HSC 物理庫侖定律：力的大小與方向

兩個微小的帶電物體相距 20 cm。你把其中一個物體的電荷量加倍，同時也把它們之間的距離加倍。電力會變大、變小，還是保持不變？

一個很容易想到的猜測是「兩個變化會互相抵消」。但其實不會。電荷量和距離對電力的影響方式不同。電力與電荷量成正比，但與距離遵循平方反比關係。把其中一個電荷量加倍，會使力乘以 2；而把距離加倍，則會使力除以 \(2^2 = 4\)。因此，最後的力會變成原來的一半。

這個關係就是庫侖定律。計算本身通常相當直接。HSC 中較難掌握的技能，是理解算出的數值代表甚麼：力指向哪個方向、計算中的正負號應如何處理，以及當存在兩個以上的電荷時會有甚麼不同？

01先從物理情境開始

想像兩個小型帶電球體彼此相距足夠遠，因此可以把每個球體視為其全部電荷都集中在一個點上。

只有兩種可能：

• 同號電荷互相排斥
• 異號電荷互相吸引

所以，兩個正電荷會互相推開。兩個負電荷也會互相推開。一個正電荷和一個負電荷則會互相吸引。

在進行任何數學計算之前，先預測力的方向。

假設一個正電荷位於左側，一個負電荷位於右側。

正電荷所受的力朝哪個方向？

朝向負電荷，因此向右。

負電荷所受的力朝哪個方向？

朝向正電荷，因此向左。

兩個力的方向相反，但大小相等。這與牛頓第三定律一致。

這個最初的示意圖假設電荷表現得像點電荷。真實的帶電物體具有大小。簡單形式的庫侖定律對點電荷完全適用；對球對稱的電荷分佈，也可以使用庫侖定律，只要兩者的間距是以它們的中心之間的距離來量度。

02甚麼因素決定力的大小？

有三個因素會影響：

1. 第一個電荷的電荷量大小
2. 第二個電荷的電荷量大小
3. 它們之間的距離

如果任一電荷的電荷量變大，力就會變大。

如果兩個電荷相距更遠，力就會變小。

但距離的影響更強，因為距離要平方。

例如：

與其把這種平方反比關係當作奇怪的規則死記，不如真正理解它。

如果兩個電荷的距離變成原來的兩倍，它們之間的電相互作用分佈在幾何上更大的區域。結果並不是力單純減半，而是減少為原來的四分之一。

03庫侖定律

兩個點電荷之間靜電力的大小為

\[ F = k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \]

其中：

• \(F\) 是靜電力的大小，單位為牛頓（N）
• \(q_1\) 和 \(q_2\) 是電荷量，單位為庫侖（C）
• \(r\) 是兩個電荷之間的距離，單位為公尺（m）
• \(k\) 是庫侖常數

對真空中的電荷而言，以及近似地對空氣中的電荷而言，

\[ k = 8.99\times10^9\ \text{N m}^2\text{C}^{-2} \]

在 \(q_1q_2\) 外加上絕對值符號，是因為這個版本的公式用來計算大小。大小不可能是負數。

電荷的正負號仍然很重要，但它們是用來判斷力的方向。

把不同工作分開處理很有用：

• 把電荷量的大小代入庫侖定律
• 電荷的正負號告訴你力是吸引還是排斥
• 你的示意圖或座標系統告訴你該方向是正還是負

04單位換算陷阱

HSC 題目中的電荷量很少會寫成幾個完整的庫侖。以小型物體的尺度而言，一庫侖是非常大的電荷量。

你常會看到：

\[ 1\ \text{mC} = 1\times10^{-3}\ \text{C} \]

\[ 1\ \mu\text{C} = 1\times10^{-6}\ \text{C} \]

\[ 1\ \text{nC} = 1\times10^{-9}\ \text{C} \]

在使用庫侖定律之前，你也必須把公分換算成公尺。

例如，

\[ 25\ \text{cm} = 0.25\ \text{m} \]

一個常見錯誤是直接把 \(25\) 代入 \(r^2\)。這等於告訴公式兩個電荷相距 25 公尺。

05範例：兩個正電荷之間的力

兩個點電荷分別為 \(+3.0\ \mu\text{C}\) 和 \(+5.0\ \mu\text{C}\)，相距 \(0.40\ \text{m}\)。計算每個電荷所受靜電力的大小和方向。

