الموضع النسبي والحركة في بُعدين لفيزياء HSC

تخيّل أنك تقف على عبّارة تتحرك شرقًا، بينما يشق قارب سريع طريقه نحو الشمال الشرقي عبر الميناء. يقيس شخص على الشاطئ سرعة متجهة معينة للقارب السريع، بينما تقيس أنت سرعة متجهة أخرى. وليس من الضروري أن يكون أي من القياسين خاطئًا.

قبل إجراء أي حسابات، توقّع ما يلي: إذا حدث أن تحرّك القارب السريع والعبّارة بالسرعة المتجهة نفسها تمامًا، فكيف سيبدو القارب السريع بالنسبة إليك على العبّارة؟

سيبدو ساكنًا. وستكون سرعته المتجهة بالنسبة إليك صفرًا.

هذه الفكرة البسيطة هي جوهر الحركة النسبية في بُعدين. نقارن بين جسمين بطرح متجهي موضعيهما أو متجهي سرعتيهما.

01ابدأ بالموضع: أين يقع A بالنسبة إلى B؟

لنفترض أن جسمين، A وB، يتحركان على سطح مستوٍ. يقيس راصد عند نقطة أصل ثابتة متجهي موضعيهما:

• \(\vec r_A\): موضع A
• \(\vec r_B\): موضع B

يجب قياس كلا المتجهين من نقطة الأصل نفسها وفي اللحظة نفسها.

تخيّل الآن أنك تجلس عند B. لا يهمك فعليًا أين يقع A بالنسبة إلى نقطة أصل بعيدة. ما يهمك هو أين يقع A بالنسبة إلى أنت.

المتجه من B إلى A هو:

\[ \vec r_{A/B} = \vec r_A - \vec r_B \]

وهنا تعني \(\vec r_{A/B}\) «موضع A بالنسبة إلى B».

لماذا نطرح؟

تخيّل صديقين يقفان في حديقة. أحدهما عند \((8,5)\) m والآخر عند \((3,2)\) m.

من وجهة نظر الصديق الثاني، يكون موضع الصديق الأول:

\[ (8,5) - (3,2) = (5,3)\text{ m} \]

إذن يقع الصديق الأول على بُعد 5 m شرقًا و3 m شمالًا من الصديق الثاني.

يزيل الطرح الجزء المشترك من موضعيهما بالنسبة إلى نقطة الأصل الأصلية.

ومن التشبيهات الطريفة قليلًا مقارنة رصيدَي شخصين في البنك. إذا كان لدى Alex مبلغ $80 ولدى Bailey مبلغ $50، فإن لدى Alex مبلغًا يزيد بمقدار $30 على Bailey. يعمل الموضع النسبي بطريقة مشابهة، إلا أننا نطرح متجهات، ولذلك يكون للاتجاه أهمية أيضًا.

وينتهي التشبيه عند هذا الحد. فالمواضع لها اتجاهات مكانية ويمكن أن تتغير باستمرار أثناء حركة الأجسام.

02الموضع النسبي بالمركبات

في الحركة على مستوى، يكون من الأسهل عادةً العمل بالمركبتين الأفقية والرأسية.

إذا كان

\[ \vec r_A = x_A\hat i + y_A\hat j \]

و

\[ \vec r_B = x_B\hat i + y_B\hat j \]

فإن

\[ \vec r_{A/B} = (x_A-x_B)\hat i + (y_A-y_B)\hat j \]

حيث:

• \(x_A\) و\(x_B\) هما الإحداثيان الأفقيان لـ A وB، ويُقاسان عادةً بالمتر
• \(y_A\) و\(y_B\) هما الإحداثيان الرأسيان
• \(\hat i\) متجه وحدة في اتجاه \(x\) الموجب
• \(\hat j\) متجه وحدة في اتجاه \(y\) الموجب

في المسائل التي تستخدم الاتجاهات الأصلية، نختار غالبًا:

• الشرق باعتباره اتجاه \(x\) الموجب
• الشمال باعتباره اتجاه \(y\) الموجب

هذا الاختيار ليس إلزاميًا. المهم أن تختار المحاور ثم تستخدمها باتساق.

