馬克士威如何統一電學與磁學

陽光可以穿越約 1 億 5,000 萬公里的近乎真空空間，抵達地球。聲音卻無法做到這一點：如果沒有物質可以振動，聲波就無處傳播。因此，如果光是一種波，到底是什麼在振盪？

只要想起先前的兩項發現，這個問題就會變得更有趣。變化的磁場可以產生電效應。電流可以產生磁場。馬克士威的關鍵一步，是補全兩者之間的關聯：變化的電場也會對磁場有所貢獻。

在繼續之前，先預測一下。如果變化的磁場能夠產生電場，那麼要讓這套理論更具對稱性，應該如何做？變化的電場是否也應該產生磁效應？

答案是肯定的。這個缺失的環節，正是讓電學與磁學從兩個彼此相關的主題，成為一套統一的電磁學理論的關鍵，也使這套理論能夠預測向外傳播的電磁波。

01從較簡單的場模型開始

電場描述的是：在空間中的某一點，一個電荷會受到多大的力。對於處於電場中、電荷量為 \(q\) 的電荷，若電場強度的大小為 \(E\)，則

\[ F_E=qE \]

其中，\(F_E\) 是電力，單位為牛頓（N）；\(q\) 是電荷量，單位為庫侖（C）；\(E\) 是電場強度，單位為每庫侖牛頓（\(\mathrm{N\,C^{-1}}\)）。

磁場的作用方式則有所不同。靜止的電荷不會受到磁力，但在磁場中運動的電荷可能會受到磁力。

對於以速率 \(v\) 穿過磁場、且磁通量密度大小為 \(B\) 的電荷，

\[ F_B=qvB\sin\theta \]

其中，\(F_B\) 是磁力，\(B\) 是磁通量密度，單位為特斯拉（T）；\(\theta\) 是速度方向與磁場方向之間的夾角。

因此，我們可以先建立一個有用的基本模型：

這個模型很有用，但並不完整。

它把電場與磁場視為兩種可以各自獨立存在的場。當場開始變化時，真正有趣的物理才開始。

02法拉第揭示了兩者關聯的一半

想像一個線圈連接著靈敏的電壓計。將一根條形磁鐵靜止地放在線圈內。你預期電壓計會顯示什麼？

零。

現在將磁鐵拉出線圈。穿過線圈的磁場發生變化，而電壓計則會測得感應電動勢。

這裡的重要物理量是磁通量 \(\Phi_B\)：粗略來說，它表示有多少磁場穿過某個面積。法拉第定律可以寫成

\[ \mathcal{E}=-N\frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t} \]

其中，\(\mathcal{E}\) 是感應電動勢，單位為伏特（V）；\(N\) 是線圈的匝數；\(\Delta\Phi_B\) 是磁通量的變化量，單位為韋伯（Wb）；\(\Delta t\) 是時間間隔，單位為秒（s）。

負號代表楞次定律：感應效應的方向會反抗造成它的變化。

這條定律背後還有一個更深層的概念，而這個概念並不只與導線有關。

變化的磁場並不只是「推動電子穿過線圈」。更根本的說法是，變化的磁場會在周圍空間產生環繞的電場。導線只是為電荷提供了一條明顯的路徑，讓電場能夠推動電荷沿著路徑移動。

因此，法拉第已經確立了這種關聯的一個方向：

變化的磁場 \(\rightarrow\) 感應電場

那麼，反過來的情況也會發生嗎？

03充電中的電容器揭示了缺失的環節

考慮一個電容器：兩塊導電極板之間隔著一個絕緣間隙。

將它接入電路。電流沿著導線流向其中一塊極板。電子在一塊極板上累積，同時從另一塊極板離開。兩板之間的電場逐漸增強。

但是，在理想化的情況下，電荷不會透過絕緣間隙傳導。

現在，想像一個環繞著電容器前方導線的圓形閉合迴路。

安培最初提出的定律，將電流與其周圍環繞的磁場聯繫起來。對於一條長直導線，

\[ B(2\pi r)=\mu_0 I \]

