HSC भौतिकी में विद्युत ऊर्जा: E = Pt का उपयोग

60 W का एक लैम्प और 1200 W का एक हीटर, दोनों 10 मिनट तक चल सकते हैं। वे समान समय तक चलते हैं, तो क्या वे समान मात्रा में विद्युत ऊर्जा स्थानांतरित करते हैं?

नहीं। हीटर ऊर्जा को 20 गुना तेज़ दर से स्थानांतरित करता है। यदि दोनों समान समय तक स्थिर रूप से काम करें, तो हीटर 20 गुना अधिक ऊर्जा भी स्थानांतरित करेगा। यही सरल विचार \(E = Pt\) में व्यक्त होता है।

समीकरण देखने से पहले यह अनुमान लगाइए: यदि आप उसी लैम्प को दोगुने समय तक चालू रखें, तो क्या दोगुना होगा-उसकी शक्ति या उसके द्वारा स्थानांतरित ऊर्जा?

ऊर्जा दोगुनी होगी। लैम्प अभी भी उसी दर से ऊर्जा स्थानांतरित कर रहा है, इसलिए उसकी शक्ति समान रहती है। बस वह यही काम अधिक समय तक करता रहता है।

01शक्ति बताती है कि ऊर्जा कितनी तेजी से स्थानांतरित होती है

कल्पना कीजिए कि आप नल से एक बाल्टी भर रहे हैं। प्रवाह दर बताती है कि पानी कितनी तेजी से अंदर आ रहा है। बाल्टी में पानी की मात्रा, प्रवाह दर और नल कितनी देर तक चलता है-दोनों पर निर्भर करती है।

विद्युत शक्ति यहाँ प्रवाह दर की भूमिका निभाती है। विद्युत ऊर्जा संचित कुल मात्रा के समान है।

यह उपमा उपयोगी है, लेकिन इसकी एक सीमा है। ऊर्जा कोई पदार्थ नहीं है जो पानी की तरह तारों में इधर-उधर बहती हो। शक्ति केवल उस दर का वर्णन करती है जिस पर ऊर्जा स्थानांतरित या रूपांतरित होती है।

शक्ति को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है

\[ P = \frac{E}{t} \]

जहाँ:

• \(P\) शक्ति है, जिसकी इकाई वाट (\(\text{W}\)) है
• \(E\) स्थानांतरित ऊर्जा है, जिसकी इकाई जूल (\(\text{J}\)) है
• \(t\) समय है, जिसकी इकाई सेकंड (\(\text{s}\)) है

पुनर्व्यवस्थित करने पर वह समीकरण मिलता है जिसकी आपको अक्सर आवश्यकता होगी:

\[ E = Pt \]

एक वाट का अर्थ है एक जूल प्रति सेकंड:

\[ 1\text{ W} = 1\text{ J s}^{-1} \]

इसलिए 60 W का लैम्प, उस शक्ति पर काम करते समय, हर सेकंड 60 J ऊर्जा स्थानांतरित करता है।

1 सेकंड के बाद वह 60 J स्थानांतरित कर चुका होगा। 10 सेकंड के बाद 600 J। 100 सेकंड के बाद 6000 J।

इसीलिए शक्ति को समय से गुणा करने पर ऊर्जा मिलती है।

03ऊर्जा को विभवांतर और धारा से जोड़ना

किसी परिपथ में आपको शक्ति सीधे हमेशा नहीं दी जाएगी। इसके बजाय, आपको धारा और विभवांतर ज्ञात हो सकते हैं।

विद्युत शक्ति है

\[ P = VI \]

जहाँ:

• \(V\) विभवांतर है, जिसकी इकाई वोल्ट (\(\text{V}\)) है
• \(I\) धारा है, जिसकी इकाई एम्पियर (\(\text{A}\)) है

आप इस संबंध को tutorgum की विद्युत शक्ति और \(P = VI\) मार्गदर्शिका में दोहरा सकते हैं।

\(E = Pt\) में \(P = VI\) रखने पर:

\[ E = Pt \]

\[ E = (VI)t \]

इसलिए

\[ \boxed{E = VIt} \]

यह समीकरण बताता है कि स्थानांतरित विद्युत ऊर्जा तीन चीज़ों पर निर्भर करती है:

• उपकरण के सिरों के बीच विभवांतर
• उपकरण से प्रवाहित होने वाली धारा
• यह स्थानांतरण कितनी देर तक जारी रहता है

\(VIt\) वास्तव में क्या कह रहा है?