03الآن لنجعل الجسمين يتحركان

يخبرنا الموضع أين يقع A بالنسبة إلى B في لحظة واحدة. لكن السؤال الأكثر فائدة عادةً هو: كيف يتغير هذا الموضع النسبي؟

لنفترض أن:

• لـ A سرعة متجهة \(\vec v_A\)
• لـ B سرعة متجهة \(\vec v_B\)

اشتق معادلة الموضع النسبي بالنسبة إلى الزمن:

\[ \vec r_{A/B} = \vec r_A-\vec r_B \]

فنحصل على

\[ \vec v_{A/B} = \vec v_A-\vec v_B \]

وهذه هي المعادلة الأساسية للسرعة المتجهة النسبية.

\[ \boxed{\vec v_{A/B} = \vec v_A-\vec v_B} \]

ومعناها:

السرعة المتجهة لـ A كما يرصدها B = السرعة المتجهة لـ A ناقص السرعة المتجهة لـ B.

ترتيب الطرح مهم.

\[ \vec v_{A/B} \neq \vec v_{B/A} \]

بل:

\[ \vec v_{B/A}=-\vec v_{A/B} \]

إذا رأيتُك تتحرك نحو الشمال الشرقي بسرعة \(4\text{ m s}^{-1}\)، فستَراني تتحرك نحو الجنوب الغربي بسرعة \(4\text{ m s}^{-1}\).

المقدار نفسه، والاتجاه معاكس.

04لماذا تكون السرعة المتجهة النسبية ناتجة عن طرح المتجهات؟

لنفترض أن سيارتين تسيران شرقًا في مسارين متجاورين.

تسير السيارة A بسرعة \(25\text{ m s}^{-1}\)، والسيارة B بسرعة \(20\text{ m s}^{-1}\).

بالنسبة إلى راصد على جانب الطريق، تتحرك A بسرعة \(25\text{ m s}^{-1}\). لكن بالنسبة إلى B، تتقدم A ببطء بسرعة مقدارها فقط:

\[ v_{A/B}=25-20=5\text{ m s}^{-1} \]

والآن غيّر سرعة B المتجهة. إذا تحركت B غربًا بسرعة \(20\text{ m s}^{-1}\)، فإننا نمثل ذلك بالقيمة \(-20\text{ m s}^{-1}\).

إذن:

\[ v_{A/B}=25-(-20)=45\text{ m s}^{-1} \]

ما زال الطرح يعمل. فالإشارات تحمل معلومات الاتجاه.

وفي بُعدين، تنطبق الفكرة نفسها تمامًا، إلا أن الطرح يتم مركبةً بمركبة.

05السرعة المتجهة النسبية على مستوى

لنفترض أن

\[ \vec v_A=v_{Ax}\hat i+v_{Ay}\hat j \]

و

\[ \vec v_B=v_{Bx}\hat i+v_{By}\hat j \]

إذن:

\[ \vec v_{A/B} = (v_{Ax}-v_{Bx})\hat i + (v_{Ay}-v_{By})\hat j \]

بعد إيجاد المركبات، يكون المقدار:

\[ |\vec v_{A/B}| = \sqrt{(v_{Ax}-v_{Bx})^2+(v_{Ay}-v_{By})^2} \]

وإذا احتجت إلى الاتجاه، فاستخدم حساب المثلثات مع مركبتي السرعة المتجهة النسبية.

على سبيل المثال، إذا كانت السرعة المتجهة النسبية \(6\hat i+8\hat j\text{ m s}^{-1}\)، فإن مقدارها:

\[ \sqrt{6^2+8^2}=10\text{ m s}^{-1} \]

والاتجاه:

\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{8}{6}\right)\approx53.1^\circ \]

إذن يتحرك A بسرعة \(10\text{ m s}^{-1}\)، وبزاوية \(53.1^\circ\) شمال الشرق، بالنسبة إلى B.

انتبه إلى الاتجاه. فدالة الظل العكسية تعطيك زاوية، لكن إشارات المركبات هي التي تحدد الربع الذي يقع فيه المتجه فعليًا.

