直流发电机：旋转线圈如何产生直流电

在磁铁两极之间旋转一个矩形线圈，就能产生电动势。但这立即带来一个问题：线圈转过半圈后，线圈的每一侧都会沿相反方向穿过磁场。那么，为甚么直流发电机不会直接产生交流电呢？

在继续阅读前，先试著预测答案。如果旋转线圈中的感应电动势每半圈反转一次，有甚么方法可以让流过外部电阻的电流始终沿同一方向流动？

答案并不是某种特殊的电磁感应。线圈中的电动势确实会反转。直流发电机使用分裂环换向器，在完全相同的时刻交换线圈与外部电路的连接。两次反转同时发生，因此外部电流仍保持同一方向。

这就是直流发电机的核心概念。

01从一条移动的导体开始

想像一条直金属导线横向穿过磁场。导线内含有可移动的电子，而这些电荷会随导线一起移动。

在磁场中移动的电荷会受到磁力：

\[ F = qvB\sin\theta \]

其中 \(F\) 是以牛顿为单位的磁力，\(q\) 是以库仑为单位的电荷量，\(v\) 是电荷以米每秒为单位的速度，\(B\) 是以特斯拉为单位的磁场强度，而 \(\theta\) 是速度方向与磁场方向之间的夹角。

当导线垂直于磁场方向移动时，\(\theta = 90^\circ\)，所以磁力最大。正电荷和负电荷会被推向导体的相反两端。这种电荷分离会在导线两端产生电势差，也就是电动势。

因此，我们可以先建立一个有用的图像：让导体穿过磁场移动，导体内的电荷便可能沿著导体受到推动。

不过，这还不是发电机的完整解释。实际的发电机使用整个旋转线圈，因此导体不同部分会沿不同方向移动，而穿过线圈的磁通量也会持续改变。

02把导体组成旋转线圈

取一个矩形线圈，把它放在磁铁的北极和南极之间。假设有外力以稳定的角速度转动线圈。

先集中考虑线圈中穿越磁场的两条边。

当线圈转动时：

• 一侧向上移动，而另一侧向下移动，
• 磁力会使这两侧的电荷沿相反方向受到推动，
• 这些作用沿整个回路相加，产生电动势。

现在跟随线圈转过半圈。线圈的每一侧都来到运动路径的相反位置，而且其穿过磁场的速度方向也已反转。

感应电动势应该会怎样？

它会反转。

如果我们直接把旋转线圈连接到两个连续的滑环，外部电流便会每半圈反转一次。这种装置会产生交流电。

直流发电机还需要多一个组件。

03分裂环换向器改变外部电路所看到的输出

分裂环换向器由两个导电的半环组成，分别连接旋转线圈的两端。固定的碳刷压在旋转的换向器片上，并把它们连接到外部电路。

在其中半圈期间，线圈的一端接触电刷 A，另一端接触电刷 B。

转过半圈后，换向器片已交换所接触的电刷。

这个交换恰好在线圈中的感应电动势极性反转时发生。

因此会出现两次反转：

1. 旋转线圈内的感应电动势反转；
2. 换向器反转线圈哪一端与各电刷连接。

从外部电路的角度来看，这两次反转彼此抵消。流过负载的电流会继续沿同一方向流动。

这里可以用一个稍微有点滑稽的类比来帮助理解。想像两个人轮流拿著托盘穿过一道门，但每次他们交换位置时，也会交换用哪一只手把托盘向前递。内部发生了很多反转，但托盘整体上仍沿同一方向通过门口。

这个类比并不完全成立，因为换向器并不是把电流从一个载体实际交给另一个载体。它是在切换电路连接。不过，它抓住了重要的一点：内部方向可以反转，而外部方向仍保持不变。

04直流发电机不会产生完全恒定的直流电

这是这个主题中最容易出现的误解之一。

学生看到「直流发电机」几个字，可能会想像像电池那样呈水平直线的电压。

基本的直流发电机并不会产生这种输出。

旋转线圈产生随正弦变化的电动势。分裂环换向器把波形的负半周翻转，使外部极性保持相同。

结果是脉动直流电。它只有一个方向，但其大小会持续改变。

实际的直流发电机可以使用多个线圈和多个换向器片。各线圈的电动势峰值会在不同时间出现，因此总输出会平滑得多。

05为甚么电动势会在每次旋转期间改变

现在，我们可以利用磁通量来建立更精确的模型。

对于穿过平面线圈的均匀磁场，

\[ \Phi = BA\cos\theta \]

