿著愈來愈大的半圓運動，它每一次仍然會在相同的時間後回到間隙。

電場必須在兩次穿越之間反轉方向，才能向前推動正離子，而不是使它減速。由於每隔 \(T/2\) 就會穿越一次間隙，因此一個完整週期為

\[ T=\frac{2\pi m}{qB} \]

的交變電場可以保持同步。因此，其頻率為

\[ f=\frac{1}{T} =\frac{qB}{2\pi m}. \]

這就是迴旋加速器背後的核心原理。

固定週期這個結果依賴於推導時所採用的假設。當速率高到相對論效應變得顯著時，這個簡單的非相對論關係便不再完全成立。

12這個結果讓你接下來可以做甚麼

以下兩個方程式

\[ r=\frac{mv_\perp}{|q|B} \]

以及

\[ T=\frac{2\pi m}{|q|B} \]

告訴你帶電粒子的不同資訊。

半徑包含其垂直於磁場方向的動量資訊。週期則包含其質量與電荷量大小之比的資訊。把兩者結合起來，你就可以從觀察到的軌跡反推粒子的性質，而不只是預測軌跡。

下一個很有用的比較是電場。電場可以改變粒子的動能，而磁場可以在不改變速率的情況下使其速度方向彎轉。一旦清楚區分這兩種作用，分析同時結合電場和磁場的裝置就會容易得多。