حفظ الزخم في بُعدين لفيزياء HSC
تعلّم كيفية حفظ الزخم بصورة مستقلة في اتجاهين متعامدين، وتحليل المتجهات إلى مركبات، وتجنّب الأخطاء الشائعة في التصادمات ثنائية الأبعاد.
ينزلق قرص هوكي نحو الشرق، ويصطدم بقرص آخر، ثم ينطلق القرصان في اتجاهين يصنعان زاوية. أنت تعرف بالفعل أن الزخم محفوظ في التصادم، لكن توجد مشكلة واضحة: أصبح الزخم الآن يشير إلى اتجاهات مختلفة. لا يمكنك ببساطة جمع السرعات.
قبل أن تتابع القراءة، توقّع الإجابة عن السؤال الآتي: إذا بقي الزخم الكلي نحو الشرق دون تغيير أثناء التصادم، فهل يعني ذلك تلقائيًا أن الزخم الكلي نحو الشمال بقي دون تغيير أيضًا؟
نعم، بشرط أن يكون الدفع الخارجي المؤثر في النظام ضئيلًا. المفتاح هنا هو أن الزخم كمية متجهة. ينطبق حفظ الزخم على المتجه بأكمله، وهذا يعني أن مركبتيه المتعامدتين تُحفظان كلٌّ على حدة. عمليًا، نختار عادةً اتجاهًا \(x\) واتجاهًا \(y\)، ثم نحل مسألتين أبسط لحفظ الزخم في بُعد واحد.
01الفكرة الأساسية: تقسيم الحركة إلى اتجاهين
تخيّل أنك تشاهد طائرة مسيّرة تطير قطريًا نحو الشمال الشرقي. يمكنك وصف سرعتها بطريقتين متكافئتين:
- متجه سرعة قطري واحد، أو
- مركبة سرعة نحو الشرق بالإضافة إلى مركبة سرعة نحو الشمال.
تنطبق الفكرة نفسها على الزخم.
الزخم هو
\[ \vec p = m\vec v \]
حيث إن \(\vec p\) هو الزخم بوحدة \(\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)، و\(m\) هي الكتلة بالكيلوغرام، و\(\vec v\) هي السرعة المتجهة بوحدة \(\mathrm{m\,s^{-1}}\).
وبما أن للسرعة المتجهة اتجاهًا، فإن للزخم اتجاهًا أيضًا.
لنفترض أن جسمًا يتحرك بسرعة مقدارها \(v\)، بزاوية \(\theta\) أعلى المحور \(x\) الموجب. تكون مركبتا سرعته
\[ v_x = v\cos\theta \]
و
\[ v_y = v\sin\theta. \]
وبالتالي، تكون مركبتا زخمه
\[ p_x = mv\cos\theta \]
و
\[ p_y = mv\sin\theta. \]
الفكرة التي ينبغي أن تتخيلها بسيطة: الزخم القطري سهم واحد، لكننا نصف هذا السهم باستخدام قياسين متعامدين.
لا يعني ذلك أن الجسم يمتلك زخمَين منفصلَين. فالمركبتان \(x\) و\(y\) مجرد جزأين من متجه الزخم نفسه.
02لماذا يمكننا حفظ زخم \(x\) وزخم \(y\) كلٌّ على حدة؟
بالنسبة إلى نظام يكون فيه الدفع الخارجي ضئيلًا،
\[ \vec p_{\text{initial}} = \vec p_{\text{final}}. \]
تعني المساواة بين متجهين أن مركباتهما يجب أن تكون متساوية أيضًا. لذلك،
\[ p_{x,\text{initial}} = p_{x,\text{final}} \]
و
\[ p_{y,\text{initial}} = p_{y,\text{final}}. \]
وبالنسبة إلى عدة أجسام، تصبح العلاقة
\[ \sum p_{x,\text{initial}} = \sum p_{x,\text{final}} \]
و
\[ \sum p_{y,\text{initial}} = \sum p_{y,\text{final}}. \]
هذه هي الطريقة الأساسية التي تقوم عليها مسائل الزخم ثنائي الأبعاد.