其中，\(B\) 是距離導線 \(r\) 處的磁場，\(I\) 是電流，而 \(\mu_0\) 是真空磁導率。

問題來了。

想像將一層看不見的肥皂膜張在這個圓形迴路上。如果肥皂膜穿過導線，就會有電流 \(I\) 穿過這個面，因此安培定律會預測存在磁場。

現在，改變這層想像中的肥皂膜形狀，讓它在電容器兩塊極板之間鼓起，而不穿過導線。沒有傳導電流穿過這第二個面。

難道同一個迴路的磁場就會突然變成 \(B=0\) 嗎？

不可能。某一點的磁場，不可能取決於你選擇畫出哪一個想像中的面。

當然，這層肥皂膜只是用來輔助分析的工具。它的作用在於揭示舊有定律中的矛盾。

馬克士威修正這個問題的方式，是認識到電容器兩板之間不斷增強的電場，也必須對周圍的磁場有所貢獻。

他引入了如今稱為位移電流的概念：

\[ I_d=\epsilon_0\frac{\Delta\Phi_E}{\Delta t} \]

對於平均變化率，這裡的 \(I_d\) 是位移電流，\(\epsilon_0\) 是真空介電常數，而 \(\Phi_E\) 是電通量。

儘管名稱中有「電流」二字，但這並不是一般電荷穿過間隙所形成的電流。在理想電容器中，並沒有微小的電子偷偷跨越間隙。變化的電場在磁場方程式中扮演了所需的角色。

現代形式的安培－馬克士威定律可以簡潔地寫成

\[ \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0\left( I_{\text{cond}} + \epsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt} \right) \]

左側表示沿著閉合路徑對磁場進行積分。\(I_{\text{cond}}\) 是穿過所選曲面的普通傳導電流，而第二項則計入電通量隨時間的變化。

對於正在充電的理想電容器，兩板之間的位移電流貢獻，與導線中的傳導電流相等。原本的矛盾因此消失。

馬克士威補上了兩者關聯的另一半：

變化的電通量 \(\rightarrow\) 磁場

04「統一」究竟代表什麼？

聽到「馬克士威統一了電學與磁學」，人們很容易得出一個結論：電場不可能在沒有磁場的情況下存在。

這是不正確的。

一個靜止的帶電物體，可以在自身的靜止參考系中具有靜電場，而不具有磁場。靜態磁場也不需要旁邊一定存在變化的電場。

電場與磁場並不是一對形影不離、每次都必須一起出現的搭檔。

所謂的統一，是指將它們的來源與變化聯繫起來的定律彼此相通。

最後一列才是重點。

05相互關聯的場如何形成傳播中的波

遠離電荷與電流。假設電場中的某個擾動抵達一片空無一物的空間。

馬克士威方程組指出，電場的變化與磁場的分布有關，而磁場的變化又與電場的分布相互關聯。

結果可能形成一種傳播解：電磁波。

這並不表示某一點的電場會神奇地在同一點產生磁場，然後磁場又在同一點產生電場，形成一個小小的因果循環。馬克士威方程組描述的是場如何隨空間位置與時間共同變化。

真正傳播的是整個場的分布模式。

對於真空中的理想平面電磁波：

• 電場 \(\mathbf E\) 與磁場 \(\mathbf B\) 互相垂直
• 兩個場都與傳播方向垂直
• \(E\) 與 \(B\) 同相振盪
• 波以速率 \(c\) 傳播
• 這些場將能量傳遞到空間中

對於場的振幅，

\[ E_0=cB_0 \]

其中，\(E_0\) 是電場的最大值，\(B_0\) 是磁場的最大值，而 \(c\) 是光速。

請注意，\(E_0\) 與 \(B_0\) 的數值並不相等。它們的單位不同，兩者的關係式中包含了 \(c\)。

範例：馬克士威預測波速

已知 \(\mu_0=1.2566\times10^{-6}\ \mathrm{N\,A^{-2}}\) 以及以 SI 單位表示的 \(\epsilon_0=8.854\times10^{-12}\)，計算馬克士威電磁理論所預測的真空波速。

步驟 1：使用馬克士威方程組所得到的波速公式。

\[ c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}} \]

