HSC भौतिकी में प्रक्षेप्य गति को घटकों में विभाजित करना

कल्पना कीजिए कि एक ही ऊँचाई पर दो बिल्कुल समान गेंदें हैं। आप एक गेंद को सीधे नीचे गिराते हैं। ठीक उसी क्षण, दूसरी गेंद को क्षैतिज दिशा में प्रक्षेपित करते हैं।

कौन-सी गेंद पहले जमीन से टकराएगी?

यह सोचना स्वाभाविक लग सकता है कि प्रक्षेपित गेंद अधिक समय तक हवा में रहेगी क्योंकि उसमें “अतिरिक्त गति” है। लेकिन आदर्श प्रक्षेप्य मॉडल में दोनों गेंदें एक ही समय पर जमीन से टकराती हैं। दूसरी गेंद की क्षैतिज चाल उसके ऊर्ध्वाधर रूप से गिरने में देरी नहीं करती।

यही परिणाम प्रक्षेप्य गति की कुंजी है: क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गतियों का अलग-अलग विश्लेषण करें, दोनों के लिए एक ही समय का उपयोग करें, और जब प्रक्षेप्य की वास्तविक स्थिति या वेग चाहिए, तब उन्हें फिर से संयोजित करें।

01एक प्रक्षेप्य, दो गतियाँ

अपने हाथ से छूटने के बाद हवा में चलती हुई एक गेंद की कल्पना कीजिए। मान लें कि उसके छोड़े जाने के बाद हम वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करते हैं।

उस पर कौन-से बल कार्य करते हैं?

केवल उसका भार। गुरुत्वाकर्षण उसे ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर खींचता है। कोई क्षैतिज बल नहीं है।

इससे एक वक्र पथ के भीतर छिपी हुई दो बहुत सरल गतियाँ मिलती हैं:

यहाँ पृथ्वी की सतह के पास \(g = 9.8\ \text{m s}^{-2}\) है।

इसलिए वक्र प्रक्षेप-पथ कोई एक जटिल प्रकार की गति नहीं है। यह एक ओर स्थिर-वेग वाली क्षैतिज गति है, जो उसी समय स्थिर-त्वरण वाली ऊर्ध्वाधर गति के साथ हो रही है।

एक उपयोगी मानसिक चित्र यह है कि दो विद्यार्थी एक विशाल व्हाइटबोर्ड के विपरीत सिरों को पकड़े हुए हैं। एक विद्यार्थी केवल दाएँ-बाएँ की गति नियंत्रित करता है। दूसरा केवल ऊपर-नीचे की गति नियंत्रित करता है। बोर्ड की अंतिम स्थिति दोनों पर निर्भर करती है, लेकिन कोई भी विद्यार्थी सीधे दूसरे के काम को नहीं बदलता।

यह उपमा पूरी तरह सही नहीं है क्योंकि प्रक्षेप्य एक ही वस्तु है, दो व्यक्ति नहीं। महत्वपूर्ण विचार केवल इतना है कि गति के परस्पर लम्बवत घटकों का विश्लेषण अलग-अलग किया जा सकता है।

02प्रारंभिक वेग को घटकों में विभाजित करना

मान लीजिए किसी प्रक्षेप्य को क्षैतिज से ऊपर \(\theta\) कोण पर \(u\) चाल से प्रक्षेपित किया जाता है।

वेग सदिश को इन घटकों में विभाजित किया जा सकता है:

\[ u_x = u\cos\theta \]

और

\[ u_y = u\sin\theta \]

जहाँ:

• \(u_x\) मीटर प्रति सेकंड में प्रारंभिक क्षैतिज वेग है,
• \(u_y\) मीटर प्रति सेकंड में प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग है,
• \(u\) मीटर प्रति सेकंड में प्रक्षेपण चाल है, और
• \(\theta\) क्षैतिज से ऊपर मापा गया प्रक्षेपण कोण है।

यह केवल समकोण त्रिकोणमिति है। यदि \(\theta\) को क्षैतिज से मापा जाता है, तो क्षैतिज घटक कोण की आसन्न भुजा के अनुरूप होता है, इसलिए इसमें कोसाइन का उपयोग होता है। ऊर्ध्वाधर घटक कोण के सामने वाली भुजा के अनुरूप होता है, इसलिए इसमें साइन का उपयोग होता है।

उदाहरण के लिए, यदि एक गेंद को \(20\ \text{m s}^{-1}\) की चाल से \(30^\circ\) के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है,

\[ u_x = 20\cos30^\circ = 17.3\ \text{m s}^{-1} \]

और

\[ u_y = 20\sin30^\circ = 10.0\ \text{m s}^{-1}. \]

इसलिए प्रक्षेप्य दो एकसाथ होने वाली गतियों से शुरू करता है: क्षैतिज रूप से \(17.3\ \text{m s}^{-1}\) और ऊपर की ओर \(10.0\ \text{m s}^{-1}\)।

