HSC 物理：圓形軌道中的重力作為向心力

了解重力如何為圓形軌道提供向心力，並運用相關關係計算軌道速度與週期。

衛星在軌道上運行時，始終受到朝向地球的引力。那麼，為什麼它不會直接垂直墜落地面呢？

想像一下，給衛星一個側向速度。重力將它向下拉，但它在下落的同時，也會向側面移動。如果它的速度恰到好處，地球彎曲的表面就會以相同的速率從它下方逐漸遠離。衛星便能持續下落，卻始終不會碰到地面。

現在試著預測：如果我們將衛星移至較低的圓形軌道，它的運行速度應該會變快還是變慢？

較小的軌道距離較短，因此直覺上可能會認為速度應該比較慢。然而，越靠近地球，重力就越強。當我們把重力與圓周運動連結起來後，就會發現較低軌道上的衛星實際上必須運行得更快。

01重力使軌道彎曲

先從一個比較容易想像的情境開始：用繩子牽著球，在水平面上繞圈擺動。

如果繩子突然斷裂，球就不會繼續沿著彎曲的路徑運動，而是沿著斷裂瞬間的運動方向飛出，也就是沿圓的切線方向運動。繩子的張力一直在改變球的速度方向。

衛星的運動方式也類似，只是它沒有繩子。提供向內作用力的是重力。

這裡需要回顧一個關於圓周運動的重要觀念：物體即使速率保持不變，仍然可能具有加速度。速度是具有方向的向量，因此，只要速度方向持續改變，就代表物體具有加速度。

對於等速圓周運動，加速度指向圓心，其大小為

\[ a_c=\frac{v^2}{r} \]

其中：

• \(a_c\) 是向心加速度，單位為 \(\text{m s}^{-2}\)；
• \(v\) 是物體的速率，單位為 \(\text{m s}^{-1}\)；以及
• \(r\) 是圓形路徑的半徑，單位為公尺。

因此，所需的合向內作用力為

\[ F_c=ma_c=\frac{mv^2}{r} \]

其中，\(m\) 是繞軌道運行物體的質量，單位為公斤。

02向心力並不是一種額外的力

這是本主題中最重要的概念。

「向心力」並不是一種與重力並列的新力。它是我們用來描述指向圓形路徑圓心的合力的名稱。

可以把「向心力」想成一種職務名稱。如果 Alex 是某個團隊的隊長，你不會把「Alex」和「隊長」算作兩個不同的人。在簡單的衛星軌道中，實際作用的力是重力，而「向心力」描述的是重力所發揮的作用。

當然，這個比喻到此為止。力是向量，不是那些在 LinkedIn 上掛著看似重要職稱的人。

對於在圓形軌道上運行的衛星，重力就是合向內力。因此，我們可以寫成

\[ F_g=F_c \]

這並不表示有兩個方向相反的力互相平衡，使合力等於零。這兩個符號只是對同一個向內作用力的不同描述。

03將重力與向心力相等

牛頓萬有引力定律給出質量為 \(M\) 的中心天體與質量為 \(m\) 的繞軌道物體之間的引力：

\[ F_g=\frac{GMm}{r^2} \]

其中：

• \(G=6.67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}\) 是萬有引力常數；
• \(M\) 是中心天體的質量，單位為公斤；
• \(m\) 是衛星的質量，單位為公斤；以及
• \(r\) 是兩者中心之間的距離，單位為公尺。

如果你對這個方程式還不熟悉，建議先複習牛頓萬有引力定律。

對於圓形軌道，重力恰好提供使衛星持續轉向所需的力：

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \]

將等式兩邊的 \(m\) 約去，再將一個 \(r\) 因子約去：

\[ \frac{GM}{r}=v^2 \]

因此，

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

這就是圓形軌道速度。

在進行計算之前，值得先注意三個推論。

第一，衛星的質量消失了。質量為 \(500\ \text{kg}\) 的衛星與質量為 \(1000\ \text{kg}\) 的衛星，如果在同一顆行星周圍、相同的軌道半徑上運行，就需要相同的圓形軌道速度。