06الخطأ الأكثر إغراءً: طرح مقادير السرعة بدلًا من السرعات المتجهة

انظر إلى طائرتين:

• تتحرك A شرقًا بسرعة \(200\text{ m s}^{-1}\)
• تتحرك B شمالًا بسرعة \(200\text{ m s}^{-1}\)

قد يقول طالب:

«سرعتاهما متساويتان، إذن سرعتهما النسبية تساوي صفرًا.»

قد يبدو ذلك منطقيًا إذا ركزت فقط على الأرقام.

لكن السرعة المتجهة تشمل الاتجاه.

وباختيار الشرق اتجاهًا موجبًا لـ \(x\) والشمال اتجاهًا موجبًا لـ \(y\):

\[ \vec v_A=200\hat i \]

\[ \vec v_B=200\hat j \]

إذن:

\[ \vec v_{A/B} = 200\hat i-200\hat j \]

مقدار السرعة النسبية هو:

\[ |\vec v_{A/B}| = \sqrt{200^2+(-200)^2} \approx283\text{ m s}^{-1} \]

تساوي مقادير السرعة لا يعني أن السرعة المتجهة النسبية تساوي صفرًا. ولكي تكون السرعة المتجهة النسبية صفرًا، يجب أن يكون متجها السرعة متساويين.

وهذا يعني تساوي المقدار والاتجاه معًا.

07قاعدة مفيدة لاتخاذ القرار

كلما واجهت مسألة في الحركة النسبية، اسأل:

«حركة مَن أصف، وبالنسبة إلى مَن؟»

ثم اكتب الرموز قبل التعويض بالأرقام.

على سبيل المثال:

\[ \vec v_{\text{الطائرة/الهواء}} = \vec v_{\text{الطائرة}} - \vec v_{\text{الهواء}} \]

أو

\[ \vec v_{\text{القارب/الماء}} = \vec v_{\text{القارب}} - \vec v_{\text{الماء}} \]

تساعد هذه الرموز على تجنب أحد أكثر الأخطاء شيوعًا: عكس ترتيب الطرح.

والصياغة اللفظية الموثوقة هي:

الجسم الأول ناقص الجسم الثاني.

إذن «A بالنسبة إلى B» تعني \(A-B\).

08مثال محلول: قاربان يتحركان في اتجاهين مختلفين

يتحرك القارب A شرقًا بسرعة \(12.0\text{ m s}^{-1}\). ويتحرك القارب B بسرعة \(8.0\text{ m s}^{-1}\)، وبزاوية \(30^\circ\) شمال الشرق. أوجد السرعة المتجهة لـ A بالنسبة إلى B.

الخطوة 1

لنجعل الشرق هو \(+x\) والشمال هو \(+y\).

مركبات سرعة القارب A هي:

\[ \vec v_A=12.0\hat i\text{ m s}^{-1} \]

أما القارب B فيجب أولًا تحليل سرعته إلى مركبات:

\[ \begin{aligned} v_{Bx}&=8.0\cos30^\circ=6.93\text{ m s}^{-1}\\ v_{By}&=8.0\sin30^\circ=4.00\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

إذن:

\[ \vec v_B = 6.93\hat i+4.00\hat j\text{ m s}^{-1} \]

الخطوة 2

\[ \begin{aligned} \vec v_{A/B} &=\vec v_A-\vec v_B\\ &=(12.0-6.93)\hat i+(0-4.00)\hat j\\ &=5.07\hat i-4.00\hat j\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

تعني المركبة الرأسية السالبة أن A يبدو وكأنه يتحرك جنوبًا بالنسبة إلى B.

الخطوة 3

\[ \begin{aligned} |\vec v_{A/B}| &=\sqrt{5.07^2+(-4.00)^2}\\ &=6.46\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

الخطوة 4

للسرعة المتجهة النسبية مركبة موجبة نحو الشرق ومركبة سالبة نحو الشمال، ولذلك فهي تتجه جنوب الشرق.

\[ \begin{aligned} \theta &=\tan^{-1}\left(\frac{4.00}{5.07}\right)\\ &=38.3^\circ \end{aligned} \]

إذن:

\[ \boxed{\vec v_{A/B}=6.46\text{ m s}^{-1},\ 38.3^\circ\text{ جنوب الشرق}} \]

بالنسبة إلى القارب B، يبدو القارب A وكأنه يتحرك قطريًا نحو الجنوب الشرقي، مع أن A يتحرك في الواقع شرقًا تمامًا بالنسبة إلى الشاطئ.

