利用都卜勒位移測量恆星運動：HSC Physics

一條氫吸收線在實驗室中的波長為 \(656.3\) nm，但在恆星的光譜中卻出現在稍微不同的波長。這個位移可以告訴我們恆星正以多快的速度朝向或遠離我們。不過，假設同一條譜線也明顯比實驗室中的譜線更寬。這只是測量比較不精確，還是恆星其實正在告訴我們其他資訊？

先預測一下：如果整顆恆星直接遠離地球，它的光譜線在波長圖上主要應該是向旁邊移動，還是變得更寬？

它主要會向旁邊移動。不過，如果恆星正在自轉，其表面的不同部分會同時朝向和遠離我們。它們各自稍有不同的都卜勒位移疊加在一起，就會形成一條展寬的譜線。

因此，同一份光譜能提供兩種不同的線索：譜線位移可以揭示徑向速度，而譜線展寬則可以揭示投影自轉速度。

01兩種運動會留下不同的特徵

把一顆無法在空間上分辨出表面細節的恆星想像成一個微小而旋轉的圓盤。

如果整顆恆星正在遠離地球，每一個可見部分都共同具有這個整體運動。它的光譜線會移向較長的波長。如果恆星朝向我們移動，光譜線則會移向較短的波長。

自轉則不同。旋轉恆星的一側有部分速度朝向我們，而另一側則有部分速度遠離我們。

接近我們的一側會產生少量藍移。遠離我們的一側會產生少量紅移。介於這兩個極端之間的區域具有介於兩者之間的視線方向速度，因此也會產生介於兩者之間的位移。

對遙遠恆星而言，望遠鏡通常無法把所有這些表面區域分別辨認出來。它會把它們的光一起收集起來。因此，結果不是一組整齊分開的譜線，而是一條展寬的光譜線。

因此，一個實用的初步模型是：

「初步」這個詞很重要。譜線展寬並不只由自轉造成。溫度、氣體運動、壓力效應以及測量儀器也都可能使光譜線變寬。只有在已經辨認出自轉展寬，或已經把其他展寬因素計算在內之後，我們才能推斷自轉。

如果你需要複習吸收線和發射線是如何形成的，可以閱讀 連續光譜、發射光譜與吸收光譜：HSC Physics。

02徑向速度來自譜線的位置

假設某種元素在實驗室中產生波長為 \(\lambda_0\) 的譜線。我們在恆星的光譜中觀察到同一條譜線的波長為 \(\lambda_{\text{obs}}\)。

波長變化為

\[
\Delta \lambda = \lambda_{\text{obs}}-\lambda_0
\]

其中：

• \(\lambda_0\) 是靜止實驗室光源所測得的波長，
• \(\lambda_{\text{obs}}\) 是從恆星觀察到的波長，而
• \(\Delta\lambda\) 是都卜勒位移。

對於遠低於光速的速度，適合 HSC 使用的都卜勒關係式為

\[
\frac{v_r}{c}\approx\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
\]

所以

\[
v_r\approx c\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
\]

這裡，\(v_r\) 是恆星的徑向速度，而 \(c=3.00\times10^8\) m/s 是光速。

我們採用以下正負號慣例：

• \(v_r>0\)：遠離我們，因此譜線紅移；
• \(v_r<0\)：朝向我們，因此譜線藍移。

為甚麼稱為「徑向」速度，而不只是「速度」？

因為光譜學只能測量沿我們視線方向的運動分量。一顆恆星也可能在天空中橫向移動。這個橫向分量不會產生這種簡單的都卜勒位移。

03自轉改變的是寬度，而不只是中心位置

現在想像同一顆恆星正在自轉。

令它的赤道自轉速度為 \(v_{\text{eq}}\)。除非我們正好沿著它的自轉軸觀察，否則其中一側邊緣會有朝向我們的自轉速度分量，而相反的一側則會有遠離我們的速度分量。

那麼，為甚麼一側的藍移不會剛好與另一側的紅移互相抵消？

因為望遠鏡相加的是光強度，而不是波長位移。恆星的一個部分會在稍短的波長產生吸收，另一個部分則會在稍長的波長產生吸收，而其他區域會在兩者之間的波長產生吸收。這些貢獻彼此重疊，形成一個更寬的吸收特徵。

