التصادمات غير المرنة: الزخم والطاقة الحركية في فيزياء HSC

تخيّل عربتَي ديناميكا تتحركان على مسار. تلحق إحداهما بالأخرى وتصطدمان، ثم يجعل شريط من مادة التثبيت ذات الخطافات والحلقات العربتين تلتصقان معًا. قبل التصادم، تتحرك العربتان بسرعتين مختلفتين. وبعده، يصبح لدينا جسم واحد مركّب يتحرك بسرعة واحدة.

إليك التنبؤ المهم: إذا كان الزخم محفوظًا، فهل تكون الطاقة الحركية محفوظة أيضًا؟

من المغري أن تكون الإجابة نعم. ففي النهاية، كلتا الكميتين ترتبطان بالحركة. لكن هذا التنبؤ خاطئ. ففي التصادم غير المرن، يمكن أن يبقى الزخم الكلي كما هو تمامًا، بينما تنخفض الطاقة الحركية.

وهذا الاختلاف هو الفكرة الأساسية التي نحتاج إلى فهمها.

01لنبدأ بالزخم

افترض أن عربة متحركة اصطدمت بعربة ساكنة والتصقتا معًا.

قبل التصادم، تمتلك العربة الأولى وحدها زخمًا. وأثناء التصادم، تؤثر العربتان بقوتين كبيرتين إحداهما في الأخرى. وتغيّر هاتان القوتان زخم كل عربة على حدة.

لكن انظر إلى العربتين باعتبارهما نظامًا واحدًا.

تتساوى قوة العربة A المؤثرة في العربة B مع قوة مساوية لها في المقدار ومعاكسة لها في الاتجاه تؤثر بها العربة B في العربة A. وتنقل هاتان القوتان الداخليتان الزخم بين الجسمين، لكنهما لا تغيّران الزخم الكلي للنظام.

إذا كان الدفع الخارجي المحصّل أثناء التصادم مهمَلًا، فإن:

\[ p_{\text{قبل}} = p_{\text{بعد}} \]

يُعرَّف الزخم بالعلاقة:

\[ p = mv \]

حيث:

• \(p\) هو الزخم بوحدة \(\text{kg m s}^{-1}\)
• \(m\) هي الكتلة بوحدة \(\text{kg}\)
• \(v\) هي السرعة المتجهة بوحدة \(\text{m s}^{-1}\)

الاتجاه مهم هنا، وليس مقدار السرعة فقط. فالزخم كمية متجهة، لذا يجب استخدام الإشارات الموجبة والسالبة.

إذا التصق جسمان معًا بعد التصادم، فإن الزخم الكلي لهما بعد التصادم يُعطى بالعلاقة:

\[ m_1u_1 + m_2u_2 = (m_1+m_2)v \]

حيث إن \(m_1\) و\(m_2\) هما الكتلتان، و\(u_1\) و\(u_2\) هما السرعتان المتجهتان قبل التصادم، و\(v\) هي السرعة المتجهة المشتركة بعد التصادم.

يُسمّى التصادم الذي تلتصق فيه الأجسام معًا تصادمًا غير مرن تمامًا.

02إذن، إلى أين تذهب الطاقة الحركية؟

لنحسب الآن الطاقة الحركية للتصادم نفسه.

الطاقة الحركية هي:

\[ E_k=\frac{1}{2}mv^2 \]

حيث إن \(E_k\) هي الطاقة الحركية بوحدة الجول، و\(m\) هي الكتلة بالكيلوغرام، و\(v\) هي مقدار السرعة بالمتر لكل ثانية.

قبل التصادم:

\[ E_{k,\text{قبل}} =\frac{1}{2}(2.0)(4.0)^2 =16\ \text{J} \]

بعد التصادم:

\[ E_{k,\text{بعد}} =\frac{1}{2}(5.0)(1.6)^2 =6.4\ \text{J} \]

إذن، التغيّر في الطاقة الحركية هو:

\[ \Delta E_k =E_{k,\text{بعد}}-E_{k,\text{قبل}} =6.4-16 =-9.6\ \text{J} \]

أصبحت الطاقة الحركية للنظام أقل بمقدار \(9.6\ \text{J}\) بعد التصادم.