09الصورة المثلثية للسرعة المتجهة النسبية

يمكن إعادة ترتيب المعادلة

\[ \vec v_{A/B}=\vec v_A-\vec v_B \]

لنحصل على:

\[ \vec v_A=\vec v_{A/B}+\vec v_B \]

تكون هذه الصورة مفيدة عندما تُقاس إحدى السرعات المتجهة بصورة طبيعية بالنسبة إلى وسط متحرك أو راصد متحرك.

على سبيل المثال، يمكن تمثيل حركة طائرة بالنسبة إلى الأرض هكذا:

\[ \vec v_{\text{الطائرة/الأرض}} = \vec v_{\text{الطائرة/الهواء}} + \vec v_{\text{الهواء/الأرض}} \]

حيث:

• \(\vec v_{\text{الطائرة/الهواء}}\) هي السرعة المتجهة للطائرة خلال الهواء المحيط
• \(\vec v_{\text{الهواء/الأرض}}\) هي السرعة المتجهة للرياح
• \(\vec v_{\text{الطائرة/الأرض}}\) هي ما يقيسه راصد ثابت على الأرض

هذا ليس قانونًا جديدًا، بل هو علاقة السرعة المتجهة النسبية نفسها بعد إعادة ترتيبها.

11يتغير الموضع النسبي وفقًا للسرعة المتجهة النسبية

ترتبط معادلات الموضع والسرعة ببعضها.

عند ثبات السرعات المتجهة:

\[ \vec r_{A/B}(t) = \vec r_{A/B}(0) + \vec v_{A/B}t \]

حيث:

• \(\vec r_{A/B}(0)\) هو الموضع الابتدائي لـ A بالنسبة إلى B
• \(\vec v_{A/B}\) هي السرعة المتجهة الثابتة لـ A بالنسبة إلى B
• \(t\) هو الزمن المنقضي بالثواني
• \(\vec r_{A/B}(t)\) هو الموضع النسبي بعد زمن \(t\)

تحوّل هذه المعادلة كثيرًا من مسائل «هل سيلتقيان؟» أو «ما أقرب مسافة سيصلان إليها؟» إلى مسائل حركة عادية.

وهناك حالة مهمة بوجه خاص.

إذا كان:

\[ \vec r_{A/B}(t)=\vec 0 \]

فإن A وB يشغلان الموضع نفسه في تلك اللحظة.

ولكي يحدث تصادم أو اعتراض عند سرعة متجهة ثابتة، يجب أن تجعل القيمة نفسها لـ \(t\) كلتا مركبتي الموضع النسبي تساويان صفرًا.

وهذا الشرط الأخير مهم. فالحصول على \(x=0\) عند زمن ما و\(y=0\) عند زمن آخر لا يعني أن الجسمين يتصادمان.

12التسارع النسبي

يستمر النمط نفسه.

بدءًا من:

\[ \vec v_{A/B}=\vec v_A-\vec v_B \]

نشتق مرة أخرى:

\[ \vec a_{A/B}=\vec a_A-\vec a_B \]

حيث \(\vec a_{A/B}\) هو تسارع A بالنسبة إلى B.

إذا كان للجسمين التسارع نفسه تمامًا، فإن:

\[ \vec a_{A/B}=\vec 0 \]

وتظل سرعتهما المتجهة النسبية ثابتة.

هناك حد مهم لهذه الصورة البسيطة. تفترض معادلاتنا أن محاور الإحداثيات التي يستخدمها الراصدون تظل متوازية ولا تدور بعضها بالنسبة إلى بعض. وتتطلب الأطر المرجعية الدوارة حدودًا إضافية، لأن تغير اتجاه محاور الراصد يؤثر في الحركة المقاسة.

في مسائل الحركة النسبية القياسية في HSC التي تتضمن راصدين يتحركون حركة انتقالية، يكون طرح المتجهات هو النموذج الذي تحتاج إليه.

