HSC Physics：徑向重力場中的重力勢能

假設你把一顆衛星升到離地球越來越高的位置。在地表附近，你可能會想到使用 \(\Delta U = mgh\)。但如果這個公式在任何高度都一直精確成立，那麼要把衛星帶到無限遠處，就會需要無限大的能量。

實際上並不需要。隨著距離增加，重力會變弱，因此逃離地球重力場所需的能量是有限的。

在看到徑向重力場的公式之前，先作一個預測。如果一顆衛星由距離地球中心 \(r\) 的位置移到 \(2r\)，它的重力勢能會變成兩倍、減半，還是有更不尋常的變化？

它會變成原來一半那麼負。這聽起來可能有點奇怪，直到我們仔細選擇重力勢能的零點為止。

01為甚麼 \(mgh\) 最終會失效

在地球表面附近，重力場強度幾乎保持不變。因此，

\[ \Delta U \approx mg\Delta h \]

對於較小的高度變化非常適用。

其中：

• \(m\) 是物體的質量，單位為千克，
• \(g\) 是當地的重力場強度，單位為 \(\text{N kg}^{-1}\)，等效地也可寫成 \(\text{m s}^{-2}\)，
• \(\Delta h\) 是高度的變化，單位為米，
• \(\Delta U\) 是重力勢能的變化，單位為焦耳。

關鍵字是「幾乎」。

在徑向重力場中，

\[ g=\frac{GM}{r^2} \]

因此，隨著與行星中心的距離 \(r\) 增加，\(g\) 會減小。如果你需要複習平方反比力本身，可參閱 HSC Physics 的牛頓萬有引力定律。

這表示，對於很大的高度變化，\(mgh\) 不能作為精確公式。它假設物體移動時，重力大致保持不變。

還有另一個重要的區別。在徑向重力場的公式中，\(r\) 不是物體在地表上方的高度，而是物體與中心天體中心之間的距離。

對於位於地球表面上方高度 \(h\) 的衛星，

\[ r=R_E+h \]

其中 \(R_E\) 是地球半徑。

02把重力勢能想像成一口井

想像我們選擇一個重力勢能為零的位置。對一顆孤立的行星而言，最實用的選擇是無限遠處：

\[ U(\infty)=0 \]

現在把一個小質量物體向行星移近。

重力會把它向內拉。如果你想把這個物體送回無限遠處，而且讓它到達時沒有動能，你就必須提供能量。

因此，在距離行星任何有限距離的位置，這個物體的重力勢能都比它在無限遠處時低。既然把無限遠處定義為零，它的重力勢能就必須是負值。

你可以把這想像成一筆能量債務。在無限遠處，餘額是零。在行星附近，物體就像是「欠下能量」，因為若要使它與行星完全分離，就必須供應能量。

這個比喻有其限制：並不存在真正儲存著的「負金錢」。更重要的是，零位準是一種選擇。物理真正決定的是勢能的變化。

03徑向重力場中的重力勢能公式

對於位於質量為 \(M\) 的球形天體外部、一個質量為 \(m\) 的小物體，

\[ U=-\frac{GMm}{r} \]

其中：

• \(U\) 是重力勢能，單位為焦耳，
• \(G=6.67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}\) 是萬有引力常數，
• \(M\) 是中心天體的質量，單位為千克，
• \(m\) 是較小物體的質量，單位為千克，
• \(r\) 是兩物體中心之間的距離，單位為米。

這個公式假設勢能的零點位於無限遠處。

它也把中心天體視為球對稱。對於像地球這樣的球形行星，在其外部，重力場的表現就像所有質量都集中在行星中心一樣。這個簡單公式不應不加判斷地延伸至行星內部使用。

現在回到一開始的預測。

在距離 \(r\) 處，

\[ U_1=-\frac{GMm}{r} \]

而在 \(2r\) 處，

\[ U_2=-\frac{GMm}{2r}=\frac{1}{2}U_1 \]

