त्वरण-समय ग्राफ: क्षेत्रफल और वेग में परिवर्तन

एक कार 4 सेकंड तक \(3.0\ \text{m s}^{-2}\) के त्वरण से चलती है, फिर उसका त्वरण शून्य हो जाता है। उन 4 सेकंड के बाद निश्चित रूप से क्या बदला है: उसकी स्थिति, उसका वेग, या दोनों?

उसकी स्थिति बदली है, लेकिन त्वरण-समय ग्राफ उस परिवर्तन को सीधे नहीं बताता। यह सीधे वेग में परिवर्तन बताता है। इस मामले में,

\[
\Delta v = (3.0\ \text{m s}^{-2})(4.0\ \text{s}) = 12\ \text{m s}^{-1}
\]

ध्यान दें कि हमने अभी क्या गणना की: त्वरण को समय से गुणा किया। त्वरण-समय ग्राफ पर यह गुणन एक क्षेत्रफल के रूप में दिखाई देता है।

यही इस मार्गदर्शिका का मुख्य विचार है:

त्वरण-समय ग्राफ और समय-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल वेग में परिवर्तन देता है।

यहाँ चिह्नित शब्द महत्वपूर्ण है। समय-अक्ष के ऊपर का क्षेत्रफल धनात्मक होता है। उसके नीचे का क्षेत्रफल ऋणात्मक होता है।

01त्वरण-समय ग्राफ वास्तव में क्या दिखाता है

त्वरण-समय ग्राफ में:

• क्षैतिज अक्ष पर समय \(t\), जिसे सेकंड (s) में मापा जाता है
• ऊर्ध्वाधर अक्ष पर त्वरण \(a\), जिसे मीटर प्रति सेकंड वर्ग (\(\text{m s}^{-2}\)) में मापा जाता है

मान लीजिए कोई ग्राफ \(a = 2.0\ \text{m s}^{-2}\) पर एक क्षैतिज रेखा है।

आगे बढ़ने से पहले एक अनुमान लगाइए। क्या इसका अर्थ है कि वस्तु नियत वेग से चल रही है?

नहीं। इसका अर्थ है कि उसका वेग नियत दर से बदल रहा है।

\(2.0\ \text{m s}^{-2}\) के त्वरण का अर्थ है कि हर सेकंड वेग में \(2.0\ \text{m s}^{-1}\) का परिवर्तन होता है।

इसलिए यदि वेग \(5.0\ \text{m s}^{-1}\) से शुरू होता है:

• 1 s के बाद यह \(7.0\ \text{m s}^{-1}\) होगा
• 2 s के बाद यह \(9.0\ \text{m s}^{-1}\) होगा
• 3 s के बाद यह \(11.0\ \text{m s}^{-1}\) होगा

इसी कारण त्वरण-समय ग्राफ वेग-समय ग्राफ से इतनी निकटता से जुड़े होते हैं। त्वरण आपको बताता है कि वेग का ग्राफ किस प्रकार बदल रहा है।

02क्षेत्रफल वेग में परिवर्तन क्यों देता है

नियत त्वरण के परिचित समीकरण से शुरू करें:

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

यहाँ:

• \(a\), \(\text{m s}^{-2}\) में त्वरण है
• \(\Delta v\), \(\text{m s}^{-1}\) में वेग का परिवर्तन है
• \(\Delta t\), सेकंड में बीता हुआ समय है

पुनर्व्यवस्थित करने पर,

\[
\Delta v = a\Delta t
\]

अब त्वरण-समय ग्राफ पर एक नियत त्वरण की कल्पना करें। उसके नीचे का क्षेत्र एक आयत होगा।

आयत की:

• ऊँचाई \(a\) है
• चौड़ाई \(\Delta t\) है

इसलिए उसका क्षेत्रफल है

\[
\text{क्षेत्रफल} = a\Delta t
\]

लेकिन \(a\Delta t = \Delta v\)।

इसलिए क्षेत्रफल केवल ग्राफ से गणना करने की एक सुविधाजनक तरकीब नहीं है। यह सीधे त्वरण की परिभाषा से आता है।

इकाइयाँ भी इसकी पुष्टि करती हैं:

