為什麼光速在現代 SI 中定義了公尺

想像一下，位於世界兩端的兩間物理實驗室需要重現完全相同的一公尺。把同一把「完美」尺的複製品寄給兩間實驗室，聽起來很合理。但如果其中一把尺升溫了 \(0.1^\circ\text{C}\)、被刮傷，或隨著時間而發生些微變化，會怎樣？

還有一個更奇特的方法。給每間實驗室一座原子鐘和一部雷射，然後告訴他們真空中光速的精確值。這樣，他們就能利用時間重建長度，而不需要使用同一把實體尺。

在繼續閱讀之前，先預測一下現代物理採用哪一種方法：保存一根盡可能完美的公尺棒，還是利用自然界的一種性質來定義長度？

現代 SI 採用第二種方法。不過，標題有一點需要特別修正：光速並不定義秒。秒是利用銫-133 原子中的一個躍遷來定義的。接著，光速的精確值把這個時間單位與公尺連結起來。換句話說，原子物理給了我們秒，而 \(c\) 讓我們把秒轉換成公尺。

01保存一把完美尺所帶來的問題

對日常測量來說，尺非常好用。但對基本計量而言，實體物件會帶來麻煩。

金屬棒的長度會隨溫度略微改變。它的表面可能受損。不同複製品也無法保證永遠保持完全相同。更重要的是，每間實驗室都必須以某種方式把自己的測量追溯到同一個物件。

公尺過去確實就是這樣運作的。1889 年，國際公尺與一個鉑銥合金原器連結。1960 年，這根實體金屬棒被一個以氪-86 所發出特定波長光線為基礎的定義取代。接著在 1983 年，公尺再次被重新定義，改為真空中的光在指定時間內所行進的距離。

這些改變並不是因為較早的定義很愚蠢，而是因為隨著測量技術進步，每一個舊定義最終都成了限制。

這是計量學–也就是測量科學–中反覆出現的主題：到了某個階段，你的測量標準本身可能會比你想進行的實驗更不精確。

02首先，物理學家需要一個更好的秒

只有當時間本身能夠被精確定義後，長度才能精確地與光連結。

一個很直觀的做法，是利用地球自轉來定義一秒。一天既熟悉又容易想像，所以早期的一秒，是把平均太陽日分成 \(86\,400\) 等份來定義的。

問題是，地球並不是一座完美的時鐘。對高精度計量而言，它的自轉不夠均勻。後來的定義曾利用地球的公轉運動，但原子躍遷被證明具有更好的可重現性。因此在 1967 年，SI 秒改為與銫-133 相連。現代的表述把銫原子的超精細躍遷頻率 \(\Delta \nu_{\text{Cs}}\) 精確固定為

\[
\Delta \nu_{\text{Cs}}=9\,192\,631\,770\ \text{Hz}.
\]

其中，\(\Delta \nu_{\text{Cs}}\) 是與未受擾動的銫-133 基態中兩個超精細能級之間某個特定躍遷相關的頻率，而 Hz 表示每秒的週期數。

因此，一秒對應這種輻射的 \(9\,192\,631\,770\) 個週期。

一個週期的持續時間約為

\[
T=\frac{1}{9\,192\,631\,770}
\approx 1.09\times10^{-10}\ \text{s}.
\]

也就是每個週期約 \(0.109\) 奈秒。

原子鐘實際上在做什麼

你可能很想把一個銫原子想像成一座微小的時鐘，每秒「滴答、滴答、滴答」約 \(9.2\) 十億次。這個想像大概有十秒鐘是有用的，之後它就開始誤導你了。

現代銫原子噴泉鐘更像是一個極度精密的調諧實驗。

按照空間中的順序：

1. 銫原子進入真空腔。
2. 雷射光束使原子減速，形成一團非常冷的原子雲。
3. 原子雲被向上拋射。
4. 上升途中，原子通過一個含有微波的區域。
5. 重力使原子雲減速、停止，然後再讓它向下落回微波區域。
6. 雷射與偵測器判定有多少原子改變了量子態。
7. 微波頻率會被調整，直到原子的反應顯示它與銫原子的共振頻率極為接近。

