電磁波如何產生與傳播

無線電天線可以把能量傳送到數公里外的空曠空間，即使天線中的電子始終留在金屬內。那麼，實際上離開天線的是甚麼？

先作一個預測。假設一個帶電粒子只是以恆定速度沿直線運動。這樣就足以產生電磁波嗎？直覺上似乎應該可以：移動的電荷意味著電荷正在運動，而運動的電荷與磁性有關。但勻速運動並不是關鍵。電荷必須有加速度。

這個區別就帶出了整個過程。加速中的電荷會擾動周圍的電磁場。這種擾動的一部分可以脫離電荷附近的區域，向外傳播成為電磁波，並攜帶能量。

01為甚麼加速度很重要

先從一個靜止的正電荷開始。它會在周圍產生電場。我們通常會把它畫成由電荷徑向向外指的箭頭。

現在想像這個電荷突然向上加速。附近的電場會因應電荷的新運動狀態而改變，但遠處某一點不可能立即作出反應。關於電荷發生了甚麼變化的資訊必須向外傳播。

一個有用的想像方式，是一張長得誇張、上面佈滿場箭頭的薄片。移動薄片的一端時，附近的箭頭會先改變，然後這種改變的圖樣沿著薄片傳播。這個比喻並不完整，因為電磁場不是物質薄片，而電磁波也不需要物理介質。真正有用的部分只有這一點：源頭發生的改變會在較晚的時間才到達遠處，而不是瞬間到達。

對電磁輻射而言，相關的改變就是電荷的加速度。

最後一種情況特別有用，因為簡單的發射天線就是這樣運作的。

關於這個心智模型，有一點需要注意：加速電荷周圍的完整電磁場，同時包含與源頭密切相關的近場行為，以及能夠把能量帶到很遠距離的輻射成分。對 HSC Physics 而言，重要的是由加速電荷產生、向外傳播的電磁輻射。

02天線如何產生電磁波

考慮一根連接到交流電壓的垂直直線發射天線。

電壓會反覆驅動電子先向一個方向移動，再向另一個方向移動。電子不會離開天線並飛向接收器，而是在導體內振盪。

由於電子的速度持續改變，所以它們是具有加速度的帶電粒子。它們的運動會產生隨時間改變的電場和磁場。這些變化場中的輻射部分會離開天線向外傳播。

因此，整個過程是：

1. 交流電壓驅動電荷來回運動；
2. 電荷產生加速度；
3. 電荷周圍的電磁場發生變化；
4. 電磁擾動向外傳播；
5. 這個擾動把能量傳送穿過空間。

這裡有一個很重要的陷阱。電子在某一瞬間的速度可以是零，但加速度仍然可以很大。

想像一個垂直向上拋出的球。在最高點，它的速度瞬間為零，但加速度仍然是向下的 \(9.8\text{ m s}^{-2}\)。振盪中的電荷在運動兩端也有相似情況：它的速率可以為零，而加速度卻達到最大。

因此，「電荷在這一瞬間沒有移動」並不代表「電荷在這一瞬間沒有產生輻射」。

03電場與磁場是橫向的

現在想像一個電磁波水平向右傳播。

它的電場和磁場分別指向哪個方向？

對理想平面電磁波而言：

• 電場 \(\mathbf E\) 與傳播方向垂直；
• 磁場 \(\mathbf B\) 也與傳播方向垂直；
• \(\mathbf E\) 與 \(\mathbf B\) 彼此垂直。

因此，電磁波是一種橫波。

假設電磁波沿正 \(x\) 方向傳播。一種可能的排列是：

• 傳播方向：\(+x\)；
• 電場：沿 \(y\) 軸；
• 磁場：沿 \(z\) 軸。

在理想的正弦平面波中，電場和磁場會同步振盪。當其中一個反轉方向時，另一個也會反轉。

這裡可以作一個有用的預測。半個週期之後，\(\mathbf E\) 和 \(\mathbf B\) 都反轉了。那麼，波的能量是不是也改為向後傳播？

不是。能量流動的方向與以下向量方向有關：

\[
\mathbf E \times \mathbf B.
\]

如果兩個場都反轉，則

\[
(-\mathbf E)\times(-\mathbf B)=\mathbf E\times\mathbf B.
\]

