Kecepatan Sudut dalam Fisika HSC: Dari Rotasi ke Kecepatan Linear

Sebuah titik di tepi roda yang berputar bergerak jauh lebih cepat daripada titik di dekat poros. Namun, kedua titik menyelesaikan setiap satu putaran dalam waktu yang sama persis. Jadi, apakah keduanya bergerak dengan laju yang sama atau tidak?

Sebelum melanjutkan membaca, buatlah prediksi ini: sebuah roda gigi besar dan sebuah tanda kecil di dekat pusatnya merupakan bagian dari cakram kaku yang sama. Setelah 0.50 s, cakram berputar sebesar \(90^\circ\). Tanda manakah yang memiliki kecepatan sudut lebih besar?

Keduanya memiliki kecepatan sudut yang sama. Keduanya berputar melalui sudut yang sama dalam waktu yang sama. Tanda yang lebih luar menempuh jarak yang lebih besar, sehingga memiliki kecepatan linear yang lebih besar.

Perbedaan itu – rotasi yang sama, tetapi jarak tempuh berbeda – adalah alasan mengapa kecepatan sudut berguna.

01Mengukur rotasi dengan sudut

Untuk gerak lurus, kecepatan memberi tahu kita seberapa cepat posisi berubah.

Untuk gerak rotasi, kita melacak seberapa cepat sudut berubah.

Bayangkan menggambar garis dari pusat sebuah roda ke suatu titik pada tepinya. Saat roda berputar, garis tersebut menyapu sudut \(\Delta\theta\).

Jika roda berputar melalui perpindahan sudut \(\Delta\theta\) selama selang waktu \(\Delta t\), kecepatan sudut rata-ratanya adalah

\[ \omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} \]

dengan:

• \(\omega\) adalah kecepatan sudut, diukur dalam radian per sekon (\(\text{rad s}^{-1}\))
• \(\Delta\theta\) adalah perpindahan sudut, diukur dalam radian (\(\text{rad}\))
• \(\Delta t\) adalah selang waktu, diukur dalam sekon (\(\text{s}\))

Simbol \(\omega\) adalah huruf Yunani omega.

Gagasannya sederhana: kecepatan sudut memberi tahu Anda berapa radian rotasi yang terjadi setiap sekon.

02Mengapa sudut perlu dinyatakan dalam radian

Anda mungkin terbiasa mengukur sudut dalam derajat. Satu putaran penuh adalah \(360^\circ\).

Dalam persamaan gerak melingkar, radian jauh lebih berguna. Satu putaran penuh adalah

\[ 2\pi \text{ rad} \]

sehingga

\[ 360^\circ = 2\pi \text{ rad} \]

dan oleh karena itu

\[ 180^\circ = \pi \text{ rad} \]

Sebagai contoh,

\[ 90^\circ = \frac{\pi}{2}\text{ rad} \]

dan

\[ 60^\circ = \frac{\pi}{3}\text{ rad} \]

Mengapa perlu mengubah satuan? Karena radian menghubungkan sudut secara langsung dengan jarak yang ditempuh di sepanjang lingkaran.

Untuk sebuah benda yang bergerak melalui sudut \(\theta\) pada jari-jari \(r\), panjang busur \(s\) adalah

\[ s=r\theta \]

dengan \(s\) dan \(r\) diukur dalam meter dan \(\theta\) diukur dalam radian.

Persamaan tersebut dapat digunakan sesederhana ini karena radian didefinisikan menggunakan lingkaran itu sendiri.

03Kecepatan sudut dan kecepatan linear bukanlah hal yang sama

Sekarang kembali ke cakram yang berputar.

Tempatkan satu titik pada jarak \(0.10\text{ m}\) dari pusat dan titik lainnya pada jarak \(0.40\text{ m}\) dari pusat. Karena cakram tersebut kaku, kedua titik berputar melalui sudut yang sama selama selang waktu tertentu.

Jadi, keduanya memiliki kecepatan sudut yang sama.

Namun, apakah keduanya menempuh jarak yang sama?

