HSC भौतिकी में प्रक्षेप्य के प्रारंभिक वेग के घटक

एक प्रक्षेप्य को \(20.0\ \text{m s}^{-1}\) की चाल से क्षैतिज के ऊपर \(30^\circ\) के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। आपको उसकी चाल और दिशा पता है, लेकिन प्रक्षेप्य-गति के समीकरणों के लिए कुछ और उपयोगी जानकारी चाहिए: शुरुआत में वह क्षैतिज दिशा में कितनी तेजी से चल रहा है, और ऊर्ध्वाधर दिशा में कितनी तेजी से?

गणना करने से पहले अनुमान लगाइए कि कौन-सा घटक बड़ा होना चाहिए। क्योंकि प्रक्षेपण की दिशा ऊर्ध्वाधर की तुलना में क्षैतिज के बहुत अधिक पास है, इसलिए क्षैतिज घटक बड़ा होना चाहिए। यदि बाद में आपकी गणना इसका उलटा परिणाम देती है, तो यह एक उपयोगी संकेत है कि कहीं कोई गलती हुई है।

01एक वेग, दो दिशाओं में देखा गया

प्रक्षेप्य के पास वास्तव में एक क्षैतिज वेग और एक अलग ऊर्ध्वाधर वेग नहीं होते जो यह तय करने के लिए आपस में प्रतिस्पर्धा कर रहे हों कि उसे कहाँ ले जाना है। उसके पास एक ही वेग सदिश होता है।

हम उस सदिश को दो परस्पर लंबवत घटकों में बाँटते हैं, क्योंकि प्रक्षेपण के बाद क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गति अलग-अलग प्रकार से व्यवहार करती हैं।

वेग के तीर को एक समकोण त्रिभुज के विकर्ण के रूप में सोचिए। उसका क्षैतिज घटक त्रिभुज की चौड़ाई है और उसका ऊर्ध्वाधर घटक उसकी ऊँचाई है।

यदि प्रारंभिक चाल \(u\) है और प्रक्षेपण कोण क्षैतिज के ऊपर \(\theta\) है, तो

\[ u_x=u\cos\theta \]

और

\[ u_y=u\sin\theta \]

जहाँ:

• \(u\) प्रारंभिक चाल है, जिसकी इकाई \(\text{m s}^{-1}\) है,
• \(u_x\) प्रारंभिक क्षैतिज वेग घटक है, जिसकी इकाई \(\text{m s}^{-1}\) है,
• \(u_y\) प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग घटक है, जिसकी इकाई \(\text{m s}^{-1}\) है, और
• \(\theta\) क्षैतिज से मापा गया प्रक्षेपण कोण है।

क्षैतिज दिशा के लिए cosine और ऊर्ध्वाधर दिशा के लिए sine क्यों? कोण \(\theta\) के सापेक्ष, \(u_x\) समकोण त्रिभुज की आसन्न भुजा है, जबकि \(u_y\) उसकी सम्मुख भुजा है।

यह अंतिम वाक्य केवल यह याद रखने से अधिक महत्वपूर्ण है कि “cos क्षैतिज होता है”। यदि कोण किसी दूसरी दिशा से मापा गया हो, तो sine और cosine के संबंध बदल जाते हैं।

02त्वरित तार्किक जाँच

मान लीजिए \(u=20.0\ \text{m s}^{-1}\) और \(\theta=30^\circ\)।

तब

\[ u_x=(20.0)\cos30^\circ=17.3\ \text{m s}^{-1} \]

और

\[ u_y=(20.0)\sin30^\circ=10.0\ \text{m s}^{-1}. \]

यह हमारे अनुमान से मेल खाता है: क्षैतिज घटक बड़ा है।

ध्यान दें कि \(17.3+10.0\neq20.0\)। घटक सामान्य संख्याओं की तरह नहीं जुड़ते, क्योंकि वे परस्पर लंबवत दिशाओं में होते हैं।

इसके बजाय,

\[ u=\sqrt{u_x^2+u_y^2}. \]

जाँच करने पर,

\[ \sqrt{(17.3)^2+(10.0)^2}\approx20.0\ \text{m s}^{-1}. \]

