自由體圖：如何在 HSC 物理中正確繪製力

一個箱子正在粗糙的地板上向右滑動。箭頭應該指向哪個方向？

大多數學生會畫一個向右的箭頭，因為箱子正在向右移動。這看起來很合理，但可能完全錯誤。自由體圖不是用來表示運動方向的。它表示的是作用在某一個選定物體上的力。

這個差別就是整個關鍵。

假設箱子正在向右移動，但速度正在減慢。在繼續閱讀之前，先預測水平方向的合力應指向哪裡。

它必須指向左方。物體可以向右移動，同時合力卻指向左方。速度告訴你物體如何運動；合力告訴你它的速度如何改變。

一幅好的自由體圖，會在開始代數運算之前先把這些概念分清楚。

01自由體圖實際上在做甚麼

想像你把一個物體從複雜的情境中單獨取出來，讓它獨自在聚光燈下。暫時忽略場景中的其他部分，然後問：

此刻有哪些其他物體正在與這個物體相互作用？

每一種相互作用都可能產生一個力。

以一本靜止放在書桌上的書為例：

• 地球透過重力把書向下拉。
• 書桌透過接觸把書向上推。

這些就是作用在書上的力。

書也會透過重力把地球向上拉，並把書桌向下推。這些力是真實存在的，但它們作用在地球和書桌上，而不是作用在書上。因此，它們不應出現在書的自由體圖中。

這就是為甚麼「自由」這個詞很重要。我們在概念上把一個物體從周圍環境中獨立出來，然後用力的箭頭取代每一個相關的相互作用。

02能避免大多數錯誤的規則

在畫任何箭頭之前，先完成這句話：

「我正在畫作用在 ______ 上的力。」

這個空格就是你所選擇的系統。

如果系統是一架雪橇，那麼每一個箭頭都必須表示一個作用在雪橇上的力。

如果系統是站在雪橇上的人，箭頭就會不同。

如果系統是人和雪橇的整體，那麼人與雪橇之間的力會成為系統內力，通常不會出現在圖中。

有一個稍微有點滑稽的想法，是把它當成一次「關係審查」。你不是在問：「這個故事裡有誰？」而是在問：「誰真的正在和我選定的物體相互作用？」這個類比並不完全成立，因為力遵循的是物理相互作用，而不是社交戲碼，但這種篩選思路很有用。

03一個可靠的四步方法

第 1 步：隔離物體

把物體簡化成一個方框或一個點。通常不需要畫出它真正的形狀。

自由體圖並不是場景的圖畫，而是一份力的清單。

第 2 步：列出相互作用

問自己：甚麼東西可以對這個物體施力？

HSC 物理中常見的相互作用包括：

這個表格只是一個起點，不是一份你應該自動加入圖中的力的清單。只有在對應的相互作用確實存在時，那個力才應出現在自由體圖中。

第 3 步：按照每個力的實際物理方向畫出來

箭頭的方向由相互作用決定，而不是由你希望物體往哪裡移動來決定。

例如，正向力垂直於接觸表面。在水平地板上，這剛好代表鉛直向上。

在斜面上，正向力則是傾斜的。

這也是為甚麼常見的捷徑 \(N = mg\) 很危險。有些情況下它確實成立，但這不是正向力的定義。

第 4 步：到這時才套用牛頓定律

當自由體圖正確之後，你就可以寫出

\[
\sum \vec{F} = m\vec{a}
\]

其中，\(\sum \vec{F}\) 是作用在所選物體上的所有外力之向量和，\(m\) 是以公斤為單位的質量，而 \(\vec{a}\) 是以米每秒平方為單位的加速度。

