HSC 物理：牛頓萬有引力定律

學習如何將牛頓萬有引力定律應用於兩個物體之間的相互作用，包括中心到中心的距離、反平方關係、作用力與加速度。

2026年10月24日 7 分鐘閱讀

一顆質量為 \(1000\ \mathrm{kg}\) 的衛星位於地球表面上方 \(400\ \mathrm{km}\)。如果牛頓萬有引力定律中包含距離 \(r\)，你應該使用 \(400\ \mathrm{km}\)，還是地球中心到衛星的距離？

使用 \(400\ \mathrm{km}\) 會得到約 \(2.49\times10^6\ \mathrm{N}\) 的重力。這會使衛星產生接近 \(2500\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) 的加速度，顯然與近地表的重力情況不符。公式沒有問題，錯的是距離。

在重力問題中，\(r\) 是兩個質量中心之間的距離。一顆位於地球表面上方 \(400\ \mathrm{km}\) 的衛星，距離地球中心約為 \(6370+400=6770\ \mathrm{km}\)。只要掌握這個細節，就能避免套用這條定律時很大一部分的錯誤。

在開始計算之前，還有另一個值得先預測的結果。地球的質量遠遠大於衛星的質量。因此，地球對衛星的引力是否比衛星對地球的引力更大？

不是。兩者所受的重力大小完全相同，真正不同的是各物體的加速度。

01重力是兩個質量之間的相互作用

想像兩個人各自坐在有輪子的辦公椅上，分別拉住一條繩子的兩端。繩子對兩個人施加的力大小相同。較輕的人會產生較大的加速度，因此看起來可能像是他「被拉得更用力」，但實際上並非如此。相同的力會產生不同的加速度，是因為兩人的質量不同。

重力的作用方式也很類似。兩個質量會以大小相等、方向相反的力互相吸引。小型衛星會明顯地朝地球加速。地球也會朝衛星加速，但由於地球的質量極大，其加速度非常微小。

這個類比有一個重要的限制：重力並不需要實體繩子，也不需要物體彼此接觸。此外，重力的大小也會隨著兩個質量之間的距離而改變。

兩個質量分別為 M 和 m 的球體，相距中心到中心的距離 r，並以大小相等、彼此相向的重力箭頭表示。 — 每個質量都會對另一個質量施加重力，兩個力的大小相等，方向沿著連接兩者中心的直線，分別指向對方。

牛頓萬有引力定律給出重力的大小：

\[ F_g=\frac{GMm}{r^2} \]

其中：

符號	意義	SI 單位
\(F_g\)	兩個質量之間的重力大小	牛頓，\(\mathrm{N}\)
\(G\)	萬有引力常數，\(6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}\)	\(\mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}\)
\(M\)	其中一個物體的質量	公斤，\(\mathrm{kg}\)
\(m\)	另一個物體的質量	公斤，\(\mathrm{kg}\)
\(r\)	兩個物體中心之間的距離	公尺，\(\mathrm{m}\)

字母 \(M\) 和 \(m\) 並不是分別代表「施加拉力的物體」和「被拉動的物體」。重力是一種相互作用。交換 \(M\) 和 \(m\) 不會改變公式，因為乘積 \(Mm\) 保持不變。

這個公式給出的是力的大小。力的方向沿著連接兩個中心的直線，指向另一個質量。

02在使用計算機之前，先正確找出 \(r\)

對於一顆位於半徑為 \(R\) 的球形行星表面上方、高度為 \(h\) 的衛星，

\[ r=R+h \]

而不是 \(r=h\)。

地球與一顆衛星的示意圖，地球半徑為 R，衛星距離地球表面的高度為 h，而兩者中心之間的距離 r 等於 R 加 h。 — 進行重力計算時，距離應從地球中心量起：r = R + h。

對於開頭問題中的衛星，

\[ \begin{aligned} r&=6.37\times10^6+4.00\times10^5\\ &=6.77\times10^6\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

地球的半徑也是兩者之間距離的一部分。

從根本上說，牛頓的公式是一條適用於點質量的定律。不過，對於球對稱的物體，以及位於其外部的另一個物體，前者的引力作用與假設其全部質量集中在中心時完全相同。這就是為什麼 HSC 物理題目可以使用地球中心來套用這條定律。

對於彼此非常接近的不規則延展物體，將全部質量視為集中在一個點上，可能並不完全準確。HSC 題目通常會提供適合使用點質量模型或球形物體模型的情境。

03反平方關係才是最值得注意的部分

質量直接出現在分子中：

\[ F_g\propto Mm \]