如果 \(U_1=-100\ \text{MJ}\)，那麼 \(U_2=-50\ \text{MJ}\)。

勢能增加了 \(50\ \text{MJ}\)，即使它的數值仍然是負的。

這個區別是本主題最常見的陷阱之一。

請注意，勢能取決於位置，而不是速度。如果兩顆衛星的質量相同，而且位於相同半徑，即使其中一顆移動得快得多，它們的重力勢能仍然相同。

04計算重力勢能的變化

通常，真正有用的量不是某一位置的 \(U\)，而是兩個位置之間的變化。

\[ \Delta U=U_f-U_i \]

使用 \(U=-GMm/r\)，

\[ \Delta U =-\frac{GMm}{r_f}+\frac{GMm}{r_i} =GMm\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f}\right) \]

其中 \(r_i\) 是初始半徑，而 \(r_f\) 是最終半徑。

對於向外移動，\(r_f>r_i\)。因此，

\[ \frac{1}{r_i}>\frac{1}{r_f} \]

所以 \(\Delta U\) 為正。

重力所做的功則大小相等、符號相反：

\[ W_g=-\Delta U \]

這在物理上很合理。如果物體向外移動，重力指向內側，與位移方向相反，因此重力做負功。

範例：把衛星提升到 400 km 高度

一顆 \(1000\ \text{kg}\) 的衛星從地球表面移到 \(400\ \text{km}\) 的高度。計算它的重力勢能變化。

使用：

\[ M_E=5.97\times10^{24}\ \text{kg} \]

以及

\[ R_E=6.37\times10^6\ \text{m} \]

步驟 1：把位置轉換成與地球中心的距離。

最初，

\[ r_i=R_E=6.37\times10^6\ \text{m} \]

高度為

\[ 400\ \text{km}=4.00\times10^5\ \text{m} \]

所以

\[ r_f=6.37\times10^6+4.00\times10^5 =6.77\times10^6\ \text{m} \]

步驟 2：計算初始和最終勢能。

\[ \begin{aligned} U_i &=-\frac{GM_Em}{r_i}\\ &=-\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(1000)} {6.37\times10^6}\\ &=-6.25\times10^{10}\ \text{J} \end{aligned} \]

以及

\[ \begin{aligned} U_f &=-\frac{GM_Em}{r_f}\\ &=-\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(1000)} {6.77\times10^6}\\ &=-5.88\times10^{10}\ \text{J} \end{aligned} \]

步驟 3：求出變化量。

\[ \begin{aligned} \Delta U &=U_f-U_i\\ &=(-5.88\times10^{10})-(-6.25\times10^{10})\\ &=+3.69\times10^9\ \text{J} \end{aligned} \]

步驟 4：解釋結果。

衛星增加了 \(3.69\times10^9\ \text{J}\) 的重力勢能。

兩個勢能值都是負的，但最終值沒有那麼負。向外移動使 \(U\) 增加。

如果衛星移動前後的總動能沒有改變，而且沒有其他能量轉移，外力作用者就必須做 \(+3.69\times10^9\ \text{J}\) 的功。重力則會做 \(-3.69\times10^9\ \text{J}\) 的功。

05為甚麼無限遠雖然距離無限，卻只需要有限能量

這裡有一個值得先預測的問題。

假設一個探測器已位於 \(2R_E\)。你把它移到 \(4R_E\)。你是否已經供應了到達無限遠所需能量的大部分，還是只供應了很小的一部分？

你恰好已經供應了從 \(2R_E\) 一直到無限遠所需能量的一半。

原因是重力會按照 \(1/r^2\) 變弱。剩餘距離可能是無限的，但力會變得越來越小。

範例：把探測器從 \(2R_E\) 移到 \(4R_E\)

一個 \(500\ \text{kg}\) 的探測器緩慢地從 \(2R_E\) 移到 \(4R_E\)。計算重力勢能的變化、重力所做的功，以及已供應的逃逸所需能量比例。

使用 \(R_E=6.37\times10^6\ \text{m}\) 和 \(M_E=5.97\times10^{24}\ \text{kg}\)。

步驟 1：求初始勢能。

\[ \begin{aligned} U_i &=-\frac{GM_Em}{2R_E}\\ &=-\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(500)} {2(6.37\times10^6)}\\ &=-1.56\times10^{10}\ \text{J} \end{aligned} \]