自由體圖要畫在這條方程式之前，因為它會告訴你哪些力應該包含在總和之中。

04運動不是一種力

考慮一個冰球被擊出後，在粗糙冰面上向右滑動。球桿已經不再接觸冰球。

有哪些水平方向的力作用在冰球上？

一個很容易讓人想選的答案是：

• 向左的摩擦力
• 向右的「運動力」

第二個力並不存在。

當球桿失去與冰球的接觸後，球桿就不再對冰球施加接觸力。冰球仍然可以繼續向右移動，因為物體不需要一個向前的力來維持速度。

如果摩擦力是唯一的水平力，那麼合力就會指向左方。因此，冰球的加速度向左，也就是說它向右的速度會減少。

這就是牛頓第一定律和第二定律共同作用的結果。

力與相互作用有關，而不會僅僅因為物體正在運動就自動存在。

05重力與正向力不是牛頓第三定律的一對力

一本書靜止在水平桌面上。它的重力向下，而桌子對書施加的正向力向上。

這兩個力的大小可能相等。這是否表示它們是牛頓第三定律的一對作用力與反作用力？

不是。

它們都作用在同一個物體–這本書–上。

牛頓第三定律的一對力必定作用在不同的物體上。

重力的第三定律力對是：

• 地球把書向下拉。
• 書把地球向上拉。

接觸力的第三定律力對是：

• 桌子把書向上推，
• 書把桌子向下推。

只有作用在書上的力才屬於書的自由體圖。

06正向力並不會自動等於重力

對一個靜止在水平桌面、且沒有其他鉛直方向力作用的物體而言，其鉛直加速度為零。因此，

\[
\sum F_y = 0
\]

所以

\[
N – mg = 0
\]

因此

\[
N = mg.
\]

留意剛才發生了甚麼。我們是根據具體情況推導出 \(N = mg\)。

我們並不是把它當成一條普遍規則作為起點。

如果你向下推物體，\(N\) 可以大於 \(mg\)。如果你以某個角度向上拉物體，\(N\) 可以小於 \(mg\)。在斜面上，正向力甚至不是與整個重力方向相反。

07摩擦力並不單純等於「與速度方向相反」

摩擦力會反抗表面之間的相對滑動，或相對滑動的趨勢。

對一個在靜止地板上向右滑動的物塊來說，地板對物塊的摩擦力向左。這很簡單。

但想像一個箱子放在一輛開始向前加速的貨車地板上。如果箱子沒有滑動，那麼作用在箱子上的靜摩擦力會指向前方。

這可能看起來很奇怪，因為箱子也正在向前移動。但如果沒有摩擦力，貨車地板就會在箱子下方向前加速並超前。靜摩擦力向前作用，是為了防止這種相對滑動。

因此，「摩擦力永遠與運動方向相反」並不可靠。

更好的問題是：

如果沒有摩擦力，兩個表面會相對於彼此向哪個方向滑動？

摩擦力會反抗這種相對滑動或滑動趨勢。

08範例：在地板上拉箱子

一個 \(6.0\text{ kg}\) 的箱子受到 \(24\text{ N}\) 的水平拉力向右拉動。作用在箱子上的摩擦力大小為 \(9.0\text{ N}\)。畫出自由體圖，並求箱子的加速度。

第 1 步：隔離箱子並找出每一個相互作用。

地球把箱子向下拉，地板把箱子向上推，施力者對箱子施加 \(24\text{ N}\) 的向右拉力，而地板則對箱子施加向左的摩擦力。

因此，四個力分別是：

• 重力 \(mg\)，向下，
• 正向力 \(N\)，向上，
• 外加力 \(24\text{ N}\)，向右，
• 摩擦力 \(9.0\text{ N}\)，向左。

第 2 步：處理鉛直方向。

拉力是水平的，而且箱子沒有鉛直加速度，所以

\[
N – mg = 0.
\]

它的重量為

\[
mg = 6.0 \times 9.8 = 58.8\text{ N}.
\]

因此，

\[
N = 58.8\text{ N}.
\]

第 3 步：求水平方向的合力。

取向右為正方向。

\[
\sum F_x = 24 – 9.0 = 15\text{ N}.
\]

第 4 步：使用牛頓第二定律。

\[
\begin{aligned}
\sum F_x &= ma \\
15 &= 6.0a \\
a &= 2.5\text{ m s}^{-2}
\end{aligned}
\]

箱子的加速度為向右 \(2.5\text{ m s}^{-2}\)。

重點在於，加速度是由合力決定的，而不是單純因為箱子正被向右拉。

09斜面上的力

斜面會令自由體圖變得更有意思，因為「向上」與「垂直於表面」不再是同一個方向。

考慮一個位於斜坡上的物塊。

它的重力 \(mg\) 仍然鉛直向下。地板傾斜並不會令重力跟著旋轉。

正向力 \(N\) 垂直於斜面。

如果存在摩擦力，摩擦力會沿著斜面作用。

在計算時，通常最好選擇平行與垂直於斜面的座標軸。

此時，重力可以分解成兩個分量：

\[
mg\sin\theta
\]

