جمع مركبات المتجهات المتعامدة في فيزياء HSC

أنت تمشي 30 m شرقًا، ثم 40 m شمالًا. المسافة الكلية التي قطعتها على المسار هي 70 m، لكن افترض أن صديقًا سار في خط مستقيم من نقطة البداية إلى نقطة النهاية. ما المسافة التي سيقطعها؟

قد يبدو من المغري توقّع أن تكون 70 m. ففي النهاية، \(30 + 40 = 70\). لكن الشرق والشمال اتجاهان مختلفان، لذلك لا يمكن جمع هاتين المسافتين كما لو كانتا عددين عاديين. مقدار الإزاحة في خط مستقيم هو 50 m.

تحتوي هذه المسألة البسيطة على الفكرة الأساسية للمركبات المتعامدة للمتجهات: اجمع كل اتجاه على حدة، ثم أعد تكوين المتجه المحصل الواحد من هذه المركبات.

01ابدأ بالرسم

تخيّل حركتك على شبكة إحداثيات.

• الحركة 30 m شرقًا تغيّر موضعك في اتجاه الشرق-الغرب فقط.
• الحركة 40 m شمالًا تغيّر موضعك في اتجاه الشمال-الجنوب فقط.
• تشير إزاحتك النهائية قطريًا من نقطة البداية إلى نقطة النهاية.

تشكّل هاتان الحركتان الضلعين المتعامدين في مثلث قائم الزاوية. والقطر هو المتجه المحصل.

لأن المركبتين متعامدتان، تعطينا نظرية فيثاغورس مقدار المحصلة:

\[ R = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50\text{ m} \]

هنا، يمثّل \(R\) مقدار الإزاحة المحصلة.

لاحظ ما الذي تعنيه 50 m. إنها ليست المسافة التي مشيتها. فما زلت قد قطعت 70 m على طول المسار. وإنما هي مقدار إزاحتك من نقطة البداية.

يصبح هذا التمييز مهمًا عندما تمثّل المتجهات الإزاحة أو السرعة المتجهة أو التسارع أو القوة أو المجال الكهربائي أو أي كمية أخرى لها مقدار واتجاه.

02لماذا تكون المركبات مفيدة؟

قد يكون التعامل مباشرةً مع متجه قطري أمرًا غير مريح. وتستبدل المركبات هذا المتجه بجزأين أبسط:

• مركبة \(x\)، وعادةً ما تكون أفقية
• مركبة \(y\)، وعادةً ما تكون رأسية

هاتان المركبتان متعامدتان.

افترض أن لمتجه ما مركبتين \(R_x\) و\(R_y\). يكون مقداره

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \]

حيث:

• \(R\) هو مقدار المتجه المحصل
• \(R_x\) هي مركبته الأفقية
• \(R_y\) هي مركبته الرأسية

ينجح ذلك لأن المركبتين تشكّلان الضلعين المتعامدين لمثلث قائم الزاوية.

هذه المعادلة ليست قانونًا خاصًا بالمتجهات ظهر من العدم. إنها ببساطة نظرية فيثاغورس.

03تحتاج المركبات إلى إشارات

نحتاج الآن إلى مستوى إضافي من الدقة.

لا يكفي أن نقول إن مقدار إحدى المركبات هو 8 N. فالقوة التي مقدارها 8 N نحو الشرق تختلف عن قوة مقدارها 8 N نحو الغرب.

من الاتفاقيات المفيدة للإشارات:

• الشرق أو اليمين: \(x\) موجب
• الغرب أو اليسار: \(x\) سالب
• الشمال أو الأعلى: \(y\) موجب
• الجنوب أو الأسفل: \(y\) سالب

إذًا:

• 6 m شرقًا تصبح \(R_x = +6\text{ m}\)
• 6 m غربًا تصبح \(R_x = -6\text{ m}\)
• 4 m شمالًا تصبح \(R_y = +4\text{ m}\)
• 4 m جنوبًا تصبح \(R_y = -4\text{ m}\)

يمكنك اختيار الاتفاقية المعاكسة. فالفيزياء لا يهمها أي اتجاه تختاره موجبًا، لكنها تهتم بأن تظل متسقًا في اختيارك.

لهذا تتصرف مركبات المتجهات نوعًا ما مثل الأموال الداخلة إلى حسابين مصرفيين منفصلين والخارجة منهما. للشرق-الغرب حساب، وللشمال-الجنوب حساب آخر. يمكن لمساهمة نحو الغرب أن تلغي مساهمة نحو الشرق، لكنها لا تستطيع أن تلغي مباشرةً مساهمة نحو الشمال.

وهنا ينتهي التشبيه. فالمركبات كميات هندسية لها اتجاه، وليست معاملات مالية حقيقية.