這裡，\(\mu_0\) 描述真空場方程式中涉及的磁性質，而 \(\epsilon_0\) 則描述其中的電性質。

步驟 2：代入常數。

\[ c= \frac{1} {\sqrt{ (1.2566\times10^{-6}) (8.854\times10^{-12}) }} \]

步驟 3：計算乘積與平方根。

\[ c= \frac{1} {\sqrt{1.1126\times10^{-17}}} = \frac{1}{3.3356\times10^{-9}} \]

步驟 4：計算波速。

\[ c=2.998\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}} \]

這就是光在真空中的速率。

這個結果正是馬克士威論證的核心。原本出現在看似彼此獨立的電學與磁學實驗中的常數，竟然得出了已知的光速。

因此，光並不是一種完全不同的現象。它可以被理解為電磁波。

06為什麼馬克士威的光速預測如此有力？

假設你正在研究電學與磁學，完全沒有打算解釋光學。你寫下電場與磁場的定律，卻發現這些定律允許以如下速率傳播的波：

\[ \frac{1}{\sqrt{\mu_0\epsilon_0}}. \]

你計算出這個數值。

它竟然就是光速。

這遠比單純觀察到電與光有時會相互作用更有說服力。這套理論利用電學與磁學的常數，作出定量預測，而預測結果竟與透過獨立測量得出的光的性質吻合。

因此，馬克士威理論將三個領域聯繫起來：

\[ \text{電學}+\text{磁學}+\text{光} \rightarrow \text{電磁學}. \]

這也意味著，可見光不必是唯一可能存在的電磁波。其他頻率的電磁波也應該存在。

無線電波、微波、紅外線、可見光、紫外線、X 射線與伽馬射線，在根本上並不是不同種類的波。它們只是佔據電磁波譜中不同的頻率與波長範圍。

07天線實際上如何產生這種擾動？

穩定電流可以產生穩定磁場。但這本身並不代表有電磁波向外傳播。

若要有效地輻射電磁波，電荷就必須加速。

在發射天線中，電荷會被驅動著來回移動。當電荷分布發生變化時，天線周圍的電場也會隨之改變。變化的電流同樣會使磁場發生變化。

這些變化中的場分布會向外傳播。

如果電荷以頻率 \(f\) 振盪，所發射的電磁波也具有相同的頻率。在真空中，

\[ c=f\lambda \]

其中，\(c\) 是波速，單位為 \(\mathrm{m\,s^{-1}}\)；\(f\) 是頻率，單位為赫茲（Hz）；\(\lambda\) 是波長，單位為公尺（m）。

在真實天線附近，電場與磁場可能遠比教科書中的整齊波形複雜。距離波源足夠遠時，使用傳播波模型就會更加有用。

範例：無線電波中相互關聯的場

一個發射器在真空中產生頻率為 \(100\ \mathrm{MHz}\) 的電磁波。其最大電場強度為 \(120\ \mathrm{N\,C^{-1}}\)。在某一瞬間，波向東傳播，而電場指向北方。

計算波長與最大磁場強度，並指出該瞬間磁場的方向。

步驟 1：將頻率換算成赫茲。

\[ 100\ \mathrm{MHz} = 100\times10^6\ \mathrm{Hz} = 1.00\times10^8\ \mathrm{Hz} \]

步驟 2：使用 \(c=f\lambda\)。

\[ \lambda=\frac{c}{f} = \frac{3.00\times10^8} {1.00\times10^8} = 3.00\ \mathrm{m} \]

因此，波中相鄰的相同相位點相距 \(3.00\ \mathrm{m}\)。

步驟 3：使用電場與磁場振幅之間的關係。

\[ E_0=cB_0 \]

因此，

\[ B_0=\frac{E_0}{c} = \frac{120} {3.00\times10^8} = 4.00\times10^{-7}\ \mathrm{T} \]