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

ये वेग की इकाइयाँ हैं।

03ग्राफ परिवर्तन बताता है, अपने-आप अंतिम वेग नहीं

यहाँ अंक खोना बहुत आसान है।

मान लीजिए त्वरण-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल \(+8\ \text{m s}^{-1}\) है। एक विद्यार्थी लिखता है:

अंतिम वेग \(= 8\ \text{m s}^{-1}\)।

यह केवल तब सही है जब वस्तु विराम से शुरू हुई हो।

ग्राफ ने हमें यह बताया है

\[
\Delta v = +8\ \text{m s}^{-1}
\]

न कि आवश्यक रूप से \(v_f = 8\ \text{m s}^{-1}\)।

सामान्य रूप से,

\[
v_f = v_i + \Delta v
\]

उदाहरण के लिए, यदि \(v_i = -3\ \text{m s}^{-1}\), तो

\[
v_f = -3 + 8 = +5\ \text{m s}^{-1}
\]

त्वरण के इस क्रम ने वेग में \(+8\ \text{m s}^{-1}\) का परिवर्तन किया, जो इस स्थिति में वस्तु की दिशा उलटने के लिए पर्याप्त था।

04समय-अक्ष के नीचे के क्षेत्रफल ऋणात्मक होते हैं

कल्पना करें कि त्वरण का ग्राफ

\[
a = -4.0\ \text{m s}^{-2}
\]

पर 2.0 s तक स्थित है।

इसका चिह्नित क्षेत्रफल है

\[
\Delta v = (-4.0)(2.0) = -8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

इसलिए वेग में \(8.0\ \text{m s}^{-1}\) की कमी होती है।

“वेग घटता है” वाक्यांश को लेकर सावधान रहें। इसका अर्थ हमेशा यह नहीं होता कि वस्तु की चाल कम हो रही है।

मान लीजिए किसी वस्तु का प्रारंभिक वेग है

\[
v_i = -5.0\ \text{m s}^{-1}
\]

और उसके वेग में परिवर्तन है

\[
\Delta v = -8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

तब

\[
v_f = -5.0 – 8.0 = -13\ \text{m s}^{-1}
\]

उसका वेग अधिक ऋणात्मक हो गया है, लेकिन उसकी चाल \(5.0\ \text{m s}^{-1}\) से बढ़कर \(13\ \text{m s}^{-1}\) हो गई है।

ऋणात्मक त्वरण का अर्थ गति कम होना नहीं है।

कोई वस्तु तेज होती है या धीमी, यह वेग और त्वरण दोनों के चिह्नों पर निर्भर करता है। यदि आपको इस अंतर को दोहराना हो, तो चाल और वेग: HSC भौतिकी की स्पष्ट व्याख्या देखें।

05तेज होने और धीमा होने के लिए एक उपयोगी निर्णय नियम

वेग और त्वरण के चिह्नों की तुलना करें।

क्यों?

वेग बताता है कि वस्तु किस दिशा में चल रही है। त्वरण बताता है कि उसके वेग को किस दिशा में बदला जा रहा है।

वेग और त्वरण को ऐसे दो लोगों की तरह सोचें जो इस बात पर बहस कर रहे हों कि किस दिशा में जाना है। यदि दोनों दिशा पर सहमत हैं, तो वेग का परिमाण बढ़ता है। यदि वे असहमत हैं, तो शुरुआत में वेग का परिमाण घटता है।

यह उपमा तब काम करना बंद कर देती है जब वेग शून्य पर पहुँच जाता है। इसके बाद वस्तु दिशा बदल सकती है, और वही त्वरण उसे फिर से तेज कर सकता है।

06बदलता हुआ त्वरण, बदलते हुए क्षेत्रफल-आकार देता है

त्वरण का नियत होना आवश्यक नहीं है।

मान लीजिए 4.0 s में त्वरण \(0\) से लगातार बढ़कर \(6.0\ \text{m s}^{-2}\) हो जाता है।

ग्राफ के नीचे का क्षेत्र एक त्रिभुज है, इसलिए

\[
\Delta v = \frac{1}{2}bh
\]

जहाँ \(b\) समय-अंतराल और \(h\) अधिकतम त्वरण है।

\[
\Delta v = \frac{1}{2}(4.0\ \text{s})(6.0\ \text{m s}^{-2})
= 12\ \text{m s}^{-1}
\]