其中 \(\Phi\) 是穿过单匝线圈、以韦伯为单位的磁通量，\(B\) 是以特斯拉为单位的磁场强度，\(A\) 是以平方米为单位的线圈面积，而 \(\theta\) 是磁场方向与线圈平面的法线之间的夹角。

法线是一条想像中的直线，垂直于线圈所在的平面。

这个角度的定义十分重要。如果线圈平面垂直于磁场，法线便与磁场平行，因此 \(\theta = 0^\circ\)，磁通量最大。

如果线圈平面平行于磁场，法线便与磁场成 \(90^\circ\)，所以磁通量为零。

法拉第定律告诉我们，当磁通链发生变化时，就会产生感应电动势：

\[ \varepsilon = -N\frac{\Delta\Phi}{\Delta t} \]

其中 \(\varepsilon\) 是以伏特为单位的感应电动势，而 \(N\) 是线圈匝数。

负号代表楞次定律：感应效应的方向会反抗造成它的变化。

这里有一个容易忽略的重点。电动势并不是在磁通量最大时最大，而是在磁通量变化最快时最大。

假设线圈在某一瞬间垂直于磁场。此时磁通量最大，但在那一瞬间，其变化率为零。因此感应电动势为零。

再转四分之一圈后，磁通量为零，但变化速度最快。此时电动势的大小最大。

这个区别在发电机题目中经常出现。

06旋转线圈的电动势方程式

如果线圈以恒定角速度 \(\omega\) 旋转，其角度可写成

\[ \theta = \omega t \]

其中 \(\omega\) 是以弧度每秒为单位的角速度，而 \(t\) 是以秒为单位的时间。

把它代入磁通量公式可得

\[ \Phi = BA\cos(\omega t) \]

对于 \(N\) 匝线圈，对磁通链求导可得

\[ \varepsilon = NBA\omega\sin(\omega t) \]

如果我们选择在磁通量最大时令 \(t=0\)。

因此，感应电动势的峰值为

\[ \varepsilon_{\text{max}} = NBA\omega \]

这个方程式提供了一个有用的判断规则：

注意，换向器并没有出现在这个方程式中。换向器不会使电磁感应变得更强。它改变的是连接方式，使外部极性保持相同。

对理想的单线圈直流发电机而言，外部电动势可表示为

\[ \varepsilon_{\text{out}} = \left|\varepsilon_{\text{max}}\sin(\omega t)\right| \]

绝对值符号就是分裂环作用的数学表示。

07在旋转的哪个位置，电动势最大？

在使用方程式之前，先试著根据实际运动来预测答案。

当线圈平面垂直于磁场时，每一条有效边在那一瞬间大致沿平行于磁场的方向移动。它们不能有效地切割磁场，因此电动势为零。

转过四分之一圈后，线圈平面与磁场平行。有效边垂直于磁场方向移动，因此它们切割磁场的速率最快。此时电动势的大小最大。

再转四分之一圈后，电动势又回到零。

因此，在线圈完整旋转一圈的过程中，电动势大小会遵循以下模式：

\[ 0\rightarrow \varepsilon_{\text{max}}\rightarrow0 \rightarrow\varepsilon_{\text{max}}\rightarrow0 \]

在线圈内部，两个最大值具有相反极性。经过换向后，它们在外部电刷上都会以相同极性出现。

08电流需要完整的电路

即使没有连接负载，也可以存在电动势。电流则需要一条闭合的导电路径。

如果我们把发电机模拟成具有内阻 \(r\)，并将它接到外部负载电阻 \(R\)，那么在任何瞬间都有

\[ I=\frac{\varepsilon_{\text{out}}}{R+r} \]

其中 \(I\) 是以安培为单位的电流。

对简单的电阻性负载而言，电流因此具有与输出电动势相同的脉动形状。

提高旋转速度的影响不只是让脉冲更频繁地出现。由于

\[ \varepsilon_{\text{max}}=NBA\omega, \]