沿斜面方向，以及

\[
mg\cos\theta
\]

垂直於斜面，其中 \(\theta\) 是斜面相對水平面的傾角。

這些分量不是額外的力。它們只是把原本的重力沿著方便使用的座標方向表示出來。

這個區別很重要。你的自由體圖不應把 \(mg\)、\(mg\sin\theta\) 和 \(mg\cos\theta\) 畫成三個獨立的重力。

10範例：物塊沿粗糙斜面下滑

一個 \(8.0\text{ kg}\) 的物塊沿著 \(30^\circ\) 的斜面向下滑動。作用在物塊上的摩擦力為 \(12\text{ N}\)。畫出自由體圖，求正向力，並計算沿斜面的加速度。使用 \(g = 9.8\text{ m s}^{-2}\)。

第 1 步：找出真正存在的力。

物塊受到三個力：

• 重力 \(mg\)，鉛直向下，
• 正向力 \(N\)，垂直於斜面，
• 摩擦力 \(12\text{ N}\)，沿斜面向上，因為物塊正在沿斜面向下滑動。

不存在一個獨立的「沿斜面向下的力」。沿斜面向下的作用來自重力的一個分量。

第 2 步：計算重量。

\[
mg = 8.0 \times 9.8 = 78.4\text{ N}.
\]

第 3 步：把重力分解成垂直於斜面的分量。

垂直分量為

\[
mg\cos\theta.
\]

物塊不會穿過斜面加速，因此垂直於斜面的合力為零：

\[
\begin{aligned}
N – mg\cos30^\circ &= 0 \\
N &= 78.4\cos30^\circ \\
N &\approx 67.9\text{ N}.
\end{aligned}
\]

留意 \(N\) 小於 \(mg\)。這正好說明了為甚麼不能把 \(N = mg\) 當成一般規則。

第 4 步：把重力分解成平行於斜面的分量。

把物塊沿斜面向下拉的分量為

\[
\begin{aligned}
mg\sin30^\circ
&= 78.4\sin30^\circ \\
&= 39.2\text{ N}.
\end{aligned}
\]

第 5 步：求沿斜面的合力。

取沿斜面向下為正方向。

\[
\sum F_{\parallel} = 39.2 – 12 = 27.2\text{ N}.
\]

第 6 步：套用牛頓第二定律。

\[
\begin{aligned}
\sum F_{\parallel} &= ma \\
27.2 &= 8.0a \\
a &= 3.4\text{ m s}^{-2}.
\end{aligned}
\]

物塊沿斜面向下的加速度為 \(3.4\text{ m s}^{-2}\)。

自由體圖令計算變得容易處理，因為它先把真實存在的力分開，然後才讓我們把其中一個力分解成有用的分量。

11張力沿著繩的方向

繩可以拉物體。理想的柔軟繩子不能推物體。

因此，當一條繩連接到一個物體時，繩對物體的張力方向：

1. 沿著繩，並且
2. 從物體向外。

如果一個物體懸掛在鉛直繩上，張力向上。

如果一架雪橇被一條與水平面成 \(20^\circ\) 的繩拉動，張力就指向水平線上方 \(20^\circ\) 的方向。

這個有角度的張力同時具有水平和鉛直分量。它向上的分量可以減小正向力。

對一個與水平面成 \(\theta\) 角、大小為 \(T\) 的張力，

\[
T_x = T\cos\theta
\]

以及

\[
T_y = T\sin\theta.
\]