所以能量仍然沿同一方向傳播。

如果把電磁波想像成一條上下擺動的曲線，就很容易忽略這一點。實際上存在兩個互相垂直的振盪向量場，而它們也都與能量傳播的方向垂直。

04波離開天線後，為甚麼還能繼續傳播？

這裡有一種常見解釋，說得有點過於整齊簡單。

你可能聽過這種說法：「變化的電場產生磁場，而磁場又產生另一個電場，再產生另一個磁場」，彷彿兩種場一直在玩永無止境的電磁追逐遊戲。

這個圖像在初學時可能有幫助，但不應把它按字面理解成一連串彼此分開的事件。

電場和磁場是電磁場中彼此耦合的部分。Maxwell 方程組顯示，在空間和時間上變化的電場與磁場，可以作為行波解存在。電磁輻射一旦產生，這個擾動便不需要電線、空氣或某種看不見的物質來承載。

這是 Maxwell 對電磁波的預測 的重要結果之一：描述電與磁的方程容許能夠在真空中傳播的波存在。

體育場的人浪提供了一個有限度的類比。觀眾不會繞著整個體育場跑；個別的人只在原地附近移動，而波形則沿著觀眾席傳播。同樣地，發射天線中的電子不會一路移動到接收器。不過，這個類比到此為止。體育場的人浪需要人作為介質，而電磁波不需要。

在真空中，電磁波以

\[
c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}.
\]

的速率傳播。

它們的頻率與波長之間的關係為

\[
c=f\lambda.
\]

頻率由波源決定。電磁波一旦在真空中傳播，它的波長便由該頻率和固定的 \(c\) 值決定。

05實際上傳播的是甚麼？是能量

假設一根發射天線被開啟，發出一個短暫的無線電脈衝，然後關閉。

天線停止運作時，脈衝不會消失。已經轉移到電磁場中的能量會繼續遠離波源。

這就是為甚麼距離一定程度的接收器，可以在發射器已經改變運作狀態之後才偵測到訊號。接收器所回應的是波源在一個較早時間的狀態。

如果發射器與接收器相距 \(d\)，在真空中的傳播時間為

\[
t=\frac{d}{c},
\]

其中 \(t\) 是以秒表示的傳播時間。

因此，電磁輻射會以有限的傳播速度傳送資訊和能量。

能量如何隨距離分散

想像一個理想波源向所有方向均勻輻射。

傳播距離 \(r\) 後，它的能量分散在一個表面積為

\[
A=4\pi r^2.
\]

的球面上。

如果波源的功率為 \(P\)，平均強度為

\[
I=\frac{P}{4\pi r^2},
\]

其中：

• \(I\) 是以瓦特每平方米表示的強度，\(\text{W m}^{-2}\)；
• \(P\) 是以瓦特表示的輻射功率；
• \(r\) 是以米表示的離源距離。

因此可得反平方關係

\[
I\propto\frac{1}{r^2}.
\]

距離加倍時，同樣的功率會分散在四倍大的面積上，所以強度會變成原來的四分之一。

真實天線通常不是各向同性的。它們可以在某些方向發射比其他方向更多的功率。當題目明確指出波源向所有方向均勻輻射時，球面模型就很有用。

06產生與傳播是整個過程中的不同部分

把學生常常混在一起的兩個問題分開來看會比較有幫助。

電磁波是如何產生的？

具有加速度的電荷會產生變化的電磁場，其中包含能把能量帶走的輻射成分。

電磁波產生後如何傳播？

電磁擾動以互相垂直、隨時間變化的電場與磁場形式穿過空間傳播。在真空中，它以 \(c\) 的速率移動。

某一部分輻射一旦已經向外傳播，電荷就不需要繼續「推動」同一部分輻射。

想像一束手電筒的光已經傳到地球與月球之間一半距離時，你把手電筒關掉。關閉光源會阻止之後的光再被發射，但它無法伸出去，把已經離開光源的光抹去。

這種有限的傳播時間不只是帶來不便而已，而是電磁學本身內建的特性。

07最容易令人誤解的觀念

「移動的電荷會產生電磁輻射」

不完全正確。

以恆定速度運動的電荷，不會僅僅因為它在移動就產生輻射。輻射與加速度有關，也就是電荷的速度向量發生變化。

「如果電荷在某一瞬間靜止，它就不能輻射」

這也不正確。

在振盪的轉折點，速度可以為零，而加速度仍然很大。

「電子會從發射天線移動到接收天線」

不會。

各導體中的電子只會在局部移動。電磁擾動以及它所攜帶的能量，會穿過兩根天線之間的空間傳播。

「電場和磁場都指向波的傳播方向」

對理想電磁波而言並不是這樣。

兩個場都是橫向的。它們都與傳播方向垂直，而且彼此也互相垂直。

「發射器關閉時，已經在空間中的波會消失」

不會。

發射器已經關閉這項資訊本身也必須向外傳播。遠方的接收器會繼續偵測較早的訊號，直到後來的這個變化到達它為止。

08一個值得記住的簡潔模型

對簡單的發射天線，記住以下順序：

\[
\text{振盪電荷}
\rightarrow
\text{具有加速度的電荷}
\rightarrow
\text{變化的電磁場}
\rightarrow
\text{向外傳播的電磁波}
\rightarrow
\text{能量轉移}.
\]