भले ही त्वरण लगातार बदल रहा था, क्षेत्रफल फिर भी कुल वेग-परिवर्तन देता है।

अधिक सामान्य रूप से,

\[
\Delta v = \int_{t_1}^{t_2} a\,dt
\]

समाकलन चिह्न का अर्थ है “पूरे समय-अंतराल में \(a\,dt\) के सभी छोटे-छोटे योगदानों को जोड़ना”। सीधी-रेखा वाले खंडों से जुड़े HSC ग्राफ प्रश्नों में, आमतौर पर कलन करने के बजाय आयतों, त्रिभुजों और समलंबों का उपयोग करके यह क्षेत्रफल निकाला जा सकता है।

07धनात्मक और ऋणात्मक क्षेत्रफल एक-दूसरे को निरस्त कर सकते हैं

अब किसी वस्तु के लिए यह त्वरण-इतिहास देखें:

• \(0\) से \(4.0\ \text{s}\) तक, त्वरण \(0\) से समान रूप से बढ़कर \(4.0\ \text{m s}^{-2}\) हो जाता है
• \(4.0\) से \(6.0\ \text{s}\) तक, त्वरण \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\) है

अनुमान लगाइए कि पूरे 6.0 s में वेग के साथ क्या होता है। क्या वह बढ़ता है, घटता है, या अपने प्रारंभिक मान पर लौट आता है?

चिह्नित क्षेत्रफलों के साथ काम करें।

\(0\) से \(4.0\ \text{s}\) तक, धनात्मक त्रिभुजीय क्षेत्रफल है

\[
\Delta v_1
= \frac{1}{2}(4.0)(4.0)
= 8.0\ \text{m s}^{-1}
\]

\(4.0\) से \(6.0\ \text{s}\) तक, ऋणात्मक आयताकार क्षेत्रफल है

\[
\Delta v_2
= (-3.0)(2.0)
= -6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

इसलिए,

\[
\Delta v_{\text{कुल}}
= 8.0 – 6.0
= 2.0\ \text{m s}^{-1}
\]

अंत में वेग अपने प्रारंभिक मान से \(2.0\ \text{m s}^{-1}\) अधिक है।

ऋणात्मक खंड ने “गति को मिटाया” नहीं। उसने वेग में पहले हुई वृद्धि का कुछ भाग कम किया।

08शून्य त्वरण का अर्थ शून्य वेग नहीं है

\(a = 0\) पर त्वरण-समय ग्राफ का क्षैतिज खंड ऐसा लग सकता है मानो “कुछ नहीं हो रहा”।

लेकिन कुछ हो रहा है। वस्तु अब भी गतिशील हो सकती है।

यदि

\[
a = 0
\]

तो वेग बदल नहीं रहा है।

इसलिए \(18\ \text{m s}^{-1}\) के वेग से चल रही कोई वस्तु, जिसका त्वरण शून्य है, \(18\ \text{m s}^{-1}\) के वेग से चलती रहती है, यह मानते हुए कि एक-विमीय मॉडल लागू होता है।

जो वस्तु पहले से विराम में है, वह भी विराम में रहती है।

केवल त्वरण ग्राफ यह नहीं बता सकता कि इनमें से कौन-सी स्थिति है, जब तक कि किसी समय पर वस्तु का वेग भी ज्ञात न हो।

09त्वरण-समय ग्राफ सीधे विस्थापन नहीं देता

दो अलग-अलग “क्षेत्रफल नियम” हैं जिन्हें विद्यार्थी अक्सर मिला देते हैं:

त्वरण-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल विस्थापन क्यों नहीं दे सकता?