धारा बताती है कि प्रत्येक सेकंड कितना आवेश गुजरता है:

\[ I = \frac{q}{t} \]

इसलिए

\[ q = It \]

जहाँ \(q\) आवेश है, जिसकी इकाई कूलॉम (\(\text{C}\)) है।

विभवांतर बताता है कि प्रति कूलॉम आवेश कितनी ऊर्जा स्थानांतरित होती है:

\[ V = \frac{E}{q} \]

जिसे पुनर्व्यवस्थित करने पर

\[ E = qV \]

अब \(q\) के स्थान पर \(It\) रखें:

\[ E = (It)V = VIt \]

इसलिए \(E = VIt\) कोई अलग नियम नहीं है जो अचानक कहीं से आ गया हो। यह दो भौतिक विचारों को जोड़ता है:

1. \(It\) बताता है कि कितना आवेश गुजरता है।
2. \(V\) बताता है कि प्रति कूलॉम कितनी ऊर्जा स्थानांतरित होती है।

उदाहरण के लिए, यदि 20 C आवेश ऐसे उपकरण से गुजरता है जिसके सिरों पर विभवांतर 6 V है, तो प्रत्येक कूलॉम 6 J ऊर्जा स्थानांतरित करता है:

\[ E = qV = 20 \times 6 = 120\text{ J} \]

यदि धारा और समय से \(q = 20\text{ C}\) मिलता है, तो \(E = VIt\) से भी यही परिणाम मिलना चाहिए।

विभवांतर प्रति आवेश स्थानांतरित ऊर्जा को क्यों मापता है, इसे अधिक विस्तार से समझने के लिए विभवांतर और विद्युत कार्य: \(W = qV\) का उपयोग देखें।

05उपयोगी समीकरणों की श्रृंखला

ये संबंध एक-दूसरे से प्रतिस्पर्धा नहीं करते, बल्कि आपस में जुड़े हुए हैं।

एक उपयोगी निर्णय नियम है:

• \(P\) और \(t\) दिए हैं? \(E = Pt\) का उपयोग करें।
• \(V\), \(I\), और \(t\) दिए हैं? \(E = VIt\) का उपयोग करें।
• \(q\) और \(V\) दिए हैं? \(E = qV\) का उपयोग करें।
• \(V\) या \(I\) में से किसी एक के बजाय प्रतिरोध दिया है? पहले उपयुक्त शक्ति संबंध का उपयोग करें, फिर \(E = Pt\) का उपयोग करें।

06ऊर्जा को प्रतिरोध से जोड़ना

ऐसे प्रतिरोधक के लिए, उन परिस्थितियों में जहाँ \(V = IR\) संबंध लागू होता है, शक्ति समीकरण को दूसरे रूप में लिखा जा सकता है।

शुरुआत करें

\[ P = VI \]

और \(V = IR\) रखने पर:

\[ P = I(IR) \]

इसलिए

\[ P = I^2R \]

वैकल्पिक रूप से, \(I = \frac{V}{R}\) रखें:

\[ P = V\left(\frac{V}{R}\right) \]

जिससे मिलता है

\[ P = \frac{V^2}{R} \]

इसलिए विद्युत ऊर्जा को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

\[ E = I^2Rt \]

या

\[ E = \frac{V^2}{R}t \]

ये रूप उपयोगी हैं, लेकिन इन्हें एक-दूसरे से असंबंधित समीकरणों की तरह याद न करें। उन राशियों से शुरुआत करें जो वास्तव में आपको ज्ञात हैं।

यहाँ एक महत्वपूर्ण शर्त भी छिपी हुई है: आप आँख बंद करके यह नहीं मान सकते कि \(R\) स्थिर रहता है। स्थिर भौतिक परिस्थितियों में किसी ओमिक चालक के लिए यह एक अच्छा मॉडल हो सकता है। लेकिन ऐसे अवयव के लिए जिसका तापमान और प्रतिरोध काफी बदलते हैं, पूरे समयांतराल के लिए प्रतिरोध का एक ही मान उपयोग करने से गलत परिणाम मिल सकता है।

08सबसे बड़ी गलत धारणा: शक्ति ऊर्जा नहीं है

मान लीजिए दो विद्यार्थी 20 W के उपकरण और 100 W के उपकरण की तुलना करते हैं।

एक कहता है, “100 W वाला उपकरण अधिक ऊर्जा इस्तेमाल करता है।”

क्या यह हमेशा सही है?

