利用光譜線辨識元素：HSC 物理

一團發光氣體會放出波長為 656 nm、486 nm 和 434 nm 的光。另一個樣本則產生 589 nm 和 589.6 nm 的光。如果兩者看起來都只是一團有顏色的光，你要怎樣才能在不打開樣本的情況下判斷其中有哪些元素？

先預測一下：光譜線的亮度會是最佳線索，還是它們的波長？

通常波長是更好的線索。亮度會隨溫度、濃度以及氣體受激發的程度而改變。光譜線的位置則與原子內部允許發生的能量變化有關。因此，一組光譜線就像化學指紋一樣。

01基本概念：比對整體圖樣，而不是顏色

想像你從遠處看兩個條碼。兩者都有黑色線條，但真正重要的資訊並不只是「有黑線」這件事，而是這些線條特定的間距與排列方式。

原子光譜的原理也很相似。

每一種元素都有自己的一組允許電子能階。當電子在這些能階之間轉移時，原子會發射或吸收具有特定能量的光子。

因此，每種元素都會具有一組特徵波長。

單獨一條光譜線本身通常不足以作為充分證據。要有說服力地辨識元素，需要比對多條光譜線是否形成正確的圖樣。

如果你需要複習明線與暗線為何會出現，請參閱 連續光譜、發射光譜與吸收光譜：HSC 物理。

02為什麼原子只會產生某些特定波長

一個很容易想到的初步模型，是把電子想像成像行星繞太陽一樣繞著原子核運行。如果這個圖像完全正確，那麼電子幾乎可以具有任何能量。

但原子並不是這樣運作的。

原子中的電子只能佔據某些允許的能量狀態。我們稱這些能量是量子化的。

假設一個電子從較高能量狀態移動到較低能量狀態。原子失去能量，因此會發射一個光子。

光子的能量為

\[
E_{\text{光子}} = E_{\text{高}} – E_{\text{低}}
\]

其中：

• \(E_{\text{光子}}\) 是光子能量，單位為焦耳 J，
• \(E_{\text{高}}\) 是電子的初始能量，
• \(E_{\text{低}}\) 是電子的最終能量。

光子能量與頻率的關係為

\[
E = hf
\]

其中：

• \(E\) 是光子能量，單位為焦耳，
• \(h = 6.63 \times 10^{-34}\ \text{J s}\) 是普朗克常數，
• \(f\) 是頻率，單位為赫茲 Hz。

由於電磁波符合

\[
c = f\lambda
\]

我們可以把這些方程式結合起來：

\[
E = \frac{hc}{\lambda}
\]

其中：

• \(c = 3.00 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}\) 是光速，
• \(\lambda\) 是以公尺為單位的波長。

因此，每一個允許的能量差都對應到一個特定的光子波長。

這就是光譜學所依賴的關係：

\[
\text{能階結構} \rightarrow \text{允許的躍遷} \rightarrow \text{光譜線}
\]

不同元素具有不同的核電荷與不同的電子排列。因此，它們允許的能階也不同，因而產生不同的光譜線圖樣。

03為什麼這種指紋屬於特定元素

假設氫原子和鈉原子都受到激發。

它們的電子並不具有相同的允許能階。氫原子中具有某個特定能量差的躍遷，不代表鈉原子中也一定存在相同的躍遷。

如果氫產生一個波長為 656.3 nm 的光子，這表示該躍遷釋放了某個特定大小的能量：

\[
E = \frac{hc}{\lambda}
\]

鈉有它自己的一組能量差，因此也有自己特有的波長。

這就是為什麼只說「樣本發出黃光，所以它一定是鈉」是很薄弱的推理。其他光源也可以產生黃光。

分光鏡能做到更有用的事：它會按照波長把光分開，讓你檢查個別的光譜線。

04解題範例：計算一條光譜線的光子能量

一個氫原子發出波長為 \(656\ \text{nm}\) 的光。計算一個光子的能量。

步驟 1：把波長換算成公尺。

字首 nano 代表 \(10^{-9}\)，所以

\[
\lambda = 656\ \text{nm}
= 656 \times 10^{-9}\ \text{m}
= 6.56 \times 10^{-7}\ \text{m}
\]