因此，如果其中一個質量加倍，而其他條件保持不變，重力就會加倍。如果兩個質量都加倍，重力就會變成原來的四倍。

距離的影響則不同：

\[ F_g\propto\frac{1}{r^2} \]

繼續閱讀之前，先預測一下：如果兩者之間的距離加倍，會發生什麼事？

重力不會減半，而是變成原來的四分之一，因為

\[ \frac{1}{(2r)^2}=\frac{1}{4r^2} \]

以下是一些有用的變化關係：

變化	新的重力大小
其中一個質量加倍	\(2F\)
兩個質量都加倍	\(4F\)
距離加倍	\(F/4\)
距離變成三倍	\(F/9\)
距離減半	\(4F\)

比較兩種情況時，使用比值通常比各自計算兩個很大的力更簡潔。

如果 \(F_1\) 是原來的力，而 \(F_2\) 是新的力，

\[ \frac{F_2}{F_1} = \frac{M_2m_2}{M_1m_1} \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \]

這裡的下標 1 和 2 分別代表第一種和第二種情況。由於兩種情況中的常數 \(G\) 相同，因此在比值中會消去。

計算示例：衛星所受的重力

一顆質量為 \(1000\ \mathrm{kg}\) 的衛星在地球表面上方 \(400\ \mathrm{km}\) 處運行。取地球質量為 \(5.97\times10^{24}\ \mathrm{kg}\)，半徑為 \(6.37\times10^6\ \mathrm{m}\)。計算衛星所受的重力。

步驟 1

首先，必須將高度換算成公尺：

\[ 400\ \mathrm{km}=4.00\times10^5\ \mathrm{m} \]

因此，

\[ \begin{aligned} r&=6.37\times10^6+4.00\times10^5\\ &=6.77\times10^6\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

步驟 2

\[ \begin{aligned} F_g &=\frac{GMm}{r^2}\\ &=\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(1000)} {(6.77\times10^6)^2}\\ &=8.69\times10^3\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

步驟 3

衛星所受的重力約為

\[ F_g=8.69\times10^3\ \mathrm{N} \]

方向指向地球中心。

將這個力除以衛星的質量，可得約 \(8.69\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) 的加速度。這比地球表面常見的 \(9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}\) 小，因為衛星距離地球中心更遠。

計算示例：兩顆小行星都會加速

小行星 A 的質量為 \(2.0\times10^{12}\ \mathrm{kg}\)，小行星 B 的質量為 \(8.0\times10^{12}\ \mathrm{kg}\)。兩者的中心相距 \(10.0\ \mathrm{km}\)。計算它們之間的重力，以及每顆小行星的加速度。

步驟 1

\[ r=10.0\ \mathrm{km}=1.00\times10^4\ \mathrm{m} \]

步驟 2

\[ \begin{aligned} F_g &=\frac{GM_Am_B}{r^2}\\ &=\frac{(6.67\times10^{-11})(2.0\times10^{12})(8.0\times10^{12})} {(1.00\times10^4)^2}\\ &=1.07\times10^7\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

每顆小行星所受的力都是 \(1.07\times10^7\ \mathrm{N}\)，方向均指向另一顆小行星。

步驟 3

\[ \begin{aligned} a_A &=\frac{F_g}{m_A}\\ &=\frac{1.07\times10^7}{2.0\times10^{12}}\\ &=5.34\times10^{-6}\ \mathrm{m\,s^{-2}} \end{aligned} \]

步驟 4

\[ \begin{aligned} a_B &=\frac{F_g}{m_B}\\ &=\frac{1.07\times10^7}{8.0\times10^{12}}\\ &=1.33\times10^{-6}\ \mathrm{m\,s^{-2}} \end{aligned} \]

兩顆小行星所受的力大小相等，但加速度並不相等。

小行星 A 的質量只有小行星 B 的四分之一，因此相同的力會使 A 產生四倍大的加速度。

04最容易產生的誤解：質量較大的物體會受到較大的力

假設有一個質量為 \(1\ \mathrm{kg}\) 的物體受到地球吸引。

人們很容易認為，地球的質量極大，因此地球對這個物體施加的力很大，而這個物體對地球施加的力卻很小。這種想法聽起來合理，因為我們看得到小物體下落，卻看不出地球在移動。

然而，牛頓第三定律要求相互作用中的兩個力大小相等：

\[ F_{\text{地球對物體的作用力}} = F_{\text{物體對地球的作用力}} \]