इसका अर्थ यह नहीं है कि चाल किसी तरह \(27.3\ \text{m s}^{-1}\) हो गई है। घटकों को सामान्य संख्याओं की तरह नहीं जोड़ा जाता, क्योंकि वे एक-दूसरे के समकोण पर कार्य करते हैं।

03दोनों दिशाओं में एक ही घड़ी चलती है

यही वह बात है जो प्रक्षेप्य संबंधी प्रश्नों को हल करने योग्य बनाती है।

मान लीजिए प्रक्षेप्य \(1.2\ \text{s}\) से गति कर रहा है। उसकी क्षैतिज गति भी \(1.2\ \text{s}\) से हो रही है, और उसकी ऊर्ध्वाधर गति भी \(1.2\ \text{s}\) से हो रही है।

दो अलग-अलग समय नहीं होते।

क्षैतिज गति के लिए, क्योंकि \(a_x=0\),

\[ x = x_0 + u_x t \]

और

\[ v_x = u_x. \]

ऊर्ध्वाधर गति के लिए, ऊपर की दिशा को धनात्मक मानते हुए,

\[ y = y_0 + u_y t - \frac{1}{2}gt^2 \]

और

\[ v_y = u_y-gt. \]

यहाँ:

• \(x_0\) और \(y_0\) मीटर में प्रारंभिक निर्देशांक हैं,
• \(x\) और \(y\) बाद के निर्देशांक हैं,
• \(t\) सेकंड में बीता हुआ समय है,
• \(v_x\) और \(v_y\) मीटर प्रति सेकंड में बाद के वेग घटक हैं।

समीकरणों के दोनों समूहों के बीच संबंध पर ध्यान दें: \(t\)।

यही साझा समय सामान्यतः वह माध्यम है जिससे आप एक घटक से दूसरे घटक पर जाते हैं। आप ऊर्ध्वाधर गति का उपयोग करके यह पता कर सकते हैं कि प्रक्षेप्य कितनी देर हवा में रहता है, फिर उसी समय को क्षैतिज समीकरण में रखकर उसकी परास ज्ञात कर सकते हैं।

04“स्वतंत्र” का क्या अर्थ है और क्या नहीं

यह कहना कि क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गतियाँ स्वतंत्र हैं, समस्या पैदा कर सकता है यदि आप “स्वतंत्र” शब्द को बहुत शाब्दिक अर्थ में लें।

इसका अर्थ है कि आदर्श मॉडल में गुरुत्वाकर्षण ऊर्ध्वाधर वेग को बदलता है, जबकि क्षैतिज वेग को नहीं बदलता।

इसका अर्थ यह नहीं है कि क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गणनाओं का एक-दूसरे से कोई संबंध नहीं है। वे एक ही प्रक्षेप्य का वर्णन करती हैं, इसलिए दोनों में समय समान होना चाहिए।

मान लीजिए कोई प्रक्षेप्य \(2.0\ \text{s}\) बाद एक दीवार तक पहुँचता है। तब आप केवल इसलिए ऊर्ध्वाधर समीकरण में \(1.6\ \text{s}\) का उपयोग नहीं कर सकते कि उससे सुविधाजनक ऊँचाई मिलती है। दोनों घटक उसी एक क्षण का वर्णन करते हैं।

यह साझा-समय की शर्त प्रक्षेप्य गति में त्रुटियों की जाँच करने के सबसे उपयोगी तरीकों में से एक है।

05सबसे ऊँचे बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण “समाप्त” नहीं हो जाता

अब कोण पर किए गए प्रक्षेपण पर विचार करें।

जैसे-जैसे प्रक्षेप्य ऊपर उठता है, \(v_y\) घटता है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण नीचे की ओर कार्य करता है। सबसे ऊँचे बिंदु पर,

\[ v_y=0. \]

अनुमान लगाइए कि उसी क्षण त्वरण का क्या होता है। क्या वह भी शून्य हो जाता है?

नहीं। गुरुत्वाकर्षण अभी भी कार्य कर रहा है, इसलिए

\[ a_y=-9.8\ \text{m s}^{-2} \]

सबसे ऊँचे बिंदु पर भी।

शून्य ऊर्ध्वाधर वेग का अर्थ है कि प्रक्षेप्य एक क्षण के लिए ऊपर की ओर चलना बंद कर चुका है। इसका अर्थ यह नहीं है कि गुरुत्वाकर्षण बल गायब हो गया है।

इसी दौरान,

\[ v_x=u_x \]

पूरी आदर्श उड़ान के दौरान।

इसलिए किसी सामान्य कोणीय प्रक्षेप्य के सबसे ऊँचे बिंदु पर उसका वेग क्षैतिज होता है, लेकिन उसका त्वरण ऊर्ध्वाधर और नीचे की ओर होता है।

