HSC 物理：理想变压器的电流与功率

一个变压器在一次侧输入 240 V，并在二次侧输出 12 V。这听起来像是损失了大量电能：电压降低了 20 倍。

那么，能量到哪里去了？

在继续阅读之前，先作一个预测。如果理想变压器在传输相同功率的同时，将电压降低 20 倍，那么电流必须发生甚么变化？

它必须增加 20 倍。理想变压器不会损失功率。它以电压换取电流，或以电流换取电压。

这一个概念就能解释 HSC 的变压器功率方程：

\[ V_p I_p = V_s I_s \]

重要的是理解它为甚么成立、甚么时候使用，以及它不代表甚么。

01先从电压和电流实际量度的是甚么开始

电压和电流描述的是不同的物理量。

电压告诉你每单位电荷转移了多少电能。一伏特等于一焦耳每库仑。

电流告诉你每秒有多少电荷通过某一点。一安培等于一库仑每秒。

因此，当我们将电压乘以电流时，

\[ VI = \frac{\text{J}}{\text{C}} \times \frac{\text{C}}{\text{s}} = \frac{\text{J}}{\text{s}} = \text{W} \]

便得到功率。

功率是能量转移的速率，单位是瓦特。

你可以用包裹来想像这件事。假设每个包裹都携带一定的能量，而输送带每秒运送一定数量的包裹。电压就像每个包裹携带的能量。电流就像每秒通过多少个包裹。功率取决于两者。

变压器可以让每一库仑电荷转移更多能量，同时让每秒通过的库仑数减少；也可以让每一库仑转移较少能量，同时让每秒通过的库仑数增加。

这个类比并不完全准确，因为电荷实际上并不是被分装成一个个独立的包裹，而且变压器是透过变化的磁场传输能量，而不是把电荷从一个线圈实际移动到另一个线圈。不过，「每单位电荷的能量 × 每秒通过的电荷量」这个图像仍然很有用。

02理想变压器守恒功率

理想变压器没有能量损失。

这表示进入一次侧的电功率等于离开二次侧的电功率：

\[ P_p=P_s \]

在 HSC 课程所讨论的变压器题目中，电功率使用 \(P=VI\) 计算。因此，

\[ V_p I_p=V_s I_s \]

其中：

• \(V_p\) 是一次侧电压，单位为伏特，
• \(I_p\) 是一次侧电流，单位为安培，
• \(V_s\) 是二次侧电压，单位为伏特，以及
• \(I_s\) 是二次侧电流，单位为安培。

除非题目另有说明，变压器的交流电压和电流通常都以 RMS（有效值）表示。

注意这条方程真正表达的是甚么。它不是说电压保持不变，也不是说电流保持不变。

它是说，在某一特定传输功率下运作的理想变压器中，两者的乘积保持不变。

03为甚么电压和电流朝相反方向改变

假设一个理想变压器把电压加倍。

要使功率保持不变，

\[ V_p I_p=V_s I_s \]

因此，如果 \(V_s\) 是 \(V_p\) 的两倍，那么 \(I_s\) 必须是 \(I_p\) 的一半。

所以，在相同传输功率下，升压变压器会产生较高的二次侧电压和较低的二次侧电流。

降压变压器则相反。

最后一栏有一个重要的限定条件：在相同传输功率下。

变压器不会不管你接上甚么负载，都强迫固定大小的电流流过。负载会影响电流。我们稍后会再谈到这一点。

将电流比与匝数比连系起来

对理想变压器而言，

\[ \frac{V_s}{V_p}=\frac{N_s}{N_p} \]

其中 \(N_p\) 和 \(N_s\) 分别是一次线圈和二次线圈的匝数。

如果你需要复习为甚么电压遵循匝数比，请参阅 HSC 物理：理想变压器的电压与匝数比。

功率守恒给出

\[ V_pI_p=V_sI_s \]

所以

\[ \frac{I_s}{I_p} = \frac{V_p}{V_s} \]

利用电压比，

\[ \frac{I_s}{I_p} = \frac{N_p}{N_s} \]