هل يعني ذلك أن قانون حفظ الطاقة قد أخفق؟

لا. الطاقة الكلية لا تزال محفوظة، لكن الطاقة الحركية ليست محفوظة بالضرورة.

أثناء التصادم، تتشوه العربتان قليلًا. وقد تهتزان وترتفع درجة حرارتهما وينتج عنهما صوت. ويتحول جزء من الطاقة الحركية الابتدائية إلى طاقة داخلية وأشكال أخرى من الطاقة.

تخيّل شخصين يركضان في ممر ويصطدمان معًا بكيس ضخم من حبوب الفاصولياء. يمكن أن يحمل الزخم الكلي الشخصين والكيس إلى الأمام، لكن الانضغاط والتمايل والتسخين والضوضاء تعني أن الطاقة الحركية الأصلية لا تبقى كلها في صورة حركة واسعة النطاق.

لكن لهذا التشبيه حدودًا. فالتصادمات الحقيقية تتضمن تشوهات معقدة على المستوى المجهري، لذا فإن صورة الكيس ليست سوى وسيلة لتصوّر بعض المسارات التي يمكن أن تنتقل إليها الطاقة الحركية.

03يختلف سلوك الزخم عن سلوك الطاقة الحركية

هذا هو الفرق الذي يتسبب في معظم الأخطاء.

هناك سبب مهم جدًا لهذا الاختلاف.

يعتمد الزخم مباشرة على السرعة المتجهة:

\[ p\propto v \]

أما الطاقة الحركية فتعتمد على مربع مقدار السرعة:

\[ E_k\propto v^2 \]

لا يمكنك استخدام قانون حفظ الزخم لاستنتاج أن الطاقة الحركية يجب أن تكون محفوظة أيضًا. فهما كميتان فيزيائيتان منفصلتان، ولكل منهما شروط مختلفة للحفظ.

04الاعتقاد الخاطئ المغري: «إذا كانت الطاقة محفوظة، فلا بد أن تكون الطاقة الحركية محفوظة»

قد يفكر أحد الطلاب بالطريقة الآتية:

لا يمكن خلق الطاقة أو إفناؤها، لذا يجب أن تكون الطاقة الحركية قبل التصادم وبعده متساوية.

الجزء الأول صحيح، لكن الاستنتاج غير صحيح.

الطاقة الكلية محفوظة، أما الطاقة الحركية فهي شكل واحد فقط من أشكال الطاقة.

أثناء التصادم غير المرن، تنتقل بعض الطاقة الحركية إلى أشكال أخرى. فعلى سبيل المثال، إذا انبعجت سيارة في حادث، يُبذل شغل يؤدي إلى تشوه دائم في هيكلها. لم تختفِ الطاقة الكلية، رغم انخفاض الطاقة الحركية للسيارات.

وهذا يمنحنا اختبارًا مفيدًا:

• إذا كانت الطاقة الحركية قبل التصادم وبعده متساوية، فالتصادم مرن.
• إذا انخفضت الطاقة الحركية، فالتصادم غير مرن.
• إذا التصقت الأجسام معًا، فالتصادم غير مرن تمامًا.

انتبه إلى النقطة الأخيرة. ليس كل تصادم غير مرن يتضمن التصاق الأجسام. فقد يرتد جسمان مبتعدين أحدهما عن الآخر، ومع ذلك تكون الطاقة الحركية الكلية بعد التصادم أقل مما كانت عليه قبله.

05الاتجاه مهم للزخم، وليس للطاقة الحركية

افترض أن عربتين متماثلتين تتجهان نحو بعضهما بالسرعة نفسها.

ما الزخم الكلي لهما قبل التصادم؟

إذا اعتبرنا الاتجاه نحو اليمين موجبًا، فسيكون زخم إحدى العربتين موجبًا، وزخم الأخرى سالبًا. ويلغي الزخمان أحدهما الآخر.

لكن ماذا عن طاقتيهما الحركيتين؟

إنهما لا تتلاشيان. فالطاقة الحركية كمية قياسية، لذا تكون الطاقة الحركية لكلتا العربتين موجبة.