Tidak. Titik yang lebih luar mengikuti lingkaran yang jauh lebih besar.

Dengan menggunakan

\[ s=r\theta \]

bagi kedua ruas dengan selang waktu:

\[ \frac{s}{\Delta t} =r\frac{\theta}{\Delta t} \]

Untuk gerak melingkar beraturan, \(s/\Delta t\) adalah kelajuan linear \(v\), sedangkan \(\theta/\Delta t\) adalah kelajuan sudut \(\omega\). Oleh karena itu,

\[ v=r\omega \]

dengan:

• \(v\) adalah kelajuan tangensial atau linear dalam \(\text{m s}^{-1}\)
• \(r\) adalah jarak dari sumbu rotasi dalam meter
• \(\omega\) adalah kelajuan sudut dalam \(\text{rad s}^{-1}\)

Persamaan ini merupakan penghubung antara gerak rotasi dan gerak linear.

Model mental yang berguna

Bayangkan empat orang teman berdiri di bagian-bagian berbeda pada sebuah platform berputar yang sangat besar. Mereka semua melekat pada lantai, yang menyelamatkan kita dari beberapa masalah kesehatan dan keselamatan kerja.

Mereka semua berputar melalui sudut yang sama setiap sekon. Itulah kecepatan sudut yang mereka miliki bersama.

Namun, orang yang berada dekat tepi luar harus menempuh jarak yang jauh lebih besar selama satu sekon tersebut. Karena itu, kelajuan linearnya lebih besar.

Analogi ini memiliki batas: manusia sungguhan bukanlah bagian dari cakram yang terpasang secara kaku. Mereka dapat berjalan relatif terhadap platform. Persamaan \(v=r\omega\) berlaku secara langsung ketika titik-titik mengalami rotasi yang sama terhadap suatu sumbu.

04Kesalahpahaman yang paling menggoda

Misalkan dua titik pada roda yang berputar memiliki kecepatan sudut yang sama.

Seorang siswa mungkin berpikir, “Kecepatan yang sama berarti kelajuan yang sama.”

Hal itu terdengar masuk akal karena dalam gerak lurus kita biasanya menggunakan satu kecepatan untuk satu benda. Namun, kecepatan sudut dan kecepatan linear mengukur perubahan yang berbeda.

Kecepatan sudut menanyakan:

Seberapa cepat sudut berubah?

Kelajuan linear menanyakan:

Seberapa cepat jarak sepanjang lintasan berubah?

Untuk \(\omega\) yang sama,

\[ v=r\omega \]

jadi, jika jari-jari bertambah, kelajuan linear juga bertambah.

Jika jari-jari menjadi dua kali lipat, kelajuan linear juga menjadi dua kali lipat.

Pusat roda memberikan kasus batas yang berguna. Pada \(r=0\),

\[ v=r\omega=0 \]

meskipun roda itu sendiri mungkin memiliki kecepatan sudut yang tidak nol. Titik yang tepat berada pada sumbu rotasi tidak bergerak sepanjang lintasan melingkar.

05Satu putaran memberikan bentuk lain yang berguna

Misalkan sebuah benda memerlukan periode \(T\) untuk menyelesaikan satu putaran.

Satu putaran penuh sama dengan perpindahan sudut sebesar \(2\pi\text{ rad}\), sehingga

\[ \omega=\frac{2\pi}{T} \]

dengan \(T\) adalah periode dalam sekon.

Karena frekuensi \(f\) adalah jumlah putaran per sekon,

\[ f=\frac{1}{T} \]

kita juga dapat menuliskan

\[ \omega=2\pi f \]

Ini berarti tiga besaran menggambarkan laju rotasi yang sama dengan cara yang berbeda:

Jika Anda memerlukan lebih banyak latihan untuk menghubungkan periode, jari-jari, dan kelajuan, lihat Kelajuan, Jari-jari, dan Periode dalam Gerak Melingkar Beraturan.

06Kecepatan sudut mencakup arah

Sejauh ini, kita terutama membahas besar kecepatan sudut.