因此，电流比是匝数比的倒数。

例如，如果

\[ \frac{N_s}{N_p}=10 \]

那么电压会升高 10 倍，而在相同传输功率下，电流则会降低 10 倍。

这个反比关系很容易不小心写反。与其死记两个比值，不如记住背后的物理限制：理想变压器不能凭空产生额外功率。

04变压器本身不会凭空产生电流

一个常见的说法是：

降压变压器会增加电流。

这是一种方便的简写，但也可能造成误解。

假设一个变压器的一次侧电压为 \(240\text{ V}\)，二次侧电压为 \(24\text{ V}\)。现在让二次侧完全不接任何负载。

二次侧会有多少电流流过？

零。

变压器的二次侧端子之间可以有 \(24\text{ V}\) 电压，同时完全不提供电流。没有接上负载，就没有封闭路径让电荷流动。

所以，更好的理解方式是：

1. 匝数比决定二次侧电压。
2. 负载和二次侧电压决定二次侧电流。
3. 二次侧负载所需求的功率，决定在理想模型中一次侧所需的电流。

按照这个顺序思考，可以避免很多变压器题目的错误。

想像一家餐厅的水管具有足够的水压，可以向水槽供水。存在水压并不表示水一定正在流动。水龙头必须提供一条通路。相似地，二次侧可以有电压而没有二次侧电流。

如果把这个类比延伸得太远，它就不再有用。电压并不真的就是流体压力，而且变压器的一次侧和二次侧是透过电磁作用耦合，而不是透过一条水管相连。

05为甚么改变二次侧负载会改变一次侧电流？

这是比较奇妙的部分。

一次线圈和二次线圈彼此没有电气连接。然而，当二次侧负载抽取更多电流时，一次侧也会从电源抽取更多电流。

一侧怎么会知道另一侧发生了甚么？

两者之间的连结是磁场。

一次侧中的交流电会在变压器铁芯中产生变化的磁通量。这个变化的磁通量会在二次侧感应出电动势。

当二次侧电流开始流动时，该电流本身也会产生磁效应。根据楞次定律，它的效应会反抗造成它的磁通变化。

因此，一次侧电源会提供额外电流，使外加一次侧电压所要求的变化磁通得以维持。

并没有任何讯息沿著导线从二次侧传到一次侧。这两个电路是透过共同的磁通互相作用。如果这个机制仍然不够清楚，HSC 物理：螺线管之间的互感应 会更详细地建立这个磁学图像。

06最容易产生的误解：功率守恒不代表功率固定

假设一个理想变压器正向负载提供 \(50\text{ W}\)。那么

\[ P_p=P_s=50\text{ W} \]

现在你把这个负载换成另一个不同的负载。

变压器是否仍然必须传输 \(50\text{ W}\)？

不是。

功率守恒的意思是，在任何特定时刻或特定工作状态下，进入理想变压器的功率等于离开它的功率。

它并不是说，无论负载如何，变压器都会一直传输相同的功率。

这个区别很重要。

低电阻的二次侧负载可以抽取更多电流，因此也会消耗更多功率。一次侧随之抽取更多电流。高电阻负载抽取的电流较少。开路则会有零二次侧电流。

变压器内部并不存在一份固定的功率，必须以某种方式分配出去。

一个实用的判断规则是：

07「理想」这个词隐藏了甚么

真实的变压器并不是百分之百有效率。

由于线圈具有电阻，一部分输入能量会在线圈中转化为热能。涡电流、磁滞，以及没有完全同时穿过两组线圈的漏磁通等效应，也会造成能量损失。

因此，对真实变压器而言，

\[ P_{\text{out}}<P_{\text{in}} \]

对理想变压器而言，

\[ P_{\text{out}}=P_{\text{in}} \]

理想模型刻意忽略这些损失，让你可以专注于电压、电流和功率之间的关系。

不要混用这两种模型。如果题目明确给出低于 \(100\%\) 的变压器效率，就不能直接令输入功率等于输出功率。

08题目与解答

题目 1

一个理想变压器的一次侧电压为 \(240\text{ V}\)，二次侧电压为 \(48\text{ V}\)。二次侧电流为 \(2.0\text{ A}\)。

计算：

a. 输出功率，以及
b. 一次侧电流。

解答 1

输出功率为 \(96\text{ W}\)，一次侧电流为 \(0.40\text{ A}\)。

核心概念是，理想变压器的输入功率和输出功率相等。

对二次侧而言，

\[ P_s=V_sI_s=(48)(2.0)=96\text{ W} \]