04اجمع المركبات المتشابهة أولًا

افترض أن عدة متجهات تؤثر في الوقت نفسه. لا تحسب مباشرةً مقدار كل متجه ثم تجمع هذه المقادير.

بدلًا من ذلك، اجمع جميع مركبات \(x\) معًا:

\[ R_x = A_x + B_x + C_x + \cdots \]

ثم اجمع جميع مركبات \(y\):

\[ R_y = A_y + B_y + C_y + \cdots \]

وبعد ذلك فقط أعد تكوين المحصلة:

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \]

يعطيك هذا المقدار. وما زلنا بحاجة إلى الاتجاه.

05استعادة الاتجاه

افترض أن للمحصلة مركبة أفقية موجبة ومركبة رأسية موجبة.

إذا كانت زاوية الاتجاه \(\theta\) مقاسة من محور \(x\) الموجب، فإن

\[ \tan\theta = \frac{R_y}{R_x} \]

ومن ثم

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) \]

بالنسبة إلى الإزاحة 30 m شرقًا و40 m شمالًا:

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{40}{30}\right) = 53.1^\circ \]

إذن الإزاحة هي

\[ 50\text{ m عند }53.1^\circ\text{ شمال الشرق} \]

عبارة شمال الشرق مهمة. فهي تخبرنا بأن نبدأ باتجاه الشرق، ثم ندور \(53.1^\circ\) نحو الشمال.

أما إذا قست الزاوية من الشمال، فستكون

\[ 90^\circ - 53.1^\circ = 36.9^\circ \]

وبذلك يمكن كتابة الاتجاه نفسه على صورة \(36.9^\circ\) شرق الشمال.

06الآلة الحاسبة لا تعرف الربع الذي يقع فيه المتجه

إليك خطأً شائعًا.

افترض أن

\[ R_x = -8\text{ N}, \qquad R_y = 15\text{ N} \]

تعني مركبة \(x\) السالبة الاتجاه غربًا. وتعني مركبة \(y\) الموجبة الاتجاه شمالًا. وقبل أن تستخدم الآلة الحاسبة، تعرف بالفعل أن المحصلة تشير نحو الشمال الغربي.

إذا حسبت

\[ \tan^{-1}\left(\frac{15}{8}\right) \]

فستحصل على الزاوية المرجعية الحادة بين المتجه والاتجاه الأفقي نحو الغرب. وما زلت بحاجة إلى إشارات المركبات لتحديد الربع الصحيح.

جدول القرار المفيد هو:

عند إيجاد الزاوية الصغيرة من الاتجاه الأفقي، يكون من الأوضح غالبًا استخدام مقادير المركبات:

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{|R_y|}{|R_x|}\right) \]

ثم استخدم الإشارات لوصف الاتجاه بصورة صحيحة.

07الخطأ المغري: جمع المقادير

افترض أن قوة مقدارها 10 N تؤثر شرقًا، وقوة أخرى مقدارها 10 N تؤثر شمالًا.

ما مقدار المحصلة؟

قد يتوقع طالب أن تكون 20 N لأن لدينا قوتين مقدار كل منهما 10 N. وهذا سيكون صحيحًا فقط إذا كانت القوتان تشيران في الاتجاه نفسه.

بالنسبة إلى قوتين متعامدتين،

\[ R = \sqrt{10^2 + 10^2} = 14.1\text{ N} \]

لماذا هي أقل من 20 N؟

لأن أياً من القوتين لا يساهم بكامل 10 N في اتجاه المحصلة. فالقوتان تشيران في اتجاهين مختلفين.

ويخبرنا هذا أيضًا بشيء مفيد عن الحدود. بالنسبة إلى مركبتين متعامدتين غير صفريتين، يجب أن يكون مقدار المحصلة:

• أكبر من كل مركبة منفردة
• أصغر من مجموع مقداريهما

للمركبتين 10 N و10 N:

\[ 10\text{ N} < 14.1\text{ N} < 20\text{ N} \]

وهذه طريقة سريعة لاكتشاف أخطاء الآلة الحاسبة.

08ماذا يحدث عندما تكون إحدى المركبات صفرًا؟

تحتاج طريقة الظل إلى بعض الحذر عندما يكون \(R_x = 0\).

افترض أن

\[ R_x = 0, \qquad R_y = -7\text{ m/s} \]

لا توجد أي مركبة أفقية. يشير المتجه ببساطة جنوبًا، ومقداره 7 m/s.

لا حاجة إلى محاولة حساب

\[ \tan^{-1}\left(\frac{7}{0}\right) \]

فالمركبات نفسها تخبرك بالاتجاه بالفعل.

وهناك حالة حدية أكثر إثارة للاهتمام:

\[ R_x = 0, \qquad R_y = 0 \]

إذن

\[ R = 0 \]

المتجه الصفري ليس له اتجاه محدد. فلا يوجد سهم يشير إلى أي جهة.

