电子－正电子湮灭：HSC 物理详解

电子－正电子湮灭：HSC 物理详解

电子和正电子可以作为粒子消失，但它们所携带的能量不会消失。假设两者都几乎处于静止状态。你会预期湮灭产生 511 keV、1.022 MeV，还是几乎没有能量？又为什么这些能量不能直接以单一光子的形式离开？这两个问题是大多数电子－正电子湮灭题目的关键。

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01从能量平衡开始

电子 \(e^-\) 和正电子 \(e^+\) 具有相同的质量，但电荷相反。正电子是电子的反粒子。

当两者发生湮灭时，电子和正电子便不再以这两种粒子的形式存在。它们的能量和动量会转移给其他粒子。在 HSC 常用的低能量模型中，产物是两个伽马射线光子。

一个有用的初步模型，是把每个粒子想像成即使静止不动，也具有一份能量。这只是一种比喻：静止质量并不是粒子内部真的藏著一个微型电池。精确的说法来自质能等价关系：

\[ E = mc^2 \]

其中，\(E\) 是与质量 \(m\) 相关的静止能量，而 \(c\) 是真空中的光速。

电子或正电子的静止质量约为

\[ m_e = 9.11\times10^{-31}\text{ kg} \]

因此，其静止能量为

\[ E_{\text{rest}} = m_ec^2 \]

\[ E_{\text{rest}} \approx (9.11\times10^{-31})(3.00\times10^8)^2 \approx 8.19\times10^{-14}\text{ J} \]

这相当于约 \(511\text{ keV}\)，其中 eV 代表电子伏特，而 \(1\text{ keV}=10^3\text{ eV}\)。

重要的是，这里有两个粒子。电子贡献一份静止质量，正电子也贡献另一份。

因此，如果两者都处于静止状态，

\[ E_{\text{pair}} = 2m_ec^2 \]

\[ E_{\text{pair}} \approx 1.64\times10^{-13}\text{ J} \approx 1.022\text{ MeV} \]

所以，对第一个预测问题的答案是：这对粒子的静止质量所提供的总能量为 \(1.022\text{ MeV}\)。

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如果你觉得 \(E=mc^2\) 这条公式似乎突然冒出来，更完整的相对论背景可参阅 爱因斯坦狭义相对论的两个基本假设详解。

02为什么会产生两个光子？

现在来作出预测。

如果电子和正电子起初都处于静止状态，它们能否产生一个能量为 \(1.022\text{ MeV}\) 的光子？

从能量守恒来看，答案似乎是可以。一个光子确实能携带恰好 \(1.022\text{ MeV}\) 的能量。

但能量只是整个计算的一半。

由于电子和正电子都处于静止状态，初始电子－正电子粒子对的总动量为零。然而，光子必定带有动量。光子的动量 \(p\) 与其能量 \(E\) 的关系为

\[ p=\frac{E}{c} \]

因此，单一光子会使系统留下非零动量。系统中没有其他东西可以平衡这个动量。

这违反了动量守恒定律。

两个光子便能解决这个问题。如果它们以相同的动量大小沿相反方向移动，两者的动量就会互相抵消：

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由于光子的动量为 \(p=E/c\)，相等的光子动量也代表相等的光子能量。

因此，对于在静止状态下发生湮灭的电子和正电子，

\[ E_\gamma = \frac{2m_ec^2}{2} = m_ec^2 \]

所以，每个光子的能量为

\[ E_\gamma\approx511\text{ keV} \]

或约为

\[ E_\gamma\approx8.19\times10^{-14}\text{ J} \]

因此，两个光子携带的总能量为 \(511\text{ keV}+511\text{ keV}=1.022\text{ MeV}\)。

关键概念是：

能量守恒决定必须释放多少能量。动量守恒则限制这些能量可以如何释放。

只有在其他物体（例如发生反冲的原子核）也携带动量时，单一光子的情况才有可能成立。那是另一种物理情境。对于一对孤立且起初处于静止状态的电子和正电子，必须产生两个背向而行的光子。

03解题示范：静止状态下的电子与正电子湮灭

一个电子和一个正电子起初都处于静止状态，随后发生湮灭。计算两者的静止质量所提供的总能量，以及产生的两个光子各自的能量。

步骤 1：计算两个粒子。

每个粒子的静止能量都是 \(m_ec^2\)，因此这对粒子的总能量为

\[ E_{\text{total}}=2m_ec^2 \]

步骤 2：代入电子质量和光速。

\[ E_{\text{total}} = 2(9.11\times10^{-31}) (3.00\times10^8)^2 \]

\[ E_{\text{total}} \approx 1.64\times10^{-13}\text{ J} \]