這並不表示重力對兩顆衛星施加相同的力。較重的衛星受到的引力是另一顆的兩倍，但它的慣性也恰好是另一顆的兩倍。這兩種效應都與 \(m\) 成正比，因此所需速度不變。

第二，中心天體的質量 \(M\) 增加時，軌道速度會增加。

第三，軌道半徑 \(r\) 增加時，軌道速度會降低。

這就解答了開頭的預測。較低的圓形軌道需要較大的速度：

\[ v\propto\frac{1}{\sqrt r} \]

04不要混淆軌道半徑與高度

假設某顆衛星位於地球表面上方 \(400\ \text{km}\) 處。

你不能直接把 \(400\ \text{km}\) 代入 \(r\)。

引力方程式使用的是距離地球中心的距離，因此

\[ r=R_E+h \]

其中，\(R_E\) 是地球半徑，而 \(h\) 是衛星高於地球表面的高度。

這是非常常見、但原本可以避免的錯誤來源。

計算範例：位於地球上方 400 km 的衛星

一顆衛星在地球表面上方 \(400\ \text{km}\) 的圓形軌道上運行。取地球半徑為 \(6.37\times10^6\ \text{m}\)，地球質量為 \(5.97\times10^{24}\ \text{kg}\)。計算衛星的軌道速度與軌道週期。

步驟 1：求衛星距離地球中心的軌道半徑。

先將高度換算成公尺：

\[ 400\ \text{km}=4.00\times10^5\ \text{m} \]

因此，

\[ r=6.37\times10^6+4.00\times10^5 =6.77\times10^6\ \text{m} \]

步驟 2：利用重力作為向心力，求出速度。

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

代入數值：

\[ v= \sqrt{ \frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})} {6.77\times10^6} } =7.67\times10^3\ \text{m s}^{-1} \]

因此，衛星的運行速度約為

\[ v=7.67\ \text{km s}^{-1} \]

步驟 3：利用軌道的圓周長求出週期。

完成一圈軌道所經過的距離為 \(2\pi r\)，因此

\[ T=\frac{2\pi r}{v} \]

所以，

\[ T= \frac{2\pi(6.77\times10^6)} {7.67\times10^3} =5.55\times10^3\ \text{s} \]

換算成分鐘：

\[ T=\frac{5.55\times10^3}{60}=92.4\ \text{min} \]

結果表示，衛星以約 \(7.67\ \text{km s}^{-1}\) 的速度持續繞著地球自由下落，每約 92 分鐘完成一次圓形軌道。

05軌道週期也能從相同的力方程式推導出來

衛星完成一圈圓形軌道時，所經過的距離等於圓周長：

\[ 2\pi r \]

若 \(T\) 是以秒為單位的軌道週期，則

\[ v=\frac{2\pi r}{T} \]

但我們已經知道

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

將這兩個式子相等，可得

\[ \frac{2\pi r}{T}=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

兩邊平方並重新整理，得到

\[ T^2=\frac{4\pi^2r^3}{GM} \]

或

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{r^3}{GM}} \]

對於繞同一個中心天體運行的物體，

\[ T^2\propto r^3 \]

這就是克卜勒行星運動三定律背後關係式的圓形軌道形式。

注意一個稍微違反直覺的現象。較高軌道上的衛星運行得比較慢，完成一圈所需的時間卻長得多。原因在於有兩個因素同時發揮作用：它們的速度較小，而且軌道圓周長較大。

以下是實用的摘要：

計算範例：利用軌道求行星質量

一顆衛星在某顆行星周圍、半徑為 \(2.40\times10^7\ \text{m}\) 的圓形軌道上運行。其軌道週期為 \(5.00\ \text{h}\)。計算該行星的質量，以及衛星軌道處的重力場強度。