较大的角速度也会使脉冲的峰值更高。

把 \(\omega\) 加倍，峰值电动势也会加倍。

09为甚么产生电能会令发电机更难转动

假设发电机连接到一个电阻。此时电流会流过旋转线圈。

载流导体位于磁场中时会受到磁力。由此产生的转矩会反抗正在产生电流的旋转运动。

这就是楞次定律在机械上的表现。

这也提供了一个重要的能量检查方法。如果接上负载后反而令发电机自行加速，机器便会在没有额外能量输入的情况下，同时产生电能和额外的转动能。这是不可能的。

相反，当取出的电功率增加时，驱动发电机的外部装置就必须提供更多机械能。

这也能解释一个起初可能有点反直觉的结果：虽然旋转线圈中的电流每半圈反转一次，但电磁转矩并不会突然开始帮助旋转。换向器和感应电流的反转共同作用，使发电机的电磁效应持续反抗驱动运动。

相同的基本电磁感应原理，也会从相反方向出现在马达中。当直流马达已经在旋转时，其旋转导体会产生一个反抗供应电压的电压。这就是直流马达中的反电动势。

10要分清楚的三个概念

大多数直流发电机的错误，都是因为把三个不同概念混在一起。

所以，说「电流从不反转」太含糊。

外部电流不会反转。相对于旋转线圈而言，电流方向则会反转。

同样地，说「分裂环产生电动势」也是错误的。电磁感应产生电动势。分裂环则以机械方式切换外部连接。

11问题与解答

问题 1

一个 150 匝、面积为 \(2.5\times10^{-3}\text{ m}^2\) 的线圈，在 \(0.20\text{ T}\) 的均匀磁场中以 \(40\text{ rad s}^{-1}\) 旋转。

计算线圈产生的最大电动势。

解答 1

最大感应电动势为 \(\boxed{3.0\text{ V}}\)。

对旋转线圈而言，

\[ \varepsilon_{\text{max}}=NBA\omega. \]

其中，

\[ N=150,\qquad B=0.20\text{ T},\qquad A=2.5\times10^{-3}\text{ m}^2,\qquad \omega=40\text{ rad s}^{-1}. \]

因此，

\[ \varepsilon_{\text{max}} =(150)(0.20)(2.5\times10^{-3})(40) =3.0\text{ V}. \]

线圈中的感应电动势会在 \(+3.0\text{ V}\) 和 \(-3.0\text{ V}\) 之间变化。使用理想分裂环换向器后，外部电路则会接收到介乎 \(0\) 与 \(3.0\text{ V}\) 之间、具有单一极性的脉冲。

一个容易出现的错误，是假设直流发电机会持续输出 \(3.0\text{ V}\)。所计算出的数值是最大值，而不是恒定输出。

问题 2

一台直流发电机的峰值感应电动势为 \(18\text{ V}\)。在某一瞬间，其旋转线圈的法线与磁场成 \(140^\circ\)。

发电机接到一个 \(5.0\,\Omega\) 电阻，并具有 \(1.0\,\Omega\) 的内阻。

计算：

a. 此瞬间感应电动势的大小，以及
b. 负载电流的大小。

解释为甚么流过外部电阻的电流，仍可以与线圈位于 \(40^\circ\) 时具有相同方向。

解答 2

电动势大小约为 \(\boxed{11.6\text{ V}}\)，而电流大小约为 \(\boxed{1.93\text{ A}}\)。外部电流保持原来的方向，是因为分裂环换向器在这半圈期间已交换线圈的连接。

对旋转线圈而言，

\[ |\varepsilon| =\varepsilon_{\text{max}}|\sin\theta|. \]

代入：

\[ |\varepsilon| =(18)|\sin140^\circ| \approx(18)(0.643) \approx11.6\text{ V}. \]

电路的总电阻为

\[ R_{\text{total}}=5.0+1.0=6.0\,\Omega. \]

利用欧姆定律，

\[ I=\frac{\varepsilon}{R_{\text{total}}} =\frac{11.6}{6.0} \approx1.93\text{ A}. \]

一个容易令人误判的说法是，\(140^\circ\) 位于与 \(40^\circ\) 不同的半圈，因此外部电流一定已经反转。对于旋转线圈内部的电动势而言，前半句确实正确：它的极性已经反转。