06गति को फिर से संयोजित करना

कभी-कभी प्रश्न केवल क्षैतिज दूरी या अधिकतम ऊँचाई पूछता है। उस स्थिति में आपको घटकों को दोबारा संयोजित करने की आवश्यकता ही नहीं पड़ सकती।

लेकिन यदि आपको प्रक्षेप्य का वास्तविक वेग चाहिए, तो पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें:

\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}. \]

क्षैतिज के सापेक्ष इसकी दिशा इससे ज्ञात की जा सकती है

\[ \tan\phi=\frac{v_y}{v_x}. \]

चिह्नों के प्रति सावधान रहें। यदि \(v_y<0\) जबकि \(v_x>0\), तो प्रक्षेप्य क्षैतिज के नीचे की दिशा में चल रहा है।

यही तरीका विस्थापन के घटकों पर भी लागू किया जा सकता है। यदि कोई वस्तु किसी संदर्भ बिंदु से \(x\) मीटर क्षैतिज और \(y\) मीटर ऊर्ध्वाधर रूप से चल चुकी है, तो ये दोनों घटक मिलकर प्रक्षेप्य की द्वि-आयामी स्थिति बताते हैं।

07प्रक्षेप-पथ वक्र क्यों होता है

क्षैतिज विस्थापन समय के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है:

\[ x=u_x t \]

यदि प्रक्षेप्य \(x=0\) से शुरू होता है।

ऊर्ध्वाधर विस्थापन में \(t^2\) वाला पद होता है:

\[ y=y_0+u_y t-\frac{1}{2}gt^2. \]

यदि \(u_x\neq0\), तो

\[ t=\frac{x}{u_x}. \]

इसे ऊर्ध्वाधर समीकरण में रखने पर मिलता है

\[ y=y_0+\frac{u_y}{u_x}x-\frac{g}{2u_x^2}x^2. \]

यदि प्रक्षेपण चाल \(u\) और कोण \(\theta\) हो, तो इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है

\[ y=y_0+x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}. \]

महत्वपूर्ण विशेषता \(x^2\) वाला पद है। आदर्श स्थिर-गुरुत्वाकर्षण मॉडल में प्रक्षेप-पथ एक परवलय होता है।

हर प्रक्षेप्य प्रश्न में आपको इस समीकरण की आवश्यकता नहीं होती। अक्सर साझा समय वाले घटक समीकरण अधिक स्पष्ट होते हैं और उनका गलत उपयोग करना कठिन होता है।

08वह गलत धारणा जो लगभग आधी समस्याएँ पैदा करती है

एक आम धारणा इस प्रकार होती है:

प्रक्षेप्य को आगे की ओर धक्का दिया गया था, इसलिए कोई आगे की ओर बल उस पर लगातार कार्य करता रहना चाहिए।

यह उचित लग सकता है क्योंकि रोज़मर्रा की वस्तुएँ धक्का देने के बाद धीमी हो जाती हैं।

लेकिन वे सामान्यतः घर्षण या वायु प्रतिरोध के कारण धीमी होती हैं। आदर्श प्रक्षेप्य मॉडल में, वस्तु के प्रक्षेपक से निकल जाने के बाद उस पर कोई लगातार क्षैतिज बल नहीं होता।

तब न्यूटन का प्रथम नियम हमें बताता है कि उसका क्षैतिज वेग स्थिर रहता है।

एक दूसरी आकर्षक गलती लगभग इसके विपरीत है: “गुरुत्वाकर्षण प्रक्षेप्य पर कार्य करता है, इसलिए उसका पूरा वेग कम होना चाहिए।”

गुरुत्वाकर्षण केवल उस घटक को बदलता है जो गुरुत्वाकर्षण की दिशा के समानांतर है। हमारे सामान्य अक्षों में यह \(v_y\) है। यह सीधे \(v_x\) को नहीं बदलता।

09सरल घटक मॉडल कब बिल्कुल सटीक नहीं रहता

HSC का प्रक्षेप्य मॉडल सामान्यतः मानता है कि:

• वायु प्रतिरोध नगण्य है,
• गुरुत्वीय त्वरण स्थिर और ऊर्ध्वाधर रूप से नीचे की ओर है, और
• संबंधित दूरी पर पृथ्वी की वक्रता और घूर्णन की उपेक्षा की जा सकती है।

इन मान्यताओं के अंतर्गत,

\[ a_x=0,\qquad a_y=-g. \]

वास्तविक प्रक्षेप्यों पर ड्रैग बल कार्य कर सकता है। ड्रैग वस्तु के वेग की विपरीत दिशा में होता है, इसलिए उसके क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दोनों घटक हो सकते हैं। तब \(v_x\) स्थिर नहीं रहता।

सदिशों को घटकों में विभाजित करना तब भी मान्य है। जो बदलता है, वह प्रत्येक घटक के समीकरण में प्रयुक्त भौतिकी है।

यह अंतर महत्वपूर्ण है: घटक एक गणितीय विधि हैं, जबकि “स्थिर क्षैतिज वेग” किसी विशेष भौतिक मॉडल का परिणाम है।