因此，

\[ P_p=96\text{ W} \]

利用 \(P_p=V_pI_p\)，

\[ I_p=\frac{P_p}{V_p} = \frac{96}{240} = 0.40\text{ A} \]

所以

\[ P_s=96\text{ W} \]

以及

\[ I_p=0.40\text{ A} \]

一个很诱人的错误，是因为变压器正在「降压」，便把两边的电压或电流相减。这没有任何物理根据。功率取决于乘积 \(VI\)，而不是一次侧与二次侧数值之间的差。

题目 2

一个接到 \(240\text{ V}\) 电源的理想变压器，在二次侧产生 \(30\text{ V}\) 电压。一个 \(15\ \Omega\) 电阻器接在二次侧两端。

a. 计算二次侧电流。
b. 计算传输到电阻器的功率。
c. 计算一次侧电流。

之后，把 \(15\ \Omega\) 电阻器换成一个 \(30\ \Omega\) 电阻器。假设一次侧电源仍维持在 \(240\text{ V}\)。

d. 计算新的二次侧和一次侧电流。
e. 解释为甚么即使变压器仍然是理想的，现在传输的功率却较少。

解答 2

最初 \(I_s=2.0\text{ A}\)、\(P=60\text{ W}\)，而 \(I_p=0.25\text{ A}\)。当电阻加倍后，二次侧电流变为 \(1.0\text{ A}\)，一次侧电流变为 \(0.125\text{ A}\)。

对原本的 \(15\ \Omega\) 负载，使用欧姆定律：

\[ I_s=\frac{V_s}{R} = \frac{30}{15} = 2.0\text{ A} \]

二次侧功率为

\[ P_s=V_sI_s=(30)(2.0)=60\text{ W} \]

由于变压器是理想的，

\[ P_p=P_s=60\text{ W} \]

所以

\[ I_p=\frac{P_p}{V_p} = \frac{60}{240} = 0.25\text{ A} \]

现在把负载换成 \(30\ \Omega\)。由于一次侧电压和匝数比都没有改变，变压器仍然产生 \(30\text{ V}\)。

因此，

\[ I_s=\frac{30}{30}=1.0\text{ A} \]

以及

\[ P_s=(30)(1.0)=30\text{ W} \]

所以，

\[ I_p=\frac{30}{240}=0.125\text{ A} \]

一个很容易出现的预测是：既然理想变压器不会损失能量，它就应该继续传输 \(60\text{ W}\)。这混淆了功率守恒与功率固定。

新的负载只需要 \(30\text{ W}\)。因此，理想变压器从一次侧取得 \(30\text{ W}\)，并把同样的 \(30\text{ W}\) 传送到二次侧。

题目 3

一个理想升压变压器用来把交流电压从 \(240\text{ V}\) 提高到 \(12.0\text{ kV}\)。它向二次侧电路提供 \(6.0\text{ kW}\) 的功率。

a. 计算二次侧电流。
b. 计算一次侧电流。
c. 一名学生说：「电压增加了 50 倍，所以变压器也把电功率增加了 50 倍。」精确解释为甚么这个结论错误。

解答 3

二次侧电流为 \(0.50\text{ A}\)，一次侧电流为 \(25\text{ A}\)，而变压器的功率并没有增加。

先换算已知量：

\[ 12.0\text{ kV}=12\,000\text{ V} \]

以及

\[ 6.0\text{ kW}=6000\text{ W} \]

二次侧电流为

\[ I_s=\frac{P_s}{V_s} = \frac{6000}{12\,000} = 0.50\text{ A} \]

由于变压器是理想的，

\[ P_p=P_s=6000\text{ W} \]

所以

\[ I_p=\frac{6000}{240}=25\text{ A} \]