यह पाइथागोरस जाँच घटकों से जुड़ी गलती पकड़ने के सबसे तेज तरीकों में से एक है।

03कोण तय करता है कि किस घटक के साथ sine लगेगा

एक सामान्य शॉर्टकट है:

क्षैतिज \(=\cos\), ऊर्ध्वाधर \(=\sin\)

यह केवल तब काम करता है जब दिया गया कोण क्षैतिज से मापा गया हो।

अब मान लीजिए कोई वेग सदिश ऊर्ध्वाधर से \(\phi\) कोण बनाता है। इस स्थिति में ऊर्ध्वाधर घटक कोण की आसन्न भुजा है, इसलिए

\[ u_y=u\cos\phi, \]

जबकि क्षैतिज घटक सम्मुख भुजा है:

\[ u_x=u\sin\phi. \]

इसलिए अधिक सुरक्षित नियम है:

• दिए गए कोण की पहचान करें,
• उस कोण की आसन्न भुजा की पहचान करें,
• आसन्न घटक के लिए cosine का उपयोग करें,
• सम्मुख घटक के लिए sine का उपयोग करें।

sine और cosine को इस बात से मतलब है कि त्रिभुज की ज्यामिति क्या है, न कि किसी दिशा को “क्षैतिज” या “ऊर्ध्वाधर” नाम दिया गया है या नहीं।

04घटकों के परिमाण के साथ चिह्न भी होते हैं

अब तक दोनों घटक धनात्मक रहे हैं। ऐसा हमेशा नहीं होता।

मान लीजिए हम चुनते हैं:

• दाईं दिशा को धनात्मक \(x\),
• ऊपर की दिशा को धनात्मक \(y\)।

दाईं ओर और नीचे की दिशा में प्रक्षेपित प्रक्षेप्य के लिए:

• \(u_x>0\),
• \(u_y<0\)।

बाईं ओर और ऊपर की दिशा में प्रक्षेपित प्रक्षेप्य के लिए:

• \(u_x<0\),
• \(u_y>0\)।

चाल \(u\) स्वयं एक परिमाण है, इसलिए वह ऋणात्मक नहीं होती। घटक ऋणात्मक हो सकते हैं क्योंकि वे परिमाण के साथ दिशा भी बताते हैं।

05वेग को घटकों में विभाजित करना इतना उपयोगी क्यों है

यह विभाजन इसलिए उपयोगी हो जाता है क्योंकि मानक प्रक्षेप्य मॉडल में दोनों घटक अलग-अलग प्रकार से बदलते हैं।

क्षैतिज दिशा में, वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करने पर,

\[ a_x=0. \]

इसलिए क्षैतिज वेग स्थिर रहता है:

\[ v_x=u_x. \]

ऊर्ध्वाधर दिशा में,

\[ a_y=-g, \]

जहाँ \(g\approx9.8\ \text{m s}^{-2}\)।

इसलिए ऊर्ध्वाधर वेग लगातार बदलता रहता है:

\[ v_y=u_y-gt. \]

इसी कारण प्रारंभिक वेग को घटकों में विभाजित करना सामान्यतः किसी प्रक्षेप्य-गति प्रश्न का पहला वास्तविक चरण होता है। एक बार \(u_x\) और \(u_y\) ज्ञात हो जाएँ, तो क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर समीकरणों का अलग-अलग उपयोग किया जा सकता है, जबकि दोनों में समान समय \(t\) होता है।

ये निष्कर्ष सामान्य प्रक्षेप्य मॉडल पर निर्भर करते हैं। विशेष रूप से, इनमें नगण्य वायु प्रतिरोध और लगभग स्थिर गुरुत्वीय त्वरण जैसी मान्यताएँ शामिल हैं। इन मान्यताओं को HSC Physics में प्रक्षेप्य गति की मान्यताओं की व्याख्या में अधिक विस्तार से समझाया गया है।

06सबसे आकर्षक गलती: प्रक्षेपण कोण ज्ञात करने के लिए विस्थापन का उपयोग करना

मान लीजिए कोई प्रक्षेप्य बाद में उस बिंदु पर पहुँचता है जो क्षैतिज रूप से \(20\ \text{m}\) दूर और \(10\ \text{m}\) ऊपर है।

