麥克斯韋對光速的預測：HSC 物理

想像一下，你從未測量過光速。你只知道電荷彼此之間的電力有多強，以及電流產生磁場的能力有多強。這些測量結果能告訴你光傳播得有多快嗎？

麥克斯韋方程組說可以。方程中包含兩個電磁常數，\(\varepsilon_0\) 和 \(\mu_0\)，而當這兩個常數結合起來時，就會得到一個速度：

\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \]

在計算之前，先作一個預測。如果這個速度剛好與實際測得的光速相同，你會把它視為純粹的巧合嗎？

麥克斯韋不這樣認為。這個吻合正是線索，指出光本身就是一種電磁波。

01隱藏在電與磁之中的速度

初次接觸這兩個常數時，它們看起來相當普通。

你可以在庫侖定律中看到 \(\varepsilon_0\)：

\[ F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2} \]

在這裡，\(F\) 是以牛頓為單位的電力，\(q_1\) 和 \(q_2\) 是以庫侖為單位的電荷量，而 \(r\) 是它們之間以米為單位的距離。

你也可以在長直載流導線周圍的磁場公式中看到 \(\mu_0\)：

\[ B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]

在這裡，\(B\) 是以特斯拉為單位的磁場強度，\(I\) 是以安培為單位的電流，而 \(r\) 是距離導線的米數。

乍看之下，這些方程似乎描述的都是靜態情況：電荷停留在原處，或穩定電流流經導線。當中沒有任何東西明顯讓人想到「光」。

但當場隨時間變化時，情況就不同了。

02麥克斯韋如何讓場形成波

法拉第定律把變化中的磁場與電場連繫起來。安培－麥克斯韋定律則把變化中的電場與磁場連繫起來。

因此，想像電場中出現一個擾動。這些方程不容許這個擾動只保持為純粹的電場現象。電與磁的行為彼此耦合，使這個擾動可以在空間中傳播。

一個有用的類比，是繃緊弦線上的波。弦波的速度並不是由搖動弦線的人任意決定的，而是取決於系統本身的性質，例如張力和單位長度的質量。

電磁波也有同樣的基本概念：它的傳播速度由控制方程中本來就存在的物理量所決定。

但類比到這裡就應停止。真空並不真的是某種物質弦線，而 \(\varepsilon_0\) 和 \(\mu_0\) 也不是光需要某種隱藏介質才能傳播的證據。

當麥克斯韋方程組在真空中結合起來時，會得到一個波動方程。以電場的一個分量為例，其形式為

\[ \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = \mu_0\varepsilon_0 \frac{\partial^2 E}{\partial t^2} \]

在這裡，\(E\) 是電場分量，\(x\) 是位置，而 \(t\) 是時間。

你不需要被導數符號分散注意力，也能看出關鍵的一步。一般的一維波動方程具有以下形式：

\[ \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} \]

其中 \(y\) 是正在波動的物理量，而 \(v\) 是波速。

比較兩者的係數：

\[ \frac{1}{v^2}=\mu_0\varepsilon_0 \]

因此，

\[ v^2=\frac{1}{\mu_0\varepsilon_0} \]

所以

\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \]

這就是麥克斯韋的預測。

留意這裡發生了甚麼。我們並沒有在任何地方代入實際測得的光速。這個速度是直接從電與磁的方程中得出的。

03為甚麼這個數值上的吻合如此重要

在十九世紀，人們已經透過光學測量估算出光速。麥克斯韋則從完全不同的方向切入這個問題：電與磁。

他的理論預測了電磁波，而且其速度接近以獨立方法測得的光速。

這比單純發現兩種東西都移動得很快有力得多。這些方程在計算中根本不需要先代入「光」，就預測出了一個特定的速度。因此，麥克斯韋主張光就是一種電磁擾動。

這個速度結果，是 麥克斯韋對電磁波的預測 中更完整論證的一部分。

不過，在推理上仍然值得保持謹慎。速度吻合是支持這種判定的有力證據，但單憑數值吻合本身並不是某種神奇的證明。完整理論還對電磁波的電場與磁場結構、傳播方式和行為作出了其他預測。