وهذا يقودنا إلى إحدى أهم الحالات الخاصة في فيزياء التصادمات: يمكن أن يكون للنظام زخم كلي يساوي صفرًا وطاقة حركية كبيرة في الوقت نفسه.

06طريقة موثوقة لحل مسائل التصادم مع الالتصاق

عندما يلتصق جسمان، اتبع التسلسل الآتي.

1. اختر اتجاهًا موجبًا. أعطِ السرعات المتجهة في الاتجاه المعاكس إشارة سالبة.
2. اكتب قانون حفظ الزخم.

\[ m_1u_1+m_2u_2=(m_1+m_2)v \]

1. حل المعادلة لإيجاد السرعة المتجهة النهائية المشتركة \(v\).
2. احسب الطاقة الحركية قبل التصادم وبعده كلًّا على حدة. لا تفترض أنها محفوظة.
3. قارن بين الطاقتين الحركيتين. يخبرك الفرق بينهما مقدار الطاقة الحركية التي تحولت إلى أشكال أخرى.

ترتيب الخطوات مهم. ففي التصادم غير المرن، لا يمكنك عادةً استخدام قانون حفظ الطاقة الحركية لإيجاد السرعة النهائية، لأن الطاقة الحركية هي تحديدًا الكمية التي لا تُحفظ.

07لماذا يظل حفظ الزخم مشروطًا؟

من الشائع اختصار القاعدة إلى القول: «الزخم محفوظ دائمًا».

لكن هذه العبارة تحتاج إلى مزيد من الدقة.

يُحفظ الزخم الكلي للنظام عندما يكون الدفع الخارجي المحصّل صفرًا أو مهمَلًا خلال الفترة الزمنية التي ندرسها.

في تصادم قصير بين عربات على مسار منخفض الاحتكاك، غالبًا ما يكون الدفع الناتج عن القوى الخارجية، مثل الاحتكاك، ضئيلًا جدًا خلال زمن التصادم القصير. لذلك يكون التعامل مع العربتين باعتبارهما نظامًا معزولًا تقريبًا مناسبًا.

لكن افترض أن عربة اصطدمت بعربة ثانية بينما يستمر محرك خارجي في سحب النظام بقوة. يمكن للمحرك أن يوفّر دفعًا خارجيًا. وفي هذه الحالة، قد يتغير زخم نظام العربتين وحده أثناء التصادم.

لذا، قبل تطبيق قانون حفظ الزخم، اسأل نفسك بهدوء:

ما النظام الذي أدرسه، وهل يمكن للقوى الخارجية أن تمنحه دفعًا ملحوظًا خلال هذه الفترة؟

يصبح هذا السؤال أكثر أهمية كلما انتقلت إلى مسائل تصادم أصعب.

08الأسئلة والحلول

السؤال 1

تصطدم عربة كتلتها \(0.80\ \text{kg}\)، تتحرك بسرعة \(5.0\ \text{m s}^{-1}\)، بعربة ساكنة كتلتها \(1.20\ \text{kg}\). تلتصق العربتان معًا. احسب سرعتهما المتجهة النهائية.

الحل 1

تتحرك العربتان معًا بسرعة \(2.0\ \text{m s}^{-1}\) في الاتجاه الأصلي للعربة المتحركة.

يُحفظ الزخم لأننا نفترض أن التصادم يحدث داخل نظام معزول.

\[ m_1u_1+m_2u_2=(m_1+m_2)v \]

بالتعويض:

\[ (0.80)(5.0)+(1.20)(0)=(0.80+1.20)v \]

\[ 4.0=2.00v \]

\[ v=2.0\ \text{m s}^{-1} \]

الكتلة المشتركة أكبر من كتلة العربة المتحركة الأصلية، لذا تكون السرعة المشتركة أقل، بينما يبقى الزخم الكلي مساويًا لـ \(4.0\ \text{kg m s}^{-1}\).

السؤال 2

تصطدم مركبة كتلتها \(1200\ \text{kg}\)، تسير شرقًا بسرعة \(10.0\ \text{m s}^{-1}\)، بمركبة ساكنة كتلتها \(800\ \text{kg}\). وتلتصق المركبتان معًا.