यह कहना आकर्षक लग सकता है कि

\[ \tan\theta=\frac{10}{20} \]

और इससे निष्कर्ष निकालना कि प्रक्षेपण कोण \(26.6^\circ\) था।

सामान्यतः यह तरीका काम नहीं करता।

प्रक्षेपण बिंदु से प्रक्षेप्य की बाद की स्थिति तक खींची गई रेखा एक विस्थापन सदिश है। प्रारंभिक वेग प्रक्षेपण के क्षण पर प्रक्षेप पथ की स्पर्शरेखा की दिशा में होता है। प्रक्षेपण के बाद गुरुत्वाकर्षण पथ को मोड़ देता है, इसलिए विस्थापन की दिशा और प्रारंभिक वेग की दिशा सामान्यतः अलग होती हैं।

एक प्रक्षेप्य कुछ हद तक ऐसे व्यक्ति जैसा है जो घर से उत्तर-पूर्व दिशा में चलना शुरू करता है, लेकिन हर सेकंड उसे दक्षिण की ओर धक्का दिया जाता है। उसके घर से उस स्थान तक सीधी रेखा खींचना जहाँ वह अंततः पहुँचता है, यह नहीं बताता कि उसने शुरुआत में किस दिशा में चलना शुरू किया था।

यह उपमा पूरी तरह सटीक नहीं है, क्योंकि गुरुत्वाकर्षण वेग को क्रमिक वास्तविक धक्कों से नहीं बल्कि लगातार और सुचारु रूप से बदलता है। उपयोगी बात केवल यह है कि बाद की स्थिति से प्रारंभिक दिशा सीधे ज्ञात नहीं होती।

07घटक निकालने की विश्वसनीय प्रक्रिया

अधिकांश HSC प्रश्नों के लिए यह संक्षिप्त प्रक्रिया पर्याप्त है:

अंतिम पंक्ति में सावधानी आवश्यक है। कैलकुलेटर का inverse tangent आपको एक कोण दे सकता है, लेकिन वह यह नहीं समझता कि वेग सदिश वास्तव में किस चतुर्थांश में है। हमेशा पहले \(u_x\) और \(u_y\) के चिह्नों का एक रेखाचित्र बनाएँ।

08प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक गेंद को \(25.0\ \text{m s}^{-1}\) की चाल से क्षैतिज के ऊपर \(53.0^\circ\) के कोण पर किक किया जाता है।

उसके प्रारंभिक क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर वेग घटक ज्ञात कीजिए।

समाधान 1

प्रारंभिक घटक लगभग \(u_x=15.0\ \text{m s}^{-1}\) क्षैतिज दिशा में और \(u_y=20.0\ \text{m s}^{-1}\) ऊपर की ओर हैं।

क्योंकि कोण क्षैतिज से मापा गया है,

\[ u_x=u\cos\theta, \qquad u_y=u\sin\theta. \]

मान रखने पर,

\[ \begin{aligned} u_x&=(25.0)\cos53.0^\circ\\ &=15.0\ \text{m s}^{-1}, \\[4pt] u_y&=(25.0)\sin53.0^\circ\\ &=20.0\ \text{m s}^{-1}. \end{aligned} \]

एक आकर्षक गलती sine और cosine को आपस में बदल देना है। ज्यामिति इस गलती को पकड़ सकती है: \(53^\circ\) का प्रक्षेपण \(45^\circ\) से अधिक खड़ा है, इसलिए उसका ऊर्ध्वाधर घटक उसके क्षैतिज घटक से बड़ा होना चाहिए।

प्रश्न 2

एक प्रक्षेप्य को मूलबिंदु से प्रक्षेपित किया जाता है। \(1.20\ \text{s}\) के बाद वह प्रक्षेपण बिंदु से क्षैतिज रूप से \(18.0\ \text{m}\) दूर और उससे \(8.00\ \text{m}\) ऊपर है।

वायु प्रतिरोध की उपेक्षा कीजिए और \(g=9.80\ \text{m s}^{-2}\) का उपयोग कीजिए।

ज्ञात कीजिए:

• प्रारंभिक क्षैतिज वेग घटक,
• प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग घटक,
• प्रारंभिक चाल, और
• क्षैतिज के ऊपर प्रक्षेपण कोण।