步驟 1：計算之前先預測方向。

兩個電荷都是正電荷，因此互相排斥。

每個電荷所受的力都指向遠離另一個電荷的方向。

步驟 2：把電荷量換算成庫侖。

\[ q_1 = 3.0\times10^{-6}\ \text{C} \]

\[ q_2 = 5.0\times10^{-6}\ \text{C} \]

距離已經以公尺表示：

\[ r = 0.40\ \text{m} \]

步驟 3：使用庫侖定律求力的大小。

\[ \begin{aligned} F &= k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \\ &= (8.99\times10^9) \frac{(3.0\times10^{-6})(5.0\times10^{-6})}{(0.40)^2} \\ &= 0.843\ \text{N} \end{aligned} \]

取兩位有效數字，

\[ F = 0.84\ \text{N} \]

步驟 4：加上方向。

每個電荷受到大小為 \(0.84\ \text{N}\)、方向遠離另一個電荷的力。

如果 \(+3.0\ \mu\text{C}\) 電荷位於左側，而 \(+5.0\ \mu\text{C}\) 電荷位於右側，那麼左側電荷所受的力向左，右側電荷所受的力向右。

這兩個力大小相等、方向相反。

06為甚麼不應用負的力來表示吸引

假設你直接把帶正負號的數值 \(q_1 = +3.0\ \mu\text{C}\) 和 \(q_2 = -5.0\ \mu\text{C}\) 代入

\[ F = k\frac{q_1q_2}{r^2} \]

你會得到一個負數。

這時很容易說：「負的力代表吸引。」

這種捷徑並不可靠。

負的向量分量代表力指向你所選座標軸的負方向。吸引並不會自動代表左、右、正或負；它取決於另一個電荷位於甚麼位置。

例如，想像一個正的試驗電荷。

• 如果一個負電荷位於它的右側，吸引力會向右。
• 如果把同一個負電荷移到它的左側，吸引力便會向左。

兩種情況中的相互作用都是吸引，但座標上的正負號改變了。

對大多數一維 HSC 計算而言，更可靠的方法是：

1. 在庫侖定律中使用電荷量的大小
2. 判斷是吸引還是排斥
3. 判斷實際的物理方向
4. 只有在選定座標軸後，才加上正號或負號

07方向也是答案的一部分

假設兩個電荷位於 \(x\) 軸上。

你規定向右為正方向。

那麼：

• 向右的力具有正的 \(x\) 分量
• 向左的力具有負的 \(x\) 分量

選擇哪個方向為正方向完全是任意的。物理本身並不偏好右邊而不是左邊。

可以把正負號想成決定一條走廊的哪一端稱為「正方向」。即使你把兩端的標籤對調，走廊本身也沒有改變。改變的只是你用來描述位置與方向的數值。

這個類比有其限制。電的吸引和排斥是真實的物理相互作用，而座標中的正方向與負方向只是記錄和表示方式。

08範例：求帶正負號的力分量

一個 \(+2.0\ \mu\text{C}\) 電荷位於 \(x = 0\)。一個 \(-6.0\ \mu\text{C}\) 電荷位於 \(x = 0.30\ \text{m}\)。規定向右為正 \(x\) 方向。計算 \(+2.0\ \mu\text{C}\) 電荷所受的力。

步驟 1：判斷實際的物理方向。

兩個電荷的正負號相反，因此互相吸引。

負電荷位於正電荷的右側。因此，正電荷會被拉向右方。

所以，正電荷所受的力具有正的 \(x\) 分量。

步驟 2：以庫侖為單位寫出電荷量的大小。

\[ |q_1| = 2.0\times10^{-6}\ \text{C} \]

\[ |q_2| = 6.0\times10^{-6}\ \text{C} \]

以及

\[ r = 0.30\ \text{m} \]

步驟 3：計算力的大小。

\[ \begin{aligned} F &= k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \\ &= (8.99\times10^9) \frac{(2.0\times10^{-6})(6.0\times10^{-6})}{(0.30)^2} \\ &= 1.20\ \text{N} \end{aligned} \]

步驟 4：套用座標方向。

向右為正，因此

\[ F_x = +1.20\ \text{N} \]