नहीं। वह ऊर्जा को तेज़ दर से स्थानांतरित करता है, लेकिन कुल ऊर्जा समय पर भी निर्भर करती है।

मान लीजिए 100 W का उपकरण 10 s तक चलता है:

\[ E = 100 \times 10 = 1000\text{ J} \]

अब मान लीजिए 20 W का उपकरण 100 s तक चलता है:

\[ E = 20 \times 100 = 2000\text{ J} \]

कम शक्ति वाला उपकरण कुल मिलाकर दोगुनी ऊर्जा स्थानांतरित करता है क्योंकि वह कहीं अधिक समय तक चलता है।

शक्ति को किसी डेट पर पैसे खर्च करने की गति की तरह सोचिए। प्रति घंटे $100 खर्च करना प्रभावशाली या चिंताजनक लग सकता है-यह डेट पर निर्भर करता है। लेकिन कोई व्यक्ति छह घंटे तक प्रति घंटे $20 खर्च करे, तो वह कुल मिलाकर फिर भी अधिक खर्च करेगा। शक्ति दर है। ऊर्जा कुल मात्रा है।

यह उपमा एक सीमा पर टूट जाती है क्योंकि जूल डॉलर नहीं हैं और कोई परिपथ अपना बैंक बैलेंस नहीं देख रहा होता, लेकिन दर और कुल मात्रा के बीच का अंतर बिल्कुल वही है।

09दूसरा जाल: \(E = Pt\) के लिए सही शक्ति चाहिए

यदि कोई उपकरण 20 s तक 50 W की स्थिर शक्ति पर काम करता है,

\[ E = 50 \times 20 = 1000\text{ J} \]

आसान है।

लेकिन मान लीजिए उसकी शक्ति बदलती है:

• पहले 10 s के लिए 50 W
• अगले 10 s के लिए 80 W

आप \(E = 50 \times 20\) का उपयोग नहीं कर सकते, क्योंकि पूरे समयांतराल में उपकरण 50 W पर नहीं है।

प्रत्येक भाग की गणना करें:

\[ E_1 = 50 \times 10 = 500\text{ J} \]

\[ E_2 = 80 \times 10 = 800\text{ J} \]

इसलिए

\[ E_{\text{कुल}} = 500 + 800 = 1300\text{ J} \]

इस विशेष समयांतराल के लिए आप औसत शक्ति का भी उपयोग कर सकते हैं:

\[ P_{\text{औसत}} = \frac{50 + 80}{2} = 65\text{ W} \]

क्योंकि दोनों शक्ति मान समान अवधि के लिए लागू होते हैं।

तब

\[ E = P_{\text{औसत}}t = 65 \times 20 = 1300\text{ J} \]

सामान्य विचार यह है कि विद्युत ऊर्जा, समय के साथ संचित शक्ति है। शक्ति-समय ग्राफ में स्थानांतरित ऊर्जा, ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल होती है।

इसलिए जब आप \(E = Pt\) देखें, तो मन में इसे ऐसे पढ़ें:

ऊर्जा = स्थिर शक्ति × समय

या, जब शक्ति बदलती हो,

ऊर्जा = औसत शक्ति × समय

जहाँ उस समयांतराल के लिए औसत सही तरीके से निकाला गया हो।

10इकाइयों की जाँच, जो बहुत-सी गलतियाँ पकड़ सकती है

समीकरण अक्सर आपको बता सकता है कि आपकी इकाइयाँ सही हैं या नहीं।

क्योंकि

\[ E = Pt \]

इकाइयाँ हैं

\[ \text{J} = \text{W} \times \text{s} \]

क्योंकि

\[ 1\text{ W} = 1\text{ J s}^{-1} \]