對傳播中的波：

\[
\mathbf E\perp\mathbf B,\qquad
\mathbf E\perp\text{傳播方向},\qquad
\mathbf B\perp\text{傳播方向}.
\]

而在真空中：

\[
c=f\lambda.
\]

這三個概念–源頭的加速度、橫向的場，以及能量以有限速度傳播–已經涵蓋了大部分重點。

09問題與解答

問題 1

一根無線電天線使電荷以 \(75.0\text{ MHz}\) 的頻率振盪。

a. 計算電磁波在真空中的波長。

b. 在某一瞬間，天線中的一個電荷正在向上移動，但速率正在減小。這個電荷是否有加速度？解釋為甚麼這對電磁輻射很重要。

解答 1

波長為 \(4.00\text{ m}\)，而電荷的加速度向下，因為它向上的速度正在減小。

對 a 部分，使用

\[
c=f\lambda.
\]

頻率為

\[
f=75.0\times10^6\text{ Hz}.
\]

因此，

\[
\lambda=\frac{c}{f}
=\frac{3.00\times10^8}{75.0\times10^6}
=4.00\text{ m}.
\]

所以

\[
\boxed{\lambda=4.00\text{ m}}.
\]

對 b 部分，加速度表示速度發生變化，而不只是速率增加。電荷正在向上移動但逐漸減速，因此它的加速度指向下方。

這個加速度很重要，因為具有加速度的電荷可以產生電磁輻射。容易犯的錯誤是只問電荷是否正在移動。恆定速度的運動並不足夠；速度向量必須正在改變。

問題 2

把一個電荷建模為沿垂直方向作簡諧運動。

在時刻 A，電荷通過振盪中心。它的速率最大，而加速度為零。

四分之一個週期之後，在時刻 B，它到達上方轉折點。它的速率為零，而加速度大小最大。

使用簡化的加速電荷模型，比較 A 和 B 時產生的輻射。解釋為甚麼只根據電荷的瞬時速率判斷輻射會得出錯誤結論。

解答 2

在理想化的加速點電荷模型中，A 時的輻射產生最弱，而 B 時最強，儘管電荷在 A 時移動得最快，而在 B 時卻瞬間靜止。

在 A，電荷正通過平衡位置。在簡諧運動中，

\[
a=0
\]

發生在平衡位置，即使此時速率最大。

在 B，電荷已到達轉折點。它的速率為

\[
v=0,
\]

但加速度大小最大，因為加速度指向平衡位置。

核心概念是：電磁輻射與電荷的加速度有關，而不是單純與它的速率有關。

容易誤走的思路是：

電荷越快 \(\rightarrow\) 輻射越多。

這不是正確的判準。電荷可以高速運動而加速度為零，也可以瞬間靜止但具有很大的加速度。

還有一個與時間有關的細節。遠方觀察者所偵測到的，並不是「電荷現在正在做甚麼」。觀察者偵測到的是較早之前離開電荷的輻射，其中包含 \(d/c\) 的傳播延遲。

問題 3

兩根互相垂直的發射偶極天線位於同一位置。一根偶極天線垂直，另一根水平。

從 \(t=0\) 開始，只有垂直偶極天線發射。在 \(t=40\,\mu\text{s}\) 時，它停止發射，而水平偶極天線立即以相同頻率和功率開始發射。

接收器 A 距離發射器 \(6.00\text{ km}\)。接收器 B 沿同一方向距離發射器 \(18.0\text{ km}\)。假設電磁波在真空中傳播、沒有反射，而且切換是瞬時完成的。

在 \(t=70\,\mu\text{s}\) 時：

a. 接收器 A 正在偵測哪一根偶極天線的輻射？

b. 接收器 B 正在偵測哪一根偶極天線的輻射？

c. 解釋為甚麼兩個接收器在相同鐘面時間可以偵測到發射器的不同狀態。

解答 3

在 \(70\,\mu\text{s}\) 時，接收器 A 偵測到水平天線的傳輸，而接收器 B 仍然偵測到垂直天線的傳輸。

對接收器 A，

\[
t_A=\frac{d}{c}
=\frac{6.00\times10^3}{3.00\times10^8}
=2.00\times10^{-5}\text{ s}
=20.0\,\mu\text{s}.
\]