接著，時鐘利用這個原子共振來控制一個振盪器，而振盪器的週期可以被計數。

可以把它想成調整一台老式收音機。你轉動旋鈕，直到某個電台的訊號最強。銫原子就是參考標準，告訴時鐘它的微波振盪器何時已經正確調諧。

這個類比也有其限制，因為原子並不是在廣播一個微型電台。實際上，是透過測量它們的量子態反應，來判斷外加的微波頻率有多接近它們天然的躍遷頻率。

噴泉式設計也改善了較早期的原子束鐘。高速移動的熱原子只能在裝置中與微波作用很短的時間。相較之下，緩慢向上、再向下移動的冷原子可以被觀察更長時間，因此能更精確地找出共振頻率。

03現在，光可以把時間轉換成長度

一旦一秒能夠被精確重現，假設你讓光在真空中傳播一段已知的時間。

距離為

\[
d=ct,
\]

其中：

• \(d\) 是以公尺為單位的距離，
• \(c\) 是真空中的光速，而
• \(t\) 是以秒為單位的時間。

在現代 SI 中，

\[
c=299\,792\,458\ \text{m s}^{-1}
\]

是精確值。公尺就是透過固定 \(c\) 的這個數值來定義，而秒已經先利用銫原子定義好了。

這表示光在真空中精確走一公尺所需的時間為

\[
t=\frac{1}{299\,792\,458}
\approx 3.33564\times10^{-9}\ \text{s}.
\]

因此，一公尺相當於光在真空中傳播約 \(3.34\) 奈秒的距離。

這就是最基本的心智模型：原子鐘提供極其精確的時間間隔，而光把這段時間間隔轉換成距離。

04干涉儀可以把光當作尺

飛行時間並不是把 \(c\) 轉化為長度測量的唯一方法。

對較小的距離而言，干涉儀可以把某個距離與雷射的波長進行比較。

按照裝置的順序來想像：一束雷射光先到達分光鏡。部分光沿著其中一條臂傳到一面鏡子，其餘的光則沿著第二條臂傳到另一面鏡子。兩束光都被反射回分光鏡，重新疊加，然後朝偵測器前進。

當返回的波彼此重疊時，它們的電場會相加。視它們的相對相位而定，會產生相長干涉或相消干涉。

現在先預測一下，如果其中一面鏡子移動一小段距離 \(x\)，會發生什麼事。

光在前往鏡子的途中多走一次這段距離，返回時又多走一次。因此，鏡子移動 \(x\) 會使光程改變 \(2x\)。

如果光程差改變一個波長 \(\lambda\)，干涉圖樣就會完整經歷一次條紋週期。因此，如果有 \(N\) 條完整干涉條紋通過偵測器，

\[
2x=N\lambda,
\]

所以

\[
x=\frac{N\lambda}{2}.
\]

這個二分之一因子，就是干涉儀版本的同一個陷阱：光會先走到鏡子，再返回。

05波長從哪裡來？

對真空中的電磁波而言，

\[
c=f\lambda,
\]

其中：

• \(c\) 是真空中的光速，
• \(f\) 是以赫茲為單位的頻率，而
• \(\lambda\) 是以公尺為單位的波長。

重新整理，

\[
\lambda=\frac{c}{f}.
\]

這正是現代時間與長度測量彼此扣合的地方。

如果雷射頻率 \(f\) 是利用可追溯至 SI 秒的頻率標準來測量，而 \(c\) 採用其精確的 SI 值，就可以計算出對應的真空波長。接著，這個波長便能用於干涉測量以量度長度。這是一條把原子時間標準連結到實際物理距離的實用途徑。

061983 年發生的奇特反轉

這就是歷史上的轉折點。

在 1983 年以前，物理學家可以利用

\[
c=f\lambda
\]

以實驗方式測定光速。

頻率 \(f\) 可以相對於愈來愈精確的時間標準來測量。波長 \(\lambda\) 則可以相對於當時既有的公尺定義來測量。

隨著雷射和頻率測量技術進步，對 \(c\) 的測量變得非常精確，以致最大的限制不再來自雷射頻率，而是當時的公尺本身能夠被實現得多精確。

這就產生了一個很奇怪的情況。

假設你想更精確地測量 \(c\)，但最大的測量不確定度卻來自你對長度的定義。這時，改良光學實驗本身並不能解決瓶頸。你的「尺」反而成了整個實驗最弱的一環。

到了 1983 年，國際度量衡大會指出，穩頻雷射的可重現性已經優於氪-86 長度標準，而且對光的頻率與波長的測量所得到的 \(c\) 值彼此一致，其精確度主要受到當時公尺實現方式的限制。解決辦法就是把原本的關係反過來：不再利用公尺測量 \(c\)，而是固定 \(c\)，並利用它來定義公尺。