牛頓萬有引力定律也給出相同的結論。無論考慮哪一個方向，力的大小都是

\[ F_g=\frac{GM_{\text{地球}}m}{r^2} \]

真正改變的是加速度：

\[ a=\frac{F}{m} \]

小物體的質量與地球相比非常小，因此它的加速度大得多。

一個實用的判斷原則是：

比較力時，使用牛頓第三定律：兩個力的大小相等。
比較加速度時，使用 \(a=F/m\)：質量較小的物體加速度較大。

不要將這兩個問題混為一談。

05解答重力問題的可靠方法

在代入數值之前，先做出四個判斷。

確認互相作用的兩個質量。
找出兩者中心之間的距離 \(r\)，並以公尺表示。
判斷你需要求出重力的實際大小，還是只需要比較兩種情況。若只是比較，使用比值可能更快。
求出力之後，說明它的方向，並檢查結果是否符合物理直覺。

即使計算機輸入完全正確，計算結果在物理上仍然可能是錯的。以高度取代中心到中心的距離，就是最典型的例子。

其他常見的錯誤也值得及早避免：

容易犯的錯誤	實際上應該怎麼做
將高度當作 \(r\)	使用中心到中心的距離
距離仍以公里表示	使用 \(G\) 之前，先將距離換算成公尺
將 \(r\) 加倍，便把 \(F\) 減半	將 \(r\) 加倍，會使 \(F\) 變成原來的四分之一
認為較重的物體所受的力較大	兩個相互作用力的大小相等
將 \(F_g\) 當作加速度	若要求加速度，應使用 \(a=F_g/m\)
忘記 \(r\) 要平方	輸入數值之前，先寫出 \(r^2\)

06題目與解答

題目 1

一顆質量為 \(750\ \mathrm{kg}\) 的衛星位於地球表面上方 \(500\ \mathrm{km}\)。使用 \(M_E=5.97\times10^{24}\ \mathrm{kg}\)、\(R_E=6.37\times10^6\ \mathrm{m}\) 和 \(G=6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}\)。

計算地球對衛星施加的重力。

解答 1

重力大小為 \(6.33\times10^3\ \mathrm{N}\)，方向指向地球中心。

關鍵步驟是使用衛星到地球中心的距離，而不是衛星的高度。

將高度換算成公尺：

\[ 500\ \mathrm{km}=5.00\times10^5\ \mathrm{m} \]

因此，

\[ \begin{aligned} r&=6.37\times10^6+5.00\times10^5\\ &=6.87\times10^6\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

接著套用牛頓定律：

\[ \begin{aligned} F_g &=\frac{GM_Em}{r^2}\\ &=\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(750)} {(6.87\times10^6)^2}\\ &=6.33\times10^3\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

最容易犯的錯誤，是將 \(5.00\times10^5\ \mathrm{m}\) 代入 \(r\)。這個數值只是距離地球表面的高度。重力取決於中心到中心的距離。

題目 2

一顆質量為 \(1200\ \mathrm{kg}\) 的衛星，最初位於地球表面上方 \(2.00\times10^6\ \mathrm{m}\)。現在將它沿著遠離地球的方向直接移動，直到它所受的重力恰好變成原來的一半。

使用 \(R_E=6.37\times10^6\ \mathrm{m}\)：

計算最初的重力。
求出衛星到地球中心的新距離。
求出衛星距離地球表面的新高度。

使用 \(M_E=5.97\times10^{24}\ \mathrm{kg}\) 和 \(G=6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}\)。

解答 2

最初的重力為 \(6.82\times10^3\ \mathrm{N}\)。要使重力減半，新的中心到中心距離必須為 \(1.18\times10^7\ \mathrm{m}\)，相當於距離地球表面 \(5.47\times10^6\ \mathrm{m}\) 的高度。

最初，

\[ \begin{aligned} r_1&=6.37\times10^6+2.00\times10^6\\ &=8.37\times10^6\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

因此，

\[ \begin{aligned} F_1 &=\frac{GM_Em}{r_1^2}\\ &=\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(1200)} {(8.37\times10^6)^2}\\ &=6.82\times10^3\ \mathrm{N} \end{aligned} \]

最後的重力是這個數值的一半：

\[ F_2=3.41\times10^3\ \mathrm{N} \]

由於兩個質量都沒有改變，

\[ \frac{F_2}{F_1} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 \]