這有點像十個人試圖唱出同一個音，其中一些人站在朝你移動的電動步道上，另一些人則正在遠離你。原本的音並沒有改變，但你接收到的是一系列經過都卜勒位移的版本。這個類比並不完全精確，因為恆星譜線的輪廓取決於恆星表面不同區域的亮度和速度，也會受到其他展寬機制影響。

傾角問題

這裡有一個重要的複雜因素。

假設一顆恆星自轉得非常快，但它的自轉軸幾乎直接指向地球。從我們的角度看，大部分表面運動便是橫向的。沿視線方向的速度分量很小，因此自轉展寬也可能很小。

定義 \(i\) 為自轉軸與我們視線方向之間的夾角。

• \(i=0^\circ\)：我們幾乎從恆星的極區方向觀察它。
• \(i=90^\circ\)：我們從恆星的赤道方向觀察它。

因此，光譜展寬通常給出的是

\[
v_{\text{eq}}\sin i
\]

而不是 \(v_{\text{eq}}\) 本身。

這個量稱為投影自轉速度。

因此，一條狹窄的譜線並不能證明恆星自轉緩慢。它可能自轉得很快，只是我們幾乎從極區方向觀察它。

04把位移和展寬分開

對一條理想化的展寬譜線，假設其因自轉展寬而形成的藍端和紅端分別是 \(\lambda_{\text{blue}}\) 和 \(\lambda_{\text{red}}\)。

其中心約為

\[
\lambda_c=\frac{\lambda_{\text{red}}+\lambda_{\text{blue}}}{2}
\]

這個中心相對實驗室波長的位移告訴我們徑向速度：

\[
v_r\approx c\frac{\lambda_c-\lambda_0}{\lambda_0}
\]

自轉半寬為

\[
\Delta\lambda_{\text{rot}}
=\frac{\lambda_{\text{red}}-\lambda_{\text{blue}}}{2}
\]

而在同樣的低速近似下，

\[
v_{\text{eq}}\sin i
\approx
c\frac{\Delta\lambda_{\text{rot}}}{\lambda_0}
\]

或

\[
v_{\text{eq}}\sin i
\approx
c\frac{\lambda_{\text{red}}-\lambda_{\text{blue}}}{2\lambda_0}
\]

這些方程式是表示自轉展寬的一種理想化方式。真實的光譜線通常沒有完全清晰銳利的「邊緣」，因此天文學家會分析整條譜線輪廓的形狀，並把其他展寬機制計算在內。

對 HSC 的推理而言，核心區別更簡單：

• 利用譜線中心研究整體徑向運動；
• 利用中心兩側的展開範圍研究自轉。

05最容易犯的錯誤

錯誤 1：「譜線紅移表示整顆恆星看起來都變紅了」

不一定。

涉及的波長變化相對於可見光譜的整體寬度可能非常微小。我們通常是透過精確測量已知光譜線來辨認都卜勒運動，而不是判斷恆星肉眼看起來是否更紅或更藍。

這要求你首先知道自己正在觀察哪一條譜線。利用光譜線辨認元素：HSC Physics 解釋了譜線圖樣如何像元素的指紋一樣用來辨認元素。

錯誤 2：「譜線越寬就一定代表自轉越快」

不對。

自轉可以使光譜線展寬，但熱運動以及其他物理或儀器效應也能造成展寬。若要由展寬判斷自轉速度，就必須先分離或合理確定其中由自轉造成的部分。

錯誤 3：「譜線最紅的一端給出恆星的徑向速度」

這尤其容易令人誤判。

對一顆旋轉的恆星而言，最紅的一端同時包含整顆恆星的徑向運動，以及旋轉邊緣額外遠離我們的運動。最藍的一端則包含整體徑向運動，以及接近側邊緣的自轉貢獻。

中心位置可以分離出整體運動。半寬則可以分離出方向相反的自轉運動。

錯誤 4：「每一條發生都卜勒位移的譜線都會移動相同數目的奈米」

重要的是相對位移，

\[
\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
\]

而不是只有 \(\Delta\lambda\)。

如果同一顆移動中的恆星有一條 \(400\) nm 的譜線和另一條 \(600\) nm 的譜線，那麼在相同徑向速度下，\(600\) nm 的譜線以奈米計的波長位移應該更大。