इकाइयाँ जाँचें:

\[
(\text{m s}^{-2})(\text{s}) = \text{m s}^{-1}
\]

यह वेग है, विस्थापन नहीं।

त्वरण के इतिहास से विस्थापन प्राप्त करने के लिए, पहले आपके पास इतनी जानकारी होनी चाहिए कि समय के फलन के रूप में वेग निर्धारित किया जा सके। फिर आप संबंधित वेग-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं।

इसी कारण प्रारंभिक वेग महत्वपूर्ण है। दो वस्तुओं के त्वरण-समय ग्राफ बिल्कुल समान हो सकते हैं, लेकिन उनके विस्थापन पूरी तरह अलग हो सकते हैं क्योंकि उनके प्रारंभिक वेग अलग थे।

10त्वरण-समय और वेग-समय ग्राफ के बीच कैसे जाएँ

त्वरण-समय ग्राफ आपको वेग-समय ग्राफ के ढाल के व्यवहार के बारे में बताता है।

याद रखें कि

\[
a = \frac{\Delta v}{\Delta t}
\]

इसलिए त्वरण, वेग-समय ग्राफ की प्रवणता है।

इससे ये संबंध मिलते हैं:

यहाँ एक सूक्ष्म बात है। त्वरण-समय ग्राफ की ऊँचाई वेग-समय ग्राफ की ढाल बताती है। त्वरण-समय ग्राफ का क्षेत्रफल बताता है कि स्वयं वेग में कितना परिवर्तन हुआ है।

ये दोनों अलग-अलग भूमिकाएँ हैं।

11HSC ग्राफ प्रश्नों के लिए एक भरोसेमंद विधि

जब आपको त्वरण-समय ग्राफ दिया जाए, तो इस क्रम में काम करें:

1. एक धनात्मक दिशा चुनें। आमतौर पर ग्राफ अपने चिह्नों के माध्यम से यह पहले ही निर्धारित कर चुका होता है।
2. प्रारंभिक वेग लिखें। यदि यह दिया नहीं गया है, तो सावधानी से विचार करें कि वास्तव में क्या निर्धारित किया जा सकता है।
3. ग्राफ को सरल क्षेत्रों में बाँटें। जहाँ उपयुक्त हो, आयत, त्रिभुज या समलंब का उपयोग करें।
4. हर क्षेत्रफल को उसका चिह्न दें। समय-अक्ष के ऊपर धनात्मक और नीचे ऋणात्मक।
5. चिह्नित क्षेत्रफलों को जोड़ें। इससे \(\Delta v\) मिलता है।
6. \(v_f = v_i + \Delta v\) का उपयोग करें।
7. यदि चाल या दिशा पूछी गई हो, तो केवल त्वरण के बजाय वेग की जाँच करें।
8. इकाइयाँ जाँचें। त्वरण-समय ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल की इकाई \(\text{m s}^{-1}\) होनी चाहिए।

अंतिम इकाई-जाँच आश्चर्यजनक रूप से बहुत-सी गलतियों को पकड़ लेती है।

12प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक साइकिल चालक का त्वरण 4.0 s तक \(1.5\ \text{m s}^{-2}\) है। इस अंतराल की शुरुआत में साइकिल चालक का वेग \(6.0\ \text{m s}^{-1}\) है।

4.0 s के बाद साइकिल चालक का वेग ज्ञात कीजिए।

समाधान 1

साइकिल चालक का अंतिम वेग \(\boxed{12\ \text{m s}^{-1}}\) है।

त्वरण-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल वेग में परिवर्तन देता है:

\[
\Delta v
= a\Delta t
= (1.5\ \text{m s}^{-2})(4.0\ \text{s})
= 6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

अब इस परिवर्तन को प्रारंभिक वेग में जोड़ें:

\[
v_f
= v_i + \Delta v
= 6.0 + 6.0
= 12\ \text{m s}^{-1}
\]

सामान्य गलती यह है कि क्षेत्रफल \(6.0\ \text{m s}^{-1}\) को अंतिम वेग बता दिया जाए। यह केवल वेग में हुआ परिवर्तन है।

प्रश्न 2

किसी वस्तु का प्रारंभिक वेग \(-7.0\ \text{m s}^{-1}\) है। इसके बाद उस पर 5.0 s तक \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) का नियत त्वरण कार्य करता है।

उसका अंतिम वेग ज्ञात कीजिए और बताइए कि उसकी गति की दिशा बदली है या नहीं।

समाधान 2

अंतिम वेग \(\boxed{+3.0\ \text{m s}^{-1}}\) है, इसलिए वस्तु ने दिशा बदल ली है।

वेग में परिवर्तन है

\[
\Delta v
= a\Delta t
= (2.0\ \text{m s}^{-2})(5.0\ \text{s})
= +10\ \text{m s}^{-1}
\]

