تحليل المتجهات إلى مركبات في فيزياء HSC

تسحب طائرة إنقاذ مسيّرة بقوة مقدارها \(500\text{ N}\) بزاوية \(30^\circ\) فوق الأفقي. لا تسحب الطائرة «\(500\text{ N}\) أفقيًا و\(500\text{ N}\) رأسيًا». فهذا سيعني اختلاق قوة إضافية. بدلًا من ذلك، يجب تقسيم القوة الواحدة التي مقدارها \(500\text{ N}\) بين هذين الاتجاهين.

قبل إجراء أي حسابات، توقّع الآتي: هل يجب أن تكون المركبة الأفقية أكبر من \(500\text{ N}\)، أم أصغر منها، أم مساوية لها؟

يجب أن تكون أقل من \(500\text{ N}\). المتجه الأصلي مائل، لذلك لا يتجه أفقيًا سوى جزء منه. أما الجزء المتبقي فيتجه رأسيًا. تحليل المتجه هو عملية تحديد مقدار الجزء المتجه بدقة في كل اتجاه من اتجاهين متعامدين.

01ماذا يعني تحليل متجه إلى مركباته؟

المتجه له مقدار واتجاه. والقوة والسرعة المتجهة والإزاحة والتسارع والزخم كلها كميات متجهة.

افترض أن قوة تتجه قطريًا إلى أعلى وإلى اليمين. بدلًا من التعامل مع هذا الاتجاه القطري غير المريح، يمكننا تمثيلها رياضيًا بمركبتين متعامدتين:

• مركبة أفقية
• مركبة رأسية

هاتان المركبتان معًا لهما التأثير نفسه تمامًا الذي للمتجه الأصلي.

تخيّل شخصًا يمشي قطريًا عبر حديقة مستطيلة. يمكنك وصف إزاحته بأنها رحلة قطرية واحدة، أو بأنها مسافة معينة نحو الشرق بالإضافة إلى مسافة معينة نحو الشمال. لم يكن عليه فعليًا أن يسلك هذين المسارين المنفصلين. فالمركبات ليست سوى طريقة أخرى لوصف الإزاحة نفسها.

لكن لهذا التشبيه حدوده. فمركبات المتجه ليست بالضرورة أحداثًا منفصلة تحدث واحدًا بعد الآخر. بل هي أجزاء رياضية متزامنة لمتجه واحد.

02لماذا تكون المركبات المتعامدة مفيدة؟

تصبح الفيزياء أسهل بكثير عندما نختار محاور تتناسب مع المسألة.

في كثير من مسائل HSC، نستخدم:

• محور \(x\) للحركة الأفقية
• محور \(y\) للحركة الرأسية

وعندئذ يمكن التعامل مع قوة قطرية بصورة منفصلة في كل اتجاه. ويمكن تطبيق قوانين نيوتن أفقيًا ورأسيًا، وتحليل حركة المقذوفات محورًا واحدًا في كل مرة، ومقارنة القوى على الأسطح المائلة بصورة أوضح.

الفكرة المهمة هي:

تحليل المتجه لا يغيّر المتجه. بل يغيّر الطريقة التي نصفه بها.

03حساب المثلثات وراء المركبات

يؤدي تحليل المتجه إلى تكوين مثلث قائم الزاوية.

افترض أن متجهًا مقداره \(V\) ويصنع زاوية \(\theta\) فوق الاتجاه الأفقي الموجب.

مركبتاه هما:

\[ V_x = V\cos\theta \]

\[ V_y = V\sin\theta \]

حيث:

• \(V\) هو مقدار المتجه الأصلي
• \(V_x\) هي مركبته الأفقية
• \(V_y\) هي مركبته الرأسية
• \(\theta\) هي الزاوية المقاسة من الاتجاه الأفقي الموجب

لماذا نستخدم جيب التمام أفقيًا والجيب رأسيًا؟

تذكّر النسب الأساسية في حساب المثلثات:

\[ \cos\theta = \frac{\text{المجاور}}{\text{الوتر}}, \qquad \sin\theta = \frac{\text{المقابل}}{\text{الوتر}} \]

في مثلث المتجه لدينا، يكون المتجه الأصلي \(V\) هو الوتر. وإذا كانت \(\theta\) مقاسة من الأفقي، فإن \(V_x\) هي الضلع المجاور للزاوية و\(V_y\) هي الضلع المقابل لها.