وهذا مهم عندما تلغي عدة متجهات بعضها بعضًا تمامًا.

09طريقة موثوقة

عندما تحتاج إلى جمع مركبات متعامدة، اتبع هذا الترتيب:

1. اختر اتجاهي \(x\) الموجب و\(y\) الموجب.
2. اكتب كل مركبة بإشارتها الصحيحة.
3. اجمع جميع مركبات \(x\) لإيجاد \(R_x\).
4. اجمع جميع مركبات \(y\) لإيجاد \(R_y\).
5. استخدم \(R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}\) لإيجاد المقدار.
6. استخدم نسبة المركبات لإيجاد الزاوية المرجعية.
7. استخدم إشارات \(R_x\) و\(R_y\) لتحديد الاتجاه الفعلي.
8. تحقّق مما إذا كان المقدار والربع يتفقان مع المعنى الفيزيائي.

لا تتجاوز الخطوة 7. فقد يعطيك حساب الظل العكسي زاوية من دون أن يحدد لك الاتجاه الفيزيائي الكامل.

10الأسئلة والحلول

السؤال 1

لقوة ما مركبة أفقية مقدارها 5.0 N شرقًا ومركبة رأسية مقدارها 12.0 N شمالًا. أوجد مقدار القوة واتجاهها.

الحل 1

القوة هي 13.0 N عند \(67.4^\circ\) شمال الشرق.

اعتبر الشرق والشمال اتجاهين موجبين:

\[ R_x = 5.0\text{ N}, \qquad R_y = 12.0\text{ N} \]

المقدار هو

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(5.0)^2 + (12.0)^2} = \sqrt{169} = 13.0\text{ N} \]

الاتجاه المقاس من الشرق هو

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{12.0}{5.0}\right) = 67.4^\circ \]

كلتا المركبتين موجبتان، لذا يشير المتجه نحو الشمال الشرقي.

إذن،

\[ \boxed{R = 13.0\text{ N عند }67.4^\circ\text{ شمال الشرق}} \]

النتيجة منطقية لأن 13.0 N أكبر من كل مركبة بمفردها، لكنها أصغر من \(5.0 + 12.0 = 17.0\text{ N}\).

السؤال 2

لسرعة طائرة مسيّرة بالنسبة إلى الأرض مركبتان: 8.0 m/s غربًا و15.0 m/s شمالًا. أوجد مقدار سرعتها واتجاهها.

الحل 2

سرعة الطائرة المسيّرة هي 17.0 m/s عند \(61.9^\circ\) شمال الغرب.

باستخدام الشرق بوصفه اتجاه \(x\) الموجب، والشمال بوصفه اتجاه \(y\) الموجب:

\[ R_x = -8.0\text{ m/s}, \qquad R_y = 15.0\text{ m/s} \]

السرعة القياسية هي مقدار السرعة المتجهة:

\[ R = \sqrt{(-8.0)^2 + (15.0)^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17.0\text{ m/s} \]

لإيجاد الزاوية المرجعية من الاتجاه الأفقي:

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{15.0}{8.0}\right) = 61.9^\circ \]

تضع مركبة \(x\) السالبة ومركبة \(y\) الموجبة المتجه في الربع الشمالي الغربي.

إذن،

\[ \boxed{R = 17.0\text{ m/s عند }61.9^\circ\text{ شمال الغرب}} \]

من الأخطاء الشائعة كتابة \(61.9^\circ\) شمال الشرق. تعطي الآلة الحاسبة مقدار الزاوية المرجعية، لكن إشارات المركبات هي التي تحدد الربع الصحيح.

السؤال 3

لمتجه في البداية مركبتان: 6.0 N شرقًا و8.0 N شمالًا. ثم تُضاعف مركبته المتجهة شرقًا بينما تظل مركبته المتجهة شمالًا من دون تغيير.

يدّعي طالب أن مقدار المتجه يجب أن يتضاعف أيضًا. حدّد ما إذا كان هذا الادعاء صحيحًا، واحسب المقدار والاتجاه الجديدين.

الحل 3

الادعاء غير صحيح. مقدار المتجه الجديد هو 14.4 N عند \(33.7^\circ\) شمال الشرق، وليس ضعف المقدار الأصلي.

في البداية،

\[ R_x = 6.0\text{ N}, \qquad R_y = 8.0\text{ N} \]

إذن

\[ R_{\text{الابتدائي}} = \sqrt{6.0^2 + 8.0^2} = 10.0\text{ N} \]

بعد مضاعفة المركبة المتجهة شرقًا:

\[ R_x = 12.0\text{ N}, \qquad R_y = 8.0\text{ N} \]

المقدار الجديد هو

\[ R_{\text{الجديد}} = \sqrt{12.0^2 + 8.0^2} = \sqrt{208} = 14.4\text{ N} \]

الاتجاه هو

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{8.0}{12.0}\right) = 33.7^\circ \]

إذن،

\[ \boxed{R_{\text{الجديد}} = 14.4\text{ N عند }33.7^\circ\text{ شمال الشرق}} \]

مضاعفة إحدى المركبات لا تضاعف المتجه كله لأن المركبة الأخرى لم تتغير. ويتغير الاتجاه أيضًا: تدور المحصلة لتصبح أقرب إلى الشرق لأن المركبة المتجهة شرقًا أصبحت أكثر تأثيرًا.