电压比为

\[ \frac{12\,000}{240}=50 \]

而电流比为

\[ \frac{25}{0.50}=50 \]

但方向相反。电压变成原来的 50 倍，而电流变成原来的 \(1/50\)。

学生的论点看起来合理，因为 \(P=VI\)，所以如果增加 \(V\) 并想像 \(I\) 维持不变，功率确实会增加。但 \(I\) 并不会维持不变。在理想变压器中，电流会与电压成反比变化。

正确的比较是

\[ (240)(25) = (12\,000)(0.50) = 6000\text{ W} \]

升压变压器改变的是功率传输的方式，而不是创造额外功率。

题目 4

一个理想变压器具有

\[ \frac{N_s}{N_p}=10 \]

而其一次侧接到一个 \(240\text{ V}\) 交流电源。一个 \(4800\ \Omega\) 电阻器接在二次侧两端。

a. 计算二次侧电压和电流。
b. 计算一次侧电流。
c. 从一次侧电源的角度，计算有效电阻 \(R_{\text{in}}=V_p/I_p\)。

现在使用变压器方程和欧姆定律，证明对一个电阻性二次侧负载 \(R_L\)，

\[ R_{\text{in}} = \left(\frac{N_p}{N_s}\right)^2R_L \]

d. 解释为甚么这个结果并不表示实际的 \(4800\ \Omega\) 电阻器以某种方式改变了它的电阻值。

解答 4

二次侧电压为 \(2400\text{ V}\)，二次侧电流为 \(0.50\text{ A}\)，一次侧电流为 \(5.0\text{ A}\)，而从一次侧电源看来，就像它正在向一个 \(48\ \Omega\) 的有效电阻供电。

匝数比给出

\[ \frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p} = 10 \]

所以

\[ V_s=(10)(240)=2400\text{ V} \]

二次侧负载电流为

\[ I_s=\frac{V_s}{R_L} = \frac{2400}{4800} = 0.50\text{ A} \]

输出功率为

\[ P_s=V_sI_s=(2400)(0.50)=1200\text{ W} \]

对理想变压器而言，

\[ P_p=P_s=1200\text{ W} \]

因此，

\[ I_p=\frac{1200}{240}=5.0\text{ A} \]

一次侧电源所「看见」的有效电阻为

\[ R_{\text{in}} = \frac{V_p}{I_p} = \frac{240}{5.0} = 48\ \Omega \]

现在推导一般关系。

对二次侧负载而言，

\[ I_s=\frac{V_s}{R_L} \]

由理想功率守恒，

\[ V_pI_p=V_sI_s \]

所以

\[ I_p=\frac{V_sI_s}{V_p} \]

代入 \(I_s=V_s/R_L\)，

\[ I_p = \frac{V_s^2}{V_pR_L} \]

因此，

\[ R_{\text{in}} = \frac{V_p}{I_p} = \frac{V_p^2R_L}{V_s^2} \]

由于

\[ \frac{V_p}{V_s} = \frac{N_p}{N_s} \]

可得

\[ R_{\text{in}} = \left(\frac{N_p}{N_s}\right)^2R_L \]

对这个变压器而言，

\[ R_{\text{in}} = \left(\frac{1}{10}\right)^2(4800) = 48\ \Omega \]

困难的部分是如何解读这个结果。

那个 \(4800\ \Omega\) 电阻器本身并没有变成一个 \(48\ \Omega\) 电阻器。如果把它拆下并量度其电阻，它仍然会是 \(4800\ \Omega\)。

真正发生的是，变压器改变了一次侧电源所看到的电压与电流之间的关系。从电源的角度看，在 \(240\text{ V}\) 下抽取 \(5.0\text{ A}\)，所对应的 \(V/I\) 关系与一个 \(48\ \Omega\) 电阻性负载相同。