10HSC प्रक्षेप्य प्रश्नों के लिए एक भरोसेमंद विधि

जब कोई प्रक्षेप्य प्रश्न जटिल लगे, तो इस क्रम का उपयोग करें:

1. धनात्मक \(x\) और \(y\) दिशाएँ चुनें।
2. प्रारंभिक वेग सदिश बनाइए या पहचानिए।
3. उसे \(u_x\) और \(u_y\) में विभाजित करें।
4. यदि आदर्श प्रक्षेप्य की मान्यताएँ लागू होती हैं, तो \(a_x=0\) और \(a_y=-g\) लिखें।
5. तय करें कि किस घटक में समय ज्ञात करने के लिए पर्याप्त जानकारी है।
6. उसी समय का उपयोग दूसरे घटक में करें।
7. घटकों को केवल तभी फिर से संयोजित करें जब प्रश्न कुल चाल, दिशा या विस्थापन पूछता हो।
8. जाँचें कि चिह्न और भौतिक परिणाम उचित हैं या नहीं।

ऋणात्मक \(v_y\) अक्सर पूरी तरह उचित होता है: इसका अर्थ है कि प्रक्षेप्य नीचे की ओर आ रहा है। ऋणात्मक समय सामान्यतः वह भौतिक हल नहीं होता जिसकी आपको आवश्यकता है।

11प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक गेंद को \(19.6\ \text{m}\) ऊँची चट्टान के शीर्ष से \(14.0\ \text{m s}^{-1}\) की चाल से क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित किया जाता है। वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें।

ज्ञात कीजिए:

a. जमीन तक पहुँचने में लगा समय,
b. तय की गई क्षैतिज दूरी, और
c. टकराने से ठीक पहले का वेग।

समाधान 1

गेंद को गिरने में \(2.00\ \text{s}\) लगते हैं, वह क्षैतिज दिशा में \(28.0\ \text{m}\) चलती है, और जमीन से \(24.1\ \text{m s}^{-1}\) की चाल से, क्षैतिज के नीचे \(54.5^\circ\) के कोण पर टकराती है।

ऊर्ध्वाधर गति के लिए,

\[ u_y=0,\qquad \Delta y=-19.6\ \text{m},\qquad a_y=-9.8\ \text{m s}^{-2}. \]

इसका उपयोग करते हुए

\[ \Delta y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2, \]

हमें मिलता है

\[ -19.6=-4.9t^2. \]

अतः,

\[ t=2.00\ \text{s}. \]

यहाँ एक आकर्षक गलती यह है कि गिरने का समय निकालते समय \(14.0\ \text{m s}^{-1}\) की क्षैतिज चाल का उपयोग किया जाए। ऊर्ध्वाधर समीकरण में इसकी कोई भूमिका नहीं है।

अब यही \(2.00\ \text{s}\) क्षैतिज दिशा में उपयोग करें:

\[ \Delta x=u_x t=(14.0)(2.00)=28.0\ \text{m}. \]

टकराने से ठीक पहले,

\[ v_x=14.0\ \text{m s}^{-1} \]

और

\[ v_y=u_y-gt=0-(9.8)(2.00)=-19.6\ \text{m s}^{-1}. \]

अतः,

\[ v=\sqrt{(14.0)^2+(-19.6)^2}=24.1\ \text{m s}^{-1}. \]

टकराने का कोण है

\[ \phi=\tan^{-1}\left(\frac{19.6}{14.0}\right)=54.5^\circ. \]

क्योंकि \(v_y\) ऋणात्मक है, इसलिए यह क्षैतिज के नीचे \(54.5^\circ\) है।

प्रश्न 2

एक प्रक्षेप्य को समतल जमीन से \(25.0\ \text{m s}^{-1}\) की चाल से, क्षैतिज के ऊपर \(53.1^\circ\) के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। \(19.5\ \text{m}\) ऊँची एक दीवार प्रक्षेपण बिंदु से \(30.0\ \text{m}\) दूर है।

तीन सार्थक अंकों तक \(u_x=15.0\ \text{m s}^{-1}\) और \(u_y=20.0\ \text{m s}^{-1}\) मानें।

निर्धारित कीजिए:

a. क्या प्रक्षेप्य दीवार को पार करता है,
b. दीवार से गुजरते समय वह ऊपर उठ रहा है या नीचे आ रहा है, और
c. वह अंततः प्रक्षेपण की ऊँचाई पर कहाँ लौटता है।

समाधान 2

प्रक्षेप्य दीवार को \(0.90\ \text{m}\) से पार करता है, दीवार से गुजरते समय अभी भी बहुत थोड़ा ऊपर उठ रहा है, और प्रक्षेपण बिंदु से लगभग \(61.2\ \text{m}\) दूर फिर से प्रक्षेपण की ऊँचाई पर पहुँचता है।