可是，换向器也同时交换了每一个电刷所接触的线圈端。两次反转一起发生，所以外部电阻看到的极性仍然相同。

问题 3

一台单线圈直流发电机以恒定角速度旋转。其最大电动势为 \(24\text{ V}\)，而电路总电阻为 \(8.0\,\Omega\)。

在线圈法线与磁场之间的夹角为 \(30^\circ\) 的某一瞬间：

a. 计算电流大小，
b. 计算传送到电路的电功率，以及
c. 把此瞬间的反向电磁转矩与夹角为 \(90^\circ\) 时的数值作比较。假设旋转速度和电阻保持不变。

解答 3

电流为 \(\boxed{1.5\text{ A}}\)，电功率为 \(\boxed{18\text{ W}}\)，而反向电磁转矩为 \(90^\circ\) 时最大值的 \(\boxed{\tfrac14}\)。

先求瞬时电动势：

\[ |\varepsilon| =\varepsilon_{\text{max}}|\sin30^\circ| =(24)(0.5) =12\text{ V}. \]

因此电流为

\[ I=\frac{\varepsilon}{R} =\frac{12}{8.0} =1.5\text{ A}. \]

电功率为

\[ P=\varepsilon I =(12)(1.5) =18\text{ W}. \]

现在与 \(90^\circ\) 的位置比较。

在 \(90^\circ\) 时，

\[ \varepsilon=24\text{ V}, \]

所以

\[ I=\frac{24}{8.0}=3.0\text{ A} \]

而

\[ P=(24)(3.0)=72\text{ W}. \]

在角速度恒定时，与反向电磁转矩相关的机械功率满足

\[ P=\tau\omega, \]

其中 \(\tau\) 是以牛顿米为单位的转矩，而 \(\omega\) 是角速度。由于 \(\omega\) 不变，

\[ \frac{\tau_{30}}{\tau_{90}} = \frac{P_{30}}{P_{90}} = \frac{18}{72} = \frac14. \]

因此，在 \(30^\circ\) 时的反向转矩，是 \(90^\circ\) 时的四分之一。

一条看似合理但错误的思路，是因为电动势减半，所以转矩也应减半。但电流同样也减半。对固定电阻而言，电功率按以下关系变化：

\[ P=\frac{\varepsilon^2}{R}, \]

因此，把电动势减半会令功率减至四分之一，而在速度固定时，所需的反向转矩也因此减至四分之一。

问题 4

一台理想直流发电机具有单一旋转线圈和分裂环换向器。正常情况下，当感应电动势通过零时，电刷会从一个换向器片转而接触另一个换向器片。

假设电刷的位置错误，使连接在每次线圈感应电动势通过零之后，延迟 \(20^\circ\) 的旋转角度才切换。

解释每次完整旋转期间，外部电压的极性会发生甚么变化。发电机是否仍能在所有时刻都只沿一个方向产生电流？

假设切换是完全瞬时的，并忽略火花。

解答 4

不能。外部电压在每次旋转的大部分时间都具有预期的极性，但在每次电动势过零之后的一段 \(20^\circ\) 区间内，极性会相反。每转一圈会出现两个这样的区间。

关键在于，本来应该同时发生两件事：

• 线圈中的感应电动势改变符号；
• 换向器交换线圈与电刷之间的连接。

当时序正确时，从外部电路的角度来看，这两次反转会彼此抵消。

但这里两者并没有同时发生。

刚通过零点后，线圈已经进入下一个半圈，因此线圈电动势已经反转。但在接下来的 \(20^\circ\) 内，系统仍然使用旧的换向器连接方式。

在这段期间，只发生了一次反转，而不是两次。因此外部极性会反转。

当延迟的换向器切换终于发生时，第二次反转出现，预期的外部极性便会恢复。

同样的问题会在下一次过零时再次出现，因此每次 \(360^\circ\) 的完整旋转都会有两个极性错误的区间。

它们的总角度范围为

\[ 2(20^\circ)=40^\circ. \]

因此，每转一圈，输出具有错误极性的比例为

\[ \frac{40^\circ}{360^\circ} =\frac19 \]