步驟 4：判斷磁場的方向。

對於電磁波，傳播方向由 \(\mathbf E\times\mathbf B\) 的方向決定。

電場指向北方，而波向東傳播，因此磁場必須垂直向上。

經過半個週期後，兩個場都會反向：\(E\) 指向南方，而 \(B\) 指向下方。它們的叉積仍然指向東方。

這是一個重要的細節。兩個場會一起反向，因此波不會每隔半個週期就改變傳播方向。

08最容易令人誤解的圖像：相差四分之一個週期

學生經常會這樣推理：

「變化的電場會產生磁場。因此，當電場變化最快時，磁場應該最大。所以 \(E\) 與 \(B\) 應該相差 \(90^\circ\)。」

這個說法聽起來很合理，因為它把兩者的關係視為

\[ B\propto\frac{dE}{dt}. \]

但馬克士威方程組並不是這樣說的。

它們將一個場的空間變化與另一個場的時間變化聯繫起來。傳播中的波同時取決於這兩者。

對於沿 \(+x\) 方向傳播的正弦平面波，一種合適的表示方式是

\[ E_y=E_0\cos(kx-\omega t) \]

以及

\[ B_z=B_0\cos(kx-\omega t), \]

其中，\(k\) 描述相位隨位置變化的快慢，而 \(\omega\) 描述相位隨時間變化的快慢。

兩個餘弦因子完全相同，因此兩個場是同相的。

在某個特定位置，當 \(E\) 達到最大值時，它的瞬時變化率為零。這並不代表磁場必須消失。這只表示學生混淆了場的數值，以及場方程式中出現的某個導數。

傳播中的波是分布在空間中的模式，而不是兩個局部數值輪流產生對方。

09另一個迷思：這些場會自行產生能量

如果每個變化中的場都能幫助維持另一個場，聽起來就好像波能夠永遠產生自己的能量。

事實並非如此。

能量來自最初使電荷加速的來源。發射天線從電源取得電能，並將其中一部分能量傳遞到電磁場中。

波一旦發射，就會將這些能量向外傳送。

對於從波源向外擴散的球面波，能量會分布在逐漸增大的面積上，因此場的振幅通常會隨距離增加而減小。馬克士威的耦合定律描述的是場如何傳播，而不是一台能夠創造能量的機器。

物理學仍然令人遺憾地不支持免費取得電力。

10請記住這個概念

你不需要將馬克士威的統一簡化成「電會產生磁」。

更好的理解方式是以下這條推理鏈：

\[ \text{電荷與電流產生場} \]

\[ \text{變化的磁場與電場相互關聯} \]

\[ \text{變化的電場與磁場相互關聯} \]

\[ \text{耦合的場方程組允許波的存在} \]

\[ \text{預測的波速為 }c \]

\[ \therefore\text{ 光是電磁波。} \]

這就是值得掌握的思考模型。

11問題與解答

問題 1

一個帶正電的導體球被靜止地放置在實驗室中。

一名學生說：「馬克士威統一了電學與磁學，所以這個球一定同時產生電場與磁場。」

這名學生的結論正確嗎？請解釋馬克士威的統一實際上要求什麼。

解答 1

不正確。這個靜止的帶電球可以產生靜電場，而在其自身的靜止參考系中不產生磁場。

球帶有電荷，因此會在周圍產生電場。由於電荷分布是靜止的，這個球不具有相應的普通電流，因此並不要求其靜電場一定要伴隨磁場。

最容易犯的錯誤，是將「統一」理解成「總是同時存在」。

馬克士威的統一概念更加精確。電場與磁場遵循一套彼此相連的定律。具體而言，變化的磁場與電場相互關聯，而變化的電通量會對磁場有所貢獻。

電磁波是變化的電場與磁場一起傳播的一個重要例子。靜止的帶電球則不是電磁波。

問題 2

一個理想的平行板電容器，其極板面積為

\[ A=2.0\times10^{-2}\ \mathrm{m^2}. \]

在充電過程中，兩塊極板之間的電場以固定速率增強：

\[ \frac{\Delta E}{\Delta t} = 1.5\times10^{12}\ \mathrm{V\,m^{-1}\,s^{-1}}. \]

使用以 SI 單位表示的

\[ \epsilon_0=8.85\times10^{-12}. \]

假設極板之間的電場均勻，且極板外部的電場可以忽略。

使用下式計算位移電流：

\[ I_d=\epsilon_0 A\frac{\Delta E}{\Delta t}. \]