पहले वह समय ज्ञात करें जब वह दीवार तक पहुँचता है:

\[ t=\frac{x}{u_x} =\frac{30.0}{15.0} =2.00\ \text{s}. \]

इस समय,

\[ y=u_y t-\frac{1}{2}gt^2. \]

इसलिए

\[ y=(20.0)(2.00)-\frac{1}{2}(9.8)(2.00)^2 =40.0-19.6 =20.4\ \text{m}. \]

दीवार \(19.5\ \text{m}\) ऊँची है, इसलिए अतिरिक्त ऊँचाई है

\[ 20.4-19.5=0.90\ \text{m}. \]

अब ऊर्ध्वाधर वेग की जाँच करें:

\[ v_y=u_y-gt =20.0-(9.8)(2.00) =0.40\ \text{m s}^{-1}. \]

यह धनात्मक है, इसलिए प्रक्षेप्य अभी भी ऊपर की ओर चल रहा है।

यह एक उपयोगी चेतावनी है कि केवल मोटे रेखाचित्र के आकार को देखकर दिशा का निर्णय न करें। प्रक्षेप्य अपने सबसे ऊँचे बिंदु के बहुत पास है, लेकिन अभी वहाँ पहुँचा नहीं है।

यह ज्ञात करने के लिए कि वह प्रक्षेपण की ऊँचाई पर कब लौटता है, ऊर्ध्वाधर विस्थापन को शून्य रखें:

\[ 0=20.0t-4.9t^2. \]

गुणनखंड करने पर,

\[ 0=t(20.0-4.9t). \]

हल \(t=0\) प्रक्षेपण का क्षण है। बाद वाला हल है

\[ t=\frac{20.0}{4.9}=4.08\ \text{s}. \]

अतः क्षैतिज परास है

\[ R=(15.0)(4.08)=61.2\ \text{m}. \]

एक सामान्य गलत तरीका यह मान लेना है कि \(2.00\ \text{s}\) बाद दीवार तक पहुँचने का अर्थ है कि प्रक्षेप्य अपने शीर्ष बिंदु पर होना चाहिए, क्योंकि \(2.00\ \text{s}\) कुल उड़ान समय का “लगभग आधा” है। घटक समीकरण सटीक उत्तर देता है: \(v_y\) अभी भी \(+0.40\ \text{m s}^{-1}\) है।

प्रश्न 3

एक पहाड़ी ढलान को लगभग इस सीधी रेखा से दर्शाया जाता है

\[ y=0.250x, \]

जहाँ \(x\) और \(y\) को प्रक्षेपण बिंदु से मीटर में मापा जाता है।

एक प्रक्षेप्य को मूल बिंदु से \(24.0\ \text{m s}^{-1}\) की चाल से, क्षैतिज के ऊपर \(50.0^\circ\) के कोण पर दागा जाता है। वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें।

वह बिंदु ज्ञात कीजिए जहाँ प्रक्षेप्य अगली बार पहाड़ी ढलान से टकराता है, और टकराने से ठीक पहले उसका वेग ज्ञात कीजिए।

समाधान 3

प्रक्षेप्य लगभग \((45.7\ \text{m},\,11.4\ \text{m})\) पर पहाड़ी ढलान से टकराता है, जहाँ उसकी चाल \(18.8\ \text{m s}^{-1}\) है और दिशा क्षैतिज के नीचे \(34.7^\circ\) है।

प्रारंभिक वेग को घटकों में विभाजित करें:

\[ u_x=(24.0)\cos50.0^\circ=15.4\ \text{m s}^{-1}, \]

\[ u_y=(24.0)\sin50.0^\circ=18.4\ \text{m s}^{-1}. \]

समय \(t\) पर,

\[ x=15.4t \]

और

\[ y=18.4t-4.9t^2. \]

टकराव के समय प्रक्षेप्य पहाड़ी ढलान पर होना चाहिए, इसलिए उसे यह भी संतुष्ट करना होगा

\[ y=0.250x. \]

\(x=15.4t\) रखने पर,

\[ 18.4t-4.9t^2=0.250(15.4t). \]

अतः,

\[ 18.4t-4.9t^2=3.86t. \]

पुनर्व्यवस्थित करने पर,

\[ t(14.5-4.9t)=0. \]

हल \(t=0\) प्रक्षेपण बिंदु है। अगला प्रतिच्छेदन होता है

\[ t=\frac{14.5}{4.9}\approx2.96\ \text{s}. \]

अतः क्षैतिज निर्देशांक है

\[ x=(15.4)(2.96)\approx45.7\ \text{m}. \]

वहाँ पहाड़ी ढलान की ऊँचाई है

\[ y=0.250(45.7)\approx11.4\ \text{m}. \]

अब टकराव का वेग ज्ञात करें। क्षैतिज दिशा में,

\[ v_x=15.4\ \text{m s}^{-1}. \]

