HSC 物理的馬呂斯定律：強度與偏振片角度

將兩片理想偏振片朝同一方向放置，光便可以通過。現在把第二片偏振片旋轉 \(60^\circ\)。你預期透射強度會是最大強度的多少：三分之二、二分之一，還是四分之一？

答案是四分之一。角度並不是直接令強度按比例減少。首先，第二片偏振片透過投影使電場振幅減小。然後，強度取決於該振幅的平方。這個兩步驟的概念就是馬呂斯定律。

01檢偏器實際上做了甚麼

平面偏振光的電場只沿一個固定方向振盪。如果你對這幅圖像並不熟悉，可以先重溫 HSC 物理：光的偏振與橫波。

現在把電場振幅想像成一支箭。偏振片有一條透射軸。只有電場中平行於該軸的分量能夠通過。

這和把一支箭投影到一條直線上的幾何概念相同。

假設電場方向與透射軸相差 \(45^\circ\)。在計算之前，先預測會發生甚麼。

透射後的電場振幅約為其最大值的 \(70.7\%\)，因為 \(\cos 45^\circ = 0.707\)。很容易會因此認為透射強度也是 \(70.7\%\)。

這正是重要的陷阱。光強度與電場振幅的平方成正比。

因此，若振幅為最大值的 \(0.707\)，強度就是

\[ (0.707)^2 = 0.500 \]

也就是最大值的 \(50.0\%\)。

「箭的投影」這個圖像之所以有用，是因為投影本身確實就是所用的數學。不過，如果你把它想成偏振片真的從光中「切掉」一塊幾何部分，這幅圖像就不完整了。真正被分解成分量的是振盪中的電場。

02從電場投影推導馬呂斯定律

令 \(E_{\max}\) 表示當入射光的偏振面與檢偏器的透射軸對齊時的電場振幅。

如果兩者之間的夾角是 \(\theta\)，透射後的電場振幅為

\[ E = E_{\max}\cos\theta \]

強度 \(I\) 與電場振幅的平方成正比：

\[ I\propto E^2 \]

因此，

\[ \frac{I}{I_{\max}} = \frac{E^2}{E_{\max}^2} = \cos^2\theta \]

由此得到馬呂斯定律：

\[ I=I_{\max}\cos^2\theta \]

其中：

「之間」這兩個字很重要。如果入射光的偏振方向在水平線上方 \(20^\circ\)，而檢偏器的透射軸在水平線上方 \(70^\circ\)，那麼

\[ \theta=70^\circ-20^\circ=50^\circ \]

你不能直接把 \(70^\circ\) 代入馬呂斯定律。

對於理想偏振片，以下數值值得熟記：

留意線性模型在這裡會錯得多麼嚴重。把角度由 \(30^\circ\) 加倍至 \(60^\circ\)，並不會令強度減半。透射比例會由 \(0.75\) 變成 \(0.25\)。

03\(I_{\max}\) 到底代表甚麼？

一個常見錯誤，是把 \(I_{\max}\) 當成「題目一開始出現的那個強度」。

這並不總是正確。

在馬呂斯定律中，\(I_{\max}\) 是對於到達該檢偏器的光而言，這個檢偏器所能透射的最大強度。若理想檢偏器接收到的已經是平面偏振光，那麼 \(I_{\max}\) 就等於入射強度。

如果光起初是非偏振光，就沒有單一偏振方向可以代入馬呂斯定律。第一片理想偏振片會透射非偏振光強度的一半：

\[ I_1=\frac{I_0}{2} \]

其中 \(I_0\) 是原本非偏振光的強度。

離開第一片偏振片的光現在已沿其透射軸形成平面偏振。之後便可以對下一片偏振片使用馬呂斯定律。

由此得到一條重要的判斷規則：

第四行尤其重要。每一片偏振片都會改變進入下一片偏振片時的光的狀態。

04多片偏振片：每次都要更新方向

假設光離開一片垂直偏振片。它現在就是垂直偏振光。

如果它接著通過一片與垂直方向相差 \(30^\circ\) 的偏振片，強度就會乘以 \(\cos^2 30^\circ\)。更重要的是，成功通過的光現在會沿第二片偏振片的透射軸偏振。