إذًا:

\[ \cos\theta = \frac{V_x}{V} \]

وبإعادة الترتيب نحصل على \(V_x = V\cos\theta\).

وبالمثل:

\[ \sin\theta = \frac{V_y}{V} \]

ومن ثم \(V_y = V\sin\theta\).

من هنا تأتي صيغ المركبات. فهي ليست صيغًا ينبغي حفظها بمعزل عن حساب المثلثات.

04لا تحفظ أن «جيب التمام يكون أفقيًا دائمًا»

هذا من أسهل الأخطاء التي يمكن الوقوع فيها عند تحليل المركبات.

افترض أن المتجه نفسه وُصف باستخدام زاوية مقاسة من الرأسي بدلًا من الأفقي. أي مركبة أصبحت الآن مجاورة للزاوية؟

المركبة الرأسية.

لذلك، في هذه الحالة:

\[ V_y = V\cos\theta \]

و

\[ V_x = V\sin\theta \]

القاعدة المفيدة ليست «الأفقي يعني جيب التمام».

بل القاعدة المفيدة هي:

• المركبة المجاورة: استخدم جيب التمام
• المركبة المقابلة: استخدم الجيب

انظر دائمًا إلى الموضع الذي رُسمت فيه الزاوية.

05تحتاج المركبات إلى إشارات، لا إلى مقادير فقط

حتى الآن، كان متجهنا يشير إلى أعلى وإلى اليمين. وكانت كلتا المركبتين موجبتين.

لكن المتجهات يمكن أن تشير في أي اتجاه. قبل تحليل المتجهات، اختر اصطلاحًا للإشارات.

من الخيارات الشائعة:

• اليمين هو اتجاه \(x\) الموجب
• اليسار هو اتجاه \(x\) السالب
• الأعلى هو اتجاه \(y\) الموجب
• الأسفل هو اتجاه \(y\) السالب

تخبرك الإشارة باتجاه المركبة. وهي ليست جزءًا من حساب المثلثات نفسه.

فعلى سبيل المثال، سرعة متجهة إلى أسفل وإلى اليمين لها:

• مركبة \(x\) موجبة
• مركبة \(y\) سالبة

وقوة متجهة إلى أعلى وإلى اليسار لها:

• مركبة \(x\) سالبة
• مركبة \(y\) موجبة

06حدّد الاتجاه قبل استخدام الآلة الحاسبة

افترض أن سرعة ما تتجه إلى أسفل وإلى اليسار.

قبل إجراء أي حساب، تعرف بالفعل أن:

\[ v_x < 0 \]

و

\[ v_y < 0 \]

هذا التوقع مفيد. فإذا أعطتك الآلة الحاسبة لاحقًا عددين موجبين، فستعرف أنك لم تُدرج الاتجاهات بعد.

إحدى الطرق الآمنة هي:

1. أوجد مقادير المركبات باستخدام مثلث قائم الزاوية
2. عيّن إشارة كل مركبة من الرسم ومحاورك المختارة

يكون هذا غالبًا أوضح من الاعتماد على الإشارات التي تعطيها الآلة الحاسبة عند استخدام زوايا غير معتادة.

07فحص سريع باستخدام نظرية فيثاغورس

يجب أن تعيد المركبات تكوين مقدار المتجه الأصلي.

وبما أن المركبتين متعامدتان:

\[ V^2 = V_x^2 + V_y^2 \]

إذًا:

\[ V = \sqrt{V_x^2 + V_y^2} \]

في المثال السابق:

\[ \sqrt{(-7.61)^2 + (-16.3)^2} \approx 18.0\text{ m s}^{-1} \]

تختفي الإشارات السالبة عند التربيع، وهذا منطقي. فنظرية فيثاغورس تتحقق من المقدار، لا من الاتجاه.

