光的绕射：狭缝宽度、波长与 HSC 物理

让雷射光穿过一个较宽的开口时，光大致仍会继续向前传播。现在把开口缩窄。你认为会发生什么事？

按照光线模型，较窄的开口似乎应该产生较窄的一条光带。然而，当开口缩小到一定程度后，光反而会扩散得更广。

这就是绕射。这个看似反直觉的特点值得记住：把开口缩窄，反而可以使透射光扩散得更宽。

01为什么光通过狭窄开口后会扩散？

先想像一个平坦的波前正接近一道狭缝。

如果狭缝宽度远大于波长，大部分波会继续向前传播。边缘附近会有一些扩散，但整体光束看起来仍然相当笔直。

现在逐渐缩窄狭缝，直到它的宽度更接近波长。此时，从狭缝射出的波会向更大的方向范围扩散。

惠更斯原理提供了一个很有用的初步模型。可以想像开口上的每一个点都收到同一则群组聊天讯息：「现在开始产生一个新的波。」每一点都像是一个小型次级波的波源。

这些次级波会互相重叠。在较宽的开口中，向侧面传播的成分往往会更强烈地互相抵消，因此大部分波仍向前传播。在较窄的开口中，这些偏离中央轴线的成分彼此抵消得较少，所以在更广的方向范围内仍有显著的光存在。

不过，这个类比有一个重要限制：狭缝内并不是真的坐著数百个微小光源。惠更斯的建构方法，是用来预测原有波前如何继续传播。

这也能修正一个常见但容易造成误解的说法。光产生绕射，并不是因为光子撞到边缘后向侧面反弹。整个透射波前都会对绕射图样作出贡献。

02真正重要的比较：波长与开口大小

两个重要的物理量是：

• \(\lambda\)，光的波长，以米为单位
• \(a\)，开口的宽度，以米为单位

一个很有用的比较方式，是考虑无因次比值

\[ \frac{\lambda}{a} \]

这并不是另一条能算出精确「弯曲量」的「绕射公式」。它只是用来比较不同情况的方法。

所以，并不存在一个神奇的开关，让绕射在 \(a=\lambda\) 时突然开始。任何有限大小的开口都会产生绕射。只是在开口比波长大得多时，绕射非常难以察觉。

可见光的波长大约只有数百奈米。门口的宽度约为一米，因此一个门口横跨了数百万个波长。这就是为什么可见光不会在普通门口周围明显地向外散开。

声音则不同。一个频率为 500 Hz、以约 \(340\ \text{m s}^{-1}\) 传播的声波，其波长为

\[ \lambda=\frac{v}{f} =\frac{340}{500} =0.68\ \text{m} \]

其中 \(v\) 是波速，\(f\) 是频率。

\(0.68\ \text{m}\) 的波长与门口的尺寸相若。这就是为什么即使你看不到门外说话的人，仍能听到对方的声音。同样的波动行为正在发生；只是各个尺寸之间的相对关系非常不同。

范例：哪一种颜色扩散得更多？

波长为 \(650\ \text{nm}\) 的红光和波长为 \(450\ \text{nm}\) 的蓝光，分别通过同一条 \(0.10\ \text{mm}\) 的狭缝。哪一种光会产生较明显的绕射？

步骤 1：找出保持不变的量。

两种颜色的光都通过同一条狭缝，因此 \(a\) 不变。波长较大的光便会有较大的 \(\lambda/a\) 比值。

步骤 2：换算单位。

对红光而言，

\[ \lambda_{\text{red}}=650\times10^{-9}\ \text{m} \]

对蓝光而言，

\[ \lambda_{\text{blue}}=450\times10^{-9}\ \text{m} \]

狭缝宽度为

\[ a=0.10\ \text{mm}=1.0\times10^{-4}\ \text{m} \]

步骤 3：比较比值。

\[ \frac{\lambda_{\text{red}}}{a} = \frac{650\times10^{-9}}{1.0\times10^{-4}} = 6.5\times10^{-3} \]