接著指出導線中的傳導電流，並解釋為什麼這不代表電荷正在穿過絕緣間隙傳導。

解答 2

位移電流為 \(0.266\ \mathrm{A}\)，因此理想情況下，連接導線中的傳導電流也為 \(0.266\ \mathrm{A}\)；這並不要求電荷穿過電容器的間隙。

由於電場均勻且垂直於極板，穿過其中一塊極板的電通量為 \(\Phi_E=EA\)。

因此，

\[ I_d = \epsilon_0 A\frac{\Delta E}{\Delta t}. \]

代入數值，

\[ \begin{aligned} I_d &= (8.85\times10^{-12}) (2.0\times10^{-2}) (1.5\times10^{12})\\ &=0.2655\ \mathrm{A}\\ &\approx0.266\ \mathrm{A}. \end{aligned} \]

對於理想的充電電容器，

\[ I_{\text{wire}}=I_d, \]

所以

\[ I_{\text{wire}}\approx0.266\ \mathrm{A}. \]

容易令人誤解的地方，是認為「位移電流」必然表示電荷以 \(0.266\ \mathrm{C\,s^{-1}}\) 的速率穿過間隙。

事實並非如此。普通傳導電流流向極板，使儲存在極板上的電荷發生變化。這些電荷的變化會改變極板之間的電場。

馬克士威的位移電流項，正是為了在磁場定律中計入這種變化的電通量。無論想像中的曲面穿過導電線，還是穿過電容器的間隙，都會得到相同的磁場預測。

這種一致性，正是這項修正的全部意義。

問題 3

一個發射器在真空中產生頻率為 \(120\ \mathrm{MHz}\) 的連續電磁波。

兩個偵測器 A 與 B 位於發射器外同一直線上。B 比 A 距離發射器遠 \(15.0\ \mathrm{m}\)。

A 與 B 所記錄的正弦訊號恰好同相。

一名學生認為，這證明兩個偵測器會同時對發射器作出反應。

請計算：

• 輻射的波長
• 分隔 A 與 B 的波長數目
• 突然加入的調變脈衝抵達 B 的時間，比抵達 A 晚多少

然後解釋為什麼這名學生的理解有誤。

解答 3

波長為 \(2.50\ \mathrm{m}\)，兩個偵測器之間恰好相隔六個波長，而新的調變訊號抵達 B 的時間，比抵達 A 晚 \(50.0\ \mathrm{ns}\)。因此，即使電磁影響並非瞬間傳播，兩個偵測器所記錄的訊號仍然可以同相。

首先，將頻率換算為赫茲：

\[ f=120\ \mathrm{MHz} = 1.20\times10^8\ \mathrm{Hz}. \]

使用

\[ c=f\lambda, \]

可得

\[ \lambda = \frac{c}{f} = \frac{3.00\times10^8} {1.20\times10^8} = 2.50\ \mathrm{m}. \]

兩個偵測器之間相隔的波長數目為

\[ \frac{15.0}{2.50}=6.00. \]

因此，偵測器 B 沿著傳播方向，恰好比 A 遠六個波長。

相隔一個完整波長，相當於相位差 \(360^\circ\)。相隔六個波長則相當於

\[ 6(360^\circ)=2160^\circ, \]

這相當於淨相位差 \(0^\circ\)。

這就解釋了為什麼連續的正弦訊號看起來可以同相。

接著計算傳播延遲：

\[ \Delta t = \frac{\Delta x}{c} = \frac{15.0} {3.00\times10^8} = 5.00\times10^{-8}\ \mathrm{s}. \]

因此，

\[ \Delta t=50.0\ \mathrm{ns}. \]

容易犯的錯誤，是把「相位相同」當成「發生時間相同」的證據。

相位無法告訴你兩個位置之間相隔多少個完整週期。B 可以比 A 落後整整六個波長，卻仍然具有完全相同的瞬時場方向。

如果傳送訊號突然發生變化，就能看出實際的傳播時間：這個變化會先抵達 A，再於 \(50.0\ \mathrm{ns}\) 後抵達 B。

馬克士威所描述的場是以有限速率傳播的。

問題 4

一個理想的平面電磁波在真空中沿 \(+x\) 方向傳播。在某個特定位置與瞬間：

• 電場指向 \(+y\) 方向
• \(E=240\ \mathrm{N\,C^{-1}}\)
• 一個質子以 \(0.75c\) 的速率沿 \(+x\) 方向運動