Secara tepat, kecepatan sudut adalah sebuah vektor. Arahnya berada sepanjang sumbu rotasi dan ditentukan menggunakan kaidah tangan kanan.

Lengkungkan jari-jari tangan kanan Anda mengikuti arah rotasi. Ibu jari Anda menunjuk ke arah vektor kecepatan sudut.

Untuk banyak perhitungan HSC yang melibatkan gerak pada satu bidang, rotasi searah jarum jam dan berlawanan arah jarum jam dapat dibedakan menggunakan konvensi tanda. Sebagai contoh:

• berlawanan arah jarum jam: positif
• searah jarum jam: negatif

Anda dapat memilih konvensi yang sebaliknya, asalkan menggunakannya secara konsisten.

Misalkan sebuah roda berubah dari kecepatan sudut \(+5.0\text{ rad s}^{-1}\) menjadi \(-3.0\text{ rad s}^{-1}\). Kelajuan sudut akhirnya hanya \(3.0\text{ rad s}^{-1}\), tetapi perubahan kecepatan sudutnya adalah

\[ \Delta\omega=-3.0-(+5.0)=-8.0\text{ rad s}^{-1} \]

Tanda negatif penting karena roda telah membalik arah rotasinya.

Perbedaan ini menjadi penting ketika Anda kemudian mempelajari percepatan sudut.

07Apa yang dapat – dan tidak dapat – dijelaskan oleh \(v=r\omega\)

Persamaan

\[ v=r\omega \]

memberikan besar kecepatan tangensial sesaat untuk sebuah titik yang bergerak mengelilingi lingkaran.

Kecepatan itu sendiri menyinggung lintasan melingkar, bukan menunjuk menjauhi pusat.

Hal ini menghasilkan prediksi lain yang layak dipertimbangkan. Sebuah benda dalam gerak melingkar beraturan memiliki kelajuan konstan. Apakah itu berarti kecepatannya konstan?

Tidak. Arahnya berubah secara terus-menerus, sehingga kecepatannya juga berubah secara terus-menerus meskipun kelajuannya tidak berubah.

Kecepatan yang berubah berarti terdapat percepatan. Dalam gerak melingkar, percepatan tersebut mengarah ke pusat. Hal ini langsung mengarah pada percepatan sentripetal.

08Metode ringkas untuk soal kecepatan sudut

Ketika soal gerak melingkar menyebutkan putaran, periode, jari-jari, atau kelajuan, gunakan urutan berikut:

1. Tentukan apakah informasi yang diberikan menggambarkan sudut, waktu untuk satu putaran, atau jarak linear.
2. Ubah sudut menjadi radian jika diperlukan.
3. Tentukan kecepatan sudut menggunakan \(\omega=\Delta\theta/\Delta t\) atau \(\omega=2\pi/T\).
4. Jika Anda memerlukan kelajuan linear, gunakan \(v=r\omega\).
5. Periksa hasilnya secara fisik. Titik yang lebih jauh dari sumbu seharusnya memiliki kelajuan linear yang lebih besar jika \(\omega\) tidak berubah.
6. Pisahkan besaran sudut dan besaran linear. Radian per sekon dan meter per sekon tidak dapat dipertukarkan.

09Pertanyaan dan solusi

Pertanyaan 1

Sebuah roda berputar secara beraturan melalui \(4.8\text{ rad}\) dalam \(1.6\text{ s}\).

Hitung:

a. kecepatan sudutnya
b. kelajuan linear sebuah titik yang berada \(0.25\text{ m}\) dari sumbu

Solusi 1

Kecepatan sudutnya adalah \(3.0\text{ rad s}^{-1}\), dan titik tersebut bergerak dengan kelajuan \(0.75\text{ m s}^{-1}\).

Untuk bagian a, gunakan

\[ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t} \]

Dengan melakukan substitusi,

\[ \omega=\frac{4.8}{1.6} =3.0\text{ rad s}^{-1} \]

Untuk bagian b, gunakan

\[ v=r\omega \]

sehingga

\[ v=(0.25)(3.0) =0.75\text{ m s}^{-1} \]

Titik tersebut menempuh \(0.75\text{ m}\) sepanjang lintasan melingkarnya setiap sekon.

