HSC 物理逃逸速度：推導與計算

把球向上拋，重力會把它拉回來。拋得更快，它會飛得更高，但仍然會回來。所以，有一個很有用的問題：是否存在一個足夠高的速度，使物體永遠不會返回，即使重力其實從未消失？

繼續閱讀之前，先做一個預測。正在逃逸的太空船是否需要到達某個重力變成零的距離？

不需要。重力會隨距離增加而減弱，但在任何有限距離上都不會等於零。逃逸速度來自另一個概念：一開始就給物體足夠的動能，使它能爬出重力場，而不會在途中耗盡能量。

01什麼叫做逃逸？

把重力想像成一座延伸得極其遙遠的山坡。靠近行星時，山坡很陡；離得越遠，坡度就越來越平，但並不存在一個突然出現、讓山坡終止的邊緣。

如果物體發射得太慢，它只會爬上一部分高度，逐漸減速，最後可能返回。最低逃逸速率是一種特殊情況：物體可以持續移動到越來越遠的地方，而它的速率只有在距離趨近無限遠時才趨近於零。

這個類比很有用，但也有限制。太空船並不是真的沿著某個表面往上滾。重力「山坡」的「高度」是由重力位能來表示的。

對於一個質量為 \(m\) 的物體，若它距離質量為 \(M\) 的球對稱天體中心 \(r\)，則

\[ U=-\frac{GMm}{r} \]

其中：

• \(U\) 是重力位能，單位為焦耳 J，
• \(G=6.67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}\) 是萬有引力常數，
• \(M\) 是行星或其他中心天體的質量，單位為公斤，
• \(m\) 是太空船或拋射物的質量，單位為公斤，而
• \(r\) 是物體到中心天體中心的距離，單位為公尺。

負號很重要。我們把無限遠處的重力位能定義為零，因此靠近行星的物體具有負的重力位能。

如果這個概念讓你覺得陌生，可以先複習徑向重力場中的重力位能，再繼續往下讀。

02推導逃逸速度方程式

假設一個物體從距離行星中心 \(r\) 的位置開始，以速率 \(v\) 運動。

它的初始機械能為

\[ E_i=\frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r} \]

現在考慮剛好足以逃逸的最低速率。

在距離行星極其遙遠的地方：

• \(r\rightarrow\infty\)，因此重力位能趨近於零，而
• 物體恰好完成逃逸，因此它的速率也趨近於零。

所以，在最低速率的情況下，最終機械能為

\[ E_f=0 \]

由機械能守恆可得

\[ \frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r}=0 \]

重新整理：

\[ \frac{1}{2}mv^2=\frac{GMm}{r} \]

逃逸物體的質量 \(m\) 可以消去：

\[ \frac{1}{2}v^2=\frac{GM}{r} \]

因此

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}} \]

這就是逃逸速度方程式。

更準確地說，\(v_{\text{esc}}\) 常被稱為逃逸速率，因為這個方程式給出的是大小，而不是方向。

03這個方程式真正表示什麼

方程式

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}} \]

包含三個重要概念。

第一，中心天體的質量越大，逃逸速率就越大。較大的 \(M\) 代表更深的重力位能井。

第二，起始距離 \(r\) 越大，逃逸速率就越小。如果你本來就已經離行星很遠，那麼要離開它所需的能量就較少。

第三，逃逸物體本身的質量完全沒有出現在方程式中。

如果從同一位置出發，一個 1 kg 的探測器和一艘 10 000 kg 的太空船需要相同的逃逸速率，前提是忽略空氣阻力、推進效率等因素。較重的太空船需要更多動能，但它的重力位能變化也會按比例增加。這兩個質量因子會互相消去。

範例：從地球表面逃逸

利用 \(M=5.97\times10^{24}\ \text{kg}\) 和 \(r=6.37\times10^6\ \text{m}\) 計算地球的逃逸速率。

步驟 1：選用逃逸速度方程式。

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}} \]