因此，在觀察時間 \(70\,\mu\text{s}\) 時，接收器 A 正在偵測於

\[
70-20=50\,\mu\text{s}.
\]

時發射的輻射。

發射器在 \(40\,\mu\text{s}\) 時切換到水平偶極天線，所以接收器 A 偵測到水平天線的傳輸。

對接收器 B，

\[
t_B=\frac{18.0\times10^3}{3.00\times10^8}
=6.00\times10^{-5}\text{ s}
=60.0\,\mu\text{s}.
\]

接收器 B 在 \(70\,\mu\text{s}\) 時，偵測到的是在

\[
70-60=10\,\mu\text{s}.
\]

時發射的輻射。

在 \(10\,\mu\text{s}\) 時，垂直偶極天線仍在發射。因此接收器 B 偵測到垂直天線的傳輸。

主要結果是

\[
\boxed{\text{接收器 A：水平}}
\]

以及

\[
\boxed{\text{接收器 B：垂直}}.
\]

容易犯的假設是，以為空間中的每一點都會以某種方式知道發射器目前的狀態。實際上並不會。每個接收器看到的都是波源的延遲版本，而延遲由其距離決定。

某一位置的電磁場包含的是波源在相應較早時間所處狀態的資訊。

問題 4

一個理想各向同性發射器以 \(600\text{ W}\) 的恆定功率發射電磁輻射，持續恰好 \(10.0\,\mu\text{s}\)，然後完全停止。

在傳輸開始後 \(t=1.00\text{ ms}\) 時，假設輻射在真空中傳播，而且沒有任何吸收。

a. 計算包含該脈衝區域的外半徑。

b. 計算內半徑，並進而求出脈衝的徑向厚度。

c. 計算脈衝中的總電磁能量。

d. 在該瞬間，距離發射器 \(299\text{ km}\) 和 \(296\text{ km}\) 的理想點接收器是否正在接收脈衝？

e. 解釋為甚麼這個情況能反駁「只要波源停止使電荷加速，電磁輻射就會立即消失」這個觀念。

解答 4

在 \(1.00\text{ ms}\) 時，脈衝佔據從 \(297\text{ km}\) 到 \(300\text{ km}\) 的球殼，厚度為 \(3.00\text{ km}\)，並包含 \(6.00\times10^{-3}\text{ J}\) 的能量。距離 \(299\text{ km}\) 的接收器位於脈衝內，而距離 \(296\text{ km}\) 的接收器則不在。

對 a 部分，脈衝前緣在 \(t=0\) 時發射，因此已經傳播完整的 \(1.00\text{ ms}\)：

\[
r_{\text{outer}}=ct
=(3.00\times10^8)(1.00\times10^{-3})
=3.00\times10^5\text{ m}.
\]

因此，

\[
\boxed{r_{\text{outer}}=300\text{ km}}.
\]

對 b 部分，脈衝後緣在 \(10.0\,\mu\text{s}\) 之後才發射。因此在 \(t=1.00\text{ ms}\) 時，它已經傳播了

\[
1.00\text{ ms}-10.0\,\mu\text{s}
=0.990\text{ ms}.
\]

所以，

\[
r_{\text{inner}}
=(3.00\times10^8)(0.990\times10^{-3})
=2.97\times10^5\text{ m}
=297\text{ km}.
\]

脈衝厚度為

\[
\Delta r
=300-297
=3.00\text{ km}.
\]

所以

\[
\boxed{\Delta r=3.00\text{ km}}.
\]

注意，直接使用

\[
\Delta r=c\Delta t
=(3.00\times10^8)(10.0\times10^{-6})
=3.00\times10^3\text{ m}.
\]

也會得到相同結果。

對 c 部分，功率是每單位時間所轉移的能量：

\[
P=\frac{E}{\Delta t}.
\]

因此，

\[
E=P\Delta t
=(600)(10.0\times10^{-6})
=6.00\times10^{-3}\text{ J}.
\]

所以，

\[
\boxed{E=6.00\times10^{-3}\text{ J}}.
\]

這些能量分布在不斷膨脹的球殼中。

對 d 部分，\(299\text{ km}\) 位於 \(297\text{ km}\) 與 \(300\text{ km}\) 之間，因此該接收器目前位於脈衝內。

然而，

\[
296\text{ km}<297\text{ km},
\]

所以脈衝的後緣已經通過距離 \(296\text{ km}\) 的接收器。

因此，

\[
\boxed{299\text{ km：正在接收脈衝}}
\]

以及

\[
\boxed{296\text{ km：脈衝已經通過}}.
\]