。

一个容易出现的说法是，换向器「最终总会修正方向」，所以输出仍可算是单向直流电。问题正在于切换时机。分裂环换向器之所以有效，是因为它会在线圈电动势改变符号的同时切换连接。延迟切换便会让一个短暂的反向电压脉冲进入外部电路。

这也解释了为甚么实际的换向是一个工程问题，而不只是把两块金属做成半圆形那么简单。

问题 5

一名设计者希望让直流发电机的输出更平滑。

发电机不再只使用一个线圈，而是包含两个相同的线圈，两者绕同一转轴安装并相隔 \(90^\circ\)。每个线圈都有自己的理想换向器。它们整流后的输出电压以串联方式连接，使两者相加。

如果每个线圈单独使用时，其最大电动势都是 \(E_0\)。

令 \(\theta\) 为第一个线圈输出符合下式时的角度：

\[ E_1=E_0|\sin\theta|. \]

由于第二个线圈领先 \(90^\circ\)，其输出为

\[ E_2=E_0|\cos\theta|. \]

a. 求 \(\theta=0^\circ\)、\(45^\circ\) 和 \(90^\circ\) 时的总输出。

b. 一名学生声称：「两个线圈相隔 \(90^\circ\)，所以当一个线圈的电压下降时，另一个线圈的电压会增加完全相同的量。因此它们的总和一定是常数。」判断这个说法是否正确。

c. 求四分之一圈 \(0^\circ\leq\theta\leq90^\circ\) 期间的最小和最大总电压，并解释这对实际直流发电机使用多个线圈有甚么启示。

解答 5

总输出在 \(0^\circ\) 时为 \(\boxed{E_0}\)，在 \(45^\circ\) 时为 \(\boxed{\sqrt2E_0}\)，而在 \(90^\circ\) 时为 \(\boxed{E_0}\)。因此，它比单一线圈的输出更平滑，但并不是恒定的。

总电压为

\[ E_{\text{total}} = E_1+E_2. \]

在第一象限内，正弦和余弦都为正，因此

\[ E_{\text{total}} = E_0(\sin\theta+\cos\theta). \]

当 \(\theta=0^\circ\) 时，

\[ E_{\text{total}} = E_0(\sin0^\circ+\cos0^\circ) = E_0(0+1) = E_0. \]

当 \(\theta=45^\circ\) 时，

\[ E_{\text{total}} = E_0\left(\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\right) = \sqrt2E_0. \]

当 \(\theta=90^\circ\) 时，

\[ E_{\text{total}} = E_0(\sin90^\circ+\cos90^\circ) = E_0(1+0) = E_0. \]

因此，这名学生的说法不可能正确。总输出会从 \(E_0\) 变为 \(\sqrt2E_0\)，再回到 \(E_0\)。

这个容易令人误判的推理源于一个真正的恒等式：

\[ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1. \]

但发电机相加的是电压，而不是电压的平方。总输出正比于

\[ \sin\theta+\cos\theta, \]

而这并不是常数。

若要在不使用复杂微积分的情况下找出极值，可以把这个和改写成

\[ \sin\theta+\cos\theta = \sqrt2\sin(\theta+45^\circ). \]

在

\[ 0^\circ\leq\theta\leq90^\circ, \]

范围内，最大值出现在

\[ \theta=45^\circ, \]

因此

\[ E_{\text{max,total}}=\sqrt2E_0. \]

在区间的任一端点，

\[ E_{\text{min,total}}=E_0. \]

所以

\[ \boxed{E_0\leq E_{\text{total}}\leq\sqrt2E_0}. \]

重要的结论不只是「更多线圈会产生更高电压」。由于各线圈处于不同的旋转位置，它们的电动势峰值会在不同时间出现。因此，当其中一个线圈接近低点时，另一个线圈仍可提供相当大的输出。

若在转子周围分布更多线圈，并使用更多换向器片，这些彼此重叠的输出可以使外部直流电平滑得多。不过，有限数目的普通旋转线圈并不会神奇地把电磁感应过程变成完全恒定的电动势。平滑效果来自把相位错开的脉动输出组合起来。

下一步值得掌握的正是这个概念：一旦你理解换向器控制的是极性，而线圈的几何位置控制的是不断变化的大小，实际发电机的设计便会容易理解得多。