\( +2.0\ \mu\text{C}\) 電荷受到大小為 \(1.20\ \text{N}\)、朝向負電荷的力。

注意這個正號是如何產生的。它並不是因為兩個電荷的正負號相乘得到正值。事實上，兩個電荷是異號的。這個正號來自力指向所選定的正 \(x\) 方向。

09當有一個以上的電荷施力時會怎樣？

庫侖定律給出的是一個電荷對另一個電荷所造成的力。

如果一個電荷受到多個其他電荷影響，就要分別計算每一個力，再把這些力以向量方式相加。

這就是疊加原理。

對一個受到 \(\vec F_1\)、\(\vec F_2\) 和 \(\vec F_3\) 作用的電荷，

\[ \vec F_{\text{net}} = \vec F_1 + \vec F_2 + \vec F_3 \]

不要自動把力的大小相加。方向很重要。

想像你站在兩個人中間，而他們都試圖把你拉向自己。如果說「一個人用 80 N 拉，另一個人用 60 N 拉，所以總力是 140 N」，就忽略了一個麻煩的細節：他們拉的方向相反。你所受的合力是 20 N，方向朝向拉力較大的那一方。

當電力沿同一直線作用時，情況也是一樣。

如果這些力不共線，這個類比就不再適用。此時你必須真正把二維向量相加，而不是只把力的大小相減。

10範例：另外兩個電荷造成的合力

三個點電荷位於同一條水平直線上。

• 電荷 \(A = +4.0\ \mu\text{C}\)
• 電荷 \(B = +2.0\ \mu\text{C}\)
• 電荷 \(C = -3.0\ \mu\text{C}\)

電荷 \(A\) 位於 \(B\) 左方 \(0.20\ \text{m}\)。電荷 \(C\) 位於 \(B\) 右方 \(0.30\ \text{m}\)。

計算 \(B\) 所受的靜電合力。規定向右為正。

步驟 1：判斷 \(A\) 對 \(B\) 所施力的方向。

\(A\) 和 \(B\) 都是正電荷，因此互相排斥。

因為 \(A\) 位於 \(B\) 左側，所以它會把 \(B\) 推向右方。

因此，

\[ F_{AB} > 0 \]

步驟 2：計算 \(A\) 所造成的力的大小。

\[ \begin{aligned} F_{AB} &= k\frac{|q_Aq_B|}{r_{AB}^2} \\ &= (8.99\times10^9) \frac{(4.0\times10^{-6})(2.0\times10^{-6})}{(0.20)^2} \\ &= 1.80\ \text{N} \end{aligned} \]

所以，

\[ F_{AB} = +1.80\ \text{N} \]

步驟 3：判斷 \(C\) 對 \(B\) 所施力的方向。

\(B\) 是正電荷而 \(C\) 是負電荷，因此兩者互相吸引。

因為 \(C\) 位於右側，所以 \(B\) 會被拉向右方。

因此，

\[ F_{CB} > 0 \]

步驟 4：計算 \(C\) 所造成的力的大小。

\[ \begin{aligned} F_{CB} &= k\frac{|q_Cq_B|}{r_{CB}^2} \\ &= (8.99\times10^9) \frac{(3.0\times10^{-6})(2.0\times10^{-6})}{(0.30)^2} \\ &= 0.599\ \text{N} \end{aligned} \]

所以，

\[ F_{CB} = +0.599\ \text{N} \]

步驟 5：把力的分量相加。

\[ \begin{aligned} F_{\text{net}} &= F_{AB} + F_{CB} \\ &= 1.80 + 0.599 \\ &= 2.40\ \text{N} \end{aligned} \]

因此，\(B\) 所受的合力為

\[ \boxed{F_{\text{net}} = +2.40\ \text{N}} \]