13طريقة مختصرة لتنظيم المسائل

عندما تصبح مسألة حركة نسبية في بُعدين معقدة، استخدم التسلسل الآتي:

1. اختر اتجاهي \(x\) و\(y\) الموجبين.
2. ارسم أو حدّد كل متجه سرعة ذي صلة.
3. حلّل المتجهات المائلة إلى مركبات.
4. حدّد بدقة الكمية النسبية المطلوبة.
5. اكتب المعادلة الرمزية أولًا، مثل \(\vec v_{A/B}=\vec v_A-\vec v_B\).
6. اطرح مركبات \(x\).
7. اطرح مركبات \(y\).
8. أوجد المقدار والاتجاه فقط إذا طلب السؤال ذلك.
9. فسّر النتيجة فيزيائيًا.

إن كتابة المعادلة الرمزية قبل التعويض بالأرقام تستحق السطر الإضافي. فهي تجعل اكتشاف عكس ترتيب الطرح أسهل بكثير.

14الأسئلة والحلول

السؤال 1

يتحرك راكب دراجة شرقًا بسرعة \(9.0\text{ m s}^{-1}\). ويتحرك راكب دراجة ثانٍ بجواره شرقًا بسرعة \(6.5\text{ m s}^{-1}\).

أوجد السرعة المتجهة لراكب الدراجة الأول بالنسبة إلى الثاني.

الحل 1

يتحرك راكب الدراجة الأول بسرعة \(2.5\text{ m s}^{-1}\) شرقًا بالنسبة إلى راكب الدراجة الثاني.

اعتبر الشرق موجبًا. إذن:

\[ \begin{aligned} v_{1/2} &=v_1-v_2\\ &=9.0-6.5\\ &=2.5\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

تعني النتيجة الموجبة أن راكب الدراجة 1 يتحرك شرقًا بالنسبة إلى راكب الدراجة 2.

ومع أن كلا راكبي الدراجة يتحركان بسرعة أكبر بكثير بالنسبة إلى الطريق، فإن المسافة بينهما تزداد بمعدل \(2.5\text{ m s}^{-1}\) فقط.

السؤال 2

لبالون أرصاد جوية سرعة أرضية متجهة

\[ \vec v_B=4.0\hat i+7.0\hat j\text{ m s}^{-1} \]

بينما لطائرة مراقبة سرعة أرضية متجهة

\[ \vec v_A=10.0\hat i+3.0\hat j\text{ m s}^{-1} \]

أوجد السرعة المتجهة للبالون بالنسبة إلى الطائرة، بما في ذلك مقدارها واتجاهها.

الحل 2

يتحرك البالون بسرعة \(7.21\text{ m s}^{-1}\)، وبزاوية \(33.7^\circ\) شمال الغرب، بالنسبة إلى الطائرة.

السرعة المطلوبة هي سرعة البالون بالنسبة إلى الطائرة، ولذلك يكون الترتيب:

\[ \vec v_{B/A}=\vec v_B-\vec v_A \]

بالتعويض:

\[ \begin{aligned} \vec v_{B/A} &=(4.0-10.0)\hat i+(7.0-3.0)\hat j\\ &=-6.0\hat i+4.0\hat j\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

مقدارها:

\[ \begin{aligned} |\vec v_{B/A}| &=\sqrt{(-6.0)^2+4.0^2}\\ &=\sqrt{52}\\ &=7.21\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

للمتجه مركبة سالبة نحو الشرق ومركبة موجبة نحو الشمال، ولذلك فهو يتجه شمال الغرب.

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{4.0}{6.0}\right) = 33.7^\circ \]

الفخ الرئيسي هو عكس ترتيب الطرح. فإذا فعلت ذلك، فستحصل بدلًا من ذلك على السرعة المتجهة للطائرة بالنسبة إلى البالون. وسيكون لذلك المتجه المقدار نفسه، لكن في الاتجاه المعاكس.

السؤال 3

يتحرك قارب خلال ماء ساكن بسرعة \(10.0\text{ m s}^{-1}\)، متجهًا شمالًا تمامًا بالنسبة إلى الماء. ويتدفق تيار النهر شرقًا بسرعة \(4.0\text{ m s}^{-1}\).

يدّعي طالب أن سرعة القارب بالنسبة إلى ضفة النهر هي \(10.0-4.0=6.0\text{ m s}^{-1}\).