因此，第三片偏振片所作用的是第二片偏振片所設定的方向，而不是最初的垂直方向。

這帶出本課題其中一個較反直覺的結果：在兩片互相垂直的偏振片之間加入額外一片偏振片，反而可以讓光通過。

05馬呂斯定律中最容易犯的錯誤

代數運算通常很短。大部分失分都來自未能正確判斷各符號代表甚麼。

即使題目中的角度大於 \(90^\circ\)，也沒有問題。偏振片的軸是一條直線，因此相差 \(180^\circ\) 的方向代表同一條軸，而平方亦會消除餘弦的正負號。通常最簡單的做法，是使用兩條軸之間較小的夾角。

例如，

\[ \cos^2(120^\circ)=\cos^2(60^\circ)=0.25 \]

06問題與解答

問題 1

一束平面偏振光的強度為 \(72.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。它到達一個理想檢偏器，而檢偏器的透射軸與偏振面相差 \(30^\circ\)。

計算透射強度。

解答 1

透射強度為 \(54.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。

入射光已經是平面偏振光，因此對理想檢偏器而言，題目所給的 \(72.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\) 就是 \(I_{\max}\)。

使用馬呂斯定律，

\[ \begin{aligned} I&=I_{\max}\cos^2\theta\\ &=(72.0)\cos^2(30^\circ)\\ &=(72.0)(0.75)\\ &=54.0\ \mathrm{W\,m^{-2}} \end{aligned} \]

檢偏器透射了入射強度的 \(75\%\)。

一個很容易犯的錯誤，是使用 \(\cos30^\circ=0.866\)，然後得出 \(86.6\%\)。這個數值代表的是透射電場振幅佔其最大值的比例，而不是強度比例。

問題 2

強度為 \(200\ \mathrm{W\,m^{-2}}\) 的非偏振光通過三片理想偏振片。

第一片偏振片為水平方向。第二片的透射軸位於水平線上方 \(35^\circ\)。第三片的透射軸位於水平線上方 \(80^\circ\)。

計算最後的強度。解釋為甚麼在一次套用馬呂斯定律時直接使用 \(80^\circ\) 作為角度會得到錯誤答案。

解答 2

最後的強度約為 \(33.6\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。

第一片偏振片接收到的是非偏振光，因此透射一半：

\[ I_1=\frac{200}{2}=100\ \mathrm{W\,m^{-2}} \]

光現在為水平偏振。

第二片偏振片與水平方向相差 \(35^\circ\)：

\[ \begin{aligned} I_2 &=I_1\cos^2(35^\circ)\\ &=(100)(0.6710)\\ &=67.1\ \mathrm{W\,m^{-2}} \end{aligned} \]

通過第二片偏振片後，光的偏振方向變為 \(35^\circ\)。

因此，它與第三片偏振片之間的相對角度為

\[ 80^\circ-35^\circ=45^\circ \]

所以

\[ \begin{aligned} I_3 &=I_2\cos^2(45^\circ)\\ &=(67.1)(0.500)\\ &=33.6\ \mathrm{W\,m^{-2}} \end{aligned} \]

容易出錯的做法，是把最後的 \(80^\circ\) 偏振片直接與原本的水平方向比較。這忽略了中間偏振片的作用。到達最後一片偏振片的光已經不再是水平偏振；它的偏振方向已被重設為 \(35^\circ\)。

問題 3

一束平面偏振光的強度為 \(90.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。

調校一個檢偏器，直至其透射強度恰好為 \(30.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。

求檢偏器與入射光偏振面之間的夾角。然後再把檢偏器朝遠離偏振面的方向旋轉 \(20.0^\circ\)。計算新的透射強度。

解答 3

第一個角度約為 \(54.7^\circ\)，而最後的透射強度約為 \(6.24\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。

最初，

\[ I=I_{\max}\cos^2\theta \]