समाधान 2

प्रक्षेप्य को \(u_x=15.0\ \text{m s}^{-1}\) और \(u_y=12.5\ \text{m s}^{-1}\) घटकों के साथ प्रक्षेपित किया गया था, जिससे प्रारंभिक चाल \(19.6\ \text{m s}^{-1}\) और क्षैतिज के ऊपर प्रक्षेपण कोण लगभग \(39.9^\circ\) मिलता है।

क्षैतिज दिशा में त्वरण शून्य है, इसलिए

\[ x=u_xt. \]

अतः,

\[ u_x=\frac{x}{t} =\frac{18.0}{1.20} =15.0\ \text{m s}^{-1}. \]

ऊर्ध्वाधर दिशा में,

\[ y=u_yt+\frac12a_yt^2, \]

जहाँ \(a_y=-9.80\ \text{m s}^{-2}\)। अतः,

\[ 8.00=(u_y)(1.20)-\frac12(9.80)(1.20)^2. \]

पुनर्व्यवस्थित करने पर,

\[ \begin{aligned} u_y &=\frac{8.00+\frac12(9.80)(1.20)^2}{1.20}\\ &=\frac{8.00+7.056}{1.20}\\ &=12.5\ \text{m s}^{-1}. \end{aligned} \]

प्रारंभिक चाल वेग सदिश का परिमाण है:

\[ \begin{aligned} u&=\sqrt{u_x^2+u_y^2}\\ &=\sqrt{(15.0)^2+(12.5)^2}\\ &=19.6\ \text{m s}^{-1}. \end{aligned} \]

अंत में,

\[ \begin{aligned} \tan\theta&=\frac{u_y}{u_x}\\ &=\frac{12.5}{15.0}, \end{aligned} \]

इसलिए

\[ \theta\approx39.9^\circ. \]

एक आकर्षक तरीका \(8.00/1.20=6.67\ \text{m s}^{-1}\) की गणना करके उसे प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग मान लेना है। वह प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग नहीं है। वह \(1.20\ \text{s}\) के अंतराल में औसत ऊर्ध्वाधर वेग है। पूरे समय गुरुत्वाकर्षण ऊपर की ओर वेग को कम करता रहा है, इसलिए प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर घटक इससे बड़ा होना चाहिए।

प्रश्न 3

एक प्रक्षेप्य को भूमि-स्तर से \(40.0\ \text{m s}^{-1}\) की चाल से धनात्मक क्षैतिज दिशा के ऊपर एक अज्ञात कोण \(\theta\) पर प्रक्षेपित किया जाता है।

ठीक \(2.00\ \text{s}\) बाद उसका वेग धनात्मक क्षैतिज दिशा से \(10.0^\circ\) नीचे की ओर होता है।

वायु प्रतिरोध की उपेक्षा कीजिए और \(g=9.80\ \text{m s}^{-2}\) का उपयोग कीजिए।

प्रक्षेपण कोण \(\theta\) ज्ञात कीजिए।

समाधान 3

प्रक्षेप्य को क्षैतिज के ऊपर लगभग \(18.9^\circ\) के कोण पर प्रक्षेपित किया गया था।

महत्वपूर्ण अंतर प्रारंभिक वेग और \(2.00\ \text{s}\) बाद के वेग के बीच है। क्षैतिज घटक स्थिर रहा है, लेकिन गुरुत्वाकर्षण ने ऊर्ध्वाधर घटक को बदल दिया है।

प्रारंभ में,

\[ u_x=40.0\cos\theta \]

और

\[ u_y=40.0\sin\theta. \]

\(2.00\ \text{s}\) बाद,

\[ v_x=40.0\cos\theta \]

और

\[ v_y=40.0\sin\theta-(9.80)(2.00). \]

अंतिम वेग क्षैतिज से \(10.0^\circ\) नीचे की ओर है, इसलिए

\[ \frac{v_y}{v_x}=\tan(-10.0^\circ). \]

अतः,

\[ \frac{40.0\sin\theta-19.6}{40.0\cos\theta} =-\tan10.0^\circ. \]