容易產生的錯誤圖像是，以為空間中每一處的場都以某種方式與天線目前的運動連在一起。如果真是這樣，關閉波源就會使輻射在所有地方同時消失。

但這需要關閉波源的資訊以無限大的速度傳播。

實際上，停止波源會在電磁場中產生一個較晚的變化，而這個較晚的變化也以 \(c\) 傳播。較早發射的輻射則繼續向外傳播，攜帶發射器已經供應給它的能量。

問題 5

一個質子在均勻磁場中沿著與磁場垂直的圓形路徑運動。最初，假設它的速率遠低於光速。

一名學生主張：

「質子不可能輻射，因為它的速率是恆定的。但就算它真的以某種方式輻射，那也不可能，因為磁力不作功，所以根本沒有地方可以提供被輻射出去的能量。」

現在把加速質子的經典電磁輻射納入考慮。假設能量損失極其緩慢，因此可以把運動視為一連串近似圓形的軌道。

判斷隨時間經過，以下各項會發生甚麼變化：

a. 質子的動能；

b. 它的速率；

c. 軌道半徑；

d. 軌道角頻率。

然後解釋「磁力不作功」所造成的表面矛盾。

解答 5

質子會失去動能、逐漸減速並螺旋向內移動到較小半徑；而在非相對論、緩慢阻尼的近似下，它的軌道角頻率會大致維持為 \(qB/m\)。輻射出去的能量來自它的動能，而不是來自磁場所作的功。

首先，學生所說「質子沒有加速度」是不正確的。

加速度是速度的改變。在圓周運動中，即使速度的大小在一次軌道運行期間幾乎維持不變，它的方向仍持續改變。因此質子具有向心加速度。

具有加速度的電荷可以輻射電磁能量。

對 a 部分，如果輻射把能量帶走，根據能量守恆，質子的機械能必須減少。由於這裡沒有變化中的重力位能或電位能，因此表示它的動能減少：

\[
\boxed{K\text{ 減少}}.
\]

由於在非相對論近似下，

\[
K=\frac12mv^2
\]

所以它的速率也必須減少：

\[
\boxed{v\text{ 減少}}.
\]

對一個大致垂直於均勻磁場運動的帶電粒子，

\[
qvB=\frac{mv^2}{r},
\]

其中 \(q\) 是電荷量的大小、\(v\) 是速率、\(B\) 是磁場強度、\(m\) 是質量，而 \(r\) 是軌道半徑。

約去一個 \(v\) 後得到

\[
r=\frac{mv}{qB}.
\]

由於 \(m\)、\(q\) 和 \(B\) 維持不變，而 \(v\) 減少，

\[
\boxed{r\text{ 減少}}.
\]

因此，質子會沿著向內收縮的螺旋線運動，而不是一次又一次沿完全相同的圓周運動。

現在考慮角頻率 \(\omega\)。對近似圓周運動而言，

\[
\omega=\frac{v}{r}.
\]

使用

\[
r=\frac{mv}{qB},
\]

可得

\[
\omega
=\frac{v}{mv/(qB)}
=\frac{qB}{m}.
\]

因此，

\[
\boxed{\omega\approx\frac{qB}{m}},
\]

在題目的假設下，它大致保持不變。

這是比較不明顯的部分。質子的確會減速，但它的軌道也同時縮小。這兩種變化在比值 \(v/r\) 中互相補償。

最後，「磁力不作功」這句話並不會造成矛盾。

對磁力而言，

\[
\mathbf F_B=q\mathbf v\times\mathbf B,
\]

因此，磁力與瞬時速度垂直。所以磁力本身不會增加或減少粒子的動能。

能量損失之所以發生，是因為具有加速度的電荷會與自身的電磁場互動並輻射能量。在更完整的描述中，相關的輻射反作用效應會從粒子中移除機械能。

所以能量轉換鏈為

\[
\text{質子動能}
\rightarrow
\text{電磁輻射}
\rightarrow
\text{能量被帶走並穿過空間傳播}.
\]

磁場使軌跡彎曲；它並不是能量來源。

這道題把 HSC Physics 中兩個很容易被分開理解的部分連接起來：帶電粒子的圓周運動，以及加速電荷產生的輻射。把兩者結合後，就能清楚看出「速率恆定」並不等於「加速度為零」。

下一個有用的步驟，是把這幅「傳播中的場」的圖像，連結到 Maxwell 為甚麼會得出光本身就是電磁輻射的結論。Maxwell 對電與磁的統一 展示了上述分別發展的電場與磁場概念，如何整合成一個統一理論。