步骤 3：将能量分配给两个光子。

初始总动量为零，因此光子必须沿相反方向移动，且能量相等。

\[ E_\gamma = \frac{1.64\times10^{-13}}{2} \approx 8.19\times10^{-14}\text{ J} \]

步骤 4：将光子能量换算成 keV。

利用 \(1\text{ eV}=1.60\times10^{-19}\text{ J}\)，

\[ E_\gamma \approx 5.11\times10^5\text{ eV} = 511\text{ keV} \]

因此，这对粒子提供的总能量约为 \(1.64\times10^{-13}\text{ J}\)，而每个光子携带的能量约为 \(8.19\times10^{-14}\text{ J}\)，即 \(511\text{ keV}\)。

\(511\text{ keV}\) 是单一电子或正电子的静止能量。\(1.022\text{ MeV}\) 则是整对粒子的静止能量总和。

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04如果粒子正在移动，情况会有什么改变？

\(511\text{ keV}\) 并不是每次电子－正电子湮灭的总能量。

它是单一粒子对应的静止能量。

如果其中任何一个粒子具有动能，这部分能量也会纳入可提供给最终粒子的总能量。令 \(K\) 代表每个粒子的动能。

对于动能相等、动量大小相等且方向相反的两个粒子，

\[ E_{\text{total}} = 2(m_ec^2+K) \]

如果最终状态仍然是两个光子，由于它们的总动量为零，因此两者的能量可以相等。此时，每个光子的能量为

\[ E_\gamma=m_ec^2+K \]

这是对基本结果的一个有用延伸。

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解题示范：具有动能时的湮灭

一个电子和一个正电子具有大小相等、方向相反的动量。两者各有 \(200\text{ keV}\) 的动能。它们湮灭并产生两个光子。计算每个光子的能量。

步骤 1：求其中一个入射粒子的总能量。

每个粒子具有 \(511\text{ keV}\) 的静止能量和 \(200\text{ keV}\) 的动能。

\[ E_{\text{one}} = 511+200 = 711\text{ keV} \]

步骤 2：求这对粒子的总能量。

\[ E_{\text{total}} = 2(711) = 1422\text{ keV} = 1.422\text{ MeV} \]

步骤 3：运用动量守恒。

入射粒子的动量大小相等、方向相反，因此初始总动量为零。两个光子也必须具有大小相等、方向相反的动量。

光子动量相等，代表光子能量也相等。

\[ E_\gamma = \frac{1422}{2} = 711\text{ keV} \]

换算成焦耳，

\[ E_\gamma = 711\times10^3 (1.60\times10^{-19}) \approx 1.14\times10^{-13}\text{ J} \]

因此，每个光子携带 \(711\text{ keV}\)，而不是 \(511\text{ keV}\)。

一种很容易令人误入歧途的做法，是死记「电子－正电子湮灭会产生两个 \(511\text{ keV}\) 光子」。这只适用于静止状态的情况。在这道题目中，每个入射粒子额外具有的 \(200\text{ keV}\) 动能，也必须转移到其他地方。

还有一个更精确的细节。如果电子－正电子粒子对具有非零的总动量，那么在实验室参考系中，两个光子的能量不一定相等。要得到两个光子能量相等的结果，必须在粒子对总动量为零的参考系中进行分析。

另一个透过高能粒子考查相对论的例子，可参阅 粒子加速器如何验证相对论。

05现实世界中的应用：PET

\(511\text{ keV}\) 的光子不只是教科书上的数字。

在正电子放射断层扫描（PET）中，放射性示踪剂会发射正电子。正电子穿过周围物质时，会失去大部分动能。接著，它可能遇到一个电子并发生湮灭。

在理想化的 HSC 模型中，湮灭会产生两个 \(511\text{ keV}\) 的伽马光子，并沿相反方向移动。

PET 扫描器在病人周围配置了探测器。当两个探测器几乎同时侦测到光子时，扫描器便可以推断湮灭事件发生在连接这两个探测器的直线上某处。

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再次留意，这里仍然是同样的两个概念在发挥作用：

• \(E=mc^2\) 给出电子和正电子静止质量所对应的能量。
• 动量守恒解释了为什么在理想化的静止状态下，光子会沿相反方向发射。

06HSC 解题判断规则

看到电子－正电子湮灭题目时，不要立即写下 \(511\text{ keV}\)。首先要判断题目描述的是哪一种物理情境。

最常见的陷阱包括：

「正电子具有正质量。」
不是。正电子的质量与电子相同，都是正值。两者的电荷才是相反的。

「两个粒子的质量被摧毁了。」
粒子本身的身分不再存在，但总能量和总动量仍然守恒。静止质量会对最终粒子所携带的能量作出贡献。

「每个光子都会得到 \(1.022\text{ MeV}\)。」
不是。\(1.022\text{ MeV}\) 是两个粒子的静止能量总和。对于静止的粒子对产生两个光子的情况，每个光子会得到 \(511\text{ keV}\)。