وهذا فحص مفيد لاكتشاف الأخطاء. فإذا أعطت مركباتك مقدارًا بعيدًا جدًا عن مقدار المتجه الأصلي، فهذا يعني أن شيئًا ما قد حدث خطأ.

08المركبات ليست أجزاء تُجمع جمعًا عاديًا

من الأخطاء المغرية الاعتقاد أنه إذا كانت قوة مقدارها \(100\text{ N}\) لها مركبتان \(F_x\) و\(F_y\)، فلا بد أن:

\[ F_x + F_y = 100\text{ N} \]

وهذا غير صحيح عمومًا.

لماذا يبدو هذا منطقيًا؟ لأن الكميات العادية غالبًا ما تنقسم إلى أجزاء تُجمع مباشرة. فإذا قُسّم مبلغ قدره 100 دولار بين شخصين، فإن نصيبيهما سيجمعان إلى 100 دولار.

أما مركبات المتجه المتعامدة فلا تعمل بهذه الطريقة. فهي تشير إلى اتجاهات مختلفة. ومجموعها المتجهي ينتج المتجه الأصلي.

على سبيل المثال، قوة مقدارها \(100\text{ N}\) عند \(45^\circ\) لها المركبتان:

\[ F_x = 100\cos45^\circ = 70.7\text{ N} \]

\[ F_y = 100\sin45^\circ = 70.7\text{ N} \]

مجموعهما العددي العادي هو \(141.4\text{ N}\)، لكن المتجه الأصلي لم يزد بطريقة ما.

باستخدام نظرية فيثاغورس:

\[ F = \sqrt{70.7^2 + 70.7^2} \approx 100\text{ N} \]

تتجمع المركبات المتعامدة هندسيًا، لا بمجرد جمع مقاديرها.

09اختيار المحاور قد يجعل المسألة أسهل

المحاور الأفقية والرأسية شائعة، لكنها ليست إلزامية.

تخيّل جسمًا ساكنًا على سطح مائل. إذا اخترت المحاور الأفقية والرأسية المعتادة، فقد تقع عدة قوى عند زوايا غير مريحة. بدلًا من ذلك، يكون من الأفضل غالبًا اختيار:

• محور موازٍ للسطح المائل
• محور عمودي على السطح المائل

يمكنك عندئذ تحليل قوة الوزن إلى مركبات على طول هذين المحورين.

هذه هي طريقة المتجهات نفسها. لم يتغير سوى نظام الإحداثيات.

لا تتغير الفيزياء باختلاف المحاور التي تختارها. فالاختيار المناسب يجعل المعادلات أسهل فحسب.

10طريقة موثوقة لأسئلة HSC

عند تحليل متجه، استخدم هذا التسلسل:

1. ارسم المتجه والمحاور أو افحصهما.
2. اختر الاتجاهات الموجبة.
3. توقّع إشارة كل مركبة.
4. حدّد موضع الزاوية المعطاة.
5. حدّد المركبتين المجاورة والمقابلة.
6. استخدم جيب التمام للمركبة المجاورة والجيب للمركبة المقابلة.
7. طبّق الإشارات الصحيحة.
8. تحقق من أن المركبات منطقية فيزيائيًا.

بالنسبة إلى متجه مقداره \(V\) ويصنع زاوية \(\theta\) مع الاتجاه الأفقي الموجب، فإن هذا غالبًا ما يُختصر إلى:

\[ V_x = V\cos\theta, \qquad V_y = V\sin\theta \]

لكن هذه الصيغة المختصرة تكون آمنة فقط عندما تفهم الاتجاه الذي تُقاس منه الزاوية وما الاتجاهات التي تعتبرها محاورك موجبة.

11الأسئلة والحلول

السؤال 1

يتحرك راكب دراجة بسرعة \(12.0\text{ m s}^{-1}\) في اتجاه يصنع زاوية \(20^\circ\) شمال الشرق. اعتبر الشرق اتجاه \(x\) الموجب والشمال اتجاه \(y\) الموجب.

أوجد المركبتين الشرقية والشمالية لسرعة راكب الدراجة.