步驟 2：求最終勢能。

\[ \begin{aligned} U_f &=-\frac{GM_Em}{4R_E}\\ &=-7.81\times10^9\ \text{J} \end{aligned} \]

步驟 3：計算變化量以及重力所做的功。

\[ \begin{aligned} \Delta U &=U_f-U_i\\ &=(-7.81\times10^9)-(-1.56\times10^{10})\\ &=+7.81\times10^9\ \text{J} \end{aligned} \]

因此，

\[ W_g=-\Delta U=-7.81\times10^9\ \text{J} \]

重力做負功是合理的，因為重力與向外的位移方向相反。

步驟 4：把這個結果與逃逸至無限遠比較。

在無限遠處，

\[ U_\infty=0 \]

因此，從 \(2R_E\) 到無限遠所需的總勢能增加量為

\[ \begin{aligned} \Delta U_{\text{escape}} &=0-(-1.56\times10^{10})\\ &=1.56\times10^{10}\ \text{J} \end{aligned} \]

從 \(2R_E\) 移到 \(4R_E\) 所需的是

\[ \frac{7.81\times10^9}{1.56\times10^{10}} =0.500 \]

即這些能量的 \(50.0\%\)。

探測器距離上只到 \(4R_E\)，離無限遠還極其遙遠，但就重力勢能而言，它已經走完到無限遠的一半。

06\(mgh\) 如何由徑向模型導出

徑向公式並不與 \(mgh\) 矛盾。熟悉的近地表公式其實是它的近似形式。

假設一個物體從地球表面 \(R_E\) 上升到高度 \(h\)。精確地說，

\[ \Delta U =GM_Em\left(\frac{1}{R_E}-\frac{1}{R_E+h}\right) \]

合併分數後得到

\[ \Delta U =\frac{GM_Emh}{R_E(R_E+h)} \]

在地球表面附近，\(h\ll R_E\)，所以

\[ R_E+h\approx R_E \]

因此，

\[ \Delta U\approx\frac{GM_Emh}{R_E^2} \]

但

\[ g=\frac{GM_E}{R_E^2} \]

所以

\[ \Delta U\approx mgh \]

這就是重要的關係：\(mgh\) 是徑向公式在高度很小時的近似版本。

對於很大的高度變化，如果在 \(mgh\) 中使用地表的 \(g\)，就會高估勢能的增加，因為這相當於假裝重力在整個上升過程中都保持同樣強。

07把無限遠設為零是一種約定

學生有時會說：「但我以為重力勢能在地面是零。」

在某些題目中，確實可以這樣設定。

勢能沒有唯一的絕對零點。你可以在每一個 \(U\) 值上加上相同的常數，而不會改變任何可觀測的能量差。

例如，如果你選擇地球表面為零，可以定義

\[ U_{\text{surface zero}} =GM_Em\left(\frac{1}{R_E}-\frac{1}{r}\right) \]

在 \(r=R_E\) 時，

\[ U_{\text{surface zero}}=0 \]

但在無限遠處，

\[ U_{\text{surface zero}}(\infty) =\frac{GM_Em}{R_E} \]

它是正值。

物理上沒有任何東西發生改變。你只是移動了零位準。

這在討論逃逸時很重要。常見的敘述

\[ E_{\text{mechanical}}\geq 0 \]

作為逃逸條件，只在重力勢能被定義為在無限遠處等於零時才成立。

改變 \(U\) 的零點後，總機械能的數值也會增加相同的常數。逃逸條件也必須隨之移動。

08常見陷阱

09問題與解答

對於數值題，使用

\[ G=6.67\times10^{-11}\ \text{N m}^2\text{kg}^{-2}, \qquad M_E=5.97\times10^{24}\ \text{kg}, \qquad R_E=6.37\times10^6\ \text{m} \]

除非另有說明。

問題 1

一顆 \(300\ \text{kg}\) 的衛星位於地球表面上方 \(600\ \text{km}\) 的高度。

計算它相對於無限遠處零位準的重力勢能。解釋答案的正負號代表甚麼。

解答 1

衛星的重力勢能約為 \(-1.71\times10^{10}\ \text{J}\)；負號表示若要使衛星與地球完全分離，就必須加入能量。

首先把高度轉換為米：

\[ h=600\ \text{km}=6.00\times10^5\ \text{m} \]