步驟 2：代入數值。

\[ v_{\text{esc}} = \sqrt{ \frac{ 2(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24}) }{ 6.37\times10^6 } } \]

步驟 3：計算。

\[ v_{\text{esc}}\approx1.12\times10^4\ \text{m s}^{-1} \]

因此，

\[ v_{\text{esc}}\approx11.2\ \text{km s}^{-1} \]

在理想模型中，一個以 11.2 km/s 從地球表面離開的物體，剛好具有足夠的機械能逃離地球的重力場。

這並不代表真實火箭只要在地面直接加速到 11.2 km/s 就可以了。在實際發射中，地球大氣、地球自轉、火箭隨時間持續產生的推力，以及火箭質量的變化，都會產生影響。

04逃逸速率與軌道速率的比較

逃逸速度和圓形軌道速度之間有一個很有用的關係。

對半徑為 \(r\) 的圓形軌道而言，

\[ v_{\text{orb}}=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

而

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}} \]

因此，在相同半徑下，

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{2}\,v_{\text{orb}} \]

所以，已經位於圓形軌道上的太空船並不是從靜止開始。它本來就已經具有相當大的動能。要逃逸，只需要把速率從 \(v_{\text{orb}}\) 提高到 \(\sqrt{2}v_{\text{orb}}\)。

這個關係直接來自軌道速度中的物理原理。

範例：從既有的圓形軌道逃逸

一艘太空船繞地球作圓形軌道運動，距離地球中心 \(7.00\times10^6\ \text{m}\)。取地球質量為 \(5.97\times10^{24}\ \text{kg}\)。

求：

1. 它的圓形軌道速率，
2. 在該半徑的逃逸速率，以及
3. 如果太空船瞬間獲得沿前進方向的速度增量，逃逸所需的最小速度增加量。

步驟 1：計算圓形軌道速率。

\[ v_{\text{orb}} = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{ \frac{ (6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24}) }{ 7.00\times10^6 } } \]

\[ v_{\text{orb}}\approx7.54\times10^3\ \text{m s}^{-1} \]

所以

\[ v_{\text{orb}}\approx7.54\ \text{km s}^{-1} \]

步驟 2：計算相同半徑下的逃逸速率。

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{2}\,v_{\text{orb}} \]

\[ v_{\text{esc}} = \sqrt{2}(7.54) \approx10.7\ \text{km s}^{-1} \]

步驟 3：求所需的速度增加量。

\[ \Delta v = v_{\text{esc}}-v_{\text{orb}} \]

\[ \Delta v=10.7-7.54=3.12\ \text{km s}^{-1} \]

太空船需要一個理想化的瞬間速度增加量，約為

\[ \boxed{3.12\ \text{km s}^{-1}} \]

方向與運動方向相同。

重要的是，它不需要額外再增加 10.7 km/s。它本來就已經具有 7.54 km/s 的軌道速率。

05逃逸速度不是必須一直維持的速率

一個常見的預測是：正在逃逸的太空船在整段旅程中都必須維持高於 \(v_{\text{esc}}\) 的速率。

方程式並不是這樣運作的。

逃逸速度是指物體在某個特定半徑上所需的最低速率，而在此之後物體只受重力作用。發射之後，隨著動能轉化為重力位能，太空船會逐漸減速。

如果一開始恰好是逃逸速率，那麼

\[ v\rightarrow0 \]

當

\[ r\rightarrow\infty \]

因此，太空船之後即使以低於原本逃逸速率的速度運動，仍然可以處於逃逸狀態。

還有另一個細節。隨著 \(r\) 增加，逃逸速率本身也會變小：

\[ v_{\text{esc}}\propto\frac{1}{\sqrt r} \]

因此，你應該始終把物體目前的速率與它在目前半徑上的逃逸速率比較，而不是與起始位置的逃逸速率比較。

06如果物體的發射速率高於逃逸速度呢？

在恰好等於逃逸速度時，物體的總機械能為零。

如果

\[ v>v_{\text{esc}} \]