04如果常數改變，會發生甚麼？

由

\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} \]

可以看出，波速取決於乘積 \(\mu\varepsilon\)。

由此可以得到一個實用的判斷規則：

• 如果 \(\mu\varepsilon\) 增加，\(v\) 便減小；
• 如果 \(\mu\varepsilon\) 減小，\(v\) 便增加；
• 如果 \(\mu\varepsilon\) 保持不變，\(v\) 也保持不變。

平方根很重要。把乘積加倍並不會令速度減半，而是令速度變為原來的 \(1/\sqrt{2}\)。

若要與真空作比較，通常把兩個速度方程相除會更簡潔：

\[ \frac{v}{c} = \sqrt{ \frac{\mu_0\varepsilon_0}{\mu\varepsilon} } \]

在這裡，\(c\) 是真空中的電磁波速度。

05這些常數並不是電磁「阻力」

一個常見的直覺圖像是：較大的介電常數或磁導率會使空間變得某種程度上「更厚」，所以波必須更費力地穿過。

這種圖像很快就會產生誤導。

\(\varepsilon_0\) 和 \(\mu_0\) 都不是摩擦係數。真空中的電磁波不會僅僅因為這些常數不為零，就持續損失能量。這些常數決定了麥克斯韋方程組中電與磁的物理量之間的關係，而它們的乘積則決定波速。

還有另一個很誘人的過度簡化說法：「電場產生磁場，然後磁場再產生另一個電場，兩者就這樣永遠輪流下去。」

這個說法大概有十秒鐘的用處。

更準確地說，電場和磁場在空間與時間上的變化，是透過麥克斯韋方程組彼此耦合的。在真空中傳播的正弦電磁波裡，電場和磁場是一起振盪，而不是像兩個人互傳愈來愈焦急的訊息那樣，禮貌地輪流行動。

06先談真空，再談物質

在真空中，

\[ c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \]

對於簡單、均勻且線性的材料，相應的模型是

\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} \]

其中 \(\mu\) 和 \(\varepsilon\) 描述材料的性質。

真實材料可能更複雜。它們的電磁響應可能取決於頻率，而且也可能吸收能量。對於使用這個關係式的 HSC 類型計算題，除非題目另有說明，否則應假設所給的 \(\mu\) 和 \(\varepsilon\) 是適用的有效值。

一旦知道波速，一般的波動關係式仍然適用：

\[ v=f\lambda \]

其中 \(f\) 是以赫茲為單位的頻率，而 \(\lambda\) 是以米為單位的波長。

當波從一種介質進入另一種介質時，它的頻率由波源決定，並在邊界兩側保持連續。如果速度改變，波長也會隨之改變。

當你把麥克斯韋的結果與電磁波譜連繫起來時，這項區別就會變得很重要。

07一個現代細節：今日的 SI 改變了甚麼才算是獨立檢驗

麥克斯韋當年的歷史性計算，與今天把現代標準表列常數代入計算機之間，存在一個細微但重要的差別。

在現代 SI 中，真空中的光速被指定為精確值

\[ c=299\,792\,458\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

而且自 1983 年起一直用於「米」的定義。自 2019 年 SI 修訂後，\(\mu_0\) 已不再被指定為舊有的精確數值。不過，在 SI 中，這些電磁常數仍然嚴格滿足以下關係：

\[ \mu_0\varepsilon_0=\frac{1}{c^2} \]

BIPM

因此，如果你取用現代、彼此自洽的 SI 表列 \(\mu_0\) 和 \(\varepsilon_0\) 數值，把它們代入麥克斯韋公式並重新得到 \(c\)，你所驗證的是這些數值彼此一致。你並沒有重現麥克斯韋當年把電磁測量與光學測量作獨立比較的同一種檢驗。