步驟 1：將週期換算成秒。

\[ T=5.00\times3600=1.80\times10^4\ \text{s} \]

步驟 2：將軌道週期方程式重新整理，求出行星質量。

從

\[ T^2=\frac{4\pi^2r^3}{GM} \]

可得

\[ M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2} \]

步驟 3：代入軌道數據。

\[ M= \frac{ 4\pi^2(2.40\times10^7)^3 }{ (6.67\times10^{-11})(1.80\times10^4)^2 } =2.53\times10^{25}\ \text{kg} \]

因此，行星的質量為

\[ M=2.53\times10^{25}\ \text{kg} \]

步驟 4：利用這個質量求出重力場強度。

在半徑 \(r\) 處，

\[ g=\frac{GM}{r^2} \]

因此，

\[ g= \frac{ (6.67\times10^{-11})(2.53\times10^{25}) }{ (2.40\times10^7)^2 } =2.92\ \text{m s}^{-2} \]

因此，我們可以利用衛星的軌道測量行星的質量，而不必把行星放到一台極其不方便使用的浴室體重計上。

更重要的是，這個例子說明了軌道數據真正告訴我們什麼。衛星的運行路徑揭示了產生其向心加速度的重力場強度。

06為什麼繞軌道運行的物體會感到失重？

一個常見的推測是，太空人在軌道上漂浮，是因為那裡沒有重力。

但如果沒有重力，就不會有彎曲的軌道。若沒有任何力作用在太空船上，它就會近似沿直線運動。

太空人會漂浮，是因為太空船及其內部的所有物體都一起朝地球加速。它們全都處於自由落體狀態。

因此，地板不需要像支撐站在地球表面上的人那樣，對太空人提供正向力。造成我們熟悉的失重感的，是缺少這個支撐接觸力，而不是重力消失。

07\(F_g=F_c\) 何時不再適用？

方程式

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \]

非常有用，但其中隱含了一些假設。

軌道必須是圓形

在橢圓軌道上，衛星與中心天體之間的距離會改變，衛星的速度也會改變。

重力仍然控制著運動，但你不能直接使用

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \]

並將 \(r\) 設為行星與衛星之間的距離，就期待這個圓形軌道的結果在任何位置都成立。

在圓形軌道上，重力與瞬時速度垂直，只改變速度的方向而不改變速率。在橢圓軌道上，重力通常也具有沿著運動方向或與運動方向相反的分量，因此速率會改變。

通常將中心天體視為固定不動

對於繞著質量遠大於自身的行星運行的小型衛星，這是非常好的近似。

然而，嚴格來說，重力也會將行星拉向衛星。兩個天體都會繞著它們共同的質心運行。

當衛星的質量與行星相比小得多時，質心會非常接近行星的中心，因此將行星視為固定不動，幾乎會得到相同的結果。

如果兩個物體的質量相近，這個近似就不再成立。下方的問題 5 將探討具體有哪些變化。

其他作用力必須可以忽略

大氣阻力、推力，以及其他天體施加的引力，都可能干擾軌道。

這個簡化模型假設，來自單一中心天體的重力幾乎提供了全部向內作用力。

08問題與解答

問題 1

一顆質量為 \(500\ \text{kg}\) 的衛星，在質量為 \(6.00\times10^{24}\ \text{kg}\) 的行星周圍、半徑為 \(8.00\times10^6\ \text{m}\) 的圓形軌道上運行。

計算衛星的軌道速度。說明如果將這顆衛星換成質量為 \(1000\ \text{kg}\)、軌道半徑相同的衛星，所需的軌道速度會有什麼變化。

使用 \(G=6.67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}\)。

解答 1

軌道速度為 \(7.07\times10^3\ \text{m s}^{-1}\)。如果將衛星換成質量為 \(1000\ \text{kg}\) 的衛星，所需的圓形軌道速度不會改變。

重力提供向心力：

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \]