使用 \(q_p=1.60\times10^{-19}\ \mathrm{C}\) 以及 \(E=cB\)。

請求出：

• 磁場的大小與方向
• 質子受到的電力
• 質子受到的磁力
• 該瞬間的合電磁力

接著，求出如果同一個質子改為以 \(0.75c\) 的速率沿 \(-x\) 方向運動時，所受到的合力。

最後，一名學生聲稱，同向傳播的質子只要移動得夠快，就能使電力與磁力完全抵消。請評估這個說法。

解答 4

對於以 \(0.75c\) 的速率與波同向運動的質子，磁力會抵消部分電力，因此合力為 \(9.6\times10^{-18}\ \mathrm{N}\)，方向為 \(+y\)。若質子逆著波的傳播方向運動，兩個力就會相加。同向運動的質子若要使兩個力完全抵消，就必須達到 \(v=c\)，但質子無法達到這個速率。

首先，求磁場。

對於平面電磁波，

\[ E=cB, \]

所以

\[ B=\frac{E}{c}. \]

代入數值，

\[ B = \frac{240} {3.00\times10^8} = 8.00\times10^{-7}\ \mathrm{T}. \]

波沿 \(+x\) 方向傳播，而 \(\mathbf E\) 指向 \(+y\)。磁場必須指向 \(+z\)，因為

\[ \mathbf E\times\mathbf B \]

必須指向波的傳播方向。

電力為

\[ F_E=qE. \]

因此，

\[ F_E = (1.60\times10^{-19})(240) = 3.84\times10^{-17}\ \mathrm{N}. \]

由於質子帶正電，這個力指向 \(+y\)。

對於沿 \(+x\) 方向運動的質子，

\[ F_B=qvB \]

因為速度方向與磁場方向互相垂直。

使用 \(v=0.75c\)，

\[ \begin{aligned} F_B &= q(0.75c)\left(\frac{E}{c}\right)\\ &=0.75qE\\ &=0.75(3.84\times10^{-17})\\ &=2.88\times10^{-17}\ \mathrm{N}. \end{aligned} \]

磁力的方向由 \(\mathbf v\times\mathbf B\) 決定。

在這裡，

\[ (+x)\times(+z)=-y, \]

因此磁力指向 \(-y\)。

所以兩個力方向相反：

\[ F_{\text{net}} = F_E-F_B. \]

因此，

\[ \begin{aligned} F_{\text{net}} &= 3.84\times10^{-17} - 2.88\times10^{-17}\\ &= 9.6\times10^{-18}\ \mathrm{N}. \end{aligned} \]

合力指向 \(+y\)。

現在，反轉質子的速度方向。

當質子沿 \(-x\) 方向運動時，

\[ (-x)\times(+z)=+y. \]

此時磁力與電力方向相同。

磁力的大小仍然是 \(2.88\times10^{-17}\ \mathrm{N}\)，所以

\[ \begin{aligned} F_{\text{net}} &= 3.84\times10^{-17} + 2.88\times10^{-17}\\ &= 6.72\times10^{-17}\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

方向為 \(+y\)。

學生最後的想法，其實包含一段有意思而且正確的代數推導。

對於與波同向運動的質子，

\[ F_{\text{net}}=qE-qvB. \]

由於 \(B=E/c\)，

\[ F_{\text{net}} = qE\left(1-\frac{v}{c}\right). \]

如果兩個力要互相抵消，就必須滿足

\[ 1-\frac{v}{c}=0, \]

因此

\[ v=c. \]

然而，質子具有非零靜止質量，不可能被加速至光速。

更深層的陷阱，是假設既然電場與磁場屬於同一個電磁波，它們對運動電荷所施加的力就必須指向相同方向。磁力除了取決於磁場，也取決於電荷的速度。即使電磁波本身完全不變，只要改變粒子的運動方向，磁力的方向就可能改變。