所採用的數值為

\[
c=299\,792\,458\ \text{m s}^{-1}.
\]

為什麼不乾脆把它四捨五入成更漂亮的 \(300\,000\,000\ \text{m s}^{-1}\)？

因為目的並不是創造一個明顯不同的公尺。選定的精確值與當時最好的測量結果非常接近，因此在定義改變後，日常使用的長度並不會突然發生改變。1983 年的決議中特別考慮了與舊公尺之間的連續性。

這正是「測量值」與「定義值」之間的一個重要差別。

在改變以前，實驗問的是：

已知我們對公尺和秒的定義，\(c\) 的數值是多少？

改變之後，邏輯變成：

我們固定 \(c\) 的數值。已知我們的一秒，那麼多長才算一公尺？

2018 年，SI 更有系統地改寫成以七個定義常數為基礎，修訂後的定義於 2019 年 5 月 20 日生效。公尺與 \(c\) 的精確值之間的物理連結仍然保留。

07所以，光速現在不再被測量了嗎？

在 SI 中，\(c\) 的數值

\[
299\,792\,458\ \text{m s}^{-1}
\]

是精確的。並沒有更多小數位等著我們去發現。

這乍聽之下很可疑。一個物理量怎麼可能完全沒有測量不確定度？

一個有用的類比是

\[
1\ \text{inch}=2.54\ \text{cm}.
\]

這個換算是精確的，因為單位就是這樣定義的。不斷重複測量尺，並不會發現一個更準確的換算值，例如 \(2.5399998\ \text{cm}\)。

但這個類比有一個重要的限制。數字 \(2.54\) 本質上是一種單位約定；而 \(c\) 所選定的數值則源自實驗物理：光的行為先經過極高精度的測量，之後才選擇一個固定數值，以保持既有單位的連續性。

把 \(c\) 精確定義下來，也不代表實驗物理一般而言會變成循環論證。

物理學家仍然可以檢驗電磁波傳播是否符合相對論、比較不同方向上的共振器頻率、研究物理定律是否顯示洛倫茲對稱性破缺，或測量光在材料中的速度。他們不會做的，是利用「公尺除以秒」去發現 SI 中 \(c\) 的更多位數，因為公尺與秒的定義已經把同一個數值納入其中。

08光速有定義秒嗎？

沒有。

這是最值得記住的區別之一。

因此，整條關係鏈是

\[
\text{銫原子頻率}
\longrightarrow
\text{秒}
\longrightarrow
\text{利用 }c\text{ 得到公尺}.
\]

那麼，為什麼人們會說光把空間與時間連結起來？

因為一旦秒已經確立，\(c\) 就提供了一個精確的換算關係，把一段時間與光在真空中於這段時間內行進的距離連結起來。這個連結在狹義相對論中也具有更深層的重要性，因為 \(c\) 把時間座標與空間座標聯繫起來。

不過，SI 定義本身不應與相對論的物理公設混為一談。定義 \(c\) 的數值，並不能證明每一個慣性觀察者都會測得相同的真空光速。相對論是一套受到實驗支持的物理模型；SI 定義則是一套配合這套物理理論而建立的測量約定。

09為什麼定義總是強調「真空中」？

光在一般玻璃、水或空氣中，並不以 \(299\,792\,458\ \text{m s}^{-1}\) 的速度傳播。

對折射率為 \(n\) 的材料，

\[
n=\frac{c}{v},
\]

所以

\[
v=\frac{c}{n},
\]

其中 \(v\) 是光在該材料中的相速度。

對 \(n>1\) 而言，\(v<c\)。

這並不代表雷射進入玻璃後，公尺就改變了。作為定義常數的是光在真空中的速度。

因此，在空氣中進行高精度光學測量時，必須考慮空氣的折射率，或者把光路抽成真空。否則，如果在材料中直接把波長當作

\[
\lambda=\frac{c}{f}
\]