那麼

\[ E>0 \]

物體會逃逸，而且即使到了極其遙遠的地方，仍然保有動能。

如果它在無限遠處的速率為 \(v_\infty\)，由能量守恆可得

\[ \frac{1}{2}mv^2-\frac{GMm}{r} = \frac{1}{2}mv_\infty^2 \]

利用 \(v_{\text{esc}}^2=2GM/r\)，

\[ v^2=v_{\text{esc}}^2+v_\infty^2 \]

這個關係反過來使用也很有用。從很遠處接近的隕石，在抵達行星表面之前，會受到行星重力作用而加速。

注意，你不能這樣做：

\[ v=v_{\text{esc}}+v_\infty \]

這裡的速率不能直接相加，因為控制這個過程的是能量關係，而能量取決於 \(v^2\)。

07方向重要嗎？

假設兩個探測器從相同半徑開始，速率也完全相同，而且等於當地的逃逸速率。其中一個直接向外發射，另一個則沿側向發射。

如果忽略碰撞、大氣、其他天體，以及發射後的推進力，那麼兩者具有相同的總機械能：

\[ E=0 \]

因此，兩者都正好處於束縛運動與非束縛運動的邊界。

由於它們的方向不同，因此角動量也不同，所以它們的路徑會不同。但是否能逃逸，是由總能量決定的。

因此可以得到一個很有用的判斷規則：

「受束縛」不一定表示「直接掉回去」。在穩定橢圓軌道或圓形軌道上運行的衛星，其總機械能同樣為負值。

08逃逸速度公式背後的假設

方程式

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}} \]

之所以很有用，是因為這個模型很簡單。這也表示你需要知道它採用了哪些假設。

我們假設：

• 中心天體可以視為球對稱，
• 它的質量 \(M\) 不會改變，
• 逃逸物體的質量遠小於 \(M\)，
• 忽略其他天體的重力，
• 沒有空氣阻力，
• 給予初始速度之後，不再有任何推進力作用，而
• 機械能守恆。

在 HSC 計算題中，這些假設通常會隱含在題目敘述裡，而不是明確寫出來。

09問題與解答

問題 1

月球的質量為 \(7.35\times10^{22}\ \text{kg}\)，半徑為 \(1.74\times10^6\ \text{m}\)。

計算從月球表面逃逸所需的速率。

解答 1

逃逸速率約為 \(2.38\ \text{km s}^{-1}\)。

使用

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}} \]

代入：

\[ v_{\text{esc}} = \sqrt{ \frac{ 2(6.67\times10^{-11})(7.35\times10^{22}) }{ 1.74\times10^6 } } \]

\[ v_{\text{esc}} \approx2.38\times10^3\ \text{m s}^{-1} \]

因此，

\[ v_{\text{esc}}\approx2.38\ \text{km s}^{-1} \]

月球的逃逸速率遠低於地球，因為月球的質量小得多。

一個很容易犯的錯誤，是把月球表面以上的高度當成 \(r\)。在這個方程式中，\(r\) 必須從月球中心開始量度。

問題 2

一顆衛星繞質量為 \(M\) 的行星，在半徑為 \(2R\) 的圓形軌道上運行。

推導下列各項的表示式：

a. 它的圓形軌道速率，

b. 該半徑下的逃逸速率，以及

c. 如果速度增量沿運動方向施加，逃逸所需的最小瞬間速度增加量。

解答 2

所需的速度增加量為

\[ \Delta v=(\sqrt2-1)\sqrt{\frac{GM}{2R}} \]

對 a 部分，圓形軌道速率為

\[ v_{\text{orb}}=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

當 \(r=2R\) 時，

\[ v_{\text{orb}}=\sqrt{\frac{GM}{2R}} \]

對 b 部分，

\[ v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}} \]