問題 5

兩名學生正嘗試畫出一個在真空中沿 \(+x\) 方向傳播的理想正弦電磁波。

兩人都使用

\[ E_y=E_0\cos(kx-\omega t). \]

學生 A 認為：

「磁場是由變化的電場產生的。因此，當電場變化最快時，磁場應該最大。」

所以 A 提出

\[ B_z=B_0\sin(kx-\omega t), \]

讓兩個場的相位相差四分之一個週期。

學生 B 則提出

\[ B_z=B_0\cos(kx-\omega t), \]

認為兩個場應該同相。

請判斷哪一名學生提出了正確的傳播波模型。

接著，解釋這個看似矛盾的情況：在電場達到最大值的位置與瞬間，其對時間的瞬時變化率為零。如果磁場真的取決於變化中的電場，為什麼磁場也可以同時達到最大值，而不是變成零？

最後，你的結論是否代表所有可能的電場與磁場分布，都必須永遠保持 \(E\) 與 \(B\) 同相？

解答 5

學生 B 提出了正確的模型，適用於在真空中傳播的理想平面電磁波：電場與磁場同相。這個看似矛盾的情況之所以能夠解決，是因為馬克士威方程組並沒有說磁場強度與電場強度在該位置的時間導數成正比。這些方程式將空間與時間中的變化聯繫起來。此外，同相的結果也不適用於所有可能的電磁場分布。

對於這個傳播波，

\[ E_y=E_0\cos(kx-\omega t) \]

以及

\[ B_z=B_0\cos(kx-\omega t), \]

其中

\[ E_0=cB_0. \]

因此，兩個場會同時達到正向最大值、同時通過零點、同時達到負向最大值，也會同時反向。

學生 A 的推理很容易令人信服，因為「變化的電場會產生磁場」這句話，聽起來就像以下這種簡單關係：

\[ B\propto\frac{\partial E}{\partial t}. \]

如果這真的是馬克士威定律，那麼學生 A 所提出的四分之一週期相位差就有道理。

但事實並非如此。

馬克士威方程組將一個場的時間變化，與另一個場在不同位置之間如何變化聯繫起來。在傳播波中，空間結構與時間結構透過傳播相位

\[ kx-\omega t \]

相互關聯。

如果只觀察某個孤立位置上的時間變化，卻忽略周圍的場分布，就無法正確分析這個波。

現在考慮電場達到最大值的情況。

對於餘弦波，在最大值處，其瞬時時間導數為零。這是一般正弦振盪的正常行為：任何平滑振盪的量，在到達峰值並準備反向變化時，其瞬時斜率都會是零。

磁場可以同時達到自身的最大值，因為馬克士威方程組從未要求在

\[ \frac{\partial E}{\partial t}=0 \]

時，

\[ B=0 \]

也必須成立。

場的數值與這個數值變化的速率，是不同的物理量。

一個有用的比較是將物體垂直向上拋出。在物體到達最高點的瞬間，它的瞬時速度為零。這並不代表重力消失，也不代表整個運動永遠停止。這個零值描述的是某個瞬間的變化率，而不是完整的物理狀態。

如果將這個類比延伸得太遠，就會失去其準確性，因為電磁波是分布在空間中的場，而不是一個拋射物。這個類比真正要說明的只有一點：「此刻的變化率為零」並不代表「某個東西不存在」，也不代表「接下來不會再發生任何事」。

最後，\(E\) 與 \(B\) 同相，是這裡所討論的理想傳播平面波的一項性質。這並不是說任何地方、任何情況下的電場與磁場，都必須具有相同的相位。靜態場、複雜波源附近的場，以及駐波配置，都不一定會像單一傳播平面波那樣運作。

這個區分正是理解馬克士威統一理論的關鍵。這套理論並沒有給你一句口號，聲稱電學與磁學總是彼此模仿。它提供的是一組精確關係，用來描述電場與磁場如何在空間與時間中相互關聯。

當這些關係預測出普遍的電磁波速 \(c\) 之後，下一個問題便無可避免地出現：當觀察者本身在運動時，測得的波速會發生什麼變化？沿著這個問題繼續探索，就會直接從馬克士威電磁學進入狹義相對論。