就會得到錯誤的實際波長。

真空波長為

\[
\lambda_0=\frac{c}{f},
\]

而在簡單介質中，

\[
\lambda=\frac{v}{f}
=\frac{c}{nf}
=\frac{\lambda_0}{n}.
\]

當波穿過一個靜止的介面時，頻率保持不變，但速度與波長會改變。

10為什麼光是一個特別有用的選擇

光處於一個非常有利的位置。它速度極快、屬於電磁波，而且能以極度穩定、明確的頻率產生。

這背後的 HSC 故事其實早得多就開始了。麥克斯韋對電與磁的統一顯示，電場與磁場同屬一套相互連結的理論。他的方程式接著推導出能夠傳播的電磁擾動，這一點在麥克斯韋對電磁波的預測中有進一步探討。

計量學的故事則發生得更晚。當雷射、原子鐘和頻率測量變得足夠精密之後，電磁波就不再只是某種「可以測量其速度」的東西。它們成為重現長度單位所使用的工具之一。

11HSC 題目中值得留意的四個陷阱

一個實用的判斷規則很簡單：每當 \(c\) 出現時，先問清楚實際測量的是什麼。光是在真空中，還是在材料中？給定的時間是單程還是來回？\(c\) 是作為定義常數使用，還是在討論歷史上最初測定它的實驗？

12問題與解答

問題 1

一個雷射脈衝在真空中傳到反射器，再返回光源，整個過程花了 \(2.00\ \mu\text{s}\)。

計算光源到反射器的距離。

解答 1

反射器距離光源約 \(300\ \text{m}\)。

測得的時間是完整的去程加回程，因此總路徑為 \(2d\)：

\[
2d=ct.
\]

因此，

\[
d=\frac{ct}{2}.
\]

使用 \(t=2.00\times10^{-6}\ \text{s}\)，

\[
\begin{aligned}
d
&=\frac{(299\,792\,458)(2.00\times10^{-6})}{2}\\
&=299.792458\ \text{m}.
\end{aligned}
\]

取三位有效數字，

\[
d=300\ \text{m}.
\]

很容易犯的錯誤是使用 \(d=ct\)。這樣得到的是脈衝行進的總距離，而不是到反射器的單程距離。

問題 2

一部雷射的真空頻率為 \(5.00\times10^{14}\ \text{Hz}\)。它被用在一個邁克耳孫干涉儀中。當其中一面鏡子移動時，有 \(1200\) 條完整干涉條紋通過偵測器。

計算：

a. 雷射的真空波長

b. 鏡子移動的距離。

假設光路位於真空中。

解答 2

波長為 \(5.996\times10^{-7}\ \text{m}\)，而鏡子的移動距離約為 \(3.60\times10^{-4}\ \text{m}\)，也就是 \(0.360\ \text{mm}\)。

對 a 部分，使用

\[
c=f\lambda.
\]

因此，

\[
\begin{aligned}
\lambda
&=\frac{c}{f}\\
&=\frac{299\,792\,458}{5.00\times10^{14}}\\
&=5.99585\times10^{-7}\ \text{m}.
\end{aligned}
\]

對 b 部分，鏡子移動距離 \(x\) 時，來回光程改變 \(2x\)。如果有 \(N=1200\) 條條紋通過，

\[
2x=N\lambda.
\]

所以，

\[
\begin{aligned}
x
&=\frac{N\lambda}{2}\\
&=\frac{1200(5.99585\times10^{-7})}{2}\\
&=3.59751\times10^{-4}\ \text{m}.
\end{aligned}
\]

因此，

\[
x\approx0.360\ \text{mm}.
\]

一個看似合理但錯誤的方法是使用 \(x=N\lambda\)。這忽略了分光鏡與可移動鏡子之間的第二次行程：任何鏡子的位移都會同時改變去程與回程的路徑。

問題 3

在 1970 年代末的一次測量中，某實驗室利用原子時間標準測定一部穩頻雷射的頻率 \(f\)，並利用當時既有的氪-86 公尺標準測量其波長 \(\lambda\)。實驗室計算

\[
c=f\lambda.
\]