इसलिए,

\[
v_f
= v_i + \Delta v
= -7.0 + 10
= +3.0\ \text{m s}^{-1}
\]

क्योंकि वेग ऋणात्मक से धनात्मक हो गया, अंतराल के दौरान वह अवश्य शून्य से गुज़रा होगा। उस क्षण वस्तु थोड़ी देर के लिए विराम में थी, फिर उसने दिशा बदल ली।

लुभावनी गलती यह कहना है कि धनात्मक त्वरण का अर्थ है कि वस्तु पूरे 5.0 s तक धनात्मक दिशा में चल रही थी। त्वरण बताता है कि वेग कैसे बदलता है, यह आवश्यक नहीं कि वह गति की वर्तमान दिशा भी बताए।

प्रश्न 3

किसी वस्तु का त्वरण \(t=0\) पर \(+2.0\ \text{m s}^{-2}\) से समान रूप से बदलकर \(t=4.0\ \text{s}\) पर \(+6.0\ \text{m s}^{-2}\) हो जाता है।

उसका प्रारंभिक वेग \(5.0\ \text{m s}^{-1}\) है।

\(t=4.0\ \text{s}\) पर उसका वेग ज्ञात कीजिए।

समाधान 3

\(4.0\ \text{s}\) पर वस्तु का वेग \(\boxed{21\ \text{m s}^{-1}}\) है।

क्योंकि त्वरण रैखिक रूप से बदलता है, ग्राफ के नीचे का क्षेत्र एक समलंब है। इसका क्षेत्रफल है

\[
\Delta v
= \frac{1}{2}(a_1+a_2)\Delta t
\]

जहाँ \(a_1 = 2.0\ \text{m s}^{-2}\), \(a_2 = 6.0\ \text{m s}^{-2}\), और \(\Delta t = 4.0\ \text{s}\)।

मान रखने पर,

\[
\Delta v
= \frac{1}{2}(2.0+6.0)(4.0)
= 16\ \text{m s}^{-1}
\]

फिर

\[
v_f
= 5.0 + 16
= 21\ \text{m s}^{-1}
\]

त्वरण पूरे समय \(6.0\ \text{m s}^{-2}\) नहीं है, इसलिए \(6.0\) को पूरे 4.0 s से गुणा करने पर वेग में परिवर्तन का मान अधिक आ जाएगा।

प्रश्न 4

एक रोबोट सीधी रेल पर चलता है। \(t=0\) से \(t=3.0\ \text{s}\) तक उसका त्वरण \(+4.0\ \text{m s}^{-2}\) है। \(t=3.0\) से \(t=7.0\ \text{s}\) तक उसका त्वरण \(-3.0\ \text{m s}^{-2}\) है।

एक विद्यार्थी कहता है:

“धनात्मक और ऋणात्मक भागों का प्रभाव बराबर है क्योंकि \(4\times3 = 3\times4\), इसलिए रोबोट को वहीं समाप्त होना चाहिए जहाँ से वह शुरू हुआ था।”

रोबोट का प्रारंभिक वेग \(+5.0\ \text{m s}^{-1}\) है।

रोबोट का अंतिम वेग निर्धारित कीजिए, और उसकी अंतिम स्थिति के बारे में विद्यार्थी के निष्कर्ष का मूल्यांकन कीजिए।

समाधान 4

रोबोट का अंतिम वेग \(\boxed{+5.0\ \text{m s}^{-1}}\) है, लेकिन यह दावा कि उसे वहीं समाप्त होना चाहिए जहाँ से वह शुरू हुआ था, गलत है।

पहले अंतराल के लिए,

\[
\Delta v_1
= (4.0)(3.0)
= +12\ \text{m s}^{-1}
\]

दूसरे अंतराल के लिए,

\[
\Delta v_2
= (-3.0)(4.0)
= -12\ \text{m s}^{-1}
\]

इसलिए,

\[
\Delta v_{\text{कुल}}
= +12 -12
= 0
\]

और

\[
v_f
= v_i + \Delta v_{\text{कुल}}
= 5.0 + 0
= 5.0\ \text{m s}^{-1}
\]