同樣地，\(T_x\) 和 \(T_y\) 是同一個張力的分量，而不是兩個新的物理相互作用。

12甚麼時候應該畫一個箭頭？

在加入任何力的箭頭之前，試著問自己：

「是哪一個物體正在施加這個力？」

如果你說不出來，就應該提高警覺。

對重力而言，答案是地球。

對正向力而言，是接觸表面。

對摩擦力而言，是另一個表面。

對張力而言，是繩或纜索。

一個神秘的「運動力」、在已經找出向心方向的力之後又額外加入的「向心力」，或「加速度力」，通常都無法通過這個檢驗。

特別是「向心力」，它是對圓周運動所需淨向內合力的描述，而不一定是一個額外的力。視情況而定，這個向內的合力可能由張力、重力、摩擦力、正向力，或它們的組合提供。

13精簡自由體圖檢查表

完成一幅圖後，檢查以下各點：

• 我是否已清楚選定一個物體或系統？
• 每一個箭頭是否都代表一個作用在該系統上的力？
• 我能否說出造成每一個力的另一個物體？
• 重力是否鉛直向下？
• 正向力是否垂直於接觸表面？
• 張力是否沿著繩的方向？
• 我是否根據相對滑動或其趨勢來判斷摩擦力，而不是盲目地令它與速度方向相反？
• 我是否不小心把速度或加速度畫成一個力？
• 我是否把牛頓第三定律的一對力同時畫在同一個物體上？
• 我是否誤把力的分量當成額外的力？

如果這些問題都掌握得好，之後大多數動力學計算都會清楚得多。

14問題與解答

問題 1

一盞 \(4.0\text{ kg}\) 的燈靜止懸掛在一條鉛直繩上。畫出燈的自由體圖，並計算繩中的張力。使用 \(g = 9.8\text{ m s}^{-2}\)。

解答 1

燈受到兩個力：向下的重力與向上的張力，而張力為 \(39.2\text{ N}\)。

燈是靜止的，因此它的加速度為零。所以鉛直方向的合力必須為零。

它的重量為

\[
\begin{aligned}
F_g &= mg \\
&= 4.0 \times 9.8 \\
&= 39.2\text{ N}.
\end{aligned}
\]

取向上為正方向，

\[
\begin{aligned}
\sum F_y &= 0 \\
T – mg &= 0 \\
T &= 39.2\text{ N}.
\end{aligned}
\]

因此，自由體圖應包含一個向上的 \(T\) 箭頭和一個向下的 \(mg\) 箭頭，兩者大小相等。

一個常見錯誤是，因為繩正在「承受重量」，所以再加入另一個向下的力。燈的重力已經代表地球對它施加的萬有引力。繩只提供向上的張力。

問題 2

一個 \(10\text{ kg}\) 的木箱受到一個大小為 \(50\text{ N}\)、方向為水平線上方 \(37^\circ\) 的拉力，在水平地板上移動。作用在木箱上的摩擦力為 \(18\text{ N}\)。畫出自由體圖，計算正向力，並求水平方向的加速度。使用 \(g = 9.8\text{ m s}^{-2}\)。

解答 2

正向力約為 \(68\text{ N}\)，木箱沿拉力的水平方向以約 \(2.2\text{ m s}^{-2}\) 的加速度運動。

作用在木箱上的力有：

• 重力 \(mg\)，向下，
• 正向力 \(N\)，向上，
• 大小為 \(50\text{ N}\)、方向在水平線上方 \(37^\circ\) 的拉力，
• 摩擦力 \(18\text{ N}\)，與滑動方向相反。

首先計算重量：

\[
mg = 10 \times 9.8 = 98\text{ N}.
\]

拉力的鉛直分量為

\[
\begin{aligned}
F_y &= 50\sin37^\circ \\
&\approx 30.1\text{ N}.
\end{aligned}
\]

物體沒有鉛直加速度，所以

\[
\begin{aligned}
N + 30.1 – 98 &= 0 \\
N &\approx 67.9\text{ N}.
\end{aligned}
\]

正向力小於重量，因為繩的拉力正在幫助支撐木箱。

拉力的水平分量為

\[
\begin{aligned}
F_x &= 50\cos37^\circ \\
&\approx 39.9\text{ N}.
\end{aligned}
\]

因此，水平方向的合力為

\[
\sum F_x = 39.9 – 18 = 21.9\text{ N}.
\]

利用 \(\sum F_x = ma\)，

\[
\begin{aligned}
21.9 &= 10a \\
a &\approx 2.19\text{ m s}^{-2}.
\end{aligned}
\]