衛星質量 \(m\) 可以約去：

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

代入數值：

\[ v= \sqrt{ \frac{ (6.67\times10^{-11})(6.00\times10^{24}) }{ 8.00\times10^6 } } =7.07\times10^3\ \text{m s}^{-1} \]

一個很容易讓人接受的錯誤推論是：較重的衛星受到較大的引力，因此一定要運行得更快。它確實受到較大的力，但它的慣性也恰好以相同的比例增加。因此，它的重力加速度，以及在這個半徑所需的圓形軌道速度，都保持不變。

問題 2

一顆衛星在某顆行星周圍、半徑為 \(3.60\times10^8\ \text{m}\) 的圓形軌道上運行。其軌道週期為 \(2.40\times10^6\ \text{s}\)。

計算：

(a) 行星的質量；以及

(b) 衛星軌道半徑處的重力場強度。

使用 \(G=6.67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}\)。

解答 2

行星的質量為 \(4.79\times10^{24}\ \text{kg}\)，而衛星所在位置的重力場強度為 \(2.47\times10^{-3}\ \text{m s}^{-2}\)。

對於圓形軌道，

\[ T^2=\frac{4\pi^2r^3}{GM} \]

因此，

\[ M=\frac{4\pi^2r^3}{GT^2} \]

代入數值：

\[ M= \frac{ 4\pi^2(3.60\times10^8)^3 }{ (6.67\times10^{-11})(2.40\times10^6)^2 } =4.79\times10^{24}\ \text{kg} \]

對於 (b)，

\[ g=\frac{GM}{r^2} \]

因此，

\[ g= \frac{ (6.67\times10^{-11})(4.79\times10^{24}) }{ (3.60\times10^8)^2 } =2.47\times10^{-3}\ \text{m s}^{-2} \]

即使行星本身的質量非常大，由於衛星距離行星很遠，該處的重力場強度仍然很小。

一個常見的錯誤做法，是在計算行星質量之前，先去尋找衛星本身的質量。這並不需要。軌道數據可以告訴我們衛星所受的重力加速度，而衛星自身的質量會在圓周運動方程式中約去。

問題 3

衛星 A 和衛星 B 在同一顆行星周圍的圓形軌道上運行。

衛星 B 的質量是衛星 A 的四倍。它的軌道週期是衛星 A 的八倍。

求出：

(a) 兩者軌道半徑之比 \(r_B/r_A\)；

(b) 兩者軌道速度之比 \(v_B/v_A\)；以及

(c) 作用於兩顆衛星的引力之比 \(F_B/F_A\)。

解答 3

各比值為

\[ \frac{r_B}{r_A}=4,\qquad \frac{v_B}{v_A}=\frac12,\qquad \frac{F_B}{F_A}=\frac14 \]

關鍵在於：衛星的質量不會影響特定軌道半徑所需的軌道速度或週期，但會影響引力的大小。

對於繞同一顆行星運行的衛星，

\[ T^2\propto r^3 \]

因此，

\[ \left(\frac{T_B}{T_A}\right)^2 = \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^3 \]

由於 \(T_B/T_A=8\)，

\[ 8^2= \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^3 \]

所以，

\[ \frac{r_B}{r_A} =64^{1/3} =4 \]

對於軌道速度，

\[ v\propto r^{-1/2} \]

因此，

\[ \frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{r_A}{r_B}} = \sqrt{\frac14} =\frac12 \]

對於引力，

\[ F=\frac{GMm}{r^2} \]

因此，

\[ \frac{F_B}{F_A} = \frac{m_B}{m_A} \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2 \]

代入 \(m_B/m_A=4\) 及 \(r_B/r_A=4\)，

\[ \frac{F_B}{F_A} = 4\left(\frac14\right)^2 = 4\left(\frac1{16}\right) =\frac14 \]