الحل 1

المركبتان تساويان تقريبًا \(11.3\text{ m s}^{-1}\) شرقًا و\(4.10\text{ m s}^{-1}\) شمالًا.

الزاوية مقاسة من الاتجاه الأفقي نحو الشرق، لذلك تكون المركبة الشرقية مجاورة للزاوية والمركبة الشمالية مقابلة لها.

\[ v_x = v\cos\theta \]

\[ v_y = v\sin\theta \]

بالتعويض عن \(v = 12.0\text{ m s}^{-1}\) و\(\theta = 20^\circ\):

\[ v_x = 12.0\cos20^\circ = 11.28\text{ m s}^{-1} \]

\[ v_y = 12.0\sin20^\circ = 4.10\text{ m s}^{-1} \]

لذلك:

\[ v_x \approx 11.3\text{ m s}^{-1}, \qquad v_y \approx 4.10\text{ m s}^{-1} \]

كلتا المركبتين موجبتان لأن السرعة تتجه شرقًا وشمالًا.

السؤال 2

تؤثر قوة مقدارها \(75.0\text{ N}\) بزاوية \(40^\circ\) إلى يمين الاتجاه الرأسي نحو الأعلى. اعتبر اليمين اتجاه \(x\) الموجب والأعلى اتجاه \(y\) الموجب.

أوجد مركبتي القوة في اتجاهي \(x\) و\(y\).

الحل 2

المركبتان هما \(48.2\text{ N}\) في اتجاه \(x\) الموجب و\(57.5\text{ N}\) في اتجاه \(y\) الموجب.

النقطة التي قد توقعك في الخطأ هي أن الزاوية مقاسة من الرأسي، لا من الأفقي. لذلك تكون المركبة الرأسية مجاورة للزاوية \(40^\circ\).

بالنسبة إلى المركبة الأفقية:

\[ F_x = F\sin\theta \]

\[ F_x = 75.0\sin40^\circ = 48.2\text{ N} \]

بالنسبة إلى المركبة الرأسية:

\[ F_y = F\cos\theta \]

\[ F_y = 75.0\cos40^\circ = 57.5\text{ N} \]

لذلك:

\[ F_x = +48.2\text{ N}, \qquad F_y = +57.5\text{ N} \]

استخدام جيب التمام للمركبة الأفقية لمجرد أن «الأفقي يعني جيب التمام» سيؤدي إلى تبديل الإجابتين.

السؤال 3

لطائرة صغيرة سرعة بالنسبة إلى الهواء مقدارها \(65.0\text{ m s}^{-1}\)، وتتجه بزاوية \(32^\circ\) جنوب الغرب.

اعتبر الشرق اتجاه \(x\) الموجب والشمال اتجاه \(y\) الموجب.

أوجد مركبتي السرعة وتحقق من أنهما تعيدان إنتاج مقدار السرعة الأصلي.

الحل 3

مركبتا السرعة تساويان تقريبًا \(-55.1\text{ m s}^{-1}\) في اتجاه \(x\) و\(-34.4\text{ m s}^{-1}\) في اتجاه \(y\)، وعند جمعهما متجهيًا تعطيان \(65.0\text{ m s}^{-1}\).

الغرب هو اتجاه \(x\) السالب، والجنوب هو اتجاه \(y\) السالب. والزاوية \(32^\circ\) مقاسة من الغرب، وهو اتجاه أفقي.

مقدار المركبة الأفقية هو:

\[ |v_x| = v\cos\theta \]

\[ |v_x| = 65.0\cos32^\circ = 55.1\text{ m s}^{-1} \]

لذلك:

\[ v_x = -55.1\text{ m s}^{-1} \]

ومقدار المركبة الرأسية هو:

\[ |v_y| = v\sin\theta \]

\[ |v_y| = 65.0\sin32^\circ = 34.4\text{ m s}^{-1} \]

لذلك:

\[ v_y = -34.4\text{ m s}^{-1} \]

للتحقق من المقدار:

\[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(-55.1)^2 + (-34.4)^2} \approx 65.0\text{ m s}^{-1} \]

يؤكد الفحص أن مقادير المركبتين متسقة مع السرعة الأصلية. ثم تخبرنا الإشارتان بأن الطائرة تتحرك غربًا وجنوبًا.