步驟 2：使用光子能量方程式。

\[
E = \frac{hc}{\lambda}
\]

代入 \(h = 6.63 \times 10^{-34}\ \text{J s}\)、\(c = 3.00 \times 10^8\ \text{m s}^{-1}\) 和 \(\lambda = 6.56 \times 10^{-7}\ \text{m}\)：

\[
E
= \frac{(6.63 \times 10^{-34})(3.00 \times 10^8)}
{6.56 \times 10^{-7}}
= 3.03 \times 10^{-19}\ \text{J}
\]

步驟 3：解釋結果。

每一個 656 nm 光子大約攜帶

\[
3.03 \times 10^{-19}\ \text{J}
\]

的能量。

這個能量對應到氫原子中的一個特定允許躍遷。因此，這條光譜線提供的是原子內部能量結構的證據，而不只是它可見的顏色。

05發射與吸收都可以揭示同一種元素

現在先作一個預測。

氫可以在某個特定波長產生一條明亮的發射線。如果較冷的氫氣位於一個高溫連續光源前方，那麼吸收線應該出現在哪裡？

出現在相同的特徵波長。

為什麼？因為兩者都涉及同一對能階。

在發射過程中，電子從較高能量狀態下降到較低能量狀態，並釋放一個光子。

在吸收過程中，電子吸收一個光子，從較低能量狀態移動到較高能量狀態。

對於相同的兩個狀態，無論是哪個方向，都有

\[
\Delta E = hf
\]

因此，一種元素的發射線與吸收線可以出現在相同的特徵波長，只不過前者是在黑暗背景上呈現亮線，後者則是在連續光譜上呈現暗線。

這一點在天文學中極其重要。我們無法從恆星中取出一團氣體，再把它放進實驗室的分光鏡中。相反地，我們會把恆星的吸收線或發射線與實驗室光譜比較，以辨識其中的元素。

06如何從未知光譜辨識元素

可靠的辨識方法遵循一個簡單流程。

1. 測量未知光譜中數條光譜線的波長。
2. 把它們與已知的實驗室波長比較。
3. 尋找一組一致的匹配。
4. 檢查無法解釋的光譜線是否顯示還存在其他元素。
5. 考慮整個圖樣是否可能因運動而發生位移。

最後一步很重要，因為天體可能正朝向我們或遠離我們運動。這種運動可以透過都卜勒效應使觀測到的波長發生位移。

這表示光譜學並不總是簡單到只需把兩個光譜疊在一起，然後檢查每一條線是否恰好位於相同波長。

07解題範例：利用多條光譜線辨識元素

一種未知氣體產生強烈的發射線，波長約為 434 nm、486 nm 和 656 nm。

參考表如下：

辨識未知氣體中獲得最有力證據支持的元素。

步驟 1：比較第一條未知光譜線。

434 nm 的光譜線與氫相符。

單憑這一點有參考價值，但還不能下定論，因為可能只是巧合地匹配。

步驟 2：比較其餘光譜線。

486 nm 的光譜線也與氫相符。

656 nm 的光譜線同樣與氫相符。

步驟 3：檢查另一個候選元素是否會產生相同圖樣。

氦和鈉都無法同時匹配這三個波長。

步驟 4：利用整個圖樣陳述結論。

氫獲得強而有力的支持，因為觀測到的三條光譜線都在正確波長上與三條氫的特徵光譜線相符。

重要的證據是整組匹配。我們並不是因為其中一條線剛好是紅色，就判定它是氫。

08更困難的情況：光譜發生了位移

假設一顆恆星含有氫，但這顆恆星正在遠離地球。

它的氫光譜線可能全部出現在比實驗室數值稍長的波長。這就是紅移。

當速度遠小於光速時，都卜勒位移可以近似為

\[
\frac{v}{c} \approx \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0}
\]

其中：

• \(v\) 是光源的徑向速度，
• \(c\) 是光速，
• \(\lambda_0\) 是實驗室波長，也就是靜止波長，
• \(\Delta \lambda = \lambda_{\text{觀測}}-\lambda_0\)，
• \(\lambda_{\text{觀測}}\) 是觀測到的波長。