一個容易犯的錯誤是說：「衛星質量會約去，所以質量在任何地方都不重要。」計算加速度、軌道速度或週期時，質量會約去，但計算引力本身時，質量不會約去。

儘管 B 的質量是 A 的四倍，它距離行星也遠了四倍。距離增加所產生的平方反比效應足夠強，因此 B 受到的引力只有 A 的四分之一。

問題 4

行星 X 是一個半徑為 \(R\)、平均密度為 \(\rho\) 的球體。一顆小型衛星在其表面正上方的圓形軌道上運行，因此可以將其軌道半徑視為 \(R\)。

(a) 證明其軌道週期為

\[ T=\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}} \]

(b) 行星 Y 的半徑是 X 的兩倍，但平均密度完全相同。比較分別在 X 和 Y 表面正上方運行的衛星之週期。

(c) 比較兩顆衛星的軌道速度，並解釋為什麼你在 (b) 和 (c) 得出的答案可以同時成立。

解答 4

兩顆衛星的軌道週期相同，而在行星 Y 表面附近運行的衛星，其軌道速度是行星 X 表面附近衛星的兩倍。

關鍵在於：對於密度相同的行星，當半徑增加時，質量會按照 \(R^3\) 增加，而不只是按照 \(R\) 增加。

對於半徑為 \(R\) 的球體，

\[ V=\frac43\pi R^3 \]

由於密度等於質量除以體積，

\[ M=\rho V =\frac43\pi R^3\rho \]

對於半徑為 \(R\) 的圓形軌道，

\[ T^2=\frac{4\pi^2R^3}{GM} \]

代入 \(M=\frac43\pi R^3\rho\)，

\[ T^2 = \frac{ 4\pi^2R^3 }{ G\left(\frac43\pi R^3\rho\right) } \]

\(R^3\) 因子會約去：

\[ T^2=\frac{3\pi}{G\rho} \]

因此，

\[ T=\sqrt{\frac{3\pi}{G\rho}} \]

週期取決於密度，而不是半徑。由於 X 和 Y 的密度相同，

\[ T_Y=T_X \]

接著考慮軌道速度：

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{R}} \]

代入 \(M=\frac43\pi R^3\rho\)，

\[ v= \sqrt{ \frac{ G\left(\frac43\pi R^3\rho\right) }{R} } \]

因此，

\[ v = R\sqrt{\frac43\pi G\rho} \]

在密度固定時，

\[ v\propto R \]

行星 Y 的半徑是兩倍，因此

\[ v_Y=2v_X \]

乍看之下，這似乎有些矛盾。衛星的速度明明是兩倍，為什麼完成一圈所需的時間卻相同？

因為它的圓形路徑也變成兩倍長：

\[ 2\pi(2R)=2(2\pi R) \]

它以兩倍速度走完兩倍的距離，因此週期不變。

一個容易出錯的捷徑，是認為較大的行星具有較強的重力，所以它的週期必然較短。較強的重力確實會提高所需的軌道速度，但衛星也必須沿著比例更大的圓周運行。對於密度相同的行星，這兩種效應恰好完全抵消。

問題 5

兩顆恆星的質量分別為 \(M\) 和 \(3M\)，兩者之間的距離保持為固定值 \(d\)，並且繞著共同的質心作圓周運動。

設它們到質心的距離分別為 \(r_M\) 和 \(r_{3M}\)。已知

\[ r_M+r_{3M}=d \]

以及

\[ Mr_M=3Mr_{3M} \]

兩顆恆星的軌道週期相同，均為 \(T\)。

(a) 求出 \(r_M\) 和 \(r_{3M}\)。

(b) 推導以 \(M\)、\(d\) 和 \(G\) 表示的共同軌道週期公式。

(c) 比較兩顆恆星的軌道速度與向心加速度。

(d) 一名學生將質量為 \(3M\) 的恆星視為固定不動，並使用 \(d\) 作為質量為 \(M\) 的恆星的圓形軌道半徑。精確解釋為什麼這樣做會得到錯誤的週期。

解答 5

較輕的恆星以 \(3d/4\) 為半徑繞行，較重的恆星以 \(d/4\) 為半徑繞行，而它們的共同週期為

\[ T=\pi\sqrt{\frac{d^3}{GM}} \]