पुनर्व्यवस्थित करने पर,

\[ \sin\theta+\tan10.0^\circ\cos\theta =\frac{19.6}{40.0}. \]

इसका उपयोग करते हुए

\[ \sin\theta+\tan10^\circ\cos\theta =\frac{\sin(\theta+10^\circ)}{\cos10^\circ}, \]

हमें मिलता है

\[ \sin(\theta+10.0^\circ) =\frac{19.6}{40.0}\cos10.0^\circ. \]

अतः,

\[ \sin(\theta+10.0^\circ)\approx0.4826. \]

दाईं ओर प्रक्षेपण के लिए, जहाँ \(0^\circ<\theta<90^\circ\),

\[ \theta+10.0^\circ\approx28.9^\circ, \]

इसलिए

\[ \theta\approx18.9^\circ. \]

एक आकर्षक तरीका दो सेकंड बाद की \(10^\circ\) दिशा को ऐसे मान लेना है जैसे वही सीधे प्रारंभिक घटकों का अनुपात निर्धारित करती हो। ऐसा नहीं है। गुरुत्वाकर्षण ने \(v_y\) को बदल दिया है, जबकि \(v_x\) अपने प्रारंभिक मान के बराबर बना रहता है।

प्रश्न 4

एक प्रक्षेप्य को मूलबिंदु से प्रक्षेपित किया जाता है। बाद में वह बिंदु \(P\) से गुजरता है, जो प्रक्षेपण बिंदु से क्षैतिज रूप से \(20.0\ \text{m}\) दूर और \(10.0\ \text{m}\) ऊपर है। इसके बाद वह बिंदु \(Q\) तक पहुँचता है, जो प्रक्षेपण बिंदु से क्षैतिज रूप से \(40.0\ \text{m}\) दूर और प्रक्षेपण बिंदु के समान ऊर्ध्वाधर स्तर पर है।

वायु प्रतिरोध की उपेक्षा कीजिए और \(g=9.80\ \text{m s}^{-2}\) का उपयोग कीजिए।

निर्धारित कीजिए:

• क्या \(P\) प्रक्षेप पथ का उच्चतम बिंदु है,
• प्रारंभिक क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर वेग घटक,
• प्रारंभिक चाल, और
• प्रक्षेपण कोण।

समाधान 4

बिंदु \(P\) उच्चतम बिंदु है, और प्रक्षेप्य को \(u_x=14.0\ \text{m s}^{-1}\) तथा \(u_y=14.0\ \text{m s}^{-1}\) के साथ प्रक्षेपित किया गया था, जिससे \(u=19.8\ \text{m s}^{-1}\) और प्रक्षेपण कोण \(45.0^\circ\) मिलता है।

सूक्ष्म बात यह सिद्ध करना है कि \(P\) वास्तव में उच्चतम बिंदु है, न कि केवल इसलिए मान लेना क्योंकि उसकी स्थिति सुविधाजनक लगती है।

क्षैतिज त्वरण शून्य है, इसलिए समान क्षैतिज दूरियाँ समान समय अंतरालों के अनुरूप होती हैं। बिंदु \(P\), \(x=0\) से \(x=40.0\ \text{m}\) तक की दूरी के ठीक बीच में है, इसलिए प्रक्षेप्य \(Q\) तक की कुल उड़ान अवधि के आधे समय में \(P\) तक पहुँचता है।

क्योंकि \(Q\), प्रक्षेपण बिंदु के समान ऊँचाई पर है, इसलिए ऊर्ध्वाधर गति के ऊपर जाने और नीचे आने वाले भाग समय के संदर्भ में सममित हैं। प्रक्षेप्य अपनी कुल उड़ान अवधि के आधे समय में उच्चतम बिंदु पर पहुँचता है।

अतः \(P\) उच्चतम बिंदु है।

उच्चतम बिंदु पर,

\[ v_y=0. \]

इसका उपयोग करते हुए

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y, \]

जहाँ \(\Delta y=10.0\ \text{m}\) और \(a_y=-9.80\ \text{m s}^{-2}\),

\[ 0=u_y^2-2(9.80)(10.0). \]

अतः,

\[ \begin{aligned} u_y&=\sqrt{196}\\ &=14.0\ \text{m s}^{-1}. \end{aligned} \]