假設技術改良後，\(f\) 的不確定度遠小於 \(\lambda\) 的不確定度。

解釋：

a. 現在哪一項測量限制了所計算 \(c\) 值的精度

b. 為什麼這種情況支持固定 \(c\) 並重新定義公尺

c. 為什麼這樣做仍不會消除實際長度測量中的所有不確定度。

解答 3

波長的測量，也就是舊公尺的實現方式，會成為限制精度的測量；固定 \(c\) 之後，就可以利用可重現性更高的頻率標準來實現長度，但實際的長度測量仍然會有實驗不確定度。

對 a 部分，計算式為

\[
c=f\lambda.
\]

如果 \(f\) 的精度遠高於 \(\lambda\)，那麼繼續改善 \(f\) 幾乎不會改善最後的結果。與 \(\lambda\) 有關的不確定度會主導最終結果。從歷史上看，這基本上就是 1983 年重新定義前人們所認識到的情況：以穩頻雷射進行的測量已經進步到既有公尺標準本身成為主要限制的程度。

對 b 部分，固定

\[
c=299\,792\,458\ \text{m s}^{-1}
\]

會把計算方向反轉。原本是利用 \(f\) 和 \(\lambda\) 來求 \(c\)，現在則可以利用精確測得的頻率來決定相應的真空波長：

\[
\lambda=\frac{c}{f}.
\]

因此，更強大的時間與頻率測量能力就能幫助實現長度單位。

一個很容易得出的錯誤結論，是認為新定義讓所有距離都變得精確。事實並非如此。

對 c 部分，實際實驗仍然存在不確定度。雷射頻率的實現具有有限的實驗精度。鏡子必須正確對準。干涉條紋必須正確計數。可能需要抽除空氣，或者測量其折射率。熱膨脹也可能改變被測物體。

公尺的定義不會因 \(c\) 而具有不確定度。但某個長度的具體實現或測量仍然可能具有不確定度。

問題 4

一部雷射測距儀透過折射率為

\[
n=1.000270
\]

的空氣測量一個反射器。

它的時鐘有 \(+2.0\times10^{-8}\) 的相對頻率誤差，也就是時鐘走得偏快。因此，在真實時間間隔 \(t\) 內，它會回報

\[
t_{\text{reported}}=(1+2.0\times10^{-8})t.
\]

儀器回報的來回時間恰好為 \(2.000000\ \mu\text{s}\)。它的軟體錯誤地假設時鐘完美無誤，而且光在真空中傳播，因此計算

\[
d_{\text{reported}}=\frac{ct_{\text{reported}}}{2}.
\]

求反射器的修正後距離。同時求出錯誤結果與修正後結果大約相差多少，並判斷忽略的哪一項效應影響較大。

解答 4

修正後的距離約為 \(299.712\ \text{m}\)，比儀器未修正的結果少約 \(80.9\ \text{mm}\)。空氣的折射率修正遠比時鐘誤差重要。

軟體首先回報

\[
\begin{aligned}
d_{\text{reported}}
&=\frac{(299\,792\,458)(2.000000\times10^{-6})}{2}\\
&=299.792458\ \text{m}.
\end{aligned}
\]

不過，其中有兩個假設是錯的。

第一，光在空氣中的傳播速度為

\[
v=\frac{c}{n}.
\]

第二，由於時鐘走得偏快，

\[
t_{\text{reported}}=(1+\epsilon)t_{\text{true}},
\]

其中

\[
\epsilon=2.0\times10^{-8}.
\]

因此，

\[
t_{\text{true}}
=\frac{t_{\text{reported}}}{1+\epsilon}.
\]

所以真實距離為

\[
d_{\text{true}}
=\frac{vt_{\text{true}}}{2}
=\frac{ct_{\text{reported}}}{2n(1+\epsilon)}.
\]

代入數值，

\[
\begin{aligned}
d_{\text{true}}
&=
\frac{(299\,792\,458)(2.000000\times10^{-6})}
{2(1.000270)(1+2.0\times10^{-8})}\\
&\approx299.711530\ \text{m}.
\end{aligned}
\]

因此，未修正結果的誤差為

\[
\begin{aligned}
\Delta d
&=299.792458-299.711530\\
&\approx0.080928\ \text{m}\\
&\approx80.9\ \text{mm}.
\end{aligned}
\]