يمكن تشبيه الأمر بتقسيم فاتورة مطعم إلى طعام ومشروبات، رغم أن التشبيه يبدو سخيفًا بعض الشيء. إذا بقي إجمالي الفاتورة قبل مراجعة الإيصال وبعدها دون تغيير، فيجب أن يتطابق مجموع كل فئة على حدة. لا يمكنك تعويض مبلغ مفقود قدره 20 دولارًا في حساب الطعام بالقول إن هناك مبلغًا إضافيًا قدره 20 دولارًا في حساب المشروبات، إذا كنت تحاسب كل فئة بصورة مستقلة.
لكن هذا التشبيه لا ينطبق تمامًا، لأن مركبات الزخم ليست فئات مادية، بل مركبات رياضية لمتجه واحد. ومع ذلك، تظل فكرة تنظيم الحسابات مفيدة.
03اختيار الإشارات قبل إجراء الحسابات
معظم الأخطاء في مسائل الزخم ثنائي الأبعاد ليست في الحقيقة أخطاءً في الزخم نفسه، بل هي أخطاء في الإشارات.
اختر الاتجاهات الموجبة قبل إجراء أي حسابات. ومن الخيارات الشائعة:
- اليمين أو الشرق: \(+x\)
- اليسار أو الغرب: \(-x\)
- الأعلى أو الشمال: \(+y\)
- الأسفل أو الجنوب: \(-y\)
ثم التزم بهذا الاختيار.
على سبيل المثال، إذا تحرك جسم بسرعة \(10\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)، بزاوية \(40^\circ\) شمال الغرب، فإن
\[ v_x = -10\cos40^\circ \]
و
\[ v_y = 10\sin40^\circ. \]
ليست قيمة جيب التمام سالبة لأن دالة جيب التمام تتصرف بطريقة غير مألوفة. إنما تكون مركبة \(x\) سالبة لأن الجسم يتحرك غربًا، وهو الاتجاه الذي اخترناه ليكون اتجاه المحور \(x\) السالب.
جدول مفيد للمركبات
في التصادمات المعقدة، نظّم المعطيات قبل كتابة معادلة حفظ الزخم.
| الجسم | \(p_x\) | \(p_y\) |
|---|---|---|
| الجسم A في البداية | \(m_Av_{Ax}\) | \(m_Av_{Ay}\) |
| الجسم B في البداية | \(m_Bv_{Bx}\) | \(m_Bv_{By}\) |
| الجسم A في النهاية | \(m_Av'_{Ax}\) | \(m_Av'_{Ay}\) |
| الجسم B في النهاية | \(m_Bv'_{Bx}\) | \(m_Bv'_{By}\) |
يشير رمز الشرطة العليا ببساطة إلى «بعد التفاعل».
بعد ذلك، طبّق قانون حفظ الزخم على كل عمود على حدة.
04مثال محلول: التصاق قرصين معًا
يتحرك قرص كتلته \(0.40\ \mathrm{kg}\) نحو الشرق بسرعة \(5.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). ويصطدم بقرص كتلته \(0.30\ \mathrm{kg}\) يتحرك نحو الشمال بسرعة \(4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). يلتصق القرصان معًا. أوجد السرعة المتجهة النهائية لهما.
الخطوة 1
اعتبر الشرق هو \(+x\)، والشمال هو \(+y\).
بالنسبة إلى القرص الذي كتلته \(0.40\ \mathrm{kg}\)،
\[ p_{1x} = mv = (0.40)(5.0) = 2.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \]
و
\[ p_{1y}=0. \]
أما بالنسبة إلى القرص الذي كتلته \(0.30\ \mathrm{kg}\)،
\[ p_{2x}=0 \]
و
\[ p_{2y}=(0.30)(4.0)=1.2\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. \]
إذن، مركبتا الزخم الابتدائي الكلي هما
\[ p_x=2.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}, \qquad p_y=1.2\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. \]
الخطوة 2
الكتلة الكلية بعد التصادم هي
\[ m=0.40+0.30=0.70\ \mathrm{kg}. \]
في اتجاه \(x\)،
\[ 2.0=(0.70)v_x, \]
ومن ثم
\[ v_x=2.86\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]
وفي اتجاه \(y\)،
\[ 1.2=(0.70)v_y, \]
ومن ثم
\[ v_y=1.71\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]
الخطوة 3
باستخدام نظرية فيثاغورس،
\[ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2} =\sqrt{(2.86)^2+(1.71)^2} =3.33\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]
الخطوة 4
إذا قيس الاتجاه شمالًا من الشرق،
\[ \tan\theta=\frac{v_y}{v_x} =\frac{1.71}{2.86}, \]
ومن ثم
\[ \theta=31.0^\circ. \]
إذن، السرعة المتجهة النهائية تساوي تقريبًا
\[ \boxed{3.33\ \mathrm{m\,s^{-1}}\text{ بزاوية }31.0^\circ\text{ شمال الشرق}}. \]
تبدو النتيجة منطقية من الناحية الفيزيائية. فقد كان هناك زخم نحو الشرق وزخم نحو الشمال في البداية، لذلك يجب أن يتحرك القرصان الملتصقان في اتجاه يجمع بين المركبتين.