也就是向右 \(2.40\ \text{N}\)。

雖然其中一個相互作用是排斥，另一個是吸引，但兩者都把 \(B\) 推或拉向同一方向。

這正好說明了為甚麼「吸引就代表負」是一條不好的規則。

11解答庫侖定律問題的可靠方法

遇到電力問題時，可以依照以下順序處理。

1. 把電荷畫在正確的位置上

標示它們的正負號和間距。

即使排列看起來很明顯，也要這樣做。大多數方向上的錯誤，在按計算機之前就已經開始了。

2. 選定你要找哪一個電荷所受的力

問自己：有哪些力作用在這個電荷上？

除非題目要求，否則不要理會作用在其他電荷上的力。

3. 預測每一個力的方向

對每一對互相作用的電荷：

• 同號代表排斥
• 異號代表吸引

畫一個箭頭，表示作用在目標電荷上的力。

4. 把所有物理量換算成 SI 單位

使用：

• 電荷量用庫侖
• 距離用公尺
• 力用牛頓

5. 分別計算每一個力的大小

使用

\[ F = k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \]

6. 為各個力加上向量正負號

到這一步才使用你的座標約定。

例如，如果向右為正：

• 向右的力：正
• 向左的力：負

7. 把各個力相加

對一維問題，

\[ F_{\text{net}} = F_1 + F_2 + \cdots \]

對二維排列，要先把力分解成分量，再進行相加。

12最容易出現的錯誤觀念

「負電荷代表負的力」

不一定。

電荷的正負號描述的是電荷種類。力的正負號描述的是相對於某個座標系統的方向。

兩者是不同的概念。

「異號電荷一定會得到負的答案」

異號電荷一定互相吸引。力的分量是正還是負，取決於電荷的位置以及你選擇哪個方向為正。

「如果距離加倍，力就減半」

庫侖定律中包含的是 \(r^2\)，不是 \(r\)。

距離加倍時，

\[ F_{\text{new}} = \frac{F_{\text{old}}}{2^2} = \frac{F_{\text{old}}}{4} \]

「電荷量較大的電荷會受到較大的力」

假設一個 \(+1\ \mu\text{C}\) 電荷與一個 \(+100\ \mu\text{C}\) 電荷互相作用。

直覺上可能會覺得，\(100\ \mu\text{C}\) 的電荷應該會以某種方式「勝出」，並施加較大的力。

其實不會。

無論你把哪個電荷稱為 \(q_1\) 或 \(q_2\)，庫侖定律中的乘積 \(q_1q_2\) 都相同。電荷 1 對電荷 2 的力，大小等於電荷 2 對電荷 1 的力。

如果兩個物體的質量不同，它們的加速度仍然可以不同，因為

\[ \vec a = \frac{\vec F}{m} \]

力相等並不代表加速度相等。

「合力為零代表沒有電力」

這也不正確。

兩個或更多非零的力可以互相抵消。

一個電荷可能同時受到向左 \(3\ \text{N}\) 和向右 \(3\ \text{N}\) 的力。即使有兩個靜電力作用在它上面，它的合力仍然是零。

當你進一步學習電場和平衡時，這個區別尤其重要。

13問題與解答

問題 1

兩個點電荷 \(+2.5\ \mu\text{C}\) 和 \(+4.0\ \mu\text{C}\) 相距 \(0.50\ \text{m}\)。

計算它們之間靜電力的大小，並指出這個相互作用是吸引還是排斥。

解答 1

兩個電荷互相排斥，力的大小為 \(0.360\ \text{N}\)。

兩個電荷都是正電荷，因此相互作用是排斥。

把電荷量換算成庫侖：

\[ q_1 = 2.5\times10^{-6}\ \text{C} \]

\[ q_2 = 4.0\times10^{-6}\ \text{C} \]

距離為

\[ r = 0.50\ \text{m} \]

使用庫侖定律，

\[ \begin{aligned} F &= k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \\ &= (8.99\times10^9) \frac{(2.5\times10^{-6})(4.0\times10^{-6})}{(0.50)^2} \\ &= 0.3596\ \text{N} \end{aligned} \]

因此，

\[ \boxed{F = 0.360\ \text{N}} \]

每個電荷都受到相同大小的力，方向遠離另一個電荷。這裡一個常見錯誤，是認為電荷量較大的 \(+4.0\ \mu\text{C}\) 電荷會受到較大的力。牛頓第三定律告訴我們，這兩個相互作用力的大小相等。

問題 2

一個 \(+6.0\ \text{nC}\) 電荷位於 \(x = 0\)，另一個 \(-8.0\ \text{nC}\) 電荷位於 \(x = -0.12\ \text{m}\)。