徑向距離為

\[ \begin{aligned} r &=R_E+h\\ &=6.37\times10^6+6.00\times10^5\\ &=6.97\times10^6\ \text{m} \end{aligned} \]

現在使用

\[ U=-\frac{GM_Em}{r} \]

所以

\[ \begin{aligned} U &=-\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(300)} {6.97\times10^6}\\ &=-1.71\times10^{10}\ \text{J} \end{aligned} \]

一個很容易產生的解讀是，「負能量」表示出了問題，或者衛星以某種方式失去了 \(1.71\times10^{10}\ \text{J}\)。

負號並不是這個意思。零點被選在無限遠處。這個數值告訴我們，衛星的重力勢能需要增加 \(1.71\times10^{10}\ \text{J}\)，才能到達無限大的分離距離。

問題 2

一艘 \(750\ \text{kg}\) 的太空船從 \(300\ \text{km}\) 高度移動到 \(2000\ \text{km}\) 高度。

在轉移過程中，它的引擎對太空船做了 \(1.20\times10^{10}\ \text{J}\) 的淨功。忽略所有其他非重力作用力。

計算：

• 重力勢能的變化，
• 重力所做的功，以及
• 動能的變化。

解答 2

太空船增加了 \(9.09\times10^9\ \text{J}\) 的重力勢能，重力做了 \(-9.09\times10^9\ \text{J}\) 的功，而它的動能增加了 \(2.91\times10^9\ \text{J}\)。

初始和最終半徑分別為

\[ \begin{aligned} r_i&=6.37\times10^6+3.00\times10^5 =6.67\times10^6\ \text{m}\\ r_f&=6.37\times10^6+2.00\times10^6 =8.37\times10^6\ \text{m} \end{aligned} \]

使用

\[ \Delta U =GM_Em\left(\frac{1}{r_i}-\frac{1}{r_f}\right) \]

代入數值，

\[ \begin{aligned} \Delta U &=(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(750) \left( \frac{1}{6.67\times10^6} -\frac{1}{8.37\times10^6} \right)\\ &=9.09\times10^9\ \text{J} \end{aligned} \]

因此，重力所做的功為

\[ W_g=-\Delta U=-9.09\times10^9\ \text{J} \]

引擎把機械能加入系統。因此，

\[ W_{\text{engine}}=\Delta K+\Delta U \]

所以

\[ \begin{aligned} \Delta K &=W_{\text{engine}}-\Delta U\\ &=1.20\times10^{10}-9.09\times10^9\\ &=2.91\times10^9\ \text{J} \end{aligned} \]

一個容易犯的錯誤是認為，既然太空船向上移動，引擎所做的全部功都會轉變成重力勢能。事實並非如此。其中一部分功增加 \(U\)，其餘則增加 \(K\)。

問題 3

一個 \(100\ \text{kg}\) 的物體從地球表面提升到 \(1000\ \text{km}\) 的高度。

分別使用以下方法計算重力勢能的增加量：

1. 精確的徑向重力場公式，以及
2. \(\Delta U=mgh\)，其中 \(g\) 使用地球表面的數值。

\(mgh\) 的結果比精確結果高估了百分之多少？

解答 3

精確的增加量是 \(8.48\times10^8\ \text{J}\)，而 \(mgh\) 給出 \(9.81\times10^8\ \text{J}\)，高估約 \(15.7\%\)。

最終半徑為

\[ r_f=6.37\times10^6+1.00\times10^6 =7.37\times10^6\ \text{m} \]

精確結果是

\[ \Delta U =GM_Em\left(\frac{1}{R_E}-\frac{1}{R_E+h}\right) \]

所以

\[ \begin{aligned} \Delta U &=(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(100) \left( \frac{1}{6.37\times10^6} -\frac{1}{7.37\times10^6} \right)\\ &=8.48\times10^8\ \text{J} \end{aligned} \]