以及

\[ \frac{\lambda_{\text{blue}}}{a} = \frac{450\times10^{-9}}{1.0\times10^{-4}} = 4.5\times10^{-3} \]

步骤 4：解释结果。

红光的波长与狭缝宽度之比更大，因此它会产生较大的角度扩散。

一个很容易采用的简化说法是「红光弯曲得更多」。但应该说得更精确一些。这里并没有任何因素令红光发生折射。它的绕射较明显，是因为它的波长相对于开口尺寸更大。

03为什么缩窄狭缝会增加绕射？

假设波长保持不变，而你把狭缝宽度减半。

预测 \(\lambda/a\) 会怎样改变。

因为 \(a\) 变小，所以 \(\lambda/a\) 变大。因此，波会在更大的角度范围内扩散。

如果你完全以光线或粒子的方式思考，这可能会感觉很反直觉。较小的孔似乎应该把光束限制得更紧。这样的预测忽略了光的波动性。

不过，还有另一个效应：较窄的开口会让较少的光通过。因此，两件事会同时发生：

• 透射图样会扩散得更广，而且
• 总透射光量通常会减少。

「绕射更多」并不代表「光更多」。

范例：从频率预测绕射

单色光的频率为 \(5.0\times10^{14}\ \text{Hz}\)。先让它通过一道 \(0.30\ \text{mm}\) 的狭缝，再让它通过一道 \(0.030\ \text{mm}\) 的狭缝。预测哪一条狭缝会产生较明显的绕射。

取光在空气中的速率约为 \(3.0\times10^8\ \text{m s}^{-1}\)。

步骤 1：求波长。

对电磁波而言，

\[ c=f\lambda \]

其中 \(c\) 是光速，\(f\) 是频率，而 \(\lambda\) 是波长。

重新整理，

\[ \lambda=\frac{c}{f} = \frac{3.0\times10^8}{5.0\times10^{14}} = 6.0\times10^{-7}\ \text{m} \]

所以波长是 \(600\ \text{nm}\)。

步骤 2：比较光与较宽狭缝的尺寸。

对 \(a=0.30\ \text{mm}=3.0\times10^{-4}\ \text{m}\) 而言，

\[ \frac{\lambda}{a} = \frac{6.0\times10^{-7}}{3.0\times10^{-4}} = 2.0\times10^{-3} \]

步骤 3：比较光与较窄狭缝的尺寸。

对 \(a=0.030\ \text{mm}=3.0\times10^{-5}\ \text{m}\) 而言，

\[ \frac{\lambda}{a} = \frac{6.0\times10^{-7}}{3.0\times10^{-5}} = 2.0\times10^{-2} \]