05الخطأ الأكثر إغراءً: حفظ السرعة بدلًا من الزخم
لنفترض أن كرتين متماثلتين تقتربان من التصادم بزاويتين مختلفتين. قد يعتقد أحد الطلاب: «يجب أن يساوي مجموع السرعات قبل التصادم مجموع السرعات بعده، لأن الزخم محفوظ».
يبدو ذلك معقولًا، لكنه خطأ.
الزخم هو
\[ \vec p=m\vec v, \]
لذلك فإن كلًّا من الكتلة واتجاه السرعة المتجهة مهم. لا يعني حفظ الزخم أن مقادير السرعات الفردية تظل ثابتة. كما أنه لا يعني حتى أن الطاقة الحركية تظل ثابتة.
في التصادم غير المرن، يمكن أن تنخفض الطاقة الحركية بينما يظل الزخم محفوظًا.
السؤال الصحيح الذي ينبغي طرحه ليس:
ماذا يحدث لمقادير السرعات؟
بل:
ما مركبتا الزخم الكليتين \(x\) و\(y\) قبل التفاعل وبعده؟
06لا تحفظ مقادير المتجهات
إليك فخًا آخر.
لنفترض أن الزخم الابتدائي الكلي هو
\[ \vec p=(3,4)\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. \]
مقداره هو
\[ |\vec p|=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. \]
هل يحقق الزخم النهائي
\[ \vec p=(-3,4)\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \]
قانون حفظ الزخم؟
لا.
كلا المتجهين له مقدار \(5\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\)، لكنهما يشيران إلى اتجاهين مختلفين. فقد تغيرت مركبة \(x\) من \(+3\) إلى \(-3\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\).
يتطلب حفظ الزخم أن يظل المتجه دون تغيير، لا أن يظل مقداره فقط ثابتًا.
07مثال محلول: إيجاد سرعة مجهولة بعد التصادم
يتحرك الجسم A، الذي كتلته \(0.60\ \mathrm{kg}\)، نحو الشرق بسرعة \(6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). ويتحرك الجسم B، الذي كتلته \(0.40\ \mathrm{kg}\)، بسرعة \(5.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)، بزاوية \(60^\circ\) شمال الغرب.
يتصادم الجسمان. وبعد التصادم، يتحرك الجسم A بسرعة \(4.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)، بزاوية \(30^\circ\) شمال الشرق.
بافتراض أن الدفع الخارجي ضئيل، أوجد السرعة المتجهة النهائية للجسم B.
الخطوة 1
بالنسبة إلى الجسم A،
\[ p_{Ax}=(0.60)(6.0)=3.60\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}, \]
و
\[ p_{Ay}=0. \]
الخطوة 2
لأن الجسم B يتحرك في البداية شمال الغرب، فإن مركبة \(x\) سالبة ومركبة \(y\) موجبة.