इसी प्रकार,

\[ E = VIt \]

से इकाइयाँ हैं

\[ \text{V} \times \text{A} \times \text{s} \]

और क्योंकि \(\text{V}\times\text{A}=\text{W}\),

\[ \text{V}\times\text{A}\times\text{s} = \text{W}\times\text{s} = \text{J} \]

सामान्य रूपांतरणों में शामिल हैं:

• \(1\text{ min} = 60\text{ s}\)
• \(1\text{ kW} = 1000\text{ W}\)
• \(1\text{ kJ} = 1000\text{ J}\)

यदि किसी प्रश्न में 5 मिनट दिए हैं और आप वाट वाली किसी समीकरण में \(t=5\) रख देते हैं, तो आपने मिनटों को जूल प्रति सेकंड के साथ मिला दिया है। इससे आम तौर पर 60 के गुणक की त्रुटि होती है।

11प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

40 W का एक स्टडी लैम्प 15 मिनट तक चलता है। स्थानांतरित विद्युत ऊर्जा की गणना कीजिए।

समाधान 1

लैम्प \(\boxed{3.6\times10^4\text{ J}}\), या \(36\text{ kJ}\), विद्युत ऊर्जा स्थानांतरित करता है।

शक्ति ऊर्जा स्थानांतरण की दर है, इसलिए उपयोग करें

\[ E = Pt \]

पहले समय को बदलें:

\[ t = 15\times60 = 900\text{ s} \]

फिर

\[ E = 40\times900 = 36\,000\text{ J} \]

अतः,

\[ \boxed{E = 3.6\times10^4\text{ J}} \]

मुख्य जाल यह है कि समय के रूप में सीधे 15 का उपयोग कर लिया जाए। वाट जूल प्रति सेकंड होते हैं, इसलिए समय को मिनट से सेकंड में बदलना आवश्यक है।

प्रश्न 2

एक उपकरण 9.0 V के विभवांतर पर काम करता है। उसमें 5.0 मिनट तक 0.40 A की धारा प्रवाहित होती है।

गणना कीजिए:

a. उपकरण की शक्ति
b. स्थानांतरित विद्युत ऊर्जा
c. उपकरण से गुजरने वाला आवेश

फिर अपने ऊर्जा उत्तर की पुष्टि करने के लिए \(E=qV\) का उपयोग करें।

समाधान 2

शक्ति \(\boxed{3.6\text{ W}}\), स्थानांतरित ऊर्जा \(\boxed{1.08\times10^3\text{ J}}\), और स्थानांतरित आवेश \(\boxed{120\text{ C}}\) है।

भाग a के लिए, उपयोग करें

\[ P = VI \]

\[ P = 9.0\times0.40 = 3.6\text{ W} \]

भाग b के लिए, समय को बदलें:

\[ t = 5.0\times60 = 300\text{ s} \]

फिर

\[ E = Pt \]

\[ E = 3.6\times300 = 1080\text{ J} \]

इसलिए

\[ \boxed{E = 1.08\times10^3\text{ J}} \]

भाग c के लिए,

\[ I = \frac{q}{t} \]

इसलिए

\[ q = It \]

\[ q = 0.40\times300 = 120\text{ C} \]

अब ऊर्जा की जाँच करें:

\[ E = qV \]

\[ E = 120\times9.0 = 1080\text{ J} \]

दोनों विधियाँ समान परिणाम देती हैं क्योंकि \(q=It\)। समीकरण \(E=qV\) और \(E=VIt\) एक ही ऊर्जा स्थानांतरण को दो अलग-अलग शुरुआती बिंदुओं से वर्णित करते हैं।

प्रश्न 3

दो तापन तत्वों को अलग-अलग 60 s के लिए स्थिर 12 V आपूर्ति से जोड़ा गया है।

तत्व A का प्रतिरोध \(6.0\,\Omega\) है। तत्व B का प्रतिरोध \(24\,\Omega\) है।

एक विद्यार्थी तर्क देता है कि तत्व B को अधिक ऊर्जा स्थानांतरित करनी चाहिए क्योंकि उसका अधिक प्रतिरोध “धारा का अधिक मजबूती से विरोध करता है और इसलिए अधिक ऊष्मा पैदा करता है”।