步骤 4：解释比较结果。

较窄的狭缝使波长与狭缝宽度之比增大十倍。因此，它会产生明显得多的扩散。

留意我们没有作出什么主张。我们并没有把 \(\lambda/a\) 当作计算实际图样宽度的精确方程式。我们只是利用它作出可靠的定性比较。

04屏幕上会出现什么？

单狭缝通常不会产生一片亮度均匀、呈扇形散开的光。

相反，通过开口不同部分的波会彼此干涉。屏幕上会出现一个宽而明亮的中央区域，两侧有较暗的区域，以及亮度较弱的亮带。

这种图样提供了一个重要线索，帮助我们理解绕射究竟是什么。它不只是「光在边缘发生弯曲」。它来自穿过孔径不同部分的波互相叠加。

当狭缝变窄时，绕射图样会在更大的角度范围内扩散。如果屏幕与狭缝的距离保持不变，明亮的中央区域会变得更宽。

05如何正确研究绕射？

一个简单的实验可以测试狭缝宽度如何影响单色光的扩散。

使用低功率的课堂用雷射、一组窄狭缝或可调狭缝，以及一个屏幕。绝对不要直视雷射光束，也不要把雷射射向其他人的眼睛。

把屏幕放在狭缝后方固定距离 \(L\) 的位置。先使用较宽的狭缝，观察图样，再逐步减小狭缝宽度。

在实验前先作出预测：如果波动模型正确，中央区域应该变宽还是变窄？

它应该变宽。缩窄开口会增加波长与开口宽度之比，因此角度扩散会增加。

变量

合理的实验可以采用：

保持波长不变很重要。否则，如果同时改变颜色和狭缝宽度，就很难判断究竟是哪一项改变导致新的图样。

保持屏幕距离不变也很重要。

假设绕射角度完全不变，但你把屏幕移到两倍远的位置。即使绕射本身没有改变，屏幕上的图样也会大约变成两倍宽。

这表示单凭屏幕上的图样宽度，并不一定能公平地衡量绕射程度。

如果 \(W\) 是中央明亮区域的宽度，而 \(L\) 是狭缝到屏幕的距离，则可以利用几何关系求出半角 \(\theta\)：

\[ \tan\theta=\frac{W/2}{L} \]

或

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{W}{2L}\right) \]

这样即使 \(L\) 并不完全相同，你仍可以比较角度扩散。

实验应该显示什么？

当 \(a\) 减小而 \(\lambda\) 保持不变时：

• 角度扩散增加，
• 在固定屏幕距离下，中央明亮区域变宽，
• 两侧的特征彼此分得更开，而且
• 通过开口的总光量通常会减少。

重复测量很有帮助，因为要判断明亮区域究竟在哪里结束可能并不容易。较暗的房间、固定的屏幕位置、仔细的对准，以及重复测量，都能提升数据品质。

06绕射并不是折射

这两个词都涉及光的传播方向发生改变，所以很容易混淆。

通过狭缝并不会自动改变光的速率或频率。因此，这种扩散不能用折射来解释。

07值得留意的常见误解

「只有当开口大小等于波长时才会发生绕射」

不对。绕射并不会在某个临界点突然开始。

只要波受到开口或障碍物限制，就会发生绕射。当开口尺寸逐渐接近波长时，这种效应会明显得多。

「开口越窄，光束就越窄」

按照简单的光线模型，这是一个合理的预测，但当开口足够狭窄时，这个模型便不再适用。

较小的 \(a\) 会产生较大的 \(\lambda/a\)，因此透射波反而会扩散得更广。

「光撞到边缘后向侧面反弹」

边缘并不是微小的镜子。

孔径限制了原本的波前。剩余的波前各部分会产生相互叠加的波，形成绕射图样。

「较长波长总是绕射得更多」

只有在相关开口尺寸相同时才成立。

通过非常窄狭缝的较短波长，可能比通过较宽狭缝的较长波长产生更强的绕射。你必须比较 \(\lambda\) 与 \(a\)，而不是只看 \(\lambda\)。

「屏幕上的图样较宽，就一定代表绕射较强」

不一定。

把屏幕移得更远，图样的实际宽度也会增加。应比较角度，或者保持屏幕距离不变。

08问题与解答

问题 1

波长为 \(650\ \text{nm}\) 的红光和波长为 \(405\ \text{nm}\) 的紫光，分别通过同一条 \(0.080\ \text{mm}\) 的狭缝。

哪一种光会产生较强的绕射？请比较 \(\lambda/a\) 以支持你的答案。

解答 1

红光会产生较强的绕射，因为相对于同一狭缝宽度，它的波长较大。

换算狭缝宽度：

\[ a=0.080\ \text{mm}=8.0\times10^{-5}\ \text{m} \]

对红光而言，

\[ \frac{\lambda}{a} = \frac{650\times10^{-9}}{8.0\times10^{-5}} = 8.1\times10^{-3} \]

对紫光而言，

\[ \frac{\lambda}{a} = \frac{405\times10^{-9}}{8.0\times10^{-5}} = 5.1\times10^{-3} \]