「只要考虑能量守恒就足够了。」
不是。最终粒子也必须符合动量守恒。这就是为什么起初处于静止状态的孤立粒子对必须产生两个方向相反的光子。

「\(511\text{ keV}\) 的结果永远适用。」
只有当相关电子－正电子系统在所考虑的参考系中，总动量为零且动能可忽略时，才适用这个结果。

07题目与解答

题目 1

一个电子和一个正电子起初都处于静止状态，并湮灭产生两个伽马射线光子。

使用 \(m_e=9.11\times10^{-31}\text{ kg}\) 和 \(c=3.00\times10^8\text{ m s}^{-1}\)。

(a) 计算电子和正电子的静止质量所提供的总能量。

(b) 计算每个光子的能量，分别以焦耳和 keV 表示。

解答 1

总能量约为 \(1.64\times10^{-13}\text{ J}\)，每个光子携带的能量约为 \(8.19\times10^{-14}\text{ J}=511\text{ keV}\)。

步骤 1：将两个粒子的静止质量都计算在内。

\[ E_{\text{total}}=2m_ec^2 \]

\[ E_{\text{total}} = 2(9.11\times10^{-31}) (3.00\times10^8)^2 \]

\[ E_{\text{total}} \approx1.64\times10^{-13}\text{ J} \]

步骤 2：将总能量平均分配给两个光子。

由于初始动量为零，两个光子必须具有大小相等、方向相反的动量。因此，两者的能量相等。

\[ E_\gamma = \frac{1.64\times10^{-13}}{2} \approx8.19\times10^{-14}\text{ J} \]

步骤 3：换算成 keV。

\[ E_\gamma = \frac{8.19\times10^{-14}} {1.60\times10^{-19}} \approx5.11\times10^5\text{ eV} \]

\[ E_\gamma\approx511\text{ keV} \]

一个很容易犯的错误，是用 \(m_ec^2\) 代表整个事件的能量。这只计算了一个粒子。湮灭涉及电子和正电子两者，因此必须计算两份静止能量。

题目 2

一个电子和一个正电子具有大小相等、方向相反的动量。在湮灭之前，两者各有 \(200\text{ keV}\) 的动能。

假设湮灭恰好产生两个光子。

计算每个光子的能量。

解答 2

每个光子的能量为 \(711\text{ keV}\)，或约为 \(1.14\times10^{-13}\text{ J}\)。

步骤 1：将单一入射粒子的静止能量和动能相加。

\[ E_{\text{one}} = 511\text{ keV}+200\text{ keV} = 711\text{ keV} \]

步骤 2：求两个粒子的总能量。

\[ E_{\text{total}} = 2(711) = 1422\text{ keV} \]

步骤 3：应用动量守恒。

入射粒子的动量大小相等、方向相反，因此初始总动量为零。两个光子也必须具有大小相等、方向相反的动量，这代表它们的能量相等。

\[ E_\gamma = \frac{1422}{2} = 711\text{ keV} \]

换算成焦耳，

\[ E_\gamma = 711\times10^3 (1.60\times10^{-19}) \]

\[ E_\gamma \approx1.14\times10^{-13}\text{ J} \]

很容易犯的错误，是直接引用熟悉的 \(511\text{ keV}\) 结果。真正改变答案的因素是额外的动能：根据能量守恒，每个入射粒子的 \(200\text{ keV}\) 动能也必须出现在最终状态中。

题目 3

一对孤立的电子和正电子起初处于静止状态。一名学生提出以下反应：

\[ e^-+e^+\rightarrow\gamma \]

其中，单一光子携带 \(1.022\text{ MeV}\) 的能量。

解释为什么这不可能是完整的最终状态。指出最简单且符合守恒定律的双光子结果。

解答 3

单光子最终状态不可能成立，因为它违反动量守恒。符合条件的双光子结果是两个各为 \(511\text{ keV}\) 的光子，沿相反方向移动。

学生的能量计算是正确的：

\[ E_{\text{initial}} = 2m_ec^2 \approx1.022\text{ MeV} \]

因此，单靠能量守恒无法发现问题。

问题在于动量。

初始粒子对处于静止状态，所以

\[ p_{\text{initial}}=0 \]

如果光子具有非零能量，就不可能同时具有零动量。其动量为

\[ p_\gamma=\frac{E_\gamma}{c} \]

因此，一个能量为 \(1.022\text{ MeV}\) 的光子会使最终系统具有非零动量。

没有第二个物体可以提供大小相等、方向相反的动量，因此动量无法守恒。

如果有两个光子，它们的动量就可以互相抵消：

\[ \vec p_1+\vec p_2=0 \]