所以

\[ \begin{aligned} 30.0&=(90.0)\cos^2\theta\\ \cos^2\theta&=\frac{1}{3}\\ \cos\theta&=\sqrt{\frac{1}{3}}\\ \theta&=\cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{1}{3}}\right)\\ &=54.7^\circ \end{aligned} \]

然後檢偏器再向遠離偏振面的方向移動 \(20.0^\circ\)，因此

\[ \theta_{\text{新}}=54.7^\circ+20.0^\circ=74.7^\circ \]

所以，

\[ \begin{aligned} I_{\text{新}} &=(90.0)\cos^2(74.7^\circ)\\ &=6.24\ \mathrm{W\,m^{-2}} \end{aligned} \]

重要的一點是，當檢偏器接近 \(90^\circ\) 時，強度會急劇下降。多轉 \(20^\circ\) 並不會令強度減少某個固定數值或固定百分比。馬呂斯定律是非線性的。

在反向計算角度時，一個常見錯誤是使用 \(\cos^{-1}(1/3)\)。數值 \(1/3\) 代表的是 \(\cos^2\theta\)，因此必須先開平方，才使用反餘弦。

問題 4

一束 \(100\ \mathrm{W\,m^{-2}}\) 的光已經是水平平面偏振光。它在通過最後一個垂直檢偏器後，必須以垂直偏振光射出。

你可以在最後的檢偏器之前，恰好加入兩片額外的理想偏振片。它們的透射軸可以設定在水平與垂直方向之間的任何角度。

選擇能使最後強度最大的兩個角度，並計算該最大強度。

一名學生建議把兩片額外偏振片都設定為 \(45^\circ\)。解釋為甚麼這並不是最佳配置。

解答 4

當兩片額外偏振片分別設定為 \(30^\circ\) 和 \(60^\circ\) 時，最後強度最大，約為 \(42.2\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。

光束的偏振方向必須由 \(0^\circ\) 變成 \(90^\circ\)。加入兩片中間偏振片後，一共有三次角度變化。

最佳配置會把總共 \(90^\circ\) 的旋轉平均分配：

\[ 0^\circ\rightarrow30^\circ\rightarrow60^\circ\rightarrow90^\circ \]

因此每一次相對角度都是 \(30^\circ\)。

在每一片偏振片套用馬呂斯定律：

\[ \begin{aligned} I &=(100) \cos^2(30^\circ) \cos^2(30^\circ) \cos^2(30^\circ)\\ &=(100)(0.75)^3\\ &=42.1875\ \mathrm{W\,m^{-2}}\\ &\approx42.2\ \mathrm{W\,m^{-2}} \end{aligned} \]

為甚麼平均分成較小步幅會有幫助？一次較大的角度不匹配會造成嚴重的強度損失。把相同的總方向變化拆分成較小的旋轉，能讓更多電場分量在每個階段保留下來。

學生所建議的 \(45^\circ,45^\circ\) 配置為

\[ 0^\circ\rightarrow45^\circ\rightarrow45^\circ\rightarrow90^\circ \]

所以三次角度變化分別為 \(45^\circ\)、\(0^\circ\) 和 \(45^\circ\)。

它的強度為

\[ \begin{aligned} I &=(100) \cos^2(45^\circ) \cos^2(0^\circ) \cos^2(45^\circ)\\ &=(100)(0.5)(1)(0.5)\\ &=25.0\ \mathrm{W\,m^{-2}} \end{aligned} \]

容易產生的想法是，把兩片偏振片都放在 \(45^\circ\)，便能建立一個完美的「中間方向」。但第一片 \(45^\circ\) 偏振片已經把留下來的光的偏振方向轉至 \(45^\circ\)，因此第二片同樣為 \(45^\circ\) 的偏振片根本沒有再令偏振方向轉動。到達最後的檢偏器時，光束仍然需要跨過另一個 \(45^\circ\) 的角度。