红光的比值较大，因此它的绕射图样具有较大的角度扩散。

一个很容易采用的解释是红光「更容易弯曲」。但这样会掩盖真正的物理原因。重要的条件是波长相对于开口宽度的大小。

问题 2

进行两次实验。

一名学生认为，试验 A 一定会显示较强的绕射，因为红光的波长较长。

判断实际上哪一次试验应该产生较大的扩散，并解释这名学生推理中的问题。

解答 2

尽管试验 B 使用较短的波长，它仍应该产生较大的扩散。

对试验 A 而言，

\[ \frac{\lambda_A}{a_A} = \frac{650\times10^{-9}}{0.20\times10^{-3}} = 3.25\times10^{-3} \]

对试验 B 而言，

\[ \frac{\lambda_B}{a_B} = \frac{450\times10^{-9}}{0.10\times10^{-3}} = 4.50\times10^{-3} \]

因此，

\[ \frac{\lambda_B}{a_B}> \frac{\lambda_A}{a_A} \]

所以试验 B 会产生较大的角度扩散。

只有在狭缝宽度保持不变时，这名学生的推理才适用。这里有两个量同时改变。试验 B 的波长较短，这倾向于减少绕射；但它的狭缝也窄得多，这倾向于增加绕射。狭缝宽度的改变影响更大。

因此，「波长越长，绕射越强」是一条不完整的规则。真正有用的比较，是波长相对于开口尺寸的大小。

问题 3

两次试验使用同一支雷射。

一名学生说：「图样变成三倍宽，所以绕射角也变成三倍大。」

评估这个说法。计算每次试验中中央区域的半角，并指出实验设计可以如何改进。

解答 3

绕射角大约增加为原来的两倍，而不是三倍；这名学生的比较忽略了屏幕距离的改变。

对试验 1 而言，

\[ \tan\theta_1=\frac{W_1/2}{L_1} = \frac{4.0\times10^{-3}}{1.00} = 4.0\times10^{-3} \]

因此，

\[ \theta_1=\tan^{-1}(4.0\times10^{-3}) \approx0.229^\circ \]

对试验 2 而言，

\[ \tan\theta_2 = \frac{12.0\times10^{-3}}{1.50} = 8.0\times10^{-3} \]

所以

\[ \theta_2=\tan^{-1}(8.0\times10^{-3}) \approx0.458^\circ \]

因此，

\[ \frac{\theta_2}{\theta_1} \approx \frac{0.458}{0.229} \approx2.0 \]

第二个图样在屏幕上的实际宽度是原来的三倍，但屏幕与狭缝的距离也变成原来的 \(1.5\) 倍。这两个改变都会影响测得的宽度。

如果在改变狭缝宽度时保持 \(L\) 不变，实验会更清楚。如果无法做到，学生便应该比较计算得到的角度扩散，而不是直接比较屏幕上的实际宽度。

一个很容易犯的错误，是把 \(W\) 当成绕射程度的直接量度。忽略的条件是几何关系：相同的角度扩散，在距离更远的屏幕上会形成更大的实际图样。

问题 4

一支雷射在空气中的波长为 \(660\ \text{nm}\)。一道 \(2.0\ \mu\text{m}\) 的狭缝和观察屏幕起初都位于空气中。

之后，把包含狭缝和屏幕的整个区域都充满折射率为 \(1.33\) 的水。狭缝的实际宽度不变。

假设雷射的频率保持不变。

预测光在水中的绕射会如何改变。计算光在水中的波长，并比较两种情况下的 \(\lambda/a\)。

一名学生认为，由于雷射的频率相同，所以绕射一定保持不变。

解答 4

在水中，绕射会变得较不明显，因为波长缩短了，而狭缝的实际宽度保持不变。

光进入水中时，频率的确保持不变，但其速率会降低。由于

\[ v=f\lambda \]

在频率不变的情况下，较低的波速意味著较短的波长。

利用

\[ n=\frac{c}{v} \]

介质中的波长可以写成

\[ \lambda_{\text{water}} = \frac{\lambda_{\text{air}}}{n} \]

因此，

\[ \lambda_{\text{water}} = \frac{660\ \text{nm}}{1.33} \approx496\ \text{nm} \]

狭缝宽度为

\[ a=2.0\ \mu\text{m}=2000\ \text{nm} \]