這與為甚麼光速現在被用來定義米密切相關。

08問題與解答

問題 1

在某個假想區域中，磁導率與介電常數的乘積為

\[ \mu\varepsilon=1.60\times10^{-17}\ \mathrm{s^2\,m^{-2}} \]

計算：

a. 該區域中的電磁波速度；

b. 波傳播 \(750\ \mathrm{m}\) 所需的時間。

解答 1

波速為 \(2.50\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，而傳播 \(750\ \mathrm{m}\) 需要 \(3.00\times10^{-6}\ \mathrm{s}\)。

對於 a 部分，麥克斯韋的波速關係式為

\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} \]

代入：

\[ v = \frac{1}{ \sqrt{1.60\times10^{-17}} } \]

由於

\[ \sqrt{1.60\times10^{-17}} = 4.00\times10^{-9}\ \mathrm{s\,m^{-1}} \]

因此得到

\[ v = \frac{1}{4.00\times10^{-9}} = 2.50\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

對於 b 部分，

\[ t=\frac{d}{v} \]

所以

\[ t = \frac{750} {2.50\times10^8} = 3.00\times10^{-6}\ \mathrm{s} \]

最主要的陷阱是忘記開平方，直接計算 \(1/(\mu\varepsilon)\)。那個結果甚至不會具有速度的單位。

問題 2

一個電磁波在某個假想的類真空區域中以 \(2.80\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) 傳播。該區域的磁導率為 \(1.20\times10^{-6}\ \mathrm{H\,m^{-1}}\)。

a. 計算它的介電常數。

b. 把你的結果與 \(\varepsilon_0=8.85\times10^{-12}\ \mathrm{F\,m^{-1}}\) 比較。

c. 解釋為甚麼只知道波的速度比真空中的光速慢，並不能告訴你究竟是磁導率、介電常數，還是兩者都發生了變化。

解答 2

介電常數為 \(1.06\times10^{-11}\ \mathrm{F\,m^{-1}}\)，比 \(\varepsilon_0\) 大約高 \(20\%\)；單憑波速無法判斷哪一個個別常數發生了變化，因為波速只限制它們的乘積。

從

\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} \]

開始，兩邊平方：

\[ v^2=\frac{1}{\mu\varepsilon} \]

整理求 \(\varepsilon\)：

\[ \varepsilon=\frac{1}{\mu v^2} \]

代入數值：

\[ \begin{aligned} \varepsilon &= \frac{1}{ (1.20\times10^{-6}) (2.80\times10^8)^2 }\\ &= \frac{1}{ (1.20\times10^{-6})(7.84\times10^{16}) }\\ &= 1.06\times10^{-11}\ \mathrm{F\,m^{-1}} \end{aligned} \]

與 \(\varepsilon_0\) 比較：

\[ \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} = \frac{1.06\times10^{-11}} {8.85\times10^{-12}} \approx1.20 \]

因此，介電常數約大 \(20\%\)。

對於 c 部分，控制條件為

\[ \mu\varepsilon=\frac{1}{v^2} \]

因此，測量 \(v\) 所決定的是乘積 \(\mu\varepsilon\)，而不是分別決定 \(\mu\) 和 \(\varepsilon\)。許多不同的 \(\mu\) 與 \(\varepsilon\) 組合都可能產生相同的波速。

一個很誘人的做法，是把較慢的速度歸因於題目所給的磁導率。但如果沒有至少對其中一個常數進行獨立測量，單憑速度無法把兩者的影響分開。

問題 3

一個頻率為 \(2.00\times10^8\ \mathrm{Hz}\) 的單色電磁波，在某均勻材料中傳播，波長為 \(1.20\ \mathrm{m}\)。假設 \(\mu=\mu_0\)，並取 \(c=3.00\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

a. 計算波在材料中的速度。

b. 求 \(\varepsilon/\varepsilon_0\)。

c. 接著，波離開材料並進入真空。寫出它在真空中的頻率和波長，並解釋哪一個物理量會在邊界處改變。

解答 3

波的速度為 \(2.40\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)，材料具有 \(\varepsilon=1.56\varepsilon_0\)；進入真空後，頻率保持為 \(2.00\times10^8\ \mathrm{Hz}\)，而波長增加至 \(1.50\ \mathrm{m}\)。