Kesalahan yang menggoda adalah menganggap \(3.0\text{ rad s}^{-1}\) dan \(0.75\text{ m s}^{-1}\) sebagai dua cara berbeda untuk menggambarkan besaran yang persis sama. Keduanya saling berhubungan, tetapi mengukur hal yang berbeda: yang satu adalah laju perubahan sudut, sedangkan yang lainnya adalah laju perubahan jarak tempuh.

Pertanyaan 2

Dua titik, A dan B, terpasang pada cakram kaku berputar yang sama. A berada \(0.15\text{ m}\) dari pusat dan B berada \(0.45\text{ m}\) dari pusat.

Cakram berputar sebesar \(120^\circ\) dalam \(0.40\text{ s}\).

Hitung:

a. kecepatan sudut A dan B
b. kelajuan linear masing-masing titik
c. rasio \(v_B:v_A\)

Solusi 2

Kedua titik memiliki kecepatan sudut \(5.24\text{ rad s}^{-1}\); A bergerak dengan kelajuan \(0.785\text{ m s}^{-1}\), B bergerak dengan kelajuan \(2.36\text{ m s}^{-1}\), dan \(v_B:v_A=3:1\).

Pertama, ubah sudutnya:

\[ 120^\circ\times\frac{\pi}{180^\circ} =\frac{2\pi}{3}\text{ rad} \]

Untuk kedua titik,

\[ \omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t} =\frac{2\pi/3}{0.40} =5.24\text{ rad s}^{-1} \]

Keduanya memiliki \(\omega\) yang sama karena terpasang pada cakram kaku yang sama dan karena itu menyapu sudut yang sama dalam waktu yang sama.

Untuk A,

\[ v_A=r_A\omega =(0.15)(5.24) =0.785\text{ m s}^{-1} \]

Untuk B,

\[ v_B=r_B\omega =(0.45)(5.24) =2.36\text{ m s}^{-1} \]

Oleh karena itu,

\[ \frac{v_B}{v_A} =\frac{2.36}{0.785} \approx3.00 \]

sehingga

\[ v_B:v_A=3:1 \]

Cara yang menggoda adalah mengatakan bahwa B juga harus memiliki kecepatan sudut tiga kali lebih besar karena bergerak tiga kali lebih cepat. Itu tidak benar. Kelajuannya yang lebih besar sepenuhnya disebabkan oleh jari-jarinya yang tiga kali lebih besar:

\[ v=r\omega \]

Kecepatan sudutnya tetap sama.

Pertanyaan 3

Sebuah platform melingkar berjari-jari \(2.0\text{ m}\) menyelesaikan satu putaran setiap \(8.0\text{ s}\).

Seorang siswa berdiri \(0.50\text{ m}\) dari pusat lalu berjalan secara radial ke luar hingga berada \(1.5\text{ m}\) dari pusat, sambil tetap diam relatif terhadap platform.

Platform terus berputar dengan periode yang sama.

Bandingkan kelajuan sudut dan kelajuan linear siswa tersebut sebelum dan sesudah bergerak ke luar.

Solusi 3

Kelajuan sudut siswa tetap \(0.785\text{ rad s}^{-1}\), sedangkan kelajuan linearnya meningkat dari \(0.393\text{ m s}^{-1}\) menjadi \(1.18\text{ m s}^{-1}\).

Kelajuan sudut platform adalah

\[ \omega=\frac{2\pi}{T} =\frac{2\pi}{8.0} =0.785\text{ rad s}^{-1} \]

Karena siswa tetap diam relatif terhadap platform, mereka berputar melalui sudut yang sama seperti platform selama setiap selang waktu. Perubahan jari-jari tidak dengan sendirinya mengubah kelajuan sudut mereka.

Pada awalnya,

\[ v_i=r_i\omega =(0.50)(0.785) =0.393\text{ m s}^{-1} \]

Pada akhirnya,

\[ v_f=r_f\omega =(1.5)(0.785) =1.18\text{ m s}^{-1} \]

Jari-jari menjadi tiga kali lipat, sehingga kelajuan linear juga menjadi tiga kali lipat.