代入 \(F_2/F_1=1/2\)：

\[ \begin{aligned} \frac{1}{2} &=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2\\ r_2 &=\sqrt{2}\,r_1\\ &=\sqrt{2}(8.37\times10^6)\\ &=1.18\times10^7\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

高度是距離地球表面的距離：

\[ \begin{aligned} h_2 &=r_2-R_E\\ &=1.1837\times10^7-6.37\times10^6\\ &=5.47\times10^6\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

一種容易想到的做法，是因為重力減半，就將距離加倍。如果兩者是反比關係，這樣做是正確的；但重力遵循的是反平方關係。因此，距離只需要增加至原來的 \(\sqrt{2}\) 倍。

題目 3

一個質量為 \(100\ \mathrm{kg}\) 的探測器，放置在地球與月球之間的某個位置，且位於連接兩者中心的直線上。忽略地球和月球的運動，也忽略所有其他引力的影響。

使用以下數值：

地球質量 \(M_E=5.97\times10^{24}\ \mathrm{kg}\)；
月球質量 \(M_M=7.35\times10^{22}\ \mathrm{kg}\)；
地球與月球中心之間的距離 \(d=3.84\times10^8\ \mathrm{m}\)。

找出地球對探測器的重力與月球對探測器的重力大小相等的位置。說明該位置距離地球中心多遠，並解釋為什麼它不在地球與月球的中點。

解答 3

兩個重力大小相等的位置距離地球中心 \(3.46\times10^8\ \mathrm{m}\)，因此探測器距離月球約 \(3.84\times10^7\ \mathrm{m}\)。在這個簡化模型中，兩個方向相反的重力會在該處互相抵消。

令 \(x\) 代表探測器距離地球中心的距離。那麼，它距離月球的距離就是 \(d-x\)。

要使兩個重力的大小相等，

\[ \frac{GM_Em}{x^2} = \frac{GM_Mm}{(d-x)^2} \]

常數 \(G\) 和探測器的質量 \(m\) 可以消去：

\[ \frac{M_E}{x^2} = \frac{M_M}{(d-x)^2} \]

兩邊取正平方根，得到

\[ \frac{x}{d-x} = \sqrt{\frac{M_E}{M_M}} \]

代入質量，

\[ \sqrt{\frac{5.97\times10^{24}}{7.35\times10^{22}}} =9.01 \]

因此，

\[ \begin{aligned} \frac{x}{d-x}&=9.01\\ x&=9.01(d-x)\\ 10.01x&=9.01d\\ x&=0.900d\\ &=3.46\times10^8\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

到月球的剩餘距離為

\[ \begin{aligned} d-x &=3.84\times10^8-3.46\times10^8\\ &\approx3.84\times10^7\ \mathrm{m} \end{aligned} \]

作為檢查，每個重力的大小約為 \(0.333\ \mathrm{N}\)。

人們很容易想到中點，因為在中點，兩個距離會相等。但兩個天體的質量並不相等。地球的質量遠大於月球，因此探測器必須更接近月球，月球較弱的引力才能與地球的引力相匹配。

題目 4

兩個互相隔離的點質量物體從靜止開始運動。物體 A 的質量為 \(M\)，物體 B 的質量為 \(4M\)，兩者最初相距 \(d\)。它們受到的唯一作用力是彼此之間的重力。

在之後的某一時刻，兩者的距離減少至 \(d/2\)。

重力改變了多少倍？
兩個物體的加速度大小之比 \(a_A:a_B\) 是多少？
到達該時刻時，每個物體從起始位置移動了多遠？

解答 4

重力變成原來的四倍，物體 A 的加速度是物體 B 的四倍，而 A 移動了 \(2d/5\)，B 移動了 \(d/10\)。

最初，

\[ F_1=\frac{G(M)(4M)}{d^2} \]

當距離減少至 \(d/2\) 時，

\[ \begin{aligned} F_2 &=\frac{G(M)(4M)}{(d/2)^2}\\ &=4F_1 \end{aligned} \]

因此，重力增加至原來的四倍。

在任何時刻，兩個物體所受的重力大小都相等。因此，

\[ a_A=\frac{F}{M} \]

而

\[ a_B=\frac{F}{4M} \]

所以，

\[ a_A:a_B=4:1 \]

現在考慮它們的運動。由於系統從靜止開始，而且沒有外力作用，系統的總動量保持為零。因此，兩者的動量大小必須滿足

\[ Mv_A=4Mv_B \]

所以

\[ v_A=4v_B \]