正的 \(\Delta\lambda\) 表示波長增加，因此光源正在遠離。

以上近似只適用於 \(v\) 遠小於 \(c\) 的情況。當速度接近光速時，就需要使用相對論性都卜勒方程式。

解題範例：辨識發生位移的光譜線

一條氫光譜線的實驗室波長為 \(656.3\ \text{nm}\)。在某顆恆星的光譜中，同一條線被觀測到位於 \(656.8\ \text{nm}\)。

估算這顆恆星相對於地球的徑向速度。

步驟 1：計算波長位移。

\[
\Delta\lambda
= \lambda_{\text{觀測}}-\lambda_0
= 656.8-656.3
= 0.5\ \text{nm}
\]

步驟 2：使用低速都卜勒近似。

\[
\frac{v}{c} \approx \frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
\]

因此

\[
v
\approx c\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
= (3.00\times10^8)
\frac{0.5}{656.3}
\]

由於兩個波長都以 nm 測量，因此波長單位會相消。

\[
v \approx 2.29\times10^5\ \text{m s}^{-1}
\]

步驟 3：解釋正負號。

觀測到的波長比實驗室波長更長，所以這顆恆星正在遠離地球。

它的徑向速率約為

\[
2.3\times10^5\ \text{m s}^{-1}
\]

也就是 \(229\ \text{km s}^{-1}\)。

光譜學上的重點是：氫的光譜線發生位移，並不表示氫不再是氫。發生位移的是由光源運動造成的整體圖樣。

09最有力的證據是整體發生位移的圖樣

假設你發現一條位於 657 nm 的光譜線。這是氫嗎？

有可能，但證據很弱。

現在假設你找到三條光譜線，而且每一條都比已知的氫光譜線長約 \(0.1\%\)。這就是強得多的證據。

為什麼？

運動會有系統地使波長發生位移。它不會隨機移動其中一條氫光譜線，卻讓其他光譜線毫無關聯。

對於小幅度的都卜勒位移，

\[
\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
\]

對同一個移動光源所產生的所有光譜線來說，應該大致相同。

這提供了一項很有力的檢查方法：原本的光譜線圖樣和分數位移都應該保持一致。

10混合物不會產生一種新的神秘元素

一個氣體樣本可以含有不只一種元素。

假設一個光譜包含位於 434 nm、486 nm 和 656 nm 的氫光譜線，另外還有接近 589 nm 的鈉光譜線。

你不應該去尋找一種具有全部五條光譜線的奇特元素。

混合物的光譜是各個光譜的疊加。每種物質都會貢獻自己的特徵光譜線。

這有點像同時聽到兩個人說話。到達你耳中的聲音是混合的，但兩個人並不會突然產生一種全新的混合嗓音。

這個類比並不完全準確，因為光譜線可以比兩段重疊對話更清楚地測量，而且真實光譜中可能存在展寬或彼此混合的光譜線。不過，有用的核心概念是：來自不同原子的貢獻可以同時出現在光譜中。

11容易出現的誤解：光譜線亮度可以辨識元素

學生常常會把注意力放在最亮的光譜線上。

這看起來很合理。亮線在視覺上很明顯，因此很容易讓人覺得它應該是最有力的辨識依據。

但光譜線強度不只取決於原子的種類，也可能取決於以下因素：

• 該元素有多少原子存在，
• 有多少原子處於相關的能量狀態，
• 溫度，
• 激發條件，
• 躍遷機率，
• 偵測器的靈敏度。

波長的位置通常才是更基本的指紋。

這並不代表強度沒有用。天文學家可以從光譜線強度中取得大量資訊。這只表示，對於「存在哪種元素？」這個基本問題，你應該先尋找具有特徵性的波長圖樣。

12另一項限制：電離原子具有不同的光譜

還有一層需要注意的精確性。

當我們說「每一種元素都有特徵光譜」時，需要記住，移除電子會改變原子的能階結構。

中性氦和電離氦都是氦，因為它們的原子核具有相同數目的質子。但它們的電子排列不同，因此它們的光譜也不同。

因此，光譜學家會區分不同的電離狀態。

對 HSC 題目而言，核心原理仍然相同：光譜線來自量子化能量狀態之間允許發生的變化。只是不要假設同一種元素的每個原子，無論電離狀態如何，都一定會產生完全相同的一組光譜線。