Argumen yang tampak masuk akal tetapi salah adalah bahwa bergerak lebih jauh dari pusat pasti membuat setiap putaran membutuhkan waktu lebih lama karena lintasan melingkarnya lebih panjang. Hal itu akan benar jika kelajuan linear siswa entah bagaimana dipertahankan konstan. Di sini, kondisi yang tetap adalah periode platform. Karena itu, siswa harus bergerak lebih cepat sepanjang lintasan melingkar yang lebih besar untuk menyelesaikan setiap putaran dalam waktu yang sama.

Pertanyaan 4

Dua cakram horizontal terpisah berputar terhadap sumbu pusat tetap.

Cakram X memiliki jari-jari \(0.20\text{ m}\) dan kelajuan sudut \(8.0\text{ rad s}^{-1}\). Cakram Y memiliki jari-jari \(0.40\text{ m}\) dan kelajuan sudut \(4.0\text{ rad s}^{-1}\).

Pada suatu saat, sebuah titik pada tepi masing-masing cakram bergerak ke arah timur.

Seorang siswa membuat tiga pernyataan:

1. Kedua titik pada tepi cakram memiliki kecepatan linear sesaat yang sama.
2. Keduanya memerlukan waktu yang sama untuk menyelesaikan satu putaran.
3. Percepatan sentripetal keduanya memiliki besar yang sama.

Tentukan pernyataan mana yang benar dan berikan pembenaran secara kuantitatif untuk setiap keputusan.

Solusi 4

Hanya pernyataan 1 yang benar. Kedua titik memiliki kecepatan linear sesaat yang sama pada saat yang dinyatakan, tetapi Cakram X memiliki periode setengah dari Cakram Y dan percepatan sentripetal di tepinya dua kali lebih besar.

Untuk pernyataan 1,

\[ v=r\omega \]

Untuk X,

\[ v_X=(0.20)(8.0) =1.6\text{ m s}^{-1} \]

Untuk Y,

\[ v_Y=(0.40)(4.0) =1.6\text{ m s}^{-1} \]

Soal juga menyatakan bahwa kedua titik pada tepi cakram bergerak ke timur pada saat tersebut. Karena itu, besar dan arah kecepatannya identik, sehingga pernyataan 1 benar.

Untuk pernyataan 2, gunakan

\[ T=\frac{2\pi}{\omega} \]

Untuk X,

\[ T_X=\frac{2\pi}{8.0} =0.785\text{ s} \]

Untuk Y,

\[ T_Y=\frac{2\pi}{4.0} =1.57\text{ s} \]

Jadi, pernyataan 2 salah.

Untuk pernyataan 3, percepatan sentripetal dapat dituliskan sebagai

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

Kedua titik memiliki \(v\) yang sama, tetapi jari-jarinya berbeda.

Untuk X,

\[ a_{cX}=\frac{(1.6)^2}{0.20} =12.8\text{ m s}^{-2} \]

Untuk Y,

\[ a_{cY}=\frac{(1.6)^2}{0.40} =6.4\text{ m s}^{-2} \]

Oleh karena itu, pernyataan 3 juga salah.

Jalan pintas yang menggoda adalah melihat bahwa kedua kelajuan linear sama lalu menganggap gerak keduanya pasti setara. Tidak demikian. Kelajuan tangensial yang sama dapat dihasilkan oleh kombinasi jari-jari dan kelajuan sudut yang berbeda.

Cakram X memiliki jari-jari yang lebih kecil tetapi kelajuan sudut yang lebih besar. Arah kecepatannya berubah lebih cepat, sehingga menghasilkan percepatan sentripetal yang lebih besar.

Pertanyaan 5

Dua manik-manik, A dan B, terpasang pada titik yang berbeda pada lengan berputar kaku yang sama. A berada \(0.20\text{ m}\) dari sumbu, dan B berada \(0.50\text{ m}\) dari sumbu.