ऊर्ध्वाधर दिशा में,

\[ v_y=18.4-(9.8)(2.96) \approx-10.7\ \text{m s}^{-1}. \]

अतः,

\[ v=\sqrt{(15.4)^2+(-10.7)^2} \approx18.8\ \text{m s}^{-1}. \]

इसकी दिशा है

\[ \phi=\tan^{-1}\left(\frac{10.7}{15.4}\right) \approx34.7^\circ \]

क्षैतिज के नीचे।

एक आकर्षक शॉर्टकट यह है कि टकराव का समय निकालने के लिए \(y=0\) रखा जाए। इससे वह स्थान मिलेगा जहाँ प्रक्षेप्य अपने प्रक्षेपण बिंदु के क्षैतिज स्तर पर लौटता है। यहाँ जमीन क्षैतिज नहीं है: प्रक्षेपण के बाद यह \(y=0.250x\) का अनुसरण करती है। भौतिक सीमा-शर्त को वास्तविक पहाड़ी ढलान से मेल खाना चाहिए।

प्रश्न 4

एक प्रक्षेप्य को जमीन के स्तर से प्रक्षेपित किया जाता है और बाद में वह बिंदु \(A\) से गुजरता है, जो प्रक्षेपण बिंदु से क्षैतिज दिशा में \(20.0\ \text{m}\) दूर और उससे \(15.0\ \text{m}\) ऊपर स्थित है।

नीचे आते समय वह बिंदु \(B\) से गुजरता है, जो प्रक्षेपण बिंदु से क्षैतिज दिशा में \(50.0\ \text{m}\) दूर और उसी तरह \(15.0\ \text{m}\) ऊँचा है।

वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करें।

निर्धारित कीजिए:

a. प्रारंभिक क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर वेग घटक,
b. प्रक्षेपण चाल और कोण, और
c. सबसे ऊँचे बिंदु की क्षैतिज स्थिति और ऊँचाई।

समाधान 4

प्रारंभिक घटक \(u_x=18.1\ \text{m s}^{-1}\) और \(u_y=19.0\ \text{m s}^{-1}\) हैं। प्रक्षेपण चाल \(26.2\ \text{m s}^{-1}\) है और कोण \(46.4^\circ\) है, तथा शीर्ष बिंदु \(x=35.0\ \text{m}\) पर, प्रक्षेपण बिंदु से \(18.4\ \text{m}\) ऊपर स्थित है।

\(A\) और \(B\) पर समय को क्रमशः \(t_1\) और \(t_2\) मानें।

क्योंकि क्षैतिज वेग स्थिर है,

\[ t_1=\frac{20.0}{u_x}, \qquad t_2=\frac{50.0}{u_x}. \]

ऊर्ध्वाधर दिशा में, दोनों बिंदु संतुष्ट करते हैं

\[ 15.0=u_y t-\frac{1}{2}gt^2. \]

पुनर्व्यवस्थित करने पर द्विघात समीकरण मिलता है

\[ \frac{1}{2}gt^2-u_y t+15.0=0. \]

इसके दो मूल \(t_1\) और \(t_2\) हैं।

द्विघात \(at^2+bt+c=0\) के लिए मूलों का गुणनफल \(c/a\) होता है। इसलिए,

\[ t_1t_2=\frac{15.0}{4.9}. \]

लेकिन क्षैतिज गति से,

\[ t_1t_2 = \frac{20.0}{u_x}\frac{50.0}{u_x} = \frac{1000}{u_x^2}. \]

अतः,

\[ \frac{1000}{u_x^2}=\frac{15.0}{4.9}. \]

इसलिए

\[ u_x^2=\frac{1000(4.9)}{15.0}, \]

जिससे

\[ u_x=18.1\ \text{m s}^{-1}. \]

संबंधित समय हैं

\[ t_1=\frac{20.0}{18.1}=1.11\ \text{s}, \]

\[ t_2=\frac{50.0}{18.1}=2.77\ \text{s}. \]

उसी द्विघात के लिए मूलों का योग है

\[ t_1+t_2=\frac{u_y}{4.9}. \]

अतः,

\[ u_y=4.9(t_1+t_2) =4.9(1.11+2.77) \approx19.0\ \text{m s}^{-1}. \]

प्रक्षेपण चाल है

\[ u=\sqrt{u_x^2+u_y^2} =\sqrt{(18.1)^2+(19.0)^2} =26.2\ \text{m s}^{-1}. \]

प्रक्षेपण कोण है

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{19.0}{18.1}\right) =46.4^\circ. \]

शीर्ष बिंदु पर,

\[ v_y=0. \]

इसलिए

\[ 0=u_y-gt, \]

जिससे

\[ t_{\text{apex}}=\frac{19.0}{9.8}=1.94\ \text{s}. \]

अतः

\[ x_{\text{apex}}=(18.1)(1.94)=35.0\ \text{m}. \]