錯誤 5：「光譜學給出完整的自轉速度」

通常它給出的是 \(v_{\text{eq}}\sin i\)。

這個隱藏的 \(\sin i\) 是這項測量最重要的限制之一。

06一個簡潔的解題方法

遇到恆星光譜題時，按以下順序處理。

1. 找出實驗室波長 \(\lambda_0\)。
2. 找出觀察到的譜線中心。
3. 將中心與 \(\lambda_0\) 比較，以求出徑向速度。
4. 如果題目提供自轉展寬資訊，求譜線的半寬。
5. 將該半寬換算成 \(v_{\text{eq}}\sin i\)。
6. 只有在已知傾角 \(i\)，或已知等效資訊時，才計算 \(v_{\text{eq}}\) 本身。
7. 檢查題目是否有充分理由把譜線寬度視為自轉展寬。

順序很重要。如果一開始就把紅端當成徑向都卜勒位移，自轉就會干擾你的結果。

07問題與解答

問題 1

一條光譜線的實驗室波長為 \(486.1\) nm。在一顆恆星的光譜中，該譜線中心測得為 \(486.3\) nm。

計算恆星的徑向速度，並說明它是朝向還是遠離地球。

解答 1

恆星正以約 \(123\) km/s 遠離地球。

觀察到的波長大於實驗室波長，因此該譜線發生紅移。

先求位移：

\[
\Delta\lambda=486.3-486.1=0.2\text{ nm}
\]

然後使用

\[
v_r=c\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
\]

代入數值：

\[
\begin{aligned}
v_r
&=(3.00\times10^8)\frac{0.2}{486.1}\\
&=1.23\times10^5\text{ m/s}\\
&=123\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

正位移表示恆星正在遠離。

一個容易犯的錯誤是把 \(123\) km/s 描述為恆星的總速度。它只是相對於觀察者的徑向速度分量。

問題 2

一條實驗室波長為 \(656.3\) nm 的譜線因恆星自轉而展寬。它的自轉輪廓從 \(656.12\) nm 延伸到 \(656.56\) nm。

假設其他展寬效應都已經計算在內。

計算：

a. 恆星的徑向速度，

b. 投影自轉速度 \(v_{\text{eq}}\sin i\)，以及

c. 解釋為甚麼直接把 \(656.56\) nm 當成恆星經都卜勒位移後的波長，會得到錯誤的徑向速度。

解答 2

恆星正以約 \(18.3\) km/s 遠離我們，而其投影自轉速度約為 \(101\) km/s。不能直接利用紅端求徑向速度，因為紅端同時包含整體遠離運動和遠離側邊緣的自轉運動。

對 a 部分，先求譜線中心：

\[
\lambda_c=\frac{656.12+656.56}{2}=656.34\text{ nm}
\]

中心位移了

\[
\Delta\lambda=656.34-656.30=0.04\text{ nm}
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
v_r
&=(3.00\times10^8)\frac{0.04}{656.3}\\
&=1.83\times10^4\text{ m/s}\\
&=18.3\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

對 b 部分，自轉半寬為

\[
\Delta\lambda_{\text{rot}}
=\frac{656.56-656.12}{2}
=0.22\text{ nm}
\]

所以

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}\sin i
&=(3.00\times10^8)\frac{0.22}{656.3}\\
&=1.01\times10^5\text{ m/s}\\
&=101\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

對 c 部分，\(656.56\) nm 來自因自轉而展寬的輪廓最紅的一端。產生這部分光譜的恆星區域除了具有整顆恆星的整體徑向速度外，也因自轉而正在遠離我們。

一個很容易想到但錯誤的方法是計算

\[
c\frac{656.56-656.30}{656.30}
\]

然後把結果稱為徑向速度。這樣做會把兩種不同的運動混在一起。代表整體徑向位移的是譜線的中點，而不是最紅的一端。

問題 3

同一顆恆星的兩條已辨認光譜線具有以下實驗室波長和觀察到的中心波長：

移除其他展寬來源後，譜線 A 的自轉全寬為 \(0.24\) nm，而譜線 B 的自轉全寬為 \(0.36\) nm。

判斷這兩條譜線是否與同一個徑向速度及同一個投影自轉速度一致。計算這兩個速度。

解答 3

是。兩條譜線都與朝向地球的 \(60.0\) km/s 徑向速度，以及 \(90.0\) km/s 的投影自轉速度一致。

對譜線 A，其中心位移為

\[
\Delta\lambda_A=399.92-400.00=-0.08\text{ nm}
\]