السؤال 4

تؤثر أربع قوى مركبة في جسم:

• 9.0 N شرقًا
• 4.0 N غربًا
• 12.0 N جنوبًا
• 7.0 N شمالًا

أوجد مقدار القوة المحصلة واتجاهها.

يقوم طالب بدلًا من ذلك بجمع مقادير القوى الأربع كلها ويكتب 32 N. اشرح الخطأ.

الحل 4

القوة المحصلة هي 7.07 N عند \(45.0^\circ\) جنوب الشرق. إجابة 32 N خاطئة لأن المركبات المتعاكسة تلغي بعضها جزئيًا بدلًا من أن تساهم جميعها في الاتجاه نفسه.

اجمع أولًا المركبات الأفقية:

\[ R_x = 9.0 - 4.0 = 5.0\text{ N} \]

إذن المركبة الأفقية المحصلة هي 5.0 N شرقًا.

والآن اجمع المركبات الرأسية:

\[ R_y = 7.0 - 12.0 = -5.0\text{ N} \]

إذن المركبة الرأسية المحصلة هي 5.0 N جنوبًا.

المقدار هو

\[ R = \sqrt{(5.0)^2 + (-5.0)^2} = \sqrt{50} = 7.07\text{ N} \]

الزاوية المرجعية هي

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{5.0}{5.0}\right) = 45.0^\circ \]

بما أن \(R_x\) موجب و\(R_y\) سالب، فإن المحصلة تشير نحو الجنوب الشرقي.

إذن،

\[ \boxed{R = 7.07\text{ N عند }45.0^\circ\text{ جنوب الشرق}} \]

إن جمع \(9.0 + 4.0 + 12.0 + 7.0\) يعامل كل قوة كما لو كانت تؤثر على الخط نفسه وفي الاتجاه نفسه. وهذا يتجاهل كلًا من الإلغاء والعلاقة المتعامدة بين المركبتين الأفقية والرأسية النهائيتين.

السؤال 5

بعد جمع جميع مركبات القوى المؤثرة في جسم، كانت النتيجة

\[ R_x = 0\text{ N}, \qquad R_y = 0\text{ N} \]

يكتب طالب: «المقدار يساوي صفرًا، إذن لا بد أن يكون الاتجاه \(0^\circ\)».

هل هذا صحيح؟ اشرح ما الذي يخبرك به المتجه المحصل فعليًا عن الجسم.

الحل 5

استنتاج الطالب غير صحيح. مقدار القوة المحصلة هو 0 N وليس لها اتجاه محدد.

باستخدام معادلة المقدار:

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0\text{ N} \]

لكن الاتجاه يصف الجهة التي يشير إليها متجه غير صفري. والمتجه الصفري ليس له طول، لذلك لا يوجد سهم يمكن قياس اتجاهه. إن وصف اتجاهه بأنه \(0^\circ\) سيعطي انطباعًا خاطئًا بأنه يشير شرقًا.

كما أن القوة المحصلة الصفرية لا تعني تلقائيًا أن الجسم ساكن. فمن قانون نيوتن الثاني،

\[ \vec F_{\text{المحصلة}} = m\vec a \]

إذن تعني القوة المحصلة الصفرية أن

\[ \vec a = 0 \]

لجسم كتلته غير صفرية. لذلك تظل سرعته المتجهة ثابتة. فقد يكون ساكنًا، أو قد يكون متحركًا بالفعل بسرعة متجهة ثابتة.

هذه الحالة الحدية تذكير مفيد بأن المركبات تخبرك بأكثر مما تخبرك به الآلة الحاسبة. وقبل إيجاد زاوية، اسأل أولًا ما إذا كانت هناك بالفعل محصلة غير صفرية تحتاج إلى إيجاد اتجاهها.

بعد أن تتمكن من جمع المركبات المتعامدة واستعادة المحصلة، تكون الخطوة التالية هي تحليل متجه في الاتجاه العكسي للعملية: أي البدء بمقدار وزاوية، ثم إيجاد مركبتيه \(x\) و\(y\). إنها الهندسة نفسها ولكن بصورة عكسية، وهذا ما يسمح بالتعامل مع القوى المائلة والسرعات المتجهة والمجالات وحركة المقذوفات مركبةً تلو الأخرى.