\[ v_{Bx}=-5.0\cos60^\circ=-2.50\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \]
\[ v_{By}=5.0\sin60^\circ=4.33\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]
وبالتالي،
\[ p_{Bx}=(0.40)(-2.50)=-1.00\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}, \]
\[ p_{By}=(0.40)(4.33)=1.73\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. \]
إذن، الزخم الابتدائي الكلي هو
\[ p_{x,\text{initial}}=3.60-1.00=2.60\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}, \]
\[ p_{y,\text{initial}}=1.73\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. \]
الخطوة 3
مركبتا سرعته النهائية هما
\[ v'_{Ax}=4.0\cos30^\circ=3.46\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \]
\[ v'_{Ay}=4.0\sin30^\circ=2.00\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]
وعليه،
\[ p'_{Ax}=(0.60)(3.46)=2.08\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}, \]
\[ p'_{Ay}=(0.60)(2.00)=1.20\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. \]
الخطوة 4
في اتجاه \(x\)،
\[ 2.60=2.08+p'_{Bx}, \]
ومن ثم
\[ p'_{Bx}=0.52\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. \]
وفي اتجاه \(y\)،
\[ 1.73=1.20+p'_{By}, \]
ومن ثم
\[ p'_{By}=0.53\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. \]
الخطوة 5
بما أن كتلة الجسم B تساوي \(0.40\ \mathrm{kg}\)، فإن
\[ v'_{Bx}=\frac{0.52}{0.40}=1.30\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \]
\[ v'_{By}=\frac{0.53}{0.40}=1.33\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]
الخطوة 6
\[ v'_B=\sqrt{(1.30)^2+(1.33)^2} =1.86\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]
أما الاتجاه فهو
\[ \tan\theta=\frac{1.33}{1.30}, \]
ومن ثم
\[ \theta\approx45.6^\circ. \]
إذن، السرعة المتجهة النهائية للجسم B تساوي تقريبًا
\[ \boxed{1.86\ \mathrm{m\,s^{-1}}\text{ بزاوية }45.6^\circ\text{ شمال الشرق}}. \]
لاحظ ما حدث لاتجاه حركة الجسم B على المحور \(x\). فقد كان يتحرك في البداية نحو الغرب، لكنه يتحرك نحو الشرق بعد التصادم. وتُظهر الإشارات في معادلات المركبات هذا التغير تلقائيًا.
08طريقة موثوقة لحل أي مسألة زخم ثنائي الأبعاد
في معظم مسائل HSC، اتبع التسلسل الآتي:
- اختر الاتجاهين \(+x\) و\(+y\). عادةً ما يكون اليمين والأعلى خيارين مناسبين.
- ارسم اتجاه سرعة كل جسم أو حدده ذهنيًا.
- حلّل السرعات المائلة إلى مركبات.
- اضرب مركبات السرعة في الكتلة للحصول على مركبات الزخم.
- اجمع جميع قيم زخم \(x\) الابتدائي.
- اجمع جميع قيم زخم \(y\) الابتدائي.
- طبّق حفظ الزخم في اتجاه \(x\).
- طبّق حفظ الزخم في اتجاه \(y\).
- حل لإيجاد المركبات المجهولة.
- أعد جمع المركبات في النهاية فقط، باستخدام نظرية فيثاغورس وعلم المثلثات إذا كنت بحاجة إلى إيجاد المقدار والاتجاه.
هناك سبب لتأجيل إيجاد المقدار النهائي. إذ يكون تطبيق قانون الحفظ على المركبات أكثر سهولة ووضوحًا. أما محاولة التعامل مع مقادير المتجهات القطرية منذ البداية، فعادةً ما تؤدي إلى تعقيدات هندسية غير ضرورية.
09متى يكون الزخم محفوظًا فعلًا؟
تشير عبارة «الزخم محفوظ» دائمًا إلى نظام محدد نختاره.
بالنسبة إلى نظام ما،
\[ \Delta\vec p=\vec J_{\text{ext}}, \]
حيث إن \(\vec J_{\text{ext}}\) هو محصلة الدفع الخارجي.
إذا كان الدفع الخارجي يساوي صفرًا أو كان ضئيلًا أثناء التفاعل،
\[ \Delta\vec p\approx0, \]
فإن الزخم الكلي يكون محفوظًا تقريبًا.
وهذا مهم في التصادمات لأن القوى التي تؤثر بها الأجسام بعضها في بعض هي قوى داخلية. ويمكن لهذه القوى أن تغيّر زخم كل جسم على حدة بدرجة كبيرة، مع بقاء الزخم الكلي للنظام بأكمله دون تغيير.
على سبيل المثال، إذا تصادم قرصان على سطح يكاد يكون عديم الاحتكاك، فإن اختيار القرصين معًا ليشكّلا النظام يجعل استخدام قانون حفظ الزخم مفيدًا في كثير من الأحيان.
أما إذا اخترت قرصًا واحدًا فقط ليكون نظامك، فإن القوة التي يؤثر بها القرص الآخر فيه تُعد قوة خارجية بالنسبة إلى ذلك النظام. وعادةً ما يكون زخم ذلك القرص غير محفوظ.
