الطائرة في الرياح الجانبية: اتجاه المقدمة والمسار الأرضي والرياح
تعلّم كيف تتحد سرعة الطائرة بالنسبة إلى الهواء مع سرعة الرياح لتحديد مسارها الأرضي. يتضمن شرحًا وأمثلة محلولة في فيزياء HSC ومفاهيم خاطئة شائعة وأسئلة تدريبية متقدمة.
تشير مقدمة الطائرة إلى الشرق تمامًا، ويحافظ محركها على سرعة ثابتة بالنسبة إلى الهواء، ومع ذلك يراها شخص يراقبها من الأرض تنحرف نحو الشمال الشرقي.
لم يدفع شيء مقدمة الطائرة لتدور. فكيف يمكنها إذن أن تتحرك في اتجاه مختلف عن الاتجاه الذي تشير إليه؟
قبل أن تتابع القراءة، توقّع ما سيحدث. افترض أن الطائرة تتحرك شرقًا خلال الهواء المحيط بسرعة \(80\text{ m s}^{-1}\)، بينما تحمل الرياح ذلك الهواء شمالًا بسرعة \(20\text{ m s}^{-1}\). هل يراها شخص على الأرض تتحرك شرقًا، أم شمالًا، أم في اتجاه بينهما؟
في اتجاه بينهما. للطائرة سرعة متجهة بالنسبة إلى الهواء، بينما للهواء المتحرك نفسه سرعة متجهة أخرى بالنسبة إلى الأرض. ويرى المراقب على الأرض محصلة الاثنين.
تفسر هذه الفكرة الواحدة الفرق بين اتجاه مقدمة الطائرة ومسارها الأرضي.
01ابدأ بحركتين تحدثان في الوقت نفسه
تخيل أنك تمشي مباشرة عبر ممر متحرك في مطار.
بالنسبة إلى الممر، تتحرك مباشرة نحو الجانب. لكن الممر نفسه يحملك إلى الأمام. لذلك يراك شخص واقف على الأرض الثابتة تتحرك قطريًا.
تعمل الطائرة في وجود الرياح بالطريقة نفسها:
- تتحرك الطائرة بالنسبة إلى الهواء المحيط
- يتحرك الهواء بالنسبة إلى الأرض
- لذلك تتحرك الطائرة بالنسبة إلى الأرض بسرعة متجهة تجمع الحركتين معًا
هذا التشبيه مفيد لأنه يفصل بين الحركتين. لكنه لا يكون دقيقًا تمامًا لأن الطائرات الحقيقية يمكنها تغيير سرعتها واتجاهها، في حين أن الممر المتحرك في المطار تكون له عادة حركة ثابتة. ومع ذلك، ففي مسائل المتجهات في HSC، تكون فكرة الجمع الأساسية هي بالضبط ما نحتاج إليه.
يمكننا كتابة العلاقة على الصورة
\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG} \]
حيث:
- \(\vec v_{PG}\) هي سرعة الطائرة المتجهة بالنسبة إلى الأرض
- \(\vec v_{PA}\) هي سرعة الطائرة المتجهة بالنسبة إلى الهواء
- \(\vec v_{AG}\) هي سرعة الهواء المتجهة بالنسبة إلى الأرض، أي سرعة الرياح المتجهة
ومن المفيد قراءة الرموز السفلية حرفيًا. فالرمز \(PG\) يعني «الطائرة بالنسبة إلى الأرض». والرمز \(PA\) يعني «الطائرة بالنسبة إلى الهواء». والرمز \(AG\) يعني «الهواء بالنسبة إلى الأرض».
هذه معادلة متجهات. والاتجاهات مهمة بقدر أهمية المقادير.
02اتجاه مقدمة الطائرة والمسار الأرضي ليسا الشيء نفسه
اتجاه مقدمة الطائرة هو الاتجاه الذي تشير إليه الطائرة.
في نموذج HSC المبسط، تكون سرعة الطائرة المتجهة بالنسبة إلى الهواء، \(\vec v_{PA}\)، في اتجاه مقدمة الطائرة.
أما المسار الأرضي فهو الاتجاه الذي تتحرك فيه الطائرة فعليًا فوق سطح الأرض. وهو اتجاه \(\vec v_{PG}\).
عند عدم وجود رياح،
\[ \vec v_{AG}=0 \]
ومن ثم
\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA} \]
فيكون اتجاه مقدمة الطائرة والمسار الأرضي متماثلين.
أما مع وجود رياح جانبية، فهما ليسا متماثلين عمومًا.
من السهل إغفال هذا الفرق، لأن اتجاه حركة جسم ما في كثير من مسائل الميكانيكا السابقة يكون ببساطة الاتجاه الذي يتحرك فيه. أما هنا فعلينا أن نسأل: يتحرك بالنسبة إلى ماذا؟
إن عبارة «بالنسبة إلى» تحمل معظم المعنى الفيزيائي هنا.