在空气中，

\[ \frac{\lambda_{\text{air}}}{a} = \frac{660}{2000} = 0.330 \]

在水中，

\[ \frac{\lambda_{\text{water}}}{a} = \frac{496}{2000} = 0.248 \]

水中的比值较小，表示角度扩散也较小。

这名学生的推理只集中在频率上。频率的确保持不变，但绕射取决于波长相对于孔径尺寸的大小。由于光在水中的速率改变，波长也会随之改变。

这也提醒我们，波长并不是光波中永远不会改变的性质。当光跨越介面时，频率由光源决定并保持不变，而波速和波长则取决于介质。

问题 5

一个双狭缝装置使用波长为 \(600\ \text{nm}\) 的光。两条狭缝中心之间的距离为

\[ d=0.30\ \text{mm} \]

而每条狭缝起初的宽度为

\[ a=0.060\ \text{mm}. \]

之后，把每条狭缝的宽度减小至 \(0.030\ \text{mm}\)，而 \(d\)、波长和屏幕位置都保持不变。

一名学生作出两个预测：

1. 每一条干涉条纹之间的距离会变大，因为现在每条狭缝的绕射都更强。
2. 在两条狭缝照亮的较宽区域内，可能会看见更多条干涉条纹。

评估这两个预测。使用双狭缝关系式

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

检查狭缝宽度改变前后，一阶干涉极大的位置。

解答 5

第一个预测不正确，但第二个预测正确：缩窄每一条狭缝会使绕射包络变宽，但不会改变双狭缝干涉条纹的角位置。

对一阶干涉极大而言，\(m=1\)。双狭缝关系式为

\[ d\sin\theta=m\lambda \]

其中 \(d\) 是两条狭缝中心之间的距离，\(\theta\) 是干涉极大相对中央方向的角度，\(m\) 是干涉级次，而 \(\lambda\) 是波长。

代入数值，

\[ (0.30\times10^{-3})\sin\theta = (1)(600\times10^{-9}) \]

所以

\[ \sin\theta = \frac{600\times10^{-9}}{0.30\times10^{-3}} = 2.0\times10^{-3} \]

因此

\[ \theta = \sin^{-1}(2.0\times10^{-3}) \approx0.115^\circ \]

当每条狭缝的宽度减半后，\(d\) 和 \(\lambda\) 都没有改变。因此计算完全相同：

\[ \theta\approx0.115^\circ \]

一阶干涉条纹仍然位于相同角度。其他干涉级次也同样保持在原来的角位置。

那么，为什么缩窄每一条狭缝仍然会造成影响？

每一条狭缝本身都会产生绕射。减小 \(a\) 会增加 \(\lambda/a\)，所以从每条狭缝射出的光会扩散至更广的角度范围。来自两条狭缝的绕射波因此可以在更广的角度范围内互相重叠。

在这个较宽的区域内，两个波仍会按照两条狭缝的中心距离 \(d\) 产生干涉。这可以令整体绕射包络内可见的干涉条纹数目增加，不过随著狭缝变窄，总透射光强也会减少。

一个很容易犯的错误，是把狭缝宽度 \(a\) 和狭缝间距 \(d\) 当成控制同一种特征的量。

它们负责不同的作用：

• \(a\)，即每条狭缝的宽度，控制宽广的绕射包络。
• \(d\)，即两条狭缝中心之间的距离，控制双狭缝干涉条纹的位置和间距。

这个区别正是关键。绕射增加，并不会自动令干涉条纹的间距变大。

09绕射能帮助你进一步理解什么？

绕射解释了为什么通过狭窄狭缝的光，可以到达简单光线图认为应该保持黑暗的位置。更重要的是，它解释了从相邻狭缝射出的光为什么能够彼此重叠。

一旦这些绕射波互相重叠，叠加原理便会决定它们是互相加强还是互相抵消。这会直接带你进入双狭缝干涉和绕射光栅的内容。

继续学习时，记得把这两个长度尺度分开：每个开口的宽度控制每个波扩散得多广，而开口之间的距离则控制重叠的波如何互相干涉。