प्रत्येक तत्व में स्थानांतरित ऊर्जा की गणना कीजिए और विद्यार्थी के दावे का आकलन कीजिए।

समाधान 3

तत्व A \(\boxed{1440\text{ J}}\) स्थानांतरित करता है, जबकि तत्व B \(\boxed{360\text{ J}}\) स्थानांतरित करता है। दी गई स्थिर-वोल्टेज परिस्थितियों में विद्यार्थी का दावा गलत है।

स्थिर विभवांतर के लिए, उपयोग करें

\[ P = \frac{V^2}{R} \]

तत्व A के लिए:

\[ P_A = \frac{12^2}{6.0} = \frac{144}{6.0} = 24\text{ W} \]

अतः,

\[ E_A = P_At = 24\times60 = 1440\text{ J} \]

तत्व B के लिए:

\[ P_B = \frac{12^2}{24} = \frac{144}{24} = 6.0\text{ W} \]

अतः,

\[ E_B = P_Bt = 6.0\times60 = 360\text{ J} \]

इसलिए

\[ \boxed{E_A = 1440\text{ J}} \]

और

\[ \boxed{E_B = 360\text{ J}} \]

यह मान लेना आकर्षक लग सकता है कि अधिक प्रतिरोध का अर्थ अपने-आप अधिक तापन है। लेकिन यह इस बात को नज़रअंदाज़ करता है कि किस राशि को स्थिर रखा गया है।

स्थिर वोल्टेज पर,

\[ P = \frac{V^2}{R} \]

इसलिए \(R\) बढ़ाने पर शक्ति घटती है।

यदि इसके बजाय दोनों प्रतिरोधकों से समान धारा जबरन प्रवाहित कराई जाती, तो उपयुक्त व्यंजक होता

\[ P = I^2R \]

और अधिक प्रतिरोध वाले प्रतिरोधक की शक्ति अधिक होती। प्रतिरोध ऊर्जा स्थानांतरण को कैसे प्रभावित करता है, यह तय करने से पहले आपको परिपथ की परिस्थितियाँ जाँचनी चाहिए।

प्रश्न 4

एक प्रयोगशाला उपकरण 20 s तक 30 W पर काम करता है और फिर अगले 40 s तक 75 W पर काम करता है।

एक विद्यार्थी इसकी कुल ऊर्जा स्थानांतरण की गणना इस प्रकार करता है

\[ E = 30\times60 \]

क्योंकि प्रयोग की शुरुआत में शक्ति 30 W थी।

समझाइए कि यह विधि क्यों विफल होती है और सही कुल स्थानांतरित ऊर्जा की गणना कीजिए।

समाधान 4

उपकरण कुल मिलाकर \(\boxed{3600\text{ J}}\) स्थानांतरित करता है। विद्यार्थी की विधि इसलिए विफल होती है क्योंकि पूरे 60 s के दौरान शक्ति 30 W नहीं है।

पहले समयांतराल के लिए,

\[ E_1 = P_1t_1 \]

\[ E_1 = 30\times20 = 600\text{ J} \]

दूसरे समयांतराल के लिए,

\[ E_2 = P_2t_2 \]

\[ E_2 = 75\times40 = 3000\text{ J} \]

अतः,

\[ E_{\text{कुल}} = E_1 + E_2 \]

\[ E_{\text{कुल}} = 600 + 3000 = 3600\text{ J} \]

इसलिए

\[ \boxed{E_{\text{कुल}}=3.6\times10^3\text{ J}} \]

विद्यार्थी की गणना यह मानती है कि शक्ति लगातार 30 W है। यह धारणा प्रश्न में दी गई जानकारी के विपरीत है।

आप पूरे 60 s के लिए औसत शक्ति भी निकाल सकते हैं:

\[ P_{\text{औसत}} = \frac{E_{\text{कुल}}}{t_{\text{कुल}}} = \frac{3600}{60} = 60\text{ W} \]

फिर \(E=P_{\text{औसत}}t\) से वही परिणाम मिलता है।

ध्यान दें कि केवल 30 W और 75 W का साधारण औसत लेने पर 52.5 W मिलेगा, जो यहाँ गलत है क्योंकि उपकरण दोनों शक्तियों पर अलग-अलग समय तक काम करता है।