10ماذا لو وُجد دفع خارجي في اتجاه واحد فقط؟
هنا تزداد فائدة فصل \(x\) عن \(y\).
تخيّل كرة تصطدم بجدار رأسي أملس. أثناء التصادم، يؤثر الجدار بقوة أفقية كبيرة في الكرة. وإذا كان الدفع الناتج عن بقية القوى ضئيلًا، فإن الدفع الخارجي يكون أفقيًا في الأساس.
ينبغي أن تتوقع ما يلي:
- يمكن أن يتغير الزخم الأفقي للكرة.
- قد يظل الزخم الرأسي دون تغيير تقريبًا.
لذلك، من الممكن أن يكون الزخم محفوظًا في إحدى المركبتين وغير محفوظ في الأخرى بالنسبة إلى نظام مختار.
ولا يوجد تناقض في ذلك. فالصيغة المركّبية للعلاقة بين الدفع والزخم هي
\[ \Delta p_x=J_x \]
و
\[ \Delta p_y=J_y. \]
إذا كان \(J_y=0\)، فإن \(p_y\) يكون محفوظًا حتى لو كان \(J_x\neq0\).
تصبح هذه الفكرة مفيدة خصوصًا عند تحليل التصادمات مع الجدران أو الأسطح المائلة أو الأنظمة التي تتأثر بقوى خارجية.
11الأسئلة والحلول
السؤال 1
يتحرك جسم كتلته \(0.50\ \mathrm{kg}\) بسرعة \(8.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)، بزاوية \(30^\circ\) شمال الشرق. احسب مركبتي زخمه على المحورين \(x\) و\(y\).
الحل 1
مركبتا الزخم هما \(\boxed{3.46\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\text{ نحو الشرق}}\) و\(\boxed{2.00\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\text{ نحو الشمال}}\).
أولًا، أوجد مقدار الزخم الكلي:
\[ p=mv=(0.50)(8.0)=4.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. \]
المركبتان هما
\[ p_x=p\cos30^\circ =(4.0)\cos30^\circ =3.46\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}, \]
و
\[ p_y=p\sin30^\circ =(4.0)\sin30^\circ =2.00\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. \]
كلتا المركبتين موجبتان لأن الجسم يتحرك نحو الشمال والشرق. والخطأ الشائع هو استخدام \(8.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\) مباشرةً على أنه زخم. فالزخم يعتمد أيضًا على الكتلة.
السؤال 2
يتحرك قرص كتلته \(0.20\ \mathrm{kg}\) نحو الشرق بسرعة \(6.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)، ويصطدم بقرص ساكن كتلته \(0.30\ \mathrm{kg}\). يلتصق القرصان معًا.
أوجد مقدار السرعة المتجهة النهائية لهما واتجاهها.
الحل 2
يتحرك القرصان الملتصقان بسرعة \(\boxed{2.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}\text{ نحو الشرق}}\).
في البداية، يكون الزخم كله في اتجاه \(x\):
\[ p_{x,\text{initial}}=(0.20)(6.0)=1.2\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. \]
ولا يوجد زخم ابتدائي في اتجاه \(y\):
\[ p_{y,\text{initial}}=0. \]
الكتلة النهائية الكلية هي
\[ m=0.20+0.30=0.50\ \mathrm{kg}. \]
بتطبيق حفظ الزخم في اتجاه \(x\)،
\[ 1.2=(0.50)v_x, \]
ومن ثم
\[ v_x=2.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]
أما حفظ الزخم في اتجاه \(y\)، فيعطي
\[ 0=(0.50)v_y, \]
ومن ثم
\[ v_y=0. \]
إذن، السرعة المتجهة النهائية نحو الشرق فقط. وتظل طريقة الحل ثنائية الأبعاد صالحة حتى عندما تكون إحدى المركبتين مساوية للصفر.
السؤال 3
يتحرك قرص كتلته \(0.40\ \mathrm{kg}\) نحو الشرق بسرعة \(5.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\). ويصطدم بقرص كتلته \(0.60\ \mathrm{kg}\) يتحرك نحو الجنوب بسرعة \(2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}\)، ثم يلتصق القرصان معًا.
أوجد مقدار السرعة المتجهة النهائية لهما واتجاهها.
الحل 3
يتحرك القرصان الملتصقان بسرعة مقدارها \(\boxed{2.33\ \mathrm{m\,s^{-1}}}\)، وبزاوية تقارب \(\boxed{31.0^\circ\text{ جنوب الشرق}}\).