較輕的恆星運動速度是較重恆星的三倍，其向心加速度也為較重恆星的三倍。

關鍵在於：決定引力大小的距離是兩顆恆星之間的距離 \(d\)，而決定各恆星向心加速度的距離，則是各自繞質心運行的軌道半徑。這兩個距離並不相同。

由

\[ Mr_M=3Mr_{3M} \]

可得

\[ r_M=3r_{3M} \]

結合

\[ r_M+r_{3M}=d \]

可得

\[ 3r_{3M}+r_{3M}=d \]

因此，

\[ r_{3M}=\frac d4 \]

所以，

\[ r_M=\frac{3d}{4} \]

現在考慮兩顆恆星之間的引力：

\[ F_g=\frac{G(M)(3M)}{d^2} =\frac{3GM^2}{d^2} \]

以 \(\omega\) 表示角速度，定義為

\[ \omega=\frac{2\pi}{T} \]

對於圓周運動，作用於較輕恆星的向心力為

\[ F_c=M\omega^2r_M \]

由於 \(r_M=3d/4\)，

\[ F_c = M\omega^2\left(\frac{3d}{4}\right) \]

重力提供這個向心力，因此

\[ \frac{3GM^2}{d^2} = M\omega^2\left(\frac{3d}{4}\right) \]

約去共同因子後，得到

\[ \omega^2=\frac{4GM}{d^3} \]

由於

\[ T=\frac{2\pi}{\omega} \]

可得

\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{d^3}{4GM}} = \pi\sqrt{\frac{d^3}{GM}} \]

兩顆恆星具有相同的角速度，因為它們始終位於同一條旋轉連線的兩端。

它們的切向速度為

\[ v=\omega r \]

因此，

\[ \frac{v_M}{v_{3M}} = \frac{r_M}{r_{3M}} = 3 \]

所以，

\[ v_M=3v_{3M} \]

它們的向心加速度為

\[ a_c=\omega^2r \]

因此，同樣可得

\[ \frac{a_M}{a_{3M}}=3 \]

這也符合牛頓第二運動定律。兩顆恆星受到的引力大小相同，但較輕恆星的質量只有另一顆的三分之一，因此它的加速度是另一顆的三倍。

學生的計算之所以失敗，是因為它在不知不覺中假設了質量為 \(3M\) 的恆星不會移動。

如果它真的固定不動，較輕恆星的圓形路徑半徑就會是 \(d\)。但在實際的雙星系統中，兩個天體都會移動。較輕恆星的向心運動半徑其實只有

\[ \frac{3d}{4} \]

即使兩顆恆星之間的引力作用距離仍然是 \(d\)。

將同一個 \(d\) 同時用於這兩種用途，就是混淆了兩個不同的幾何距離。

這也解釋了為什麼當其中一個物體的質量遠小於另一個物體時，簡單的衛星公式

\[ v=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

會非常準確；但當兩個物體的質量相近時，就需要進一步修正。在這種情況下，不能合理地將其中任何一個物體視為系統中完全靜止的中心。

09這個概念接下來能幫助我們理解什麼？

簡單圓形軌道的核心方程式是

\[ \frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r} \]

但其背後的重要概念比方程式本身更深刻：重力產生向內的加速度，使速度向量持續改變方向，從而形成圓形路徑。

透過這個關係，你可以求出軌道速度、週期、中心天體的質量，以及克卜勒第三定律的圓形軌道形式。你也能清楚看出，為什麼衛星的質量會在描述運動時約去，卻仍然會影響引力的大小。

接下來值得探討的問題是：當軌道不是圓形時，會發生什麼變化？重力仍然指向中心天體，但物體的速率不再保持不變，而決定重力大小的距離也不再是固定的軌道半徑。這正是圓形軌道的力學模型逐漸延伸至克卜勒定律與軌道能量的地方。