關鍵限制並不是各偏振片方向的平均值，而是光實際經歷的一連串相對角度。

問題 5

現有三束完全相同的同一平面偏振光。光束的強度和偏振面起初都未知。

一個水平檢偏器透射 \(36.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。

一個垂直檢偏器透射 \(64.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。

第三個檢偏器的透射軸位於水平線上方 \(45^\circ\)，它透射 \(98.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。

求：

1. 原本光束的強度，以及
2. 相對於水平方向的偏振面方向。

解釋為甚麼只靠水平和垂直兩次測量，不能完全確定偏振方向。

解答 5

原本的強度為 \(100\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)，而光束的偏振方向位於水平線上方 \(53.1^\circ\)。

令光束的偏振方向與水平方向成 \(\alpha\) 角。

對水平檢偏器，

\[ 36.0=I_{\max}\cos^2\alpha \]

對垂直檢偏器而言，其電場分量與水平分量互相垂直，因此

\[ 64.0=I_{\max}\sin^2\alpha \]

把兩條方程相加：

\[ \begin{aligned} 36.0+64.0 &=I_{\max}\left(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\right)\\ 100 &=I_{\max} \end{aligned} \]

因為

\[ \cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1 \]

所以原本光束的強度為

\[ I_{\max}=100\ \mathrm{W\,m^{-2}} \]

現在使用水平檢偏器的測量值：

\[ \begin{aligned} 36.0&=(100)\cos^2\alpha\\ \cos^2\alpha&=0.36 \end{aligned} \]

這表示水平電場分量的大小是總振幅的 \(0.6\)。垂直分量的大小則為

\[ \sqrt{1-0.36}=0.8 \]

倍的總振幅。

到了這一步，存在兩個互為鏡像的可能方向。相對於所選定的水平軸，垂直分量可以指向正方向，也可以指向負方向。換成角度表示，偏振面可以是

\[ +53.1^\circ \]

或

\[ -53.1^\circ \]

相對於水平線。後者所描述的是同一條軸，也可以表示為從水平線逆時針量得的 \(126.9^\circ\)。

前兩次測量無法分辨這兩種可能，因為 \(\cos^2\alpha\) 和 \(\sin^2\alpha\) 都會消除電場分量的正負號。

\(45^\circ\) 的測量可以消除這個歧義。

對於 \(+53.1^\circ\) 的方向，它與 \(45^\circ\) 檢偏器之間的相對角度只有

\[ 53.1^\circ-45^\circ=8.1^\circ \]

所以

\[ \begin{aligned} I_{45} &=(100)\cos^2(8.1^\circ)\\ &\approx98.0\ \mathrm{W\,m^{-2}} \end{aligned} \]

這與觀察結果吻合。

對於鏡像方向 \(-53.1^\circ\)，\(45^\circ\) 檢偏器幾乎與偏振軸互相垂直。它只會透射約

\[ 2.0\ \mathrm{W\,m^{-2}} \]

而不是 \(98.0\ \mathrm{W\,m^{-2}}\)。

因此，光束必須是在水平線上方 \(53.1^\circ\) 的方向偏振。

容易犯錯的做法，是從水平測量值計算 \(\cos^{-1}(0.6)=53.1^\circ\) 後便停止。這樣會在沒有說明的情況下，忽略平方餘弦所容許的第二個方向。第三次測量並不是多餘的；它提供了兩個互相垂直的測量無法分辨的方向資訊。

07馬呂斯定律接下來能幫助你理解甚麼

馬呂斯定律其實體現了波動物理中一個更廣泛的思考習慣：先處理振幅，再計算強度。

在這裡，檢偏器利用 \(\cos\theta\) 對電場振幅作投影，而把這個投影平方後，便得到測量到的強度。當波互相疊加時，同樣的區別亦很重要；可參閱 HSC 物理：雙縫干涉與條紋證據，其中電場振幅會先進行疊加，之後才決定所得的強度。

所以，當偏振問題變得複雜時，不要嘗試死記一條更大的公式。每通過一片偏振片後，都追蹤兩樣東西：新的強度，以及新的偏振方向。這樣，馬呂斯定律在每一個階段都保持不變。