所以當 \(r=2R\) 時，

\[ v_{\text{esc}} = \sqrt{\frac{2GM}{2R}} = \sqrt{\frac{GM}{R}} \]

或者，

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt2\,v_{\text{orb}} \]

對 c 部分，

\[ \Delta v=v_{\text{esc}}-v_{\text{orb}} \]

所以

\[ \Delta v = \sqrt2\sqrt{\frac{GM}{2R}} - \sqrt{\frac{GM}{2R}} \]

因此，

\[ \Delta v = (\sqrt2-1)\sqrt{\frac{GM}{2R}} \]

一個很誘人的錯誤做法，是認為太空船必須額外獲得完整的逃逸速率。其實不需要。它原有的軌道動能已經是逃逸所需能量的一部分。

問題 3

一顆小行星從非常遙遠的地方接近地球，速率為 \(4.00\ \text{km s}^{-1}\)。

忽略地球大氣與其他天體的重力影響，計算小行星抵達地球表面時的速率。取地球表面的逃逸速率為 \(11.2\ \text{km s}^{-1}\)。

解釋為什麼直接把 \(4.00\ \text{km s}^{-1}\) 和 \(11.2\ \text{km s}^{-1}\) 相加是不正確的。

解答 3

小行星抵達地球表面時的速率約為 \(11.9\ \text{km s}^{-1}\)。

在非常遙遠的地方，地球造成的重力位能近似為零。因此，小行星的比機械能，也就是每公斤所具有的能量，為

\[ \frac{1}{2}v_\infty^2 \]

在地球表面，

\[ \frac{1}{2}v^2-\frac{GM}{R} = \frac{1}{2}v_\infty^2 \]

由於

\[ v_{\text{esc}}^2=\frac{2GM}{R} \]

可得

\[ v^2=v_\infty^2+v_{\text{esc}}^2 \]

以 \(\text{km s}^{-1}\) 為單位代入速率：

\[ v = \sqrt{(4.00)^2+(11.2)^2} \]

\[ v = \sqrt{16.0+125.44} = \sqrt{141.44} \]

\[ v\approx11.9\ \text{km s}^{-1} \]

這些速率不能直接相加，因為地球重力改變的是小行星的動能。動能取決於 \(v^2\)，因此由能量守恆得到的是速率平方的和。

一個很誘人的答案是

\[ 4.00+11.2=15.2\ \text{km s}^{-1}, \]

但這會讓小行星具有遠多於重力實際提供的能量。

問題 4

行星 A 和 B 的表面重力場強度 \(g\) 相同。行星 B 的半徑是行星 A 的四倍。

a. 求比值 \(M_B/M_A\)。

b. 求它們表面逃逸速率的比值 \(v_{\text{esc},B}/v_{\text{esc},A}\)。

c. 一個拋射物從行星 B 表面垂直向上發射，其速率恰好等於行星 A 表面的逃逸速率。忽略大氣與自轉。求該拋射物距離行星 B 中心的最大距離，並以 \(R_B\) 的倍數表示。

解答 4

行星 B 的質量是行星 A 的 16 倍，逃逸速率是兩倍，而拋射物能到達的最大距離為

\[ \frac{4}{3}R_B \]

即距離 B 的中心 \(\frac{4}{3}R_B\)。

對 a 部分，表面重力場強度為

\[ g=\frac{GM}{R^2} \]

兩顆行星的 \(g\) 相同，所以

\[ \frac{GM_A}{R_A^2} = \frac{GM_B}{R_B^2} \]

已知

\[ R_B=4R_A, \]

因此

\[ \frac{M_B}{M_A} = \frac{R_B^2}{R_A^2} = 16 \]

對 b 部分，逃逸速率為

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}} \]

利用 \(GM=gR^2\)，

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{2gR} \]

由於兩顆行星的 \(g\) 相同，

\[ \frac{v_{\text{esc},B}}{v_{\text{esc},A}} = \sqrt{\frac{R_B}{R_A}} = \sqrt4 = 2 \]