احسب:

1. سرعتهما المتجهة مباشرة بعد التصادم
2. الطاقة الحركية الكلية قبل التصادم
3. الطاقة الحركية الكلية بعد التصادم
4. الطاقة الحركية التي تحولت إلى أشكال أخرى

الحل 2

تتحرك المركبتان الملتصقتان شرقًا بسرعة \(6.0\ \text{m s}^{-1}\)، وتتحول طاقة حركية مقدارها \(48\,000\ \text{J}\) إلى أشكال أخرى.

نطبّق أولًا قانون حفظ الزخم:

\[ (1200)(10.0)+(800)(0)=(1200+800)v \]

\[ 12\,000=2000v \]

\[ v=6.0\ \text{m s}^{-1} \]

الطاقة الحركية الابتدائية هي:

\[ E_{k,\text{قبل}} = \frac{1}{2}(1200)(10.0)^2 = 60\,000\ \text{J} \]

الطاقة الحركية النهائية هي:

\[ E_{k,\text{بعد}} = \frac{1}{2}(2000)(6.0)^2 = 36\,000\ \text{J} \]

إذن:

\[ E_{\text{المتحولة}} = 60\,000-36\,000 = 24\,000\ \text{J} \]

لذلك، فإن الطاقة الصحيحة التي تحولت إلى أشكال أخرى هي \(24\,000\ \text{J}\).

العبارة الأولية التي ذكرت \(48\,000\ \text{J}\) غير صحيحة، لأنها لا تتفق مع التغيّر المحسوب في الطاقة الحركية. والمبدأ الأساسي هو أن الفرق بين الطاقة الحركية الابتدائية والنهائية يتحول إلى تشوه وطاقة داخلية وصوت وأشكال أخرى.

السؤال 3

تقترب عربتان متماثلتان، كتلة كل منهما \(2.0\ \text{kg}\)، إحداهما من الأخرى. تتحرك إحداهما نحو اليمين بسرعة \(4.0\ \text{m s}^{-1}\)، بينما تتحرك الأخرى نحو اليسار بسرعة \(4.0\ \text{m s}^{-1}\). تصطدم العربتان وتلتصقان معًا.

يقول أحد الطلاب: «الزخم الكلي للعربتين يساوي صفرًا، لذا لم تكن هناك طاقة متاحة لتشويه العربتين».

هل الطالب على صواب؟ احسب السرعة المتجهة النهائية والطاقة الحركية التي تحولت إلى أشكال أخرى.

الحل 3

الطالب مخطئ. السرعة المتجهة النهائية هي \(0\ \text{m s}^{-1}\)، لكن \(32\ \text{J}\) من الطاقة الحركية تتحول إلى أشكال أخرى.

اعتبر الاتجاه نحو اليمين موجبًا.

الزخم الابتدائي هو:

\[ p_{\text{قبل}} = (2.0)(4.0)+(2.0)(-4.0) =0 \]

وبالتالي، يعطي قانون حفظ الزخم:

\[ (2.0+2.0)v=0 \]

\[ v=0\ \text{m s}^{-1} \]

تتوقف العربتان بعد التصاقهما.

لكن طاقتيهما الحركيتين الابتدائيتين لا تتلاشيان:

\[ E_{k,\text{قبل}} = \frac{1}{2}(2.0)(4.0)^2 + \frac{1}{2}(2.0)(4.0)^2 \]

\[ E_{k,\text{قبل}} =16+16 =32\ \text{J} \]

بعد التصادم:

\[ E_{k,\text{بعد}}=0\ \text{J} \]

إذن:

\[ E_{\text{المتحولة}} = 32-0 = 32\ \text{J} \]

يكمن الخطأ في التعامل مع الطاقة كما لو كانت لها جهة محددة. يمكن أن يلغي الزخم بعضه بعضًا لأنه كمية متجهة، أما الطاقة الحركية فهي كمية قياسية وتظل موجبة لكلتا العربتين المتحركتين.