13光譜學實際上讓我們能推斷什麼

透過光譜線，物理學家可以在不直接收集物質的情況下辨識物質。

因此，光譜學可以用於：

• 辨識實驗室氣體樣本中的氣體，
• 判斷恆星大氣中存在的元素，
• 分析星雲及其他天體，
• 偵測元素的混合物，
• 利用都卜勒位移測量運動。

光譜學之所以有效，是因為光譜線圖樣把我們可以觀測的量–波長–與我們無法直接看見的原子結構連接起來。

14問題與解答

問題 1

一種氣體產生位於 447 nm、502 nm 和 588 nm 的發射線。

參考光譜包含以下選定光譜線：

辨識光譜最有力支持的元素，並利用所有可用證據解釋原因。

解答 1

氦是獲得最有力支持的元素，因為觀測到的三條光譜線都與表列的氦波長相符。

這種氣體產生 447 nm、502 nm 和 588 nm 的光譜線。這三個數值都與表列的三條氦光譜線一致。

氫與這個圖樣不符，而鈉只有接近 589 nm 的光譜線。

一個很容易採用的方法，是根據看起來最接近的單一光譜線來辨識元素。但這樣的證據弱得多。特徵光譜分析最有效的方法，是比對一整組光譜線，因為允許躍遷所形成的圖樣才是指紋。

問題 2

一個靜止的實驗室元素樣本會產生位於 400.0 nm、500.0 nm 和 600.0 nm 的光譜線。

一個遙遠天體則顯示位於 400.8 nm、501.0 nm 和 601.2 nm 的光譜線。

判斷這些觀測結果是否與同一種元素相對地球運動的情況一致。如果一致，估算其徑向速度，並說明它是在朝向地球還是遠離地球運動。

解答 2

是。這三條光譜線與同一種元素以約 \(6.0\times10^5\ \text{m s}^{-1}\) 的速度遠離地球相符。

對於共同的都卜勒位移，每一條光譜線的分數波長變化應該大致相同。

對 400.0 nm 的光譜線，

\[
\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
=
\frac{400.8-400.0}{400.0}
=
\frac{0.8}{400.0}
=
0.002
\]

對 500.0 nm 的光譜線，

\[
\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
=
\frac{501.0-500.0}{500.0}
=
\frac{1.0}{500.0}
=
0.002
\]

對 600.0 nm 的光譜線，

\[
\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
=
\frac{601.2-600.0}{600.0}
=
\frac{1.2}{600.0}
=
0.002
\]

每一條光譜線都具有相同的分數位移，這有力支持它們形成同一個經都卜勒位移後的圖樣。

使用

\[
\frac{v}{c}\approx\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
\]

可得

\[
v
\approx (3.00\times10^8)(0.002)
= 6.00\times10^5\ \text{m s}^{-1}
\]

所有波長都比實驗室數值更長，因此光發生紅移。這個天體正在遠離地球。

一個很容易提出的反對意見是，這些波長的位移量並不相同：\(0.8\ \text{nm}\)、\(1.0\ \text{nm}\) 和 \(1.2\ \text{nm}\)。但都卜勒位移並不會使每一條光譜線產生相同的絕對波長變化。對低速情況而言，它產生的是近似相同的分數變化。

問題 3

一顆恆星的吸收光譜包含位於 486.5 nm 和 656.9 nm 的暗線。

兩條強烈的氫光譜線，其實驗室波長分別為 486.1 nm 和 656.3 nm。

一名學生提出：

「不可能存在氫，因為兩條暗線都沒有正好位於氫的實驗室波長。」

評估這名學生的說法。請定量使用兩條光譜線來支持你的答案。

解答 3

這名學生的說法不正確。兩條光譜線都與發生紅移的氫相符，雖然兩次測量所得的分數位移並不完全相同。

對 486.1 nm 的氫光譜線，

\[
\Delta\lambda
=
486.5-486.1
=
0.4\ \text{nm}
\]