इसलिए विद्यार्थी का यह कहना सही है कि वेग अपने प्रारंभिक मान पर लौट आता है।

हालाँकि, वेग में शुद्ध परिवर्तन शून्य होने का अर्थ विस्थापन शून्य होना नहीं है। रोबोट पूरे अंतराल में चलता रहा है, और गति के बड़े हिस्से में उसका वेग \(5.0\ \text{m s}^{-1}\) से अधिक है।

त्वरण-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल वेग-परिवर्तन देता है, विस्थापन नहीं। रोबोट की स्थिति में परिवर्तन ज्ञात करने के लिए हमें उसके वेग-समय व्यवहार का निर्माण या गणना करनी होगी।

प्रश्न 5

दो गाड़ियाँ, A और B, समानांतर सीधी पटरियों पर चलती हैं।

दोनों गाड़ियों का \(t=0\) से \(t=8.0\ \text{s}\) तक त्वरण-समय ग्राफ बिल्कुल समान है। उस ग्राफ के नीचे का कुल चिह्नित क्षेत्रफल \(-6.0\ \text{m s}^{-1}\) है।

गाड़ी A का प्रारंभिक वेग \(+2.0\ \text{m s}^{-1}\) है, जबकि गाड़ी B का प्रारंभिक वेग \(+10.0\ \text{m s}^{-1}\) है।

एक विद्यार्थी दावा करता है कि क्योंकि दोनों गाड़ियों का त्वरण ग्राफ समान है, इसलिए उनका अंतिम वेग भी समान होना चाहिए और उन्हें समान विस्थापन तय करना चाहिए।

दावे के दोनों भागों का मूल्यांकन कीजिए।

समाधान 5

दावे का कोई भी भाग सही नहीं है। गाड़ी A का अंतिम वेग \(\boxed{-4.0\ \text{m s}^{-1}}\) है, गाड़ी B का अंतिम वेग \(\boxed{+4.0\ \text{m s}^{-1}}\) है, और 8.0 s के दौरान उनके विस्थापन समान नहीं हैं।

समान त्वरण-इतिहास दोनों गाड़ियों को वेग में समान परिवर्तन देता है:

\[
\Delta v = -6.0\ \text{m s}^{-1}
\]

गाड़ी A के लिए,

\[
v_{A,f}
= v_{A,i}+\Delta v
= 2.0-6.0
= -4.0\ \text{m s}^{-1}
\]

गाड़ी B के लिए,

\[
v_{B,f}
= v_{B,i}+\Delta v
= 10.0-6.0
= 4.0\ \text{m s}^{-1}
\]

इसलिए समान त्वरण-इतिहास समान अंतिम वेग उत्पन्न नहीं करते, जब तक कि प्रारंभिक वेग भी समान न हों।

उनके विस्थापन भी अलग हैं। हर क्षण गाड़ी B का वेग गाड़ी A के वेग से \(8.0\ \text{m s}^{-1}\) अधिक है, क्योंकि शुरुआत में उनके वेगों के बीच \(8.0\ \text{m s}^{-1}\) का अंतर है और उसके बाद दोनों बिल्कुल समान त्वरण से गुजरती हैं।

8.0 s में वेग का यह स्थिर अंतर विस्थापन में इतना अंतर उत्पन्न करता है

\[
\Delta x_B-\Delta x_A
= (8.0\ \text{m s}^{-1})(8.0\ \text{s})
= 64\ \text{m}
\]

इसलिए इस अंतराल में गाड़ी B, गाड़ी A की तुलना में धनात्मक दिशा में \(64\ \text{m}\) अधिक आगे जाती है।

मुख्य बात यह है कि त्वरण-समय ग्राफ आपको बताता है कि वेग कैसे बदलता है। वास्तविक वेग जानने के लिए प्रारंभिक वेग भी आवश्यक है। एक बार वेग का पूरा इतिहास ज्ञात हो जाए, तो उसके ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल विस्थापन बता सकता है। गति-ग्राफों की व्याख्या करते समय त्वरण से वेग और फिर स्थिति तक का यह संबंध अगला महत्वपूर्ण विचार है जिसे समझना उपयोगी है।