規定向右為正。計算 \(+6.0\ \text{nC}\) 電荷所受的力。

解答 2

正電荷所受的力約為 \(-3.00\times10^{-5}\ \text{N}\)，表示力向左。

兩個電荷異號，因此互相吸引。負電荷位於正電荷的左側，所以正電荷所受的力也必須向左。

換算電荷量：

\[ |q_1| = 6.0\times10^{-9}\ \text{C} \]

\[ |q_2| = 8.0\times10^{-9}\ \text{C} \]

計算力的大小：

\[ \begin{aligned} F &= k\frac{|q_1q_2|}{r^2} \\ &= (8.99\times10^9) \frac{(6.0\times10^{-9})(8.0\times10^{-9})}{(0.12)^2} \\ &= 2.997\times10^{-5}\ \text{N} \end{aligned} \]

取三位有效數字，

\[ F = 3.00\times10^{-5}\ \text{N} \]

因為向左是負 \(x\) 方向，

\[ \boxed{F_x = -3.00\times10^{-5}\ \text{N}} \]

這個負號來自所選的座標方向，而不只是因為其中一個電荷是負電荷。

問題 3

一個 \(+1.0\ \mu\text{C}\) 電荷因第二個點電荷而受到大小為 \(0.90\ \text{N}\) 的力。

兩個電荷之間的距離加倍，而兩者的電荷量大小都保持不變。

新的力大小是多少？不必從頭重新進行完整的庫侖定律計算，請解釋你的答案。

解答 3

新的力大小為 \(0.225\ \text{N}\)。

庫侖定律給出以下關係：

\[ F \propto \frac{1}{r^2} \]

如果距離由 \(r\) 變成 \(2r\)，那麼

\[ \frac{F_{\text{new}}}{F_{\text{old}}} = \frac{r^2}{(2r)^2} = \frac{1}{4} \]

因此，

\[ \begin{aligned} F_{\text{new}} &= \frac{0.90}{4} \\ &= 0.225\ \text{N} \end{aligned} \]

所以，

\[ \boxed{F_{\text{new}} = 0.225\ \text{N}} \]

主要陷阱是把這個關係誤認為普通反比，而不是平方反比。距離加倍並不會使力減半，而是使它減少到原來的四分之一。

問題 4

三個點電荷位於 \(x\) 軸上。

• \(A = +3.0\ \mu\text{C}\)，位於 \(x = -0.20\ \text{m}\)
• \(B = +1.0\ \mu\text{C}\)，位於 \(x = 0\)
• \(C = +12.0\ \mu\text{C}\)，位於 \(x = +0.40\ \text{m}\)

規定向右為正。

計算 \(B\) 所受的靜電合力。

解答 4

即使有兩個非零的靜電力作用在 \(B\) 上，\(B\) 所受的合力仍然為零。

先考慮 \(A\) 所造成的力。

\(A\) 和 \(B\) 都是正電荷，因此 \(A\) 排斥 \(B\)。因為 \(A\) 在左側，所以這個力指向右方。

它的大小為

\[ \begin{aligned} F_{AB} &= k\frac{|q_Aq_B|}{r_{AB}^2} \\ &= (8.99\times10^9) \frac{(3.0\times10^{-6})(1.0\times10^{-6})}{(0.20)^2} \\ &= 0.674\ \text{N} \end{aligned} \]

因此，

\[ F_{AB} = +0.674\ \text{N} \]

現在考慮 \(C\) 所造成的力。

\(B\) 和 \(C\) 也都是正電荷，因此 \(C\) 排斥 \(B\)。因為 \(C\) 在右側，所以這個力指向左方。

它的大小為

\[ \begin{aligned} F_{CB} &= k\frac{|q_Cq_B|}{r_{CB}^2} \\ &= (8.99\times10^9) \frac{(12.0\times10^{-6})(1.0\times10^{-6})}{(0.40)^2} \\ &= 0.674\ \text{N} \end{aligned} \]

因此，

\[ F_{CB} = -0.674\ \text{N} \]

把向量分量相加：

\[ \begin{aligned} F_{\text{net}} &= F_{AB} + F_{CB} \\ &= 0.674 - 0.674 \\ &= 0 \end{aligned} \]

所以，

\[ \boxed{F_{\text{net}} = 0\ \text{N}} \]