因此

\[
\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
=
\frac{0.4}{486.1}
\approx 8.23\times10^{-4}
\]

這對應到

\[
v
\approx (3.00\times10^8)(8.23\times10^{-4})
\approx 2.47\times10^5\ \text{m s}^{-1}
\]

對 656.3 nm 的光譜線，

\[
\Delta\lambda
=
656.9-656.3
=
0.6\ \text{nm}
\]

因此

\[
\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
=
\frac{0.6}{656.3}
\approx 9.14\times10^{-4}
\]

可得

\[
v
\approx (3.00\times10^8)(9.14\times10^{-4})
\approx 2.74\times10^5\ \text{m s}^{-1}
\]

兩個估算值約為 \(247\ \text{km s}^{-1}\) 和 \(274\ \text{km s}^{-1}\)，相當接近，但並不完全相同。

這項差異可能來自測量不確定度、有限的光譜解析度，或光譜線中心位置讀取不準確。如果測量非常精確，就需要進一步調查這項差異，而不能直接忽略它。

重要的限制條件是，天文光譜線不必出現在它們的實驗室波長。如果光源具有徑向運動，整個圖樣都可能發生位移。

光譜線呈暗色，也不能作為不存在氫的證據。氫可以在它能夠發射光子的相同特徵躍遷波長吸收光子。

問題 4

一個實驗室資料庫列出元素 X 的三條強烈光譜線：

\[
450.0\ \text{nm},\quad 540.0\ \text{nm},\quad 675.0\ \text{nm}
\]

以及元素 Y 的三條強烈光譜線：

\[
459.0\ \text{nm},\quad 550.8\ \text{nm},\quad 688.5\ \text{nm}
\]

一顆恆星顯示位於以下波長的吸收線：

\[
459.0\ \text{nm},\quad 550.8\ \text{nm},\quad 688.5\ \text{nm}
\]

一名學生立刻認為存在元素 Y，因為觀測波長與 Y 的實驗室光譜完全相符。

另一名學生則認為，這些光譜線也可能來自一顆正在遠離我們的恆星中的元素 X。

判斷僅憑這個光譜是否能區分這兩種解釋。請展示相關計算，然後解釋還需要哪些額外的光譜證據才能提供幫助。

解答 4

僅憑這三個波長，無法區分靜止的元素 Y 與發生 \(2.0\%\) 紅移的元素 X，因為表列的每一條 X 光譜線經位移後，都正好落在相對應的 Y 光譜線上。

對元素 X 的第一條光譜線，

\[
\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
=
\frac{459.0-450.0}{450.0}
=
\frac{9.0}{450.0}
=
0.020
\]

對第二條光譜線，

\[
\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
=
\frac{550.8-540.0}{540.0}
=
\frac{10.8}{540.0}
=
0.020
\]

對第三條光譜線，

\[
\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
=
\frac{688.5-675.0}{675.0}
=
\frac{13.5}{675.0}
=
0.020
\]

因此，元素 X 的整個圖樣都以相同的倍數縮放：

\[
\lambda_{\text{觀測}} = 1.020\lambda_0
\]

相對應的低速近似估算為

\[
v
\approx (3.00\times10^8)(0.020)
=
6.0\times10^6\ \text{m s}^{-1}
\]

因此，有兩個模型都符合所提供的資料：

• 靜止的元素 Y，
• 發生 \(2.0\%\) 紅移、正在遠離的元素 X。

一個很容易採用的推理方式，是認為與實驗室數值完全吻合就能證明是元素 Y。但這並不能做到。原則上，另一種具有不同靜止光譜的元素，也可能因位移而落在完全相同的觀測波長上。

更多光譜線會有所幫助。如果元素 X 還有另一條已知光譜線，其波長為 \(\lambda_X\)，那麼紅移模型預測它應該大約出現在

\[
1.020\lambda_X
\]