मूल ऊँचाई पर वापस आने का कुल समय है

\[ T=\frac{2u_y}{g} =\frac{2(14.0)}{9.80} =2.86\ \text{s}. \]

क्षैतिज दिशा में,

\[ x=u_xT, \]

इसलिए

\[ u_x=\frac{40.0}{2.86} =14.0\ \text{m s}^{-1}. \]

प्रारंभिक चाल है

\[ \begin{aligned} u&=\sqrt{u_x^2+u_y^2}\\ &=\sqrt{(14.0)^2+(14.0)^2}\\ &=19.8\ \text{m s}^{-1}. \end{aligned} \]

प्रक्षेपण कोण है

\[ \tan\theta=\frac{14.0}{14.0}=1, \]

इसलिए

\[ \theta=45.0^\circ. \]

एक आकर्षक दावा यह है कि क्षैतिज परास के ठीक आधे बिंदु पर हमेशा उच्चतम बिंदु होगा। यह किसी भी मनमानी गति के लिए सामान्यतः सत्य नहीं है। यहाँ यह इसलिए काम करता है क्योंकि क्षैतिज वेग स्थिर है और प्रक्षेप्य उसी ऊर्ध्वाधर स्तर पर उतरता है जहाँ से उसे प्रक्षेपित किया गया था।

प्रश्न 5

एक प्रक्षेप्य को मूलबिंदु से \(25.0\ \text{m s}^{-1}\) की निश्चित चाल से प्रक्षेपित किया जाता है। उसे ऐसे लक्ष्य से गुजरना है जो क्षैतिज रूप से \(30.0\ \text{m}\) दूर और प्रक्षेपण बिंदु से \(5.00\ \text{m}\) ऊपर है।

वायु प्रतिरोध की उपेक्षा कीजिए और \(g=9.80\ \text{m s}^{-2}\) का उपयोग कीजिए।

ज्ञात कीजिए:

• \(0^\circ\) और \(90^\circ\) के बीच सभी संभव प्रक्षेपण कोण,
• प्रत्येक प्रक्षेपण के लिए प्रारंभिक क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर वेग घटक,
• प्रत्येक प्रक्षेपण के लिए लक्ष्य तक पहुँचने में लगा समय, और
• प्रत्येक स्थिति में लक्ष्य से गुजरते समय प्रक्षेप्य की चाल।

अंतिम परिणाम की व्याख्या कीजिए।

समाधान 5

दो संभव प्रक्षेपण हैं: लगभग \(24.2^\circ\) और \(75.3^\circ\)। वे क्रमशः लगभग \(1.32\ \text{s}\) और \(4.72\ \text{s}\) में लक्ष्य तक पहुँचते हैं, लेकिन दोनों लक्ष्य से समान चाल, लगभग \(23.0\ \text{m s}^{-1}\), के साथ गुजरते हैं।

आश्चर्यजनक बात यह है कि एक प्रक्षेप्य हवा में बहुत अधिक समय बिताता है, फिर भी लक्ष्य पर उसकी चाल का परिमाण समान रहता है।

घटक समीकरणों से शुरू करें:

\[ x=(u\cos\theta)t \]

और

\[ y=(u\sin\theta)t-\frac12gt^2. \]

क्षैतिज समीकरण से,

\[ t=\frac{x}{u\cos\theta}. \]

इसे ऊर्ध्वाधर समीकरण में रखने पर:

\[ y=x\tan\theta-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta}. \]

इसका उपयोग करते हुए

\[ \frac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta, \]

और \(x=30.0\ \text{m}\), \(y=5.00\ \text{m}\), तथा \(u=25.0\ \text{m s}^{-1}\) रखने पर,

\[ 5.00 =30.0\tan\theta -\frac{(9.80)(30.0)^2}{2(25.0)^2} \left(1+\tan^2\theta\right). \]

संख्यात्मक गुणांक है

\[ \frac{(9.80)(900)}{1250}=7.056. \]

मान लें

\[ T=\tan\theta. \]

तब

\[ 5.00=30.0T-7.056(1+T^2), \]

इसलिए

\[ 7.056T^2-30.0T+12.056=0. \]

द्विघात समीकरण हल करने पर मिलता है

\[ T\approx0.4494 \]