Pada suatu saat tertentu, lengan tersebut memiliki kelajuan sudut \(6.0\text{ rad s}^{-1}\).

Seorang siswa berpendapat:

“B memiliki kelajuan linear yang lebih besar daripada A. Oleh karena itu, kecepatan B berubah lebih cepat. Jadi B juga harus memiliki kecepatan sudut yang lebih besar.”

Siswa lain menjawab:

“Tidak. Karena kedua manik-manik berada pada lengan yang sama, segala sesuatu tentang geraknya sama kecuali jari-jarinya.”

Evaluasilah kedua argumen tersebut. Tentukan besaran mana yang harus sama untuk A dan B, besaran mana yang harus berbeda, dan jelaskan mengapa pernyataan kedua siswa tidak sepenuhnya benar.

Anggap lengan berputar secara beraturan pada saat ini.

Solusi 5

A dan B memiliki kecepatan sudut yang sama, tetapi B memiliki kelajuan linear dan percepatan sentripetal yang lebih besar. Argumen lengkap kedua siswa tidak benar karena gerak sudut dapat sama, sedangkan gerak linear bergantung pada jari-jari.

Karena A dan B terpasang pada lengan kaku yang sama, keduanya menyapu perpindahan sudut yang sama selama setiap selang waktu. Oleh karena itu,

\[ \omega_A=\omega_B=6.0\text{ rad s}^{-1} \]

Kelajuan linear keduanya ditentukan dari

\[ v=r\omega \]

Untuk A,

\[ v_A=(0.20)(6.0) =1.2\text{ m s}^{-1} \]

Untuk B,

\[ v_B=(0.50)(6.0) =3.0\text{ m s}^{-1} \]

Jadi, siswa pertama benar bahwa B memiliki kelajuan linear yang lebih besar.

Namun, langkah berikutnya dalam penalaran siswa tersebut salah. Kelajuan linear yang lebih besar tidak berarti kecepatan sudut yang lebih besar. Di sini, kecepatan sudut keduanya persis sama karena kedua manik-manik mengalami satu rotasi kaku yang sama.

Sekarang pertimbangkan seberapa cepat setiap vektor kecepatan berubah. Dalam gerak melingkar beraturan, setiap manik-manik memiliki percepatan sentripetal

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

Untuk A,

\[ a_{cA} =\frac{(1.2)^2}{0.20} =7.2\text{ m s}^{-2} \]

Untuk B,

\[ a_{cB} =\frac{(3.0)^2}{0.50} =18\text{ m s}^{-2} \]

Jadi, kecepatan B memang berubah lebih cepat jika dinyatakan sebagai besar perubahan per sekon, meskipun A dan B memiliki kecepatan sudut yang sama.

Karena itu, siswa kedua juga hanya benar sebagian. Berada pada lengan kaku yang sama menjamin perpindahan sudut, kecepatan sudut, dan periode yang sama. Hal itu tidak membuat “segala sesuatu” lainnya menjadi sama.

Jari-jari mengubah beberapa besaran linear:

\[ v=r\omega \]

dan, karena

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

dengan mensubstitusikan \(v=r\omega\), diperoleh

\[ a_c=r\omega^2 \]

Pada kelajuan sudut yang tetap, kelajuan linear dan percepatan sentripetal sama-sama meningkat seiring bertambahnya jari-jari.

Itulah batasan utamanya. Sebuah benda kaku yang berputar dapat memiliki satu gerak sudut yang sama pada semua titiknya, sementara titik-titik tersebut mengalami gerak linear yang sangat berbeda.

Setelah perbedaan itu dipahami dengan baik, kecepatan sudut tidak lagi menjadi sekadar rumus yang berdiri sendiri. Kecepatan sudut menjadi penghubung antara rotasi dan bagian lain dari gerak melingkar: \(v=r\omega\) menghubungkannya dengan kelajuan tangensial, dan dari sana \(a_c=v^2/r\) menjelaskan mengapa sebuah benda yang bergerak dengan kelajuan konstan mengelilingi lingkaran tetap harus mengalami percepatan menuju pusat.