現在計算地表的 \(g\)：

\[ \begin{aligned} g &=\frac{GM_E}{R_E^2}\\ &=\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})} {(6.37\times10^6)^2}\\ &=9.81\ \text{m s}^{-2} \end{aligned} \]

使用 \(mgh\)，

\[ \begin{aligned} \Delta U_{\text{approx}} &=mgh\\ &=(100)(9.81)(1.00\times10^6)\\ &=9.81\times10^8\ \text{J} \end{aligned} \]

以精確值作為基準，百分比高估量為

\[ \begin{aligned} \text{百分比高估量} &=\frac{9.81\times10^8-8.48\times10^8} {8.48\times10^8}\times100\%\\ &=15.7\% \end{aligned} \]

一個容易產生的假設是，在整個上升過程中 \(g=9.81\ \text{m s}^{-2}\)。但 \(1000\ \text{km}\) 與地球半徑相比並不是很小。重力會明顯變弱，因此 \(mgh\) 在路程較高部分計入了過大的力。

問題 4

兩個完全相同的探測器都位於距離地球中心

\[ r_0=2R_E \]

的位置。

兩者的速率相同，

\[ v_0=\sqrt{\frac{GM_E}{r_0}} \]

但探測器 A 的運動方向與徑向方向垂直，而探測器 B 則直接遠離地球。

忽略月球、大氣層以及所有其他作用力。

描述兩個探測器之後的運動。對探測器 B，求出它與地球中心的最大距離。

解答 4

探測器 A 會維持在 \(2R_E\) 的圓形軌道，而探測器 B 會上升到 \(4R_E\)，短暫停止，然後向地球落回。

乍看之下，這可能令人覺得不可能。兩個探測器一開始位於相同半徑，而且具有相同速率，因此它們有相同的重力勢能、相同的動能以及相同的總機械能。

對任何一個探測器，

\[ U=-\frac{GM_Em}{r_0} \]

以及

\[ \begin{aligned} K &=\frac12 mv_0^2\\ &=\frac12m\left(\frac{GM_E}{r_0}\right)\\ &=\frac{GM_Em}{2r_0} \end{aligned} \]

因此，

\[ \begin{aligned} E &=K+U\\ &=\frac{GM_Em}{2r_0} -\frac{GM_Em}{r_0}\\ &=-\frac{GM_Em}{2r_0} \end{aligned} \]

對探測器 A 而言，速度方向是切向的。它的速率滿足

\[ v_0=\sqrt{\frac{GM_E}{r_0}} \]

這正是半徑 \(r_0\) 處的圓軌道速率。因此，重力提供所需的向心力，不斷改變速度方向，但不改變軌道半徑。探測器 A 會保持在 \(2R_E\)。

探測器 B 有相同的速率，但方向沿徑向向外。重力直接與它的運動方向相反，因此探測器會減速。

在其最大半徑 \(r_{\max}\) 處，探測器 B 的徑向速率為零，因此

\[ K=0 \]

而根據機械能守恆，

\[ -\frac{GM_Em}{r_{\max}} =-\frac{GM_Em}{2r_0} \]

約去公因數，

\[ r_{\max}=2r_0 \]

由於 \(r_0=2R_E\)，

\[ r_{\max}=4R_E \]

一個容易走錯的思路是，認為相同的總機械能必定產生相同的運動。單靠能量不足以完全決定一條軌道，速度的方向也很重要。對探測器 A 而言，重力使運動方向向側面彎曲。對探測器 B 而言，重力與運動方向相反，並不斷移除動能，直到探測器停止。

這與分析圓形軌道中重力作為向心力時使用的是同一個區別。

問題 5

一個 \(500\ \text{kg}\) 的探測器起初靜止於一個沒有大氣、也不自轉的地球表面。一具引擎瞬間賦予它 \(2.80\times10^{10}\ \text{J}\) 的動能，方向沿徑向向外。之後引擎關閉。

兩位學生以不同方式描述它的重力勢能。

學生 A 使用

\[ U_A=-\frac{GM_Em}{r} \]