这要求两个光子沿相反方向移动，且动量大小相等。由于 \(p=E/c\)，它们的能量也必须相等：

\[ E_1=E_2=511\text{ keV} \]

容易令人误入歧途的做法，是只检查 \(E=mc^2\)。真正改变结果的限制条件是动量守恒。

题目 4

某个来源含有 \(3.00\times10^8\) 对电子－正电子粒子。假设每一对粒子都在静止状态下湮灭，并产生两个光子。

探测器吸收了湮灭总能量的 \(85.0\%\)。

计算探测器吸收的能量，以焦耳表示。

解答 4

探测器吸收的能量约为 \(4.17\times10^{-5}\text{ J}\)。

步骤 1：求一对粒子释放的能量。

每一对粒子贡献的能量约为 \(1.022\text{ MeV}\)。

换算成焦耳：

\[ E_{\text{pair}} = 1.022\times10^6 (1.60\times10^{-19}) \]

\[ E_{\text{pair}} \approx1.64\times10^{-13}\text{ J} \]

步骤 2：乘以粒子对的数量。

\[ E_{\text{total}} = (3.00\times10^8) (1.64\times10^{-13}) \]

\[ E_{\text{total}} \approx4.92\times10^{-5}\text{ J} \]

步骤 3：套用探测器的吸收率。

吸收率为 \(85.0\%\)，代表乘以 \(0.850\)：

\[ E_{\text{absorbed}} = 0.850(4.92\times10^{-5}) \]

\[ E_{\text{absorbed}} \approx4.17\times10^{-5}\text{ J} \]

一个容易犯的错误，是把 \(85.0\%\) 当成损失的能量比例。它代表吸收的比例，因此正确的乘数是 \(0.850\)。

即使粒子对的数量很大，物理原理仍然相同：先计算每次湮灭的能量，再乘以湮灭次数，最后考虑探测器实际吸收的能量。

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题目 5

在自由空间中，探测到两个来自孤立电子－正电子湮灭的伽马射线光子。

其中一个光子的能量为 \(700\text{ keV}\)，另一个为 \(322\text{ keV}\)，两个光子的移动方向之间的夹角为 \(120^\circ\)。

一名学生提出以下论点：

「这一定有可能。\(700+322=1022\text{ keV}\)，正好等于电子和正电子的静止能量。」

这名学生的说法正确吗？请同时利用能量守恒和动量守恒加以解释。

假设初始电子－正电子粒子对处于静止状态，而且没有其他物体可以承担动量。

解答 5

这名学生的说法不正确。两个光子的能量相加确实得到正确的总能量，但它们的动量无法满足初始静止电子－正电子粒子的零总动量条件。

第一个计算很容易令人信服，因为结果看起来完全正确：

\[ 700+322=1022\text{ keV} \]

因此，这两个光子的总能量恰好等于粒子对的静止能量。

但这反而带来更严格的限制。如果初始粒子对处于静止状态，其总能量已经是可能的最低值：

\[ E_{\text{initial}}=2m_ec^2\approx1.022\text{ MeV} \]

没有额外的动能可供使用。

因此，初始总动量必须为零。

现在考虑这两个光子。每个光子的动量为

\[ p=\frac{E}{c} \]

要使两个光子的动量互相抵消，两个动量向量必须指向相反方向，而且大小相等。

但在这道题目中，这两个条件都不成立。

首先，两个光子的移动方向夹角为 \(120^\circ\)，而不是 \(180^\circ\)，因此它们的动量向量无法互相抵消。

其次，两个光子的能量不同：

\[ 700\text{ keV}\neq322\text{ keV} \]

因此，它们的动量大小也不同。

甚至可以计算出合成动量的非零大小。若 \(p_{\text{net}}\) 代表两个光子合成动量的大小，

\[ p_{\text{net}}c = \sqrt{ E_1^2+E_2^2 + 2E_1E_2\cos120^\circ } \]

代入 \(E_1=700\text{ keV}\) 和 \(E_2=322\text{ keV}\)，

\[ p_{\text{net}}c\approx607\text{ keV} \]

因此，这两个光子确实具有非零的总动量。

这不可能与起初处于静止状态的电子－正电子粒子对相符。

这道题目的关键在于，总能量正确，并不代表最终状态在物理上一定可行。由于两个光子的能量已经用尽全部 \(1.022\text{ MeV}\) 的静止能量，因此粒子对不可能暗中具有额外动能，借此提供所需的初始动量。

对于一对孤立且起初处于静止状态的粒子，双光子结果有更严格的限制：两个光子的能量必须各为 \(511\text{ keV}\)，并且沿相反方向移动。

这是应用在较困难 HSC 题目中很有用的解题模式：先计算能量，再判断所提出的最终粒子是否也能符合动量守恒。质能等价关系告诉你有哪些能量可供使用；守恒定律则决定实际上哪些情况能够发生。