प्रश्न 5

एक फिलामेंट को स्थिर विभवांतर से जोड़ा गया है। जब उसे पहली बार चालू किया जाता है, उसका प्रतिरोध \(10\,\Omega\) होता है। जैसे-जैसे फिलामेंट गर्म होता है, उसका प्रतिरोध बढ़ता है।

एक विद्यार्थी पहले 30 s में स्थानांतरित सटीक विद्युत ऊर्जा ज्ञात करना चाहता है और गणना करता है

\[ E = \frac{V^2}{10}(30) \]

जिसमें पूरे समयांतराल के लिए प्रारंभिक प्रतिरोध का उपयोग किया गया है।

प्रतिरोध कैसे बदलता है, इसके बारे में कोई और जानकारी उपलब्ध नहीं है।

क्या दी गई जानकारी से 30 s के दौरान स्थानांतरित सटीक ऊर्जा ज्ञात की जा सकती है? समझाइए कि विद्यार्थी की गणना वास्तविक ऊर्जा का अधिक अनुमान लगाएगी या कम।

समाधान 5

दी गई जानकारी से सटीक ऊर्जा निर्धारित नहीं की जा सकती, और यदि विभवांतर स्थिर रहता है तथा प्रतिरोध \(10\,\Omega\) से ऊपर बढ़ता है, तो विद्यार्थी की गणना वास्तविक ऊर्जा का अधिक अनुमान लगाएगी।

स्थिर विभवांतर पर,

\[ P = \frac{V^2}{R} \]

विद्यार्थी की गणना यह मानती है कि

\[ R=10\,\Omega \]

पूरे 30 s के लिए रहता है। लेकिन प्रश्न स्पष्ट रूप से बताता है कि फिलामेंट के गर्म होने पर प्रतिरोध बढ़ता है।

जब \(V\) स्थिर रहते हुए \(R\) बढ़ता है,

\[ P = \frac{V^2}{R} \]

घटती है।

इसलिए प्रारंभिक शक्ति, बाद की शक्ति से अधिक होती है। उस अधिक प्रारंभिक शक्ति को पूरे 30 s तक जारी मान लेने से ऊर्जा का मान बहुत अधिक आ जाता है।

सटीक ऊर्जा की गणना करने के लिए हमें इतनी जानकारी चाहिए होगी कि पूरे समयांतराल में शक्ति निर्धारित की जा सके, जैसे समय के फलन के रूप में प्रतिरोध, धारा या शक्ति, अथवा छोटे-छोटे समयांतरालों पर उपयुक्त मापन।

बहुत-सी सरल \(E=Pt\) गणनाओं के पीछे यही महत्वपूर्ण छिपी हुई धारणा होती है: \(P\) का मान संबंधित समयांतराल का प्रतिनिधित्व करना चाहिए। यदि परिपथ की परिस्थितियाँ बदलती हैं, तो शक्ति का एक ही मान अपने-आप पूरे समय के लिए उपयोग नहीं किया जा सकता।

12इससे आगे आप क्या समझ सकते हैं

मुख्य विचार केवल सूत्र \(E=Pt\) नहीं है। यह एक दर और एक कुल मात्रा के बीच का अंतर है।

शक्ति बताती है कि विद्युत ऊर्जा कितनी तेजी से स्थानांतरित हो रही है:

\[ P = \frac{E}{t} \]

परिपथ की राशियाँ उस दर को निर्धारित करती हैं:

\[ P = VI \]

और समय निर्धारित करता है कि स्थानांतरण कितनी देर तक जारी रहता है:

\[ E = VIt \]

जब यह संबंध स्पष्ट हो जाता है, तो तापन, उपकरणों की ऊर्जा खपत, प्रतिरोध और परिपथ दक्षता से जुड़े प्रश्नों पर तर्क करना बहुत आसान हो जाता है। अगला उपयोगी कदम यह पूछना है कि स्थानांतरित विद्युत ऊर्जा कहाँ जाती है, जिसमें यह भी शामिल है कि उसका कितना भाग उपयोगी आउटपुट में बदलता है और कितना ऊष्मीय ऊर्जा के रूप में नष्ट होता है।