有趣的是，電荷 \(C\) 與 \(B\) 的距離是 \(A\) 與 \(B\) 距離的四倍嗎？仔細檢查實際距離：\(C\) 距離 \(B\) 為 \(0.40\ \text{m}\)，而 \(A\) 距離 \(B\) 為 \(0.20\ \text{m}\)，所以 \(C\) 其實是距離 \(B\) 兩倍遠。因為距離要平方，距離變成兩倍會使力減弱為四分之一。\(C\) 上的電荷量正好是四倍，因此恰好補償了這個減少。

所以，合力為零並不代表沒有靜電相互作用，而是各個向量力彼此抵消。

問題 5

兩個固定的正點電荷位於同一直線上。

• \(Q_1 = +4.0\ \mu\text{C}\)，位於 \(x = 0\)
• \(Q_2 = +9.0\ \mu\text{C}\)，位於 \(x = 1.00\ \text{m}\)

一個小的正試驗電荷被放置在同一直線上的某個位置。

找出在 \(Q_1\) 和 \(Q_2\) 之間，試驗電荷所受靜電合力為零的位置。並解釋為甚麼不需要知道試驗電荷本身的電荷量。

解答 5

試驗電荷必須放在 \(x = 0.400\ \text{m}\) 的位置，從 \(Q_1\) 起量。

因為試驗電荷是正電荷，所以兩個固定的正電荷都會排斥它。

在 \(Q_1\) 和 \(Q_2\) 之間：

• \(Q_1\) 把試驗電荷推向右方
• \(Q_2\) 把試驗電荷推向左方

要使合力為零，這兩個力的大小必須相等。

設未知位置距離 \(Q_1\) 為 \(x\) 公尺。

因此，它與 \(Q_2\) 的距離為

\[ 1.00-x \]

設試驗電荷為 \(q\)。令兩個力的大小相等，可得

\[ k\frac{|Q_1q|}{x^2} = k\frac{|Q_2q|}{(1.00-x)^2} \]

因子 \(k\) 和 \(|q|\) 同時出現在等式兩邊，因此可以約去：

\[ \frac{Q_1}{x^2} = \frac{Q_2}{(1.00-x)^2} \]

代入電荷量的大小：

\[ \frac{4.0}{x^2} = \frac{9.0}{(1.00-x)^2} \]

取正平方根是合理的，因為 \(x\) 和 \(1.00-x\) 都代表正的距離：

\[ \frac{2}{x} = \frac{3}{1.00-x} \]

交叉相乘，

\[ \begin{aligned} 2(1.00-x) &= 3x \\ 2.00-2x &= 3x \\ 2.00 &= 5x \\ x &= 0.400\ \text{m} \end{aligned} \]

因此，

\[ \boxed{x = 0.400\ \text{m}} \]

不需要知道試驗電荷的大小，因為它會以相同方式乘在兩個互相競爭的力上；當令兩個力相等時，它便會被約去。

這個位置在物理上也合理。\( +9.0\ \mu\text{C}\) 電荷較強，所以平衡點必須更靠近較弱的 \(+4.0\ \mu\text{C}\) 電荷。在 \(x=0.400\ \text{m}\) 時，試驗電荷距離 \(Q_1\) 為 \(0.400\ \text{m}\)，但距離較強的 \(Q_2\) 為 \(0.600\ \text{m}\)。

一個很容易想到的做法是尋找中點。但只有當兩個固定電荷的電荷量大小相等時，中點才會成立。

14從力到電場

庫侖定律告訴你特定電荷之間的力。下一個有用的步驟，是把相互作用的來源，與放置在該處的物體分開考慮。

如果一個電荷 \(Q\) 在周圍產生電的影響，我們可以用電場來描述這種影響。當第二個電荷放入這個電場中時，它就會受到力。

這個觀念上的轉換把

\[ F = k\frac{|Qq|}{r^2} \]

變成密切相關的概念

\[ E = k\frac{|Q|}{r^2} \]

其中 \(E\) 是電場強度。

因此，你在這裡所做的方向判斷可以直接延伸到電場：先理解一個正試驗電荷會被推向哪個方向，再加上向量方向。這就是從庫侖定律通往電場、電場圖、電勢，以及最後研究帶電粒子在電場中運動的橋樑。