السؤال 4

تصطدم عربة كتلتها \(3.0\ \text{kg}\)، تتحرك نحو اليمين بسرعة \(2.0\ \text{m s}^{-1}\)، بعربة كتلتها \(1.0\ \text{kg}\)، تتحرك نحو اليمين بسرعة \(6.0\ \text{m s}^{-1}\). تلتصق العربتان معًا.

من دون إجراء أي حساب أولًا، يتوقع أحد الطلاب أن العربتين الملتصقتين لا بد أن تتحركا بسرعة أقل من \(2.0\ \text{m s}^{-1}\) لأن «التصادمات غير المرنة تجعل الأشياء تتباطأ دائمًا».

حدّد السرعة المتجهة النهائية الفعلية واشرح الخطأ في هذا التوقع.

الحل 4

تتحرك العربتان الملتصقتان نحو اليمين بسرعة \(3.0\ \text{m s}^{-1}\)، لذا فإن التوقع غير صحيح.

الزخم الابتدائي الكلي هو:

\[ p_{\text{قبل}} = (3.0)(2.0)+(1.0)(6.0) \]

\[ p_{\text{قبل}} = 6.0+6.0 = 12\ \text{kg m s}^{-1} \]

الكتلة الكلية بعد الالتصاق هي:

\[ m_{\text{الكلي}}=4.0\ \text{kg} \]

إذن:

\[ 12=(4.0)v \]

\[ v=3.0\ \text{m s}^{-1} \]

تزداد سرعة العربة التي كتلتها \(3.0\ \text{kg}\) من \(2.0\ \text{m s}^{-1}\) إلى \(3.0\ \text{m s}^{-1}\)، بينما تنخفض سرعة العربة التي كتلتها \(1.0\ \text{kg}\) من \(6.0\ \text{m s}^{-1}\) إلى \(3.0\ \text{m s}^{-1}\).

لا تعني كلمة «غير مرن» أن سرعة كل جسم تنخفض. بل تعني أن الطاقة الحركية الكلية للنظام تنخفض. ويحدد قانون حفظ الزخم السرعة المتجهة النهائية المشتركة.

وللتأكد، فإن الطاقة الحركية الابتدائية هي:

\[ E_{k,\text{قبل}} = \frac{1}{2}(3.0)(2.0)^2 + \frac{1}{2}(1.0)(6.0)^2 = 6.0+18 = 24\ \text{J} \]

الطاقة الحركية النهائية هي:

\[ E_{k,\text{بعد}} = \frac{1}{2}(4.0)(3.0)^2 = 18\ \text{J} \]

لقد فقد النظام \(6.0\ \text{J}\) من الطاقة الحركية، رغم أن سرعة إحدى العربتين قد ازدادت.

السؤال 5

تصطدم عربتان على مسار وتلتصقان معًا. وتعطي القياسات النتائج الآتية:

• الزخم الكلي مباشرة قبل التصادم: \(5.0\ \text{kg m s}^{-1}\)
• الزخم الكلي مباشرة بعد التصادم: \(4.7\ \text{kg m s}^{-1}\)
• الطاقة الحركية الكلية مباشرة قبل التصادم: \(18\ \text{J}\)
• الطاقة الحركية الكلية مباشرة بعد التصادم: \(7.0\ \text{J}\)

يستنتج أحد الطلاب أن قانون حفظ الزخم قد ثبت خطؤه لأن الزخم المقاس قد تغيّر.

قدّم تفسيرًا معقولًا من الناحية الفيزيائية لهذه النتيجة، واذكر ما الذي لا يزال بالإمكان استنتاجه بشأن الطاقة الحركية للتصادم.

الحل 5

لا تثبت القياسات خطأ قانون حفظ الزخم. بل تشير إلى أن النظام المحدد بالعربتين تلقّى دفعًا خارجيًا غير مهمَل، أو أن عدم اليقين في القياس أثّر في النتيجة. وقد انخفضت الطاقة الحركية المقاسة بمقدار \(11\ \text{J}\).