所以，即使兩顆行星的表面重力場強度相同，B 所需的表面逃逸速率仍然是 A 的兩倍。

這是第一個陷阱：表面 \(g\) 相同並不表示逃逸速率相同。逃逸取決於整個重力位能井，而不只是某一個位置上每公斤所受的力。

對 c 部分，令從 B 發射時的速率為 \(v_A\)，其中

\[ v_A^2=2gR_A \]

拋射物每公斤的初始動能為

\[ \frac{1}{2}v_A^2=gR_A \]

行星 B 有

\[ R_B=4R_A \]

以及

\[ GM_B=gR_B^2 \]

拋射物在 B 表面的初始比機械能為

\[ \varepsilon = gR_A-\frac{GM_B}{R_B} \]

由於

\[ \frac{GM_B}{R_B}=gR_B=4gR_A, \]

所以

\[ \varepsilon=-3gR_A \]

在最大距離 \(r_{\max}\) 處，拋射物瞬間速率為零，因此

\[ \varepsilon=-\frac{GM_B}{r_{\max}} \]

所以

\[ -3gR_A = -\frac{gR_B^2}{r_{\max}} \]

利用 \(R_B=4R_A\)，

\[ 3gR_A = \frac{g(4R_A)^2}{r_{\max}} \]

\[ 3R_A=\frac{16R_A^2}{r_{\max}} \]

因此，

\[ r_{\max}=\frac{16}{3}R_A \]

由於 \(R_B=4R_A\)，

\[ r_{\max} = \frac{4}{3}R_B \]

所以拋射物只上升到比 B 表面高

\[ \frac{1}{3}R_B \]

的位置。

更深層的限制在於，表面重力場強度只描述當地的加速度。行星 B 的表面 \(g\) 雖然相同，但它的重力場延伸於一個大得多的長度尺度上。

問題 5

一艘太空船從行星表面沿徑向向外發射。該行星的表面逃逸速率為 \(10.0\ \text{km s}^{-1}\)，而太空船的初始發射速率為 \(9.00\ \text{km s}^{-1}\)。

它的引擎之後可以提供一次大小恰好為 \(1.50\ \text{km s}^{-1}\) 的瞬間速度增量，方向與其運動方向相同。

一名學生認為，太空船應該等到離行星很遠之後才啟動引擎，因為那時當地的逃逸速率會比較低。

a. 判斷如果在行星表面立即啟動引擎，太空船能否逃逸。

b. 在不使用引擎的情況下，求太空船能到達的最大半徑，並以行星半徑 \(R\) 的倍數表示。

c. 求仍可施加 \(1.50\ \text{km s}^{-1}\) 引擎速度增量並使太空船成功逃逸的最大半徑。

d. 評估這名學生的論點。

解答 5

只要足夠早使用速度增量，太空船就能逃逸；但如果等得太久，同樣的 \(1.50\ \text{km s}^{-1}\) 速度增量就不足以逃逸。最遲可以使用速度增量的位置約為

\[ 1.99R \]

即距離行星中心 \(1.99R\)。

對 a 部分，如果在行星表面立即啟動引擎，太空船啟動後的速率為

\[ v=9.00+1.50=10.50\ \text{km s}^{-1} \]

當地逃逸速率是 \(10.0\ \text{km s}^{-1}\)，因此

\[ 10.50>10.0 \]

所以太空船可以逃逸。

對 b 部分，令表面逃逸速率為 \(V=10.0\ \text{km s}^{-1}\)。

由於

\[ V^2=\frac{2GM}{R}, \]

所以

\[ \frac{GM}{R}=\frac{V^2}{2} = 50.0\ \text{km}^2\text{s}^{-2} \]