اشرح لماذا هذا غير صحيح، وأوجد السرعة المتجهة الفعلية للقارب بالنسبة إلى الضفة.

الحل 3

يتحرك القارب بسرعة \(10.8\text{ m s}^{-1}\)، وبزاوية \(21.8^\circ\) شرق الشمال، بالنسبة إلى الضفة. طرح الطالب غير صحيح لأن السرعتين المتجهتين تتجهان في اتجاهين متعامدين.

علاقة السرعات المتجهة هي:

\[ \vec v_{\text{القارب/الضفة}} = \vec v_{\text{القارب/الماء}} + \vec v_{\text{الماء/الضفة}} \]

باعتبار الشرق \(+x\) والشمال \(+y\):

\[ \vec v_{\text{القارب/الماء}} = 0\hat i+10.0\hat j\text{ m s}^{-1} \]

و

\[ \vec v_{\text{الماء/الضفة}} = 4.0\hat i+0\hat j\text{ m s}^{-1} \]

إذن:

\[ \vec v_{\text{القارب/الضفة}} = 4.0\hat i+10.0\hat j\text{ m s}^{-1} \]

مقدارها:

\[ \begin{aligned} |\vec v_{\text{القارب/الضفة}}| &=\sqrt{4.0^2+10.0^2}\\ &=\sqrt{116}\\ &=10.8\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

الاتجاه هو:

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{4.0}{10.0}\right) = 21.8^\circ \]

مقاسًا شرق الشمال.

الخطأ المغري هنا هو التعامل مع المتجهات كما لو كانت أعدادًا موجبة عادية. لا يمكن طرح مقادير السرعة مباشرةً إلا عندما تقع السرعات المتجهة المعنية على الخط نفسه وتكون اتجاهاتها قد أُخذت بالفعل في الحسبان باستخدام الإشارات.

السؤال 4

عند \(t=0\)، تكون المركبة A على بُعد \(240\text{ m}\) شرق المركبة B و\(120\text{ m}\) جنوبها.

سرعتاهما المتجهتان بالنسبة إلى الأرض هما:

\[ \vec v_A=-8.0\hat i+6.0\hat j\text{ m s}^{-1} \]

و

\[ \vec v_B=4.0\hat i\text{ m s}^{-1} \]

حيث الشرق هو \(+x\) والشمال هو \(+y\).

حدّد ما إذا كانت المركبتان ستتصادمان إذا حافظتا كلتاهما على سرعة متجهة ثابتة.

الحل 4

ستتصادم المركبتان بعد \(20.0\text{ s}\).

اكتب أولًا الموضع الابتدائي لـ A بالنسبة إلى B. تقع A على بُعد 240 m شرق B و120 m جنوبها، ولذلك:

\[ \vec r_{A/B}(0) = 240\hat i-120\hat j\text{ m} \]

والآن أوجد السرعة المتجهة لـ A بالنسبة إلى B:

\[ \begin{aligned} \vec v_{A/B} &=\vec v_A-\vec v_B\\ &=(-8.0-4.0)\hat i+(6.0-0)\hat j\\ &=-12.0\hat i+6.0\hat j\text{ m s}^{-1} \end{aligned} \]

الموضع النسبي عند الزمن \(t\) هو:

\[ \vec r_{A/B}(t) = \vec r_{A/B}(0)+\vec v_{A/B}t \]

ومن ثم:

\[ \vec r_{A/B}(t) = (240-12t)\hat i+(-120+6t)\hat j \]

ولكي يحدث تصادم، يجب أن تساوي كلتا المركبتين صفرًا في الوقت نفسه.

بالنسبة إلى مركبة \(x\):

\[ \begin{aligned} 240-12t&=0\\ t&=20.0\text{ s} \end{aligned} \]

وبالنسبة إلى مركبة \(y\):

\[ \begin{aligned} -120+6t&=0\\ t&=20.0\text{ s} \end{aligned} \]

تنعدم كلتا المركبتين عند \(20.0\text{ s}\)، إذن:

\[ \boxed{t=20.0\text{ s}} \]

الفكرة المهمة ليست مجرد أن المركبتين تتحركان عمومًا إحداهما نحو الأخرى. بل يجب أن يصبح متجه الموضع النسبي مساويًا للصفر تمامًا. وهنا يتحقق شرطا الإحداثيين في اللحظة نفسها.