03مثال محلول: ما المسار الذي تتبعه فعليًا طائرة متجهة شرقًا؟
للطائرة سرعة متجهة مقدارها \(80\text{ m s}^{-1}\) نحو الشرق تمامًا بالنسبة إلى الهواء. وسرعة الرياح المتجهة \(20\text{ m s}^{-1}\) نحو الشمال تمامًا. أوجد السرعة الأرضية للطائرة واتجاه مسارها الأرضي.
الخطوة 1
سرعة الطائرة المتجهة بالنسبة إلى الهواء هي
\[ \vec v_{PA}=80\text{ m s}^{-1}\text{ شرقًا} \]
وسرعة الرياح المتجهة هي
\[ \vec v_{AG}=20\text{ m s}^{-1}\text{ شمالًا}. \]
ولأن الشرق والشمال متعامدان، فإن هذين المتجهين يمثلان الضلعين الأقصر في مثلث قائم الزاوية.
الخطوة 2
باستخدام نظرية فيثاغورس،
\[ \begin{aligned} v_{PG} &=\sqrt{(80)^2+(20)^2}\\ &=\sqrt{6800}\\ &=82.5\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
الخطوة 3
لتكن \(\theta\) الزاوية شمال الشرق.
\[ \begin{aligned} \tan\theta&=\frac{20}{80}\\ \theta&=\tan^{-1}(0.25)\\ &=14.0^\circ. \end{aligned} \]
إذن السرعة الأرضية المتجهة للطائرة تساوي تقريبًا
\[ \boxed{82.5\text{ m s}^{-1}\text{ بزاوية }14.0^\circ\text{ شمال الشرق}}. \]
لا تزال الطائرة تتجه بمقدمتها شرقًا، لأن مقدمتها وسرعتها المتجهة بالنسبة إلى الهواء تشيران في ذلك الاتجاه. أما مسارها الأرضي فيقع بزاوية \(14.0^\circ\) شمال الشرق لأن الهواء المتحرك يحملها شمالًا بينما تطير هي شرقًا خلال ذلك الهواء.
لاحظ أمرًا قد يبدو مفاجئًا قليلًا: السرعة الأرضية أكبر من سرعة الطائرة الجوية البالغة \(80\text{ m s}^{-1}\). فقد أضافت الرياح الجانبية مركبة سرعة أخرى، ولذلك أصبح مقدار المحصلة أكبر.
04لماذا يوجّه الطيارون الطائرة نحو الرياح الجانبية؟
افترض أن الطائرة في المثال السابق تحتاج في الواقع إلى اتباع مسار أرضي نحو الشرق تمامًا.
لن ينجح توجيهها نحو الشرق. فمركبة الرياح المتجهة شمالًا ستسبب انحرافًا.
فماذا ينبغي أن يفعل الطيار؟
قد تتوقع أن على الطائرة أن تتجه نحو الجنوب الشرقي، وهذا صحيح. إذ يجب أن تكون لسرعتها المتجهة بالنسبة إلى الهواء مركبة نحو الجنوب تلغي تمامًا سرعة الرياح المتجهة نحو الشمال.
يُسمّى هذا تصحيح الرياح.
الفكرة المهمة ليست «استدر عكس اتجاه الرياح» بوصفها قاعدة محفوظة. بل إن الشرط الدقيق هو
\[ \text{مركبة سرعة الطائرة الجانبية}+\text{مركبة سرعة الرياح الجانبية}=0. \]
إذا ألغت هاتان المركبتان إحداهما الأخرى، فلن تكون للسرعة الأرضية المحصلة أي مركبة جانبية.
تخيل ترتيب موعد أول غير مريح قليلًا، حيث يظل أحد الشخصين يتجول شمالًا بينما يواصل الآخر دفع الحديث جنوبًا. إذا كانت هاتان النزعتان متساويتين في المقدار ومتعاكستين في الاتجاه، فقد يتمكن الاثنان بطريقة ما من الاستمرار في التحرك شرقًا. يمثّل هذا التشبيه إلغاء مركبات المتجهات لبعضها. ويتوقف عن أن يكون مفيدًا عندما نبدأ في التساؤل عن سبب مشي أي منهما بهذه الطريقة.
05مثال محلول: ما اتجاه مقدمة الطائرة الذي يبقيها على مسار شرقي؟
تبلغ السرعة الجوية لطائرة \(100\text{ m s}^{-1}\). وتهب رياح نحو الشمال بسرعة \(30\text{ m s}^{-1}\). يريد الطيار أن يكون المسار الأرضي للطائرة نحو الشرق تمامًا. أوجد اتجاه مقدمة الطائرة المطلوب