太空船的初始比機械能為

\[ \varepsilon = \frac{1}{2}v^2-\frac{GM}{R} \]

\[ \varepsilon = \frac{1}{2}(9.00)^2-50.0 \]

\[ \varepsilon = 40.5-50.0 = -9.50\ \text{km}^2\text{s}^{-2} \]

在最大半徑處，速率為零，因此

\[ \varepsilon=-\frac{GM}{r_{\max}} \]

所以

\[ -9.50 = -\frac{50.0R}{r_{\max}} \]

因此

\[ r_{\max} = \frac{50.0}{9.50}R \]

\[ r_{\max}\approx5.26R \]

所以，太空船即使沒有逃逸，也可以在慣性滑行下到達離表面相當遙遠的位置。

對 c 部分，相對於逃逸所需的能量，太空船一開始每公斤還缺少

\[ 9.50\ \text{km}^2\text{s}^{-2} \]

的比機械能。

假設啟動引擎前的速率為 \(v\)。把它的速率增加

\[ \Delta v=1.50\ \text{km s}^{-1} \]

會使每公斤的動能增加

\[ \Delta\varepsilon = \frac{1}{2}(v+\Delta v)^2-\frac{1}{2}v^2 \]

展開：

\[ \Delta\varepsilon = v\Delta v+\frac{1}{2}(\Delta v)^2 \]

若太空船要剛好逃逸，

\[ v(1.50)+\frac{1}{2}(1.50)^2=9.50 \]

\[ 1.50v+1.125=9.50 \]

\[ v=5.58\ \text{km s}^{-1} \]

接著需要找出太空船在慣性滑行期間減速到這個速率時的位置。

在半徑 \(r\) 處，

\[ \frac{1}{2}v^2-\frac{GM}{r}=-9.50 \]

使用 \(GM=50.0R\)，單位採用 \(\text{km}^2\text{s}^{-2}\)，

\[ \frac{1}{2}(5.58)^2-\frac{50.0R}{r}=-9.50 \]

\[ 15.6-\frac{50.0R}{r}=-9.50 \]

\[ \frac{50.0R}{r}=25.1 \]

因此，

\[ r\approx1.99R \]

所以，引擎必須在距離行星中心約 \(1.99R\) 或更近的位置啟動。

對 d 部分，這名學生的論點忽略了一個重要的相互作用。

的確，隨著半徑增加，當地逃逸速率會降低。這一部分是正確的。

但太空船在向上爬升時也會減速。更重要的是，固定的速度增加量 \(\Delta v\) 所帶來的動能增加為

\[ \Delta K = m\left(v\Delta v+\frac{1}{2}\Delta v^2\right) \]

因此，當太空船原本的速率較高時，同樣的 \(1.50\ \text{km s}^{-1}\) 速度增量會增加更多動能。

在行星表面，太空船以 \(9.00\ \text{km s}^{-1}\) 運動，因此啟動引擎後很容易達到逃逸條件。如果它一直等到最大半徑 \(5.26R\)，它的速率已經降到零。這時同樣的速度增量只會讓它達到 \(1.50\ \text{km s}^{-1}\)，遠低於該位置的當地逃逸速率。

那個看似合理的想法，只比較了不斷變化的逃逸速率。它漏掉的限制，是太空船本身的速率也在改變，因此固定 \(\Delta v\) 所提供的能量也會隨之改變。

10逃逸速度接下來連結到什麼

逃逸速度本質上其實是一個以速度方程式形式呈現的能量結果。當你能熟練地在

\[ U=-\frac{GMm}{r}, \]

\[ v_{\text{orb}}=\sqrt{\frac{GM}{r}}, \]

以及

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}, \]

之間轉換時，各種軌道問題就不再像是一堆彼此無關的公式。

它們其實是在同一個重力場中的不同能量狀態：束縛運動具有負的總能量；逃逸邊界的總能量為零；非束縛運動則具有正的總能量。這正是你在進一步學習圓形軌道、橢圓軌跡，以及太空船能量變化時，應該帶著一起使用的重要連結。