शीर्ष बिंदु तक ऊर्ध्वाधर वृद्धि इससे ज्ञात की जा सकती है

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y. \]

अतः,

\[ 0=(19.0)^2-2(9.8)\Delta y, \]

इसलिए

\[ \Delta y=18.4\ \text{m}. \]

एक आकर्षक अनुमान यह है कि क्योंकि \(A\) और \(B\) समान ऊँचाई पर हैं, इसलिए उनके समय किसी प्रकार बराबर होने चाहिए। वे बराबर नहीं हो सकते: प्रक्षेप्य दो अलग-अलग स्थानों पर है।

जो चीज सममित है, वह शीर्ष बिंदु के आसपास उनका समय है। वास्तव में,

\[ \frac{t_1+t_2}{2} = \frac{1.11+2.77}{2} = 1.94\ \text{s}, \]

जो ठीक अधिकतम ऊँचाई का समय है। यही कारण है कि शीर्ष बिंदु \(x=20.0\ \text{m}\) और \(x=50.0\ \text{m}\) के ठीक बीच में स्थित है: स्थिर \(v_x\) के साथ, समान समयांतराल समान क्षैतिज दूरियों के अनुरूप होते हैं।

प्रश्न 5

प्रक्षेप्य \(A\) को \(t=0\) पर \((0,0)\) से इन प्रारंभिक वेग घटकों के साथ प्रक्षेपित किया जाता है

\[ u_{Ax}=18.0\ \text{m s}^{-1}, \qquad u_{Ay}=22.0\ \text{m s}^{-1}. \]

प्रक्षेप्य \(B\) प्रारंभ में \((54.0\ \text{m},12.0\ \text{m})\) पर है। उसे इन घटकों के साथ प्रक्षेपित किया जाता है

\[ u_{Bx}=-9.00\ \text{m s}^{-1}, \qquad u_{By}=16.0\ \text{m s}^{-1}. \]

दोनों प्रक्षेप्य समान गुरुत्वीय त्वरण का अनुभव करते हैं और वायु प्रतिरोध नगण्य है।

a. यदि दोनों को एक साथ प्रक्षेपित किया जाए, तो निर्धारित कीजिए कि क्या दोनों में से किसी के जमीन तक पहुँचने से पहले वे टकराते हैं। यदि हाँ, तो टकराव की स्थिति ज्ञात कीजिए।

b. अब प्रक्षेप्य \(B\) को \(A\) के \(0.500\ \text{s}\) बाद, पहले के समान वेग से प्रक्षेपित किया जाता है। एक विद्यार्थी तर्क देता है कि देरी से कोई अंतर नहीं पड़ेगा क्योंकि गुरुत्वाकर्षण दोनों प्रक्षेप्यों को समान रूप से त्वरित करता है। जब वे समान क्षैतिज स्थिति तक पहुँचें, तब उनके बीच ऊर्ध्वाधर दूरी ज्ञात करके इस दावे की जाँच कीजिए।

c. \(0.500\ \text{s}\) की देरी और \(u_{Bx}=-9.00\ \text{m s}^{-1}\) को बनाए रखते हुए, वास्तविक टकराव के लिए आवश्यक \(u_{By}\) का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान 5

एक साथ प्रक्षेपित करने पर, प्रक्षेप्य \(t=2.00\ \text{s}\) पर \((36.0\ \text{m},24.4\ \text{m})\) पर टकराते हैं। जब प्रक्षेप्य \(B\) को \(0.500\ \text{s}\) की देरी से प्रक्षेपित किया जाता है, तो समान क्षैतिज स्थिति पर पहुँचने के समय वह \(A\) से \(0.392\ \text{m}\) ऊपर से गुजरता है। \(B\) के ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण घटक को घटाकर लगभग \(15.8\ \text{m s}^{-1}\) करने पर टकराव फिर से हो जाता है।

भाग a के लिए, क्षैतिज स्थितियाँ लिखें।

\(A\) के लिए,

\[ x_A=18.0t. \]

\(B\) के लिए,

\[ x_B=54.0-9.00t. \]

टकराव के समय,

\[ x_A=x_B. \]

अतः,

\[ 18.0t=54.0-9.00t, \]

इसलिए

\[ 27.0t=54.0 \]

और

\[ t=2.00\ \text{s}. \]

अब इसी समय पर ऊर्ध्वाधर स्थितियों की जाँच करें।

\(A\) के लिए,

\[ y_A=22.0t-4.9t^2. \]

अतः,

\[ y_A=(22.0)(2.00)-4.9(2.00)^2 =44.0-19.6 =24.4\ \text{m}. \]

\(B\) के लिए,

\[ y_B=12.0+16.0t-4.9t^2. \]

इसलिए

\[ y_B=12.0+(16.0)(2.00)-4.9(2.00)^2 =24.4\ \text{m}. \]

उनके क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर निर्देशांक एक ही समय पर समान हैं, इसलिए वे यहाँ टकराते हैं

\[ (36.0\ \text{m},24.4\ \text{m}). \]