या

\[ T\approx3.802. \]

अतः,

\[ \theta\approx24.2^\circ \]

या

\[ \theta\approx75.3^\circ. \]

निम्न प्रक्षेप पथ के लिए,

\[ \begin{aligned} u_x&=(25.0)\cos24.2^\circ\\ &=22.8\ \text{m s}^{-1}, \\ u_y&=(25.0)\sin24.2^\circ\\ &=10.2\ \text{m s}^{-1}. \end{aligned} \]

लक्ष्य तक पहुँचने का समय है

\[ t=\frac{30.0}{22.8}=1.32\ \text{s}. \]

ऊँचे प्रक्षेप पथ के लिए,

\[ \begin{aligned} u_x&=(25.0)\cos75.3^\circ\\ &=6.36\ \text{m s}^{-1}, \\ u_y&=(25.0)\sin75.3^\circ\\ &=24.2\ \text{m s}^{-1}. \end{aligned} \]

लक्ष्य तक पहुँचने का समय है

\[ t=\frac{30.0}{6.36}=4.72\ \text{s}. \]

अब लक्ष्य पर दोनों चालों की तुलना करें।

किसी भी प्रक्षेपण के लिए, क्षैतिज त्वरण शून्य है, जबकि ऊर्ध्वाधर घटक इस संबंध का पालन करता है

\[ v_y^2=u_y^2+2a_y\Delta y. \]

क्योंकि \(a_y=-g\) और \(\Delta y=5.00\ \text{m}\),

\[ v_y^2=u_y^2-2g(5.00). \]

कुल चाल के लिए

\[ v^2=v_x^2+v_y^2. \]

क्योंकि \(v_x=u_x\),

\[ \begin{aligned} v^2 &=u_x^2+u_y^2-2g(5.00)\\ &=u^2-2g(5.00). \end{aligned} \]

दोनों प्रक्षेप्यों की प्रारंभिक चाल समान \(u=25.0\ \text{m s}^{-1}\) थी, और दोनों को समान अंतिम ऊँचाई पर देखा जा रहा है। अतः,

\[ \begin{aligned} v^2 &=(25.0)^2-2(9.80)(5.00)\\ &=527, \end{aligned} \]

जिससे

\[ v=23.0\ \text{m s}^{-1}. \]

निम्न प्रक्षेप पथ लक्ष्य तक लगभग

\[ v_x=22.8\ \text{m s}^{-1}, \qquad v_y=-2.65\ \text{m s}^{-1}, \]

के साथ पहुँचता है, जबकि ऊँचा प्रक्षेप पथ लगभग

\[ v_x=6.36\ \text{m s}^{-1}, \qquad v_y=-22.1\ \text{m s}^{-1}. \]

के साथ पहुँचता है।

उनकी दिशाएँ बहुत अलग हैं, लेकिन उनकी चालों के परिमाण समान हैं।

एक आकर्षक अनुमान यह है कि ऊँचा प्रक्षेप पथ लक्ष्य पर अधिक धीमी चाल से पहुँचेगा क्योंकि गुरुत्वाकर्षण ने उस पर बहुत अधिक समय तक प्रभाव डाला है। गुरुत्वाकर्षण वास्तव में अधिक समय तक कार्य करता है, लेकिन प्रक्षेप्य बहुत अधिक ऊँचाई तक भी जाता है और फिर नीचे गिरते समय वही ऊर्ध्वाधर चाल दोबारा प्राप्त करता है। इस आदर्श प्रक्षेप्य मॉडल में, समान प्रारंभिक चाल और समान अंतिम ऊँचाई के लिए अंतिम चाल का परिमाण निश्चित होता है।

एक बार जब आप \(u\) को आत्मविश्वास के साथ \(u_x\) और \(u_y\) में विभाजित करना सीख लेते हैं, तो प्रक्षेप्य गति दो परस्पर जुड़े एक-विमीय प्रश्नों में बदल जाती है। अगला उपयोगी चरण यह सीखना है कि साझा समय ज्ञात करने के लिए क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर में से कौन-सा समीकरण चुनना है, और फिर उसी समय का उपयोग करके दोनों दिशाओं को आपस में जोड़ना है।