時鐘誤差的相對大小只有 \(2.0\times10^{-8}\)。對大約 \(300\ \text{m}\) 的距離而言，這只相當於數微米。

折射率修正的相對大小約為

\[
n-1=2.70\times10^{-4},
\]

比時鐘的相對誤差大一萬倍以上。

其中較隱晦的陷阱，是以為既然 \(c\) 是精確的，那麼使用 \(c\) 就一定會得到精確距離。精確的 \(c\) 無法挽救一個使用了錯誤傳播速度或未校準時鐘的實驗。

問題 5

一名學生提出以下實驗，要「檢查光速是否仍然精確等於 \(299\,792\,458\ \text{m s}^{-1}\)」。

首先，他們把一面鏡子放在一段距離之外。他們測量真空雷射脈衝的來回時間 \(t_0\)，並利用 SI 中 \(c\) 的精確值，把鏡子距離定義為

\[
L=\frac{ct_0}{2}.
\]

第二天，在裝置完全沒有改變的情況下，他們再次測得相同的來回時間 \(t_0\)，並利用

\[
v=\frac{2L}{t_0}
\]

計算光速。

他們得到恰好 \(299\,792\,458\ \text{m s}^{-1}\)，並宣稱這是對 \(c\) 數值的實驗確認。

a. 說明為什麼他們的方法必然會得到這個結果。

b. 解釋這個所謂的檢驗有何循環論證之處。

c. 如果 \(c\) 在 SI 中具有精確值，解釋實驗如何仍然可以檢驗有關光的行為與狹義相對論的物理主張。

解答 5

這個實驗並沒有獨立測量 \(c\)；第二次計算必然會重現第一次計算中代入的數值，因此所謂的確認是循環的。

對 a 部分，學生先把距離定義為

\[
L=\frac{ct_0}{2}.
\]

接著他們計算

\[
v=\frac{2L}{t_0}.
\]

把第一條方程代入第二條：

\[
\begin{aligned}
v
&=\frac{2(ct_0/2)}{t_0}\\
&=c.
\end{aligned}
\]

測得的時間會完全約掉。只要他們再次使用同一個 \(t_0\)，得到 \(v=c\) 就已經內建在這個程序中。

對 b 部分，距離 \(L\) 並不是在不依賴 \(c\) 的情況下獨立建立的。它正是透過學生後來宣稱要檢驗的同一個光行進關係所建立。

這就像用計算機把一個神秘數字定義成 \(7\times6\)，然後再很自豪地把 \(42\) 除以 \(6\)，並宣布原來的 \(7\) 已經得到實驗確認。算術沒有錯，缺少的是獨立性。

真正使學生推理失去獨立性的步驟，就是這個校準步驟：

\[
L=\frac{ct_0}{2}.
\]

一旦已經利用 \(c\) 來指定長度的數值，再利用相同的時間資訊計算 \(2L/t_0\)，就不可能得到一個獨立的 \(c\) 值。

對 c 部分，把 SI 中 \(c\) 的數值固定下來，並不會阻止物理學家檢驗光傳播背後的物理理論。

一個有意義的實驗，可以比較不會只是把 \(c\) 代入後再重新得到 \(c\) 的無因次量。例如，實驗可以比較指向不同方向、經過精密控制的光學共振腔之共振頻率，旋轉整套裝置，並尋找是否存在依賴方向的變化。其他實驗也可以比較不同類型的原子鐘，或檢驗相對論對頻率位移的預測。

如果在排除系統性效應之後，仍然出現可重現的差異，正確的結論不會只是「新測得的 \(c\) 是 \(299\,792\,450\ \text{m s}^{-1}\)」。在現行 SI 中，指定給 \(c\) 的數值是精確的。相反地，這個結果會表示：在把實驗、單位實現方式與背後理論連結起來的某個物理假設，需要加以修正。

這就是概念上的關鍵轉折：一個定義常數可以作為單位系統的一部分而具有精確值，同時，使這個定義具有實際意義的物理理論仍然可以接受實驗檢驗。

因此，下一個值得探討的步驟，是狹義相對論對 \(c\) 更深層的主張：重點不在於它每秒是多少公尺，而在於為什麼同一個不變速度能夠連結不同慣性觀察者對空間與時間所作的測量。