因此在無限遠處 \(U_A=0\)。

學生 B 選擇以地球表面為零點，並使用

\[ U_B=GM_Em\left(\frac{1}{R_E}-\frac{1}{r}\right) \]

學生 B 注意到，剛發射之後，

\[ E_B=K+U_B=2.80\times10^{10}\ \text{J}>0 \]

因此得出結論，認為探測器一定會逃逸。

判斷探測器實際上是否會逃逸。如果不會，求出它與地球中心的最大距離。解釋為甚麼學生 B 的正能量論證會失敗，即使他所使用的勢能公式本身是正確的。

解答 5

探測器不會逃逸；它會到達約 \(6.12\times10^7\ \text{m}\)，即 \(9.60R_E\) 的最大半徑，然後向地球落回。

使用學生 A 把無限遠設為零的約定，地球表面的重力勢能為

\[ \begin{aligned} U_A(R_E) &=-\frac{GM_Em}{R_E}\\ &=-\frac{(6.67\times10^{-11})(5.97\times10^{24})(500)} {6.37\times10^6}\\ &=-3.13\times10^{10}\ \text{J} \end{aligned} \]

引擎剛完成作用之後，

\[ \begin{aligned} E_A &=K+U_A\\ &=2.80\times10^{10}-3.13\times10^{10}\\ &=-3.26\times10^9\ \text{J} \end{aligned} \]

當勢能在無限遠處定為零時，逃逸要求總機械能至少為零。

因為

\[ E_A<0 \]

所以探測器受到引力束縛。

在最大半徑處，它的徑向速率瞬間為零。因此，

\[ K=0 \]

而且

\[ U_A(r_{\max})=E_A \]

所以

\[ -\frac{GM_Em}{r_{\max}} =-3.26\times10^9 \]

因此，

\[ \begin{aligned} r_{\max} &=\frac{GM_Em}{3.26\times10^9}\\ &\approx6.12\times10^7\ \text{m}\\ &\approx9.60R_E \end{aligned} \]

現在考慮學生 B 的約定。

他的公式完全有效。在地球表面，

\[ U_B(R_E)=0 \]

所以發射之後，

\[ E_B=2.80\times10^{10}\ \text{J} \]

錯誤之處在於假設 \(E_B>0\) 就是逃逸條件。

在學生 B 的約定下，無限遠處的重力勢能並不是零：

\[ \begin{aligned} U_B(\infty) &=GM_Em\left(\frac{1}{R_E}-0\right)\\ &=\frac{GM_Em}{R_E}\\ &=3.13\times10^{10}\ \text{J} \end{aligned} \]

若要讓探測器到達無限遠處，而且最終動能為零，那麼在這套約定下，它的總能量必須達到

\[ E_B=3.13\times10^{10}\ \text{J} \]

但它只有

\[ 2.80\times10^{10}\ \text{J} \]

所以還差

\[ 3.13\times10^{10}-2.80\times10^{10} =3.26\times10^9\ \text{J} \]

這與使用學生 A 的約定所得出的能量不足量完全相同。

關鍵在於，改變勢能的零點會使每一個 \(U\) 值，以及因而每一個總機械能值，都平移相同的常數。它不會改變物體的運動。「\(E\geq0\) 就能逃逸」這條規則並不是獨立於參考零點選擇的普遍定律；它只是採用特定約定 \(U(\infty)=0\) 時的簡寫。

10掌握這些概念後，可以進一步做甚麼

一旦你理解負號以及把無限遠處設為零的意義，重力勢能就不再只是一條用來代入數值的公式，而會變得更有用。

你可以把

\[ U=-\frac{GMm}{r} \]

與動能

\[ K=\frac12mv^2 \]

結合起來，分析一個物體是否受到引力束縛、沿徑向發射後可以到達多遠、逃逸需要多少能量，以及能量在軌道中如何變化。

下一個重要步驟是圓形軌道的能量。重力可以讓衛星維持在固定半徑運動，而衛星仍然具有負的重力勢能。把徑向能量模型與圓周運動連結起來，就能解釋為甚麼軌道速率、逃逸速率和軌道半徑彼此相關，而不是三條各自獨立、只能死記硬背的公式。