السؤال 5

يتحرك مسباران، P وQ، عبر ميدان اختبار مستوٍ.

في لحظة معينة:

\[ \vec r_{P/Q}=80\hat i-60\hat j\text{ m} \]

و

\[ \vec v_{P/Q}=-12\hat i+9\hat j\text{ m s}^{-1} \]

يلاحظ طالب أن \(\vec v_{P/Q}\) يتجه في الاتجاه المعاكس لـ \(\vec r_{P/Q}\)، ويستنتج أن المسبارين لا بد أن يتصادما في النهاية إذا ظلت سرعتاهما المتجهتان ثابتتين.

هل هذا الاستنتاج صحيح؟ إذا كان كذلك، فحدّد متى يحدث التصادم. وإذا لم يكن كذلك، فاشرح السبب.

الحل 5

الاستنتاج صحيح في هذه الحالة تحديدًا، ويتصادم المسباران بعد \(6.67\text{ s}\). لكن مجرد تحركهما «تقريبًا نحو بعضهما» لا يكفي. يجب أن يكون اتجاه السرعة المتجهة النسبية هو بالضبط الاتجاه اللازم لتقليل متجه الموضع النسبي كله إلى الصفر.

يتطلب التصادم:

\[ \vec r_{P/Q}(t) = \vec r_{P/Q}(0) + \vec v_{P/Q}t = \vec 0 \]

باستخدام مركبة \(x\):

\[ \begin{aligned} 80-12t&=0\\ t&=\frac{80}{12}\\ &=6.67\text{ s} \end{aligned} \]

وباستخدام مركبة \(y\):

\[ \begin{aligned} -60+9t&=0\\ t&=\frac{60}{9}\\ &=6.67\text{ s} \end{aligned} \]

تصل كلتا المركبتين إلى الصفر في الوقت نفسه، ولذلك يتصادم المسباران.

وهناك أيضًا طريقة مفاهيمية أسرع للتحقق. قارن نسب المركبات:

\[ \frac{-12}{80}=-0.15\text{ s}^{-1} \]

و

\[ \frac{9}{-60}=-0.15\text{ s}^{-1} \]

كلتا مركبتي السرعة المتجهة النسبية هما المضاعف السالب نفسه للمركبتين المناظرتين للموضع النسبي:

\[ \vec v_{P/Q}=-0.15\vec r_{P/Q} \]

إذن تتجه السرعة المتجهة النسبية في الاتجاه المعاكس تمامًا لمتجه الموضع النسبي. ويتحرك المسباران مباشرةً نحو بعضهما في الإطار النسبي.

لو كانت هاتان النسبتان مختلفتين، لأمكن أن يمر المسباران قريبين من بعضهما من دون أن يتصادما. ويصبح هذا التمييز مهمًا عند دراسة أقرب اقتراب ومسائل الاعتراض الأكثر تعقيدًا.

15ما الذي يتيح لك هذا النموذج فعله بعد ذلك؟

تحوّل الحركة النسبية مسألة تتضمن جسمين إلى مسألة تتضمن جسمًا واحدًا.

فبدلًا من تتبع A وB كلٌّ على حدة، يمكنك تخيّل B ثابتًا عند نقطة الأصل ودراسة كيفية حركة A بالنسبة إليه. والمعادلات الأساسية هي:

\[ \vec r_{A/B}=\vec r_A-\vec r_B \]

\[ \vec v_{A/B}=\vec v_A-\vec v_B \]

وعند الحاجة:

\[ \vec a_{A/B}=\vec a_A-\vec a_B \]

تكون وجهة النظر هذه مفيدة بصورة خاصة في مسائل الاعتراض، والتصادم، وأقرب اقتراب، والرياح، والتيارات، والراصدين المتحركين. والخطوة التالية هي تعلّم استخدام معادلة الموضع النسبي لتحديد ليس فقط كيف يبدو جسمان وهما يتحركان بالنسبة إلى بعضهما، بل ما إذا كان مساراهما سيلتقيان بالفعل.