اعتبر الشرق هو \(+x\)، والشمال هو \(+y\).
الزخم الابتدائي في اتجاه \(x\) هو
\[ p_x=(0.40)(5.0)=2.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. \]
يتحرك القرص الثاني نحو الجنوب، لذلك يكون زخمه في اتجاه \(y\) سالبًا:
\[ p_y=(0.60)(-2.0)=-1.2\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. \]
الكتلة الكلية للقرصين الملتصقين هي
\[ m=0.40+0.60=1.00\ \mathrm{kg}. \]
لذلك،
\[ v_x=\frac{2.0}{1.00}=2.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \]
و
\[ v_y=\frac{-1.2}{1.00}=-1.2\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]
مقدار السرعة هو
\[ v=\sqrt{(2.0)^2+(-1.2)^2} =2.33\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]
ولإيجاد الاتجاه،
\[ \tan\theta=\frac{|v_y|}{|v_x|} =\frac{1.2}{2.0}, \]
ومن ثم
\[ \theta=31.0^\circ. \]
وبما أن \(v_x\) موجب و\(v_y\) سالب، فإن الاتجاه هو جنوب الشرق. ولا تعني الإشارة السالبة أن السرعة سالبة، بل تحدد اتجاه مركبة \(y\).
السؤال 4
ينفجر جسم ساكن إلى ثلاث شظايا على سطح أفقي. زخم الشظية A هو
\[ \vec p_A=(4.0,\,3.0)\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}, \]
وزخم الشظية B هو
\[ \vec p_B=(-1.0,\,2.0)\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. \]
الدفع الخارجي أثناء الانفجار ضئيل.
أوجد متجه زخم الشظية C، ثم احسب مقداره واتجاهه.
الحل 4
زخم الشظية C هو \(\boxed{\vec p_C=(-3.0,\,-5.0)\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}}\)، ومقداره \(\boxed{5.83\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}}\)، واتجاهه يقارب \(\boxed{59.0^\circ\text{ جنوب الغرب}}\).
كان الجسم ساكنًا في البداية، لذلك كان زخمه الابتدائي الكلي يساوي صفرًا:
\[ \vec p_{\text{initial}}=(0,0). \]
وبالتالي، يتطلب حفظ الزخم أن
\[ \vec p_A+\vec p_B+\vec p_C=(0,0). \]
في اتجاه \(x\)،
\[ 4.0+(-1.0)+p_{Cx}=0, \]
ومن ثم
\[ p_{Cx}=-3.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. \]
وفي اتجاه \(y\)،
\[ 3.0+2.0+p_{Cy}=0, \]
ومن ثم
\[ p_{Cy}=-5.0\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. \]
المقدار هو
\[ p_C=\sqrt{(-3.0)^2+(-5.0)^2} =\sqrt{34} =5.83\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. \]
زاوية المرجع هي
\[ \tan\theta=\frac{5.0}{3.0}, \]
ومن ثم
\[ \theta=59.0^\circ. \]
كلتا المركبتين سالبتان، لذلك يشير المتجه نحو الجنوب الغربي.
من الاختصارات المغرية جمع مقداري زخمي A وB، ثم إعطاء C مقدارًا معاكسًا. لكن هذه الطريقة تفشل لأن A وB يشيران إلى اتجاهين مختلفين. يجب أولًا جمع مركباتهما.
السؤال 5
يتصادم جسمان على سطح أفقي. وتعطي القياسات الزخم الكلي للنظام المكوّن من الجسمين مباشرةً قبل التصادم على النحو الآتي:
\[ \vec p_i=(6.0,\,2.0)\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}} \]
ومباشرةً بعد التصادم على النحو الآتي:
\[ \vec p_f=(6.0,\,1.4)\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. \]
يقول أحد الطلاب: «تؤكد التجربة تقريبًا حفظ الزخم لأن زخم \(x\) بقي كما هو تمامًا».
قيّم عبارة الطالب. وحدد الدفع الخارجي الذي تشير إليه القياسات.
الحل 5
استنتاج الطالب غير مكتمل: تُظهر القياسات حفظ الزخم في اتجاه \(x\)، لكنها لا تُظهر حفظ متجه الزخم الكلي ثنائي الأبعاد. ويقابل التغير المقاس دفع خارجي مقداره \(\boxed{(0,\,-0.60)\ \mathrm{N\,s}}\).