如果元素 Y 預測的光譜線會出現在不同位置，那麼觀測該波長區域就可以區分這兩個模型。

同一顆恆星中其他已知元素的光譜線，也能協助判斷這顆恆星的整體紅移。如果那些獨立光譜線全都顯示 \(2.0\%\) 的紅移，就會增加元素 X 解釋的支持。

更深層的重點是，光譜學會把光譜圖樣與物理背景一起用來辨識元素。幾個波長的完全匹配是很強的證據，但在可能存在都卜勒位移時，它在邏輯上並不是無法被其他解釋取代的證據。

問題 5

一顆遙遠的恆星具有未知的徑向速度。它的光譜包含四條吸收線：

\[
505.0\ \text{nm},\quad
606.0\ \text{nm},\quad
707.0\ \text{nm},\quad
763.6\ \text{nm}
\]

三個候選元素具有以下實驗室光譜線：

一名觀測者說：「一定存在 Q，因為有三條光譜線與 Q 完全吻合。」

另一名觀測者注意到，前三條觀測光譜線也可能是發生紅移的 P 光譜線。

你還得知，這顆恆星含有一條已確定為鎂的光譜線，其實驗室波長為 \(756.0\ \text{nm}\)，而相對應的光譜線被觀測到位於 \(763.6\ \text{nm}\)。

利用所有證據，判斷前三條光譜線支持 P 還是 Q。解釋為什麼看似完全吻合的匹配並不是最有力的論據。

解答 5

證據支持元素 P，因為已獨立辨識的鎂光譜線顯示，這顆恆星的光譜發生了約 \(1.0\%\) 的紅移，而把同樣的位移套用到 P 後，正好可以預測全部三個觀測波長。元素 Q 則需要它表列的光譜線完全不發生位移，同時同一顆恆星中的鎂卻發生紅移。

先從已獨立辨識出的鎂光譜線開始。

它的實驗室波長為

\[
\lambda_0=756.0\ \text{nm}
\]

而觀測到的波長為

\[
\lambda_{\text{觀測}}=763.6\ \text{nm}
\]

所以

\[
\Delta\lambda
=
763.6-756.0
=
7.6\ \text{nm}
\]

分數位移為

\[
\frac{\Delta\lambda}{\lambda_0}
=
\frac{7.6}{756.0}
\approx 0.0101
\]

也就是大約 \(1.0\%\) 的紅移。

現在把相同位移套用到元素 P。

對它的 500 nm 光譜線，

\[
\lambda_{\text{觀測}}
\approx 500(1.01)
=
505\ \text{nm}
\]

對它的 600 nm 光譜線，

\[
\lambda_{\text{觀測}}
\approx 600(1.01)
=
606\ \text{nm}
\]

對它的 700 nm 光譜線，

\[
\lambda_{\text{觀測}}
\approx 700(1.01)
=
707\ \text{nm}
\]

這些正好就是觀測到的三個波長。

第一名觀測者的論點很有吸引力，因為 Q 的實驗室波長與觀測到的數值直接吻合。如果恆星的速度未知，而且沒有其他證據，那麼 Q 的確會是一個合理的候選元素。

但鎂光譜線改變了整個問題。它獨立告訴我們，來自這顆恆星的光在抵達我們時，已經發生約 \(1.0\%\) 的紅移。

在通常假設這些吸收特徵來自同一個恆星大氣，並且共同受到恆星整體徑向運動影響的情況下，Q 的光譜線也應該發生位移。例如，它在實驗室中的 505 nm 光譜線，預期應該出現在接近

\[
505(1.01)\approx510.1\ \text{nm}
\]

而不是 505 nm。

關鍵在於，光譜辨識不能把每一條光譜線彼此孤立地處理。一旦光源的運動已經由獨立證據確定，每一個候選辨識結果都必須符合相同的物理限制條件。

這正是光譜學不只是視覺圖樣匹配的原因。最合適的辨識，是能讓光譜線圖樣、波長位移以及其他物理證據同時彼此一致的解釋。

下一個有用的步驟，是把光譜指紋與電磁波所攜帶的更廣泛資訊連結起來：既然波長可以同時揭示原子躍遷與運動，那麼同一份光譜不僅可以告訴我們遙遠物質由什麼組成，也可以告訴我們它正在如何運動。