इस परिणाम के भीतर छिपा निरस्तीकरण महत्वपूर्ण है। क्योंकि दोनों वस्तुओं का गुरुत्वीय त्वरण समान है, इसलिए जब दोनों उड़ान में हों तो उनका सापेक्ष त्वरण शून्य होता है। गुरुत्वाकर्षण दोनों के ऊर्ध्वाधर वेगों को समान मात्रा से बदलता है।

भाग b के लिए, अब प्रक्षेप्य \(B\) \(0.500\ \text{s}\) देर से शुरू होता है।

\(t\) को अभी भी \(A\) के प्रक्षेपित होने के बाद का समय मानें। तब \(B\) वास्तव में जितने समय से गति कर रहा है, वह है

\[ t_B=t-0.500. \]

\(A\) के लिए,

\[ x_A=18.0t. \]

\(B\) के लिए,

\[ x_B=54.0-9.00(t-0.500). \]

इन दोनों को बराबर रखें:

\[ 18.0t = 54.0-9.00(t-0.500). \]

विस्तार करने पर,

\[ 18.0t=58.5-9.00t. \]

अतः,

\[ 27.0t=58.5 \]

और

\[ t=2.167\ \text{s}. \]

इस क्षण तक \(B\) गति कर रहा है

\[ t_B=2.167-0.500=1.667\ \text{s}. \]

प्रक्षेप्य \(A\) की ऊँचाई है

\[ y_A = (22.0)(2.167)-4.9(2.167)^2 = 24.664\ \text{m}. \]

प्रक्षेप्य \(B\) की ऊँचाई है

\[ y_B = 12.0+(16.0)(1.667)-4.9(1.667)^2 = 25.056\ \text{m}. \]

अतः,

\[ y_B-y_A = 25.056-24.664 = 0.392\ \text{m}. \]

इसलिए \(B\), \(A\) से लगभग \(0.392\ \text{m}\) ऊपर से गुजरता है। कोई टकराव नहीं होता।

विद्यार्थी के तर्क में एक सूक्ष्म सत्य है, लेकिन उसका उपयोग गलत तरीके से किया गया है। \(B\) के प्रक्षेपित हो जाने के बाद दोनों प्रक्षेप्यों का गुरुत्वीय त्वरण वास्तव में समान होता है, इसलिए उनका सापेक्ष त्वरण शून्य होता है।

लेकिन पहले \(0.500\ \text{s}\) के दौरान केवल \(A\) ही प्रक्षेप्य गति में है। जब तक \(B\) चलना शुरू करता है, तब तक \(A\) अपनी स्थिति और ऊर्ध्वाधर वेग पहले ही बदल चुका होता है। उस बिंदु के बाद समान त्वरण होने से उनकी अलग-अलग प्रारंभिक अवस्थाएँ समाप्त नहीं हो जातीं।

भाग c के लिए, क्षैतिज मिलने का समय अपरिवर्तित रहता है क्योंकि केवल \(B\) के ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण घटक को बदला जा रहा है। इसलिए,

\[ t=2.167\ \text{s}, \qquad t_B=1.667\ \text{s}. \]

टकराव के लिए \(B\) की ऊँचाई \(A\) की ऊँचाई के बराबर होनी चाहिए, जिसे हमने \(24.664\ \text{m}\) पाया था।

\(B\) के आवश्यक ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण घटक को \(u_{By}\) मानें। तब

\[ 24.664 = 12.0+u_{By}(1.667)-4.9(1.667)^2. \]

पुनर्व्यवस्थित करने पर,

\[ u_{By} = \frac{24.664-12.0+4.9(1.667)^2}{1.667}. \]

अतः,

\[ u_{By}=15.8\ \text{m s}^{-1} \]

तीन सार्थक अंकों तक।

आश्चर्यजनक बात यह है कि \(B\) को पहले की तुलना में थोड़ा छोटा ऊर्ध्वाधर घटक चाहिए, बड़ा नहीं। \(u_{By}=16.0\ \text{m s}^{-1}\) होने पर वह पहले ही बहुत ऊपर था जब दोनों प्रक्षेप्य समान क्षैतिज स्थिति तक पहुँचे।

यही घटक विश्लेषण का मुख्य अनुशासन है: केवल एक निर्देशांक का मेल पर्याप्त नहीं है। टकराव, आघात या किसी भी अन्य द्वि-आयामी घटना के लिए क्षैतिज शर्त और ऊर्ध्वाधर शर्त एक ही क्षण पर पूरी होनी चाहिए।

एक बार यह विचार अच्छी तरह समझ में आ जाए, तो अगला उपयोगी कदम यही घटक विधि सापेक्ष गति, प्रक्षेप्य प्रक्षेप-पथों और उन स्थितियों पर लागू करना है जहाँ अवतरण सतह स्वयं गतिमान या ढलानदार हो।