對於 a 部分，使用

\[ v=f\lambda \]

所以

\[ v = (2.00\times10^8)(1.20) = 2.40\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

對於 b 部分，

\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon}} \]

而在真空中，

\[ c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \]

把兩個方程相除：

\[ \frac{c}{v} = \sqrt{\frac{\varepsilon}{\varepsilon_0}} \]

因為 \(\mu=\mu_0\)。

平方後得到

\[ \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} = \left(\frac{c}{v}\right)^2 \]

因此，

\[ \frac{\varepsilon}{\varepsilon_0} = \left( \frac{3.00\times10^8} {2.40\times10^8} \right)^2 = (1.25)^2 = 1.5625 \]

所以

\[ \varepsilon\approx1.56\varepsilon_0 \]

對於 c 部分，頻率保持為

\[ f=2.00\times10^8\ \mathrm{Hz} \]

因為振盪速率由波源決定。當波重新進入真空後，其速度變為 \(c\)，所以

\[ \lambda_0=\frac{c}{f} \]

而

\[ \lambda_0 = \frac{3.00\times10^8} {2.00\times10^8} = 1.50\ \mathrm{m} \]

一個很誘人的預測是：較慢的波一定會以較慢的頻率振盪。實際上，在一般的靜止邊界上，頻率保持不變，而波長會調整以配合新的波速。

問題 4

某個假想的均勻區域 \(X\) 遵循一般的電磁方程。

實驗發現兩項事實：

• 兩個固定電荷在相同距離下所受的力，只有它們在真空中所受力的 \(\frac{2}{3}\)；
• 區域 \(X\) 中的電磁波恰好以真空中的速度 \(c\) 傳播。

求：

a. \(\varepsilon_X/\varepsilon_0\)；

b. \(\mu_X/\mu_0\)；

c. 對同一條長直導線，在相同距離、承載相同電流時，磁場比值 \(B_X/B_0\)。

一名學生認為，由於波速沒有改變，所以兩個電磁常數都必須等於它們的真空值。請準確解釋這個推理錯在哪裡。

解答 4

所需比值為 \(\varepsilon_X/\varepsilon_0=3/2\)、\(\mu_X/\mu_0=2/3\)，以及 \(B_X/B_0=2/3\)；波速不變所固定的是乘積 \(\mu\varepsilon\)，而不是分別固定兩個常數。

首先使用庫侖定律。對固定的電荷量和間距而言，

\[ F\propto\frac{1}{\varepsilon} \]

因此，

\[ \frac{F_X}{F_0} = \frac{\varepsilon_0}{\varepsilon_X} \]

題目給出

\[ \frac{F_X}{F_0}=\frac{2}{3} \]

所以

\[ \frac{2}{3} = \frac{\varepsilon_0}{\varepsilon_X} \]

因此

\[ \varepsilon_X=\frac{3}{2}\varepsilon_0 \]

對於 b 部分，波速不變：

\[ \frac{1}{\sqrt{\mu_X\varepsilon_X}} = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \]

因此，

\[ \mu_X\varepsilon_X = \mu_0\varepsilon_0 \]

代入 \(\varepsilon_X=\frac{3}{2}\varepsilon_0\)：

\[ \mu_X \left(\frac{3}{2}\varepsilon_0\right) = \mu_0\varepsilon_0 \]

所以

\[ \mu_X=\frac{2}{3}\mu_0 \]

對於 c 部分，長直導線周圍的磁場為

\[ B=\frac{\mu I}{2\pi r} \]

當 \(I\) 和 \(r\) 保持不變時，

\[ B\propto\mu \]