في النظام المعزول، ينبغي أن يحقق الزخم الكلي العلاقة:

\[ p_{\text{قبل}}=p_{\text{بعد}} \]

لكن التغيّر المقاس هنا هو:

\[ \Delta p = 4.7-5.0 = -0.3\ \text{kg m s}^{-1} \]

قد يحدث هذا التغيّر إذا أثّرت قوة خارجية، مثل الاحتكاك أو التفاعل مع جزء من جهاز التجربة، مدة كافية لإنتاج دفع ملحوظ. ويُعد عدم اليقين في القياس تفسيرًا محتملًا آخر.

أما التغيّر في الطاقة الحركية فهو:

\[ \Delta E_k = 7.0-18 = -11\ \text{J} \]

إذن، تنخفض الطاقة الحركية المقاسة بمقدار \(11\ \text{J}\).

يتفق ذلك مع تصادم غير مرن، لكن يجب تفسير بيانات الزخم في ضوء حدود النظام وظروف التجربة. فقوانين الحفظ تنطبق على الأنظمة المحددة على نحو صحيح، ولا تضمن أن تتطابق كل مجموعة من القيم المقاسة تطابقًا تامًا.

السؤال 6

تصطدم عربة كتلتها \(1.0\ \text{kg}\)، تتحرك نحو اليمين بسرعة مقدارها \(u\)، بعربة ساكنة كتلتها \(3.0\ \text{kg}\)، وتلتصقان معًا.

من دون اختيار قيمة عددية لـ \(u\):

1. أوجد مقدار السرعة النهائية بدلالة \(u\).
2. حدّد الكسر من الطاقة الحركية الأصلية الذي يبقى في صورة طاقة حركية بعد التصادم.
3. اشرح لماذا لا تعتمد إجابتك على قيمة \(u\).

الحل 6

مقدار السرعة النهائية هو \(u/4\)، ولا يبقى سوى ربع الطاقة الحركية الأصلية. ولا يعتمد هذا الكسر على \(u\)، لأن العامل نفسه \(u^2\) يظهر في الطاقة الحركية الابتدائية والنهائية ويُختزل عند حساب النسبة.

يعطي قانون حفظ الزخم:

\[ (1.0)u+(3.0)(0)=(1.0+3.0)v \]

إذن:

\[ u=4v \]

\[ v=\frac{u}{4} \]

الطاقة الحركية الابتدائية هي:

\[ E_{k,\text{قبل}} = \frac{1}{2}(1.0)u^2 = \frac{1}{2}u^2 \]

الطاقة الحركية النهائية هي:

\[ E_{k,\text{بعد}} = \frac{1}{2}(4.0)\left(\frac{u}{4}\right)^2 \]

\[ E_{k,\text{بعد}} = 2\left(\frac{u^2}{16}\right) = \frac{u^2}{8} \]

الكسر المتبقي هو:

\[ \frac{E_{k,\text{بعد}}}{E_{k,\text{قبل}}} = \frac{u^2/8}{u^2/2} = \frac{1}{4} \]

إذن، يبقى \(25\%\) من الطاقة الحركية الأصلية، بينما يتحول \(75\%\) منها إلى أشكال أخرى.

تعتمد النتيجة على الكتلتين وشرط التصاق الجسمين، وليس على قيمة السرعة الابتدائية المحددة. فزيادة \(u\) تزيد الطاقة الحركية الابتدائية والنهائية وفق الاعتماد نفسه على \(u^2\)، ولذلك لا تغيّر النسبة.

09ما الذي يمكنك تحليله بعد ذلك؟

العادة الأساسية التي ينبغي الحفاظ عليها بسيطة: افصل بين الزخم والطاقة الحركية.

في تصادم قصير يكون فيه الدفع الخارجي مهمَلًا، يتيح لك الزخم الربط بين السرعات قبل التصادم وبعده. ثم تخبرك الطاقة الحركية بنوع التصادم ومقدار الطاقة التي بقيت في صورة حركة واسعة النطاق.

ويصبح هذا التمييز مفيدًا على نحو خاص عندما تنتقل إلى دراسة الدفع والعلاقات بين القوة والزمن. يخبرك حفظ الزخم بما يحدث للنظام المتفاعل بأكمله، بينما يفسّر الدفع كيف يتغير زخم كل جسم على حدة أثناء التصادم.