所以

\[
\begin{aligned}
v_{r,A}
&=(3.00\times10^8)\frac{-0.08}{400.00}\\
&=-6.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=-60.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

對譜線 B，

\[
\Delta\lambda_B=599.88-600.00=-0.12\text{ nm}
\]

而

\[
\begin{aligned}
v_{r,B}
&=(3.00\times10^8)\frac{-0.12}{600.00}\\
&=-6.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=-60.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

兩者以奈米表示的位移不同，但相對位移相同。

現在考慮自轉。

譜線 A 的半寬為

\[
\Delta\lambda_{\text{rot},A}=\frac{0.24}{2}=0.12\text{ nm}
\]

所以

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}\sin i
&=(3.00\times10^8)\frac{0.12}{400.00}\\
&=9.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=90.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

譜線 B 的半寬為

\[
\Delta\lambda_{\text{rot},B}=\frac{0.36}{2}=0.18\text{ nm}
\]

因此

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}\sin i
&=(3.00\times10^8)\frac{0.18}{600.00}\\
&=9.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=90.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

同樣地，以奈米表示的寬度不同，但相對寬度相等。

一個很容易得出的錯誤結論是，因為 \(0.08\neq0.12\) 且 \(0.24\neq0.36\)，所以兩條譜線的結果不一致。這是在比較絕對波長變化。都卜勒運動與相對波長變化有關，因此兩組測量描述的是相同的運動。

問題 4

一顆恆星的半徑為 \(6.0\times10^8\) m，每 \(10.0\) 小時完成一次自轉。

一條實驗室波長為 \(550.00\) nm 的吸收線，其自轉邊界位於 \(550.055\) nm 和 \(550.165\) nm。假設所有非自轉造成的展寬都已被移除。

求：

a. 恆星的徑向速度，

b. 它的投影自轉速度，

c. 利用半徑和週期求它的赤道自轉速度，以及

d. 它的自轉軸相對我們視線方向的大約傾角 \(i\)。

解釋為甚麼只根據光譜線寬度把這顆恆星描述為「自轉緩慢」會造成誤導。

解答 4

恆星正以 \(60.0\) km/s 遠離我們，投影自轉速度為 \(30.0\) km/s，但其赤道實際自轉速度約為 \(105\) km/s。它的自轉軸與我們視線方向的夾角只有約 \(17^\circ\)。

對 a 部分，譜線中心為

\[
\lambda_c=\frac{550.055+550.165}{2}=550.110\text{ nm}
\]

所以

\[
\Delta\lambda=550.110-550.000=0.110\text{ nm}
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
v_r
&=(3.00\times10^8)\frac{0.110}{550.00}\\
&=6.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=60.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

對 b 部分，自轉半寬為

\[
\Delta\lambda_{\text{rot}}
=\frac{550.165-550.055}{2}
=0.055\text{ nm}
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}\sin i
&=(3.00\times10^8)\frac{0.055}{550.00}\\
&=3.00\times10^4\text{ m/s}\\
&=30.0\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

對 c 部分，赤道上的一點每次自轉都會走過一個圓周：

\[
v_{\text{eq}}=\frac{2\pi R}{T}
\]

週期為

\[
T=10.0\times3600=3.60\times10^4\text{ s}
\]

所以

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}
&=\frac{2\pi(6.0\times10^8)}{3.60\times10^4}\\
&=1.05\times10^5\text{ m/s}\\
&=105\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

對 d 部分，

\[
v_{\text{eq}}\sin i=30.0\text{ km/s}
\]

所以

\[
\sin i=\frac{30.0}{105}=0.286
\]

因此

\[
i\approx17^\circ
\]

一個容易產生的錯誤解讀是，較小的譜線寬度證明真正的自轉速度也較小。獨立得到的半徑和週期資訊顯示事實並非如此。這顆恆星正以約 \(105\) km/s 自轉，但我們觀察它的方向相當接近其極區，因此赤道速度沿我們視線方向顯現出來的只有約 \(30\) km/s。