這個關係在整個運動過程中都成立。因此，在相同的時間間隔內，物體 A 移動的距離是物體 B 的四倍。

令它們移動的距離分別為 \(x_A\) 和 \(x_B\)。兩者之間的距離由 \(d\) 減少至 \(d/2\)，因此它們合計接近了

\[ x_A+x_B=\frac d2 \]

由於 \(x_A=4x_B\)，

\[ \begin{aligned} 4x_B+x_B&=\frac d2\\ 5x_B&=\frac d2\\ x_B&=\frac d{10} \end{aligned} \]

因此，

\[ x_A=\frac{2d}{5} \]

一個容易犯的錯誤，是認為重力大小相等，就代表兩個物體移動的距離也相等。相同的力不代表相同的加速度。物體 A 的質量只有物體 B 的四分之一，因此它對相同大小的力會產生四倍的加速度。

題目 5

兩個互相隔離的球形物體從靜止釋放。

物體 A 的質量為 \(M\)，半徑為 \(R\)。物體 B 的質量為 \(8M\)，半徑為 \(2R\)。兩者的中心最初相距 \(4R\)。假設兩個物體始終保持球形，而且在它們的表面首次接觸之前，牛頓球形物體引力定律均適用。

一名學生提出以下說法：

當兩個物體互相接近時，\(F_g\propto1/r^2\)，因此在碰撞之前，重力最終會變成初始值的兩倍。

判斷這個說法是否可能成立。接著：

找出首次接觸之前能達到的最大重力，以初始重力的倍數表示。
求出接觸之前每個物體的中心移動了多遠。
比較接觸時兩個物體所受的重力，以及各自的加速度。

解答 5

這個說法不可能成立。兩個物體在重力增至初始值的兩倍之前，就會先接觸。在首次接觸時，重力只有初始值的 \(16/9\)，也就是約 \(1.78\) 倍。物體 A 移動了 \(8R/9\)，物體 B 移動了 \(R/9\)。兩者所受的力大小相等，而 A 的加速度是 B 的八倍。

最初，兩個物體的中心距離為

\[ r_i=4R \]

因此，重力為

\[ \begin{aligned} F_i &=\frac{G(M)(8M)}{(4R)^2}\\ &=\frac{8GM^2}{16R^2}\\ &=\frac12\frac{GM^2}{R^2} \end{aligned} \]

兩個表面接觸時，中心到中心的距離等於兩個半徑之和：

\[ r_c=R+2R=3R \]

因此，接觸時的重力為

\[ F_c=\frac{G(M)(8M)}{(3R)^2} =\frac89\frac{GM^2}{R^2} \]

將它與初始重力比較，

\[ \begin{aligned} \frac{F_c}{F_i} &= \frac{\frac89GM^2/R^2} {\frac12GM^2/R^2}\\ &=\frac{16}{9}\\ &\approx1.78 \end{aligned} \]

因此，兩個物體會在重力增至兩倍之前碰撞。

我們也可以從另一個角度看出這名學生的錯誤。若重力要在兩個質量保持不變的情況下加倍，

\[ 2=\left(\frac{r_i}{r}\right)^2 \]

可得

\[ r=\frac{4R}{\sqrt2}\approx2.83R \]

但兩個物體在 \(r=3R\) 時就會接觸。中心距離 \(2.83R\) 意味著兩個球形物體必須彼此重疊。

反平方定律本身並沒有錯。錯誤在於忽略了物理系統的幾何限制，讓 \(r\) 取到兩個物體碰撞前根本無法達到的數值。

現在求出每個物體中心的移動距離。兩個中心之間的距離由 \(4R\) 減少至 \(3R\)，因此兩個物體合計接近了

\[ R \]

由於相互作用力的大小相等，

\[ a_A=\frac{F}{M} \]

以及

\[ a_B=\frac{F}{8M} \]

因此，

\[ a_A=8a_B \]

兩個物體都從靜止開始，因此在接觸之前，較輕的物體移動的距離是較重物體的八倍。

若兩者移動的距離分別為 \(x_A\) 和 \(x_B\)，

\[ x_A=8x_B \]

而且

\[ x_A+x_B=R \]

因此，

\[ \begin{aligned} 9x_B&=R\\ x_B&=\frac R9 \end{aligned} \]

而

\[ x_A=\frac{8R}{9} \]

在接觸時，牛頓第三定律仍然成立：

\[ F_{\text{A 作用於 B}}=F_{\text{B 作用於 A}} \]

兩個力的大小相等。

但它們的加速度並不相等。由於物體 B 的質量是物體 A 的八倍，