السؤال 4

حلّل طالب قوة مقدارها \(90.0\text{ N}\) وحصل على مركبتين مقدارهما \(72.0\text{ N}\) إلى اليمين و\(54.0\text{ N}\) إلى الأعلى.

يقول طالب آخر إن الإجابة لا بد أن تكون خاطئة لأن \(72.0 + 54.0 = 126.0\text{ N}\)، وهو مقدار أكبر من القوة الأصلية البالغة \(90.0\text{ N}\).

حدّد ما إذا كانت هاتان المركبتان ممكنتين، واشرح أي الطالبين منطقه صحيح.

الحل 4

المركبتان ممكنتان، ومنطق الطالب الثاني غير صحيح.

لا يلزم أن تجمع المركبات المتجهة المتعامدة عدديًا إلى المقدار الأصلي. بل تتجمع باستخدام نظرية فيثاغورس لأنها تشير إلى اتجاهين بينهما زاوية مقدارها \(90^\circ\).

المقدار الناتج عن المركبتين المقترحتين هو:

\[ F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} \]

\[ F = \sqrt{(72.0)^2 + (54.0)^2} = \sqrt{5184 + 2916} = \sqrt{8100} = 90.0\text{ N} \]

إذًا تعيد المركبتان إنتاج القوة الأصلية البالغة \(90.0\text{ N}\) تمامًا.

الخطأ المغري هو التعامل مع المركبات المتجهة المتعامدة كما لو كانت أجزاء قياسية عادية. فمجموعهما الحسابي، \(126.0\text{ N}\)، لا يحمل معنى مفيدًا بوصفه مقدار القوة الأصلية.

السؤال 5

قوة مقدارها \(120\text{ N}\). مركبتها الأفقية هي \(+120\text{ N}\).

يجادل طالب بأن القوة قد تظل لها مركبة رأسية غير صفرية لأن السؤال لا يعطي سوى المركبة الأفقية.

هل هذا ممكن؟ برّر إجابتك من دون الاعتماد على الرسم وحده.

الحل 5

لا. إذا كان مقدار القوة الكلية \(120\text{ N}\) وكانت مركبتها الأفقية لها بالفعل مقدار \(120\text{ N}\)، فلا بد أن تكون مركبتها الرأسية صفرًا.

ترتبط قيمة مقدار المتجه بمركبتيه المتعامدتين بالعلاقة:

\[ F^2 = F_x^2 + F_y^2 \]

بالتعويض عن \(F = 120\text{ N}\) و\(F_x = 120\text{ N}\):

\[ (120)^2 = (120)^2 + F_y^2 \]

بطرح \((120)^2\) من الطرفين نحصل على:

\[ F_y^2 = 0 \]

إذًا:

\[ F_y = 0\text{ N} \]

أي مركبة رأسية غير صفرية ستجعل

\[ \sqrt{F_x^2 + F_y^2} \]

أكبر من \(120\text{ N}\).

هذه حالة حدّية مفيدة. لا يمكن أن تساوي إحدى المركبات المقدار الكامل للمتجه إلا عندما يقع المتجه بالكامل على محور تلك المركبة.

12إلى أين تقودك المركبات بعد ذلك؟

بمجرد أن تتمكن من تحليل المتجهات بصورة موثوقة، تصبح عدة أفكار في فيزياء HSC أسهل بكثير في التعامل معها. يمكنك فصل سرعة المقذوف إلى حركة أفقية وحركة رأسية، وتحليل القوى على المستويات المائلة، وتطبيق قوانين نيوتن بصورة مستقلة على طول المحاور المختارة.

الخطوة التالية ليست تعلّم زوج آخر من صيغ حساب المثلثات. بل هي تعلّم اختيار المحاور التي تجعل الفيزياء بسيطة، ثم التعامل مع كل اتجاه بوصفه معادلة مستقلة، مع تذكّر أن كلتا المعادلتين تصفان الحالة الفيزيائية نفسها.