這正是為甚麼單靠光譜學通常得到的是 \(v_{\text{eq}}\sin i\)，而不是 \(v_{\text{eq}}\)。

問題 5

一顆旋轉中的恆星產生兩條光譜線。其他展寬來源都已被移除。

對一條實驗室波長為 \(500.00\) nm 的譜線，自轉輪廓從 \(500.00\) nm 延伸至 \(500.40\) nm。

對另一條實驗室波長為 \(650.00\) nm 的譜線，其輪廓從 \(650.00\) nm 延伸至 \(650.52\) nm。

一名學生提出：

兩條譜線都沒有延伸到比其實驗室波長更短的位置，所以恆星沒有任何可見部分正在朝向我們移動。因此，這種展寬不可能由自轉造成。

這顆恆星的半徑為 \(7.0\times10^8\) m，自轉週期為 \(5.1\) 小時。

求恆星的徑向速度、投影自轉速度和大約傾角。然後準確解釋學生的論點錯在哪裡。

解答 5

恆星正以約 \(120\) km/s 遠離我們，其投影自轉速度也約為 \(120\) km/s，而自轉軸與我們視線方向的夾角約為 \(30^\circ\)。相對於恆星中心，接近側的邊緣確實正朝向我們運動，但它的自轉藍移幾乎恰好抵消了恆星整體的紅移。

先從 \(500.00\) nm 的譜線開始。

其觀察到的中心為

\[
\lambda_c=\frac{500.00+500.40}{2}=500.20\text{ nm}
\]

因此中心位移了

\[
\Delta\lambda=0.20\text{ nm}
\]

所以徑向速度為

\[
\begin{aligned}
v_r
&=(3.00\times10^8)\frac{0.20}{500.00}\\
&=1.20\times10^5\text{ m/s}\\
&=120\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

自轉半寬同樣為

\[
\Delta\lambda_{\text{rot}}
=\frac{500.40-500.00}{2}
=0.20\text{ nm}
\]

所以

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}\sin i
&=(3.00\times10^8)\frac{0.20}{500.00}\\
&=120\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

\(650.00\) nm 的譜線確認了這個結果。

它的中心為

\[
\lambda_c=\frac{650.00+650.52}{2}=650.26\text{ nm}
\]

因此

\[
\frac{0.26}{650.00}=4.00\times10^{-4}
\]

所以

\[
v_r=120\text{ km/s}
\]

它的半寬為

\[
\frac{0.52}{2}=0.26\text{ nm}
\]

這給出相同的投影自轉速度：

\[
v_{\text{eq}}\sin i=120\text{ km/s}
\]

現在利用獨立已知的半徑和週期求真正的赤道速度。

先換算週期：

\[
T=5.1\times3600=1.836\times10^4\text{ s}
\]

然後

\[
\begin{aligned}
v_{\text{eq}}
&=\frac{2\pi R}{T}\\
&=\frac{2\pi(7.0\times10^8)}{1.836\times10^4}\\
&\approx2.40\times10^5\text{ m/s}\\
&\approx240\text{ km/s}
\end{aligned}
\]

由於

\[
v_{\text{eq}}\sin i=120\text{ km/s}
\]

所以

\[
\sin i=\frac{120}{240}=0.500
\]

因此

\[
i\approx30^\circ
\]

現在來看這個表面上的矛盾。

在接近我們的一側邊緣，恆星整體的徑向運動與它的自轉運動方向相反。作一階近似，其視線方向速度約為

\[
v_{\text{limb}}\approx v_r-v_{\text{eq}}\sin i
\]

在這裡，

\[
v_{\text{limb}}\approx120-120=0\text{ km/s}
\]

因此，因自轉而接近我們的那一側，相對於恆星光譜的中心確實會產生藍移。但是整顆恆星本身已經因以 \(120\) km/s 遠離我們而發生紅移。這兩個效應在該邊緣互相抵消，使它回到大約等於實驗室波長的位置。

在另一側邊緣，兩個效應則會相加：

\[
v_{\text{limb}}\approx120+120=240\text{ km/s，遠離我們}
\]

因此產生明顯紅移的一端。

這名學生的錯誤在於，把「相對於實驗室波長沒有發生藍移」等同於「沒有因自轉而朝向我們移動」。這是兩種不同的比較。分析自轉時，必須相對於恆星的整體徑向運動來考慮。

這就是光譜線更深一層的用途：一個單一的譜線輪廓可以同時包含多種運動。只要學會把譜線中心與其寬度分開，就能從恆星表面的運動中分離出整顆恆星的運動。下一步，是把運動資訊與隱藏在同一份光譜中的其他資訊分開，包括溫度；這部分可在 從光譜求恆星溫度：HSC Physics 中進一步探討。