一个容易走入的思路，是认为理想变压器只是「改变电压」。功率守恒表示，它也必须改变电源所提供的电流。这就是为甚么一侧的负载，从另一侧看起来可以具有不同的有效电阻。

题目 5

一个理想变压器接到一个理想 \(240\text{ V}\) 交流电源，其二次侧电压为 \(24\text{ V}\)。

考虑以下三种互相独立的情况。

情况 A： 二次侧端子保持开路。

情况 B： 一个 \(6.0\ \Omega\) 电阻器接在二次侧两端。

情况 C： 二次侧端子使用一条电阻为零的理想导线直接连接在一起。

对每种情况，判断理想模型对二次侧电流和一次侧电流的预测。

然后解释为甚么情况 C 不存在有限的稳态电流，以及为甚么这并不代表能量守恒失效。

假设采用标准理想变压器模型，包括零内部电阻和理想一次侧电压源。

解答 5

情况 A 的二次侧电流以及由负载引起的一次侧电流均为零；情况 B 有 \(I_s=4.0\text{ A}\) 和 \(I_p=0.40\text{ A}\)；而在题目所述的理想模型中，情况 C 不存在有限的稳态电流。

在情况 A 中，二次侧为开路。

二次侧仍然有

\[ V_s=24\text{ V} \]

的电压，但由于没有封闭电路，

\[ I_s=0 \]

因此传输到负载的功率为

\[ P_s=V_sI_s=(24)(0)=0 \]

而在理想模型中，相应的由负载引起的一次侧电流同样为零：

\[ I_p=0 \]

这是第一个重要结果：可以存在电压，而没有电流流动或功率输出。

在情况 B 中，

\[ I_s=\frac{V_s}{R} = \frac{24}{6.0} = 4.0\text{ A} \]

输出功率为

\[ P_s=V_sI_s=(24)(4.0)=96\text{ W} \]

所以输入功率同样为

\[ P_p=96\text{ W} \]

以及

\[ I_p=\frac{96}{240}=0.40\text{ A} \]

现在考虑情况 C。

题目指定导线的电阻为零。如果理想变压器仍然在这条零电阻路径两端维持 \(24\text{ V}\)，那么根据欧姆定律，

\[ I_s=\frac{V_s}{R} = \frac{24}{0} \]

这个电流不存在有限数值。

当 \(R\) 趋近于零，而 \(V_s\) 保持固定时，模型所预测的电流会无限增大：

\[ I_s\rightarrow\infty \]

所需的二次侧功率

\[ P_s=V_sI_s \]

同样不存在有限数值，而理想功率守恒将要求一次侧电流也相应地无限增大。

一个很自然的反应是认为这不可能，因为变压器不能创造无限的能量。这个质疑确实指出了一个真实问题，但问题并不在于能量守恒失效。

真正的问题是这一整组理想化假设。

我们同时假设了以下所有条件：

• 一个理想电源，无论电流多大，都能精确维持 \(240\text{ V}\)，
• 一个没有内部电阻或其他损失的理想变压器，以及
• 一个电阻精确等于零的二次侧短路。

这些假设把所有在真实情况下会限制电流的物理效应都移除了。因此，所得模型没有有限的稳态解。

真实变压器确实具有线圈电阻、漏磁效应、电源阻抗，以及其他限制电流的行为。在严重短路时，其端电压也可能下降，而保护装置可能会把电路断开。

所以，情况 C 显示的是理想模型的适用边界。它并没有推翻

\[ P_p=P_s \]

这条规则。

相反，它说明：当模型同时假设一个能提供无限电流的理想电源时，功率守恒本身并不会对功率设定一个固定上限。

这就是 \(V_pI_p=V_sI_s\) 背后更深一层的含义：这条方程保证两侧之间的能量传输守恒，但实际传输多少功率，仍然由完整电路决定。

09由此可以进一步理解甚么

一旦 \(V_pI_p=V_sI_s\) 在物理上变得合理，变压器为甚么在输电中如此有用，也会清楚得多。

对固定的传输功率，提高电压可以使电流降低。由于输电线中的发热损耗会依照 \(P_{\text{loss}}=I^2R\) 的关系强烈取决于电流，因此降低电流可以大幅减少浪费的能量。

所以，电流与功率之间的关系不只是另一条需要背下来的变压器方程。它是连接变压器比值、能量守恒，以及高压输电为甚么有效的桥梁。