所以

\[ \frac{B_X}{B_0} = \frac{\mu_X}{\mu_0} = \frac{2}{3} \]

這名學生的錯誤相當細微。由

\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}} \]

開始，條件 \(v_X=c\) 告訴我們

\[ \mu_X\varepsilon_X=\mu_0\varepsilon_0 \]

它並不要求

\[ \mu_X=\mu_0 \]

以及

\[ \varepsilon_X=\varepsilon_0 \]

分別成立。

在這裡，其中一個常數增加為原來的 \(3/2\)，而另一個減少為原來的 \(2/3\)。它們的乘積沒有改變，所以即使靜電和靜磁響應都與真空不同，波速仍然保持不變。

這就是為甚麼單憑測量波速，無法重建兩個電磁常數各自的數值。

問題 5

在 2026 年，一名學生查閱 SI 表列的 \(\mu_0\) 和 \(\varepsilon_0\) 數值，計算

\[ \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \]

並得到 \(299\,792\,458\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)。

他們得出結論：

「我已經以與麥克斯韋當年完全相同的方法，獨立驗證了麥克斯韋在十九世紀作出的預測。」

評估這項結論。你的答案應區分：

• 麥克斯韋的物理預測；
• 當年與實測光速進行的歷史性比較；以及
• \(c\)、\(\mu_0\) 和 \(\varepsilon_0\) 在現代 SI 中的地位。

解答 5

這名學生的計算與麥克斯韋的電磁關係式一致，但它並不是與麥克斯韋當年的歷史性比較同類型的獨立現代實驗驗證。

麥克斯韋的物理預測來自他的電磁方程本身的結構。這些方程意味著電場和磁場中的擾動可以以下列速度傳播：

\[ v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} \]

歷史上真正非凡的一步，是接著把由電磁物理量得到的速度，與透過獨立光學測量得到的速度作比較。兩者高度吻合，支持了麥克斯韋把光判定為電磁波的觀點。

現代計算的邏輯結構則不同。

在今天的 SI 中，真空中的光速被指定為精確數值

\[ c=299\,792\,458\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

而電磁常數嚴格滿足

\[ \varepsilon_0\mu_0=\frac{1}{c^2} \]

自 2019 年 SI 修訂後，\(\mu_0\) 本身已不再被指定為舊有的精確值 \(4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{H\,m^{-1}}\)，但 \(\varepsilon_0\)、\(\mu_0\) 和 \(c\) 並不是三個可以彼此完全獨立自由取值的表列數字。BIPM

因此，

\[ \frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}} = \frac{1}{\sqrt{1/c^2}} = c \]

對一組彼此自洽的 SI 數值而言，這個結果必然成立。

一個很誘人的思路，是看到如此令人印象深刻的數值吻合，便假設有兩項獨立測量從不同方向得到了相同結果。但在現代這種計算中，缺少的正是這種獨立性。這些常數在 SI 框架中早已彼此建立了關係。

這並不削弱麥克斯韋的歷史成就，也不代表電磁理論不能接受實驗檢驗。它只表示，使用現代 SI 表列常數所進行的這種特定代入計算，並不是一次全新的獨立檢驗。

09這個結果接下來開啟了甚麼

麥克斯韋的重要突破，並不只是算出了一個非常大的數字，而是發現控制電場和磁場的方程本身就包含一個波速，而且這個速度與光速吻合。

一旦光被確認為電磁輻射，熟悉的波動關係式

\[ c=f\lambda \]

便把每一種真空中的電磁波與其頻率和波長連繫起來。無線電波、微波、紅外線、可見光、紫外線、X 射線和伽馬射線的 \(f\) 和 \(\lambda\) 差異極大，但麥克斯韋的理論把它們歸入同一個電磁波家族。

這就是從麥克斯韋方程組通往電磁波譜的橋樑，再由此延伸到連續光譜、發射光譜與吸收光譜等概念。