التغير في الزخم هو
\[ \Delta\vec p=\vec p_f-\vec p_i. \]
وبالتالي،
\[ \Delta\vec p =(6.0-6.0,\ 1.4-2.0) =(0,\,-0.60)\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. \]
وبما أن الدفع يساوي التغير في الزخم،
\[ \vec J_{\text{ext}} =\Delta\vec p =(0,\,-0.60)\ \mathrm{N\,s}. \]
تعني مركبة \(x\) التي تساوي صفرًا أنه لم يُقَس أي دفع خارجي صافٍ في اتجاه \(x\). ومع ذلك، تعني مركبة \(y\) السالبة أن النظام فقد مقدارًا من زخم \(y\) يساوي \(0.60\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\).
لذلك، لم يُحفظ متجه الزخم الكامل للنظام المختار، ما لم يكن بالإمكان تفسير الفرق من خلال عدم اليقين التجريبي. إن التحقق من مركبة واحدة فقط لا يكفي.
السؤال 6
تقترب كرة من جدار رأسي أملس، ومركبتا سرعتها هما
\[ v_x=7.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad v_y=3.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]
بعد ارتدادها عن الجدار، تُقاس مركبتا سرعتها لتكونا
\[ v'_x=-5.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}, \qquad v'_y=3.0\ \mathrm{m\,s^{-1}}. \]
يقول أحد الطلاب إن هذه النتيجة تخالف حفظ الزخم لأن زخم الكرة في اتجاه \(x\) قد تغير.
هل الطالب محق؟ وضّح ما يمكن وما لا يمكن استنتاجه دون معرفة كتلة الكرة.
الحل 6
ليس الطالب محقًا في ادعائه أن حفظ الزخم قد انتُهك. فالزخم الخاص بالكرة وحدها غير محفوظ لأن الجدار يؤثر فيها بدفع خارجي. ومن دون معرفة كتلة الكرة، يمكننا تحديد اتجاه هذا الدفع وصيغته النسبية، لكن لا يمكننا تحديد مقداره العددي.
إذا كانت كتلة الكرة \(m\)، فإن التغير في زخمها على المحور \(x\) يساوي
\[ \Delta p_x =m(v'_x-v_x) =m(-5.0-7.0) =-12m\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}. \]
أما التغير في زخمها على المحور \(y\)، فيساوي
\[ \Delta p_y =m(v'_y-v_y) =m(3.0-3.0) =0. \]
إذن، الدفع الخارجي المؤثر في الكرة هو
\[ \vec J=(-12m,\,0)\ \mathrm{N\,s}. \]
يؤثر الجدار بدفع أفقي يعكس مركبة سرعة الكرة الأفقية ويقلل مقدارها. ولا يوجد تغير مقاس في مركبة زخمها الرأسية.
يتطلب تطبيق قانون حفظ الزخم اختيار نظام أكبر يشمل الجدار، وفي نهاية المطاف يشمل ما يدعم الجدار أيضًا. تفقد الكرة زخمًا أفقيًا، بينما يكتسب باقي ذلك النظام الأكبر زخمًا مقابلًا.
يكشف هذا السؤال عن افتراض مهم وخفي: إن قول «الزخم محفوظ» لا يكفي أبدًا بمفرده. يجب أولًا أن تسأل: زخم أي نظام؟
12ما الذي يمكنك فعله بعد إتقان هذه الطريقة؟
إن الزخم ثنائي الأبعاد هو في الحقيقة قانون حفظ المتجهات مكتوبًا بصيغة ملائمة. وبمجرد أن تتمكن من فصل التصادم إلى مركبتي \(x\) و\(y\)، ستستطيع تحليل ما هو أكثر بكثير من مجرد ارتداد جسمين على سطح مستوٍ.
يتيح لك المنطق نفسه التعامل مع الانفجارات، والارتداد في اتجاهات مختلفة، والتصادمات المائلة، والحالات التي يؤثر فيها دفع خارجي في اتجاه واحد فقط. كما يرتبط مباشرةً بالصيغة المتجهة للدفع،
\[ \vec J=\Delta\vec p, \]
التي تفسر ليس فقط ما إذا كان الزخم يتغير، بل أيضًا أي مركبة تتغير ولماذا.