所以加速度約為 \(2.2\text{ m s}^{-2}\)。

一個很容易犯的錯誤是直接使用 \(N = mg = 98\text{ N}\)。這樣會忽略有角度拉力的向上分量。

問題 3

一名乘客站在一部正在向上行駛但逐漸減速的升降機中的體重計上。一名學生說：「因為升降機正在向上移動，所以體重計對乘客的推力一定大於乘客的重量。」

這名學生正確嗎？畫出乘客的自由體圖，並說明體重計讀數與乘客重量相比應該如何。

解答 3

這名學生並不正確。當向上移動的升降機減速時，體重計讀數必須小於乘客的重量。

只有兩個顯著的力作用在乘客上：

• 重力 \(mg\)，向下，
• 體重計施加的正向力 \(N\)，向上。

關鍵是把速度與加速度分開考慮。

升降機正在向上移動但逐漸減速，因此它的加速度向下。乘客也因此具有向下的加速度。

要使合力指向下方，

\[
mg > N.
\]

因此，

\[
N < mg.
\]

體重計測量的是接觸力，也就是正向力 \(N\)，而不是直接測量 \(mg\)。所以它的讀數會低於乘客平常靜止時的讀數。

這個錯誤觀念源自把運動方向誤認為合力方向。物體可以向上移動，同時受到向下的合力，只要它正在減速即可。

問題 4

一個小物塊靜止在貨車的水平地板上，並且沒有滑動。貨車開始向右加速。

一名學生畫出的物塊自由體圖只有向下的重力與向上的正向力。另一名學生則加入一個向左的摩擦力，因為「摩擦力永遠反抗運動」。

解釋每幅圖中缺少了甚麼或錯在哪裡。指出作用在物塊上的摩擦力方向。

解答 4

作用在物塊上的靜摩擦力指向右方。第一幅圖缺少這個水平力，而第二名學生則選錯了方向。

如果物塊沒有受到水平力，根據牛頓第二定律，它的水平加速度就會是零。貨車地板會在它下方加速向右，而物塊則傾向維持原本的水平速度。

因此，相對於貨車而言，物塊會有向左滑動的趨勢。

靜摩擦力反抗這種相對滑動的趨勢，所以貨車地板對物塊施加的摩擦力指向右方。

正是這個向右的摩擦力令物塊產生向右的加速度：

\[
f_s = ma
\]

前提是所需的摩擦力不超過可提供的最大靜摩擦力。

重要的陷阱在於「摩擦力反抗運動」這句話。物塊正在向右移動，而摩擦力也向右。摩擦力反抗的是接觸表面之間的相對滑動，或相對滑動的趨勢。

問題 5

一個物塊以恆定速率沿粗糙斜面向下滑動。一名學生在圖中畫出了三個力：鉛直向下的重力 \(mg\)、垂直於斜面的正向力 \(N\)，以及沿斜面向上的摩擦力 \(f\)。接著，他又加入第四個力，標示為「沿斜面向下的合力」，因為重力在那個方向具有一個分量 \(mg\sin\theta\)。

指出錯誤之處。然後求摩擦力與分量 \(mg\sin\theta\) 之間的關係。

解答 5

第四個箭頭是不正確的。沒有額外的合力需要畫出來，而摩擦力的大小必須等於 \(mg\sin\theta\)。

合力並不是另一個獨立的相互作用。它是圖中已存在的實際力之向量和。

同樣地，\(mg\sin\theta\) 也不是在 \(mg\) 之外額外存在的力。它只是原有重力沿斜面方向的分量。

因為物塊以恆定速率移動，所以它的加速度為零。因此，沿斜面的合力為零。

取沿斜面向下為正方向，

\[
\begin{aligned}
\sum F_{\parallel} &= 0 \\
mg\sin\theta – f &= 0.
\end{aligned}
\]

因此，

\[
f = mg\sin\theta.
\]

即使物塊正在移動，沿斜面的力仍然互相平衡。合力為零代表加速度為零，而不是速度為零。

這就是自由體圖重要的更深層原因：一旦你能把真正的相互作用與運動、分量和合力區分開來，牛頓定律就會變成一個可以有條理處理的力學記帳問題，而不是靠猜測作答。下一個值得學習的步驟，是如何選擇座標軸並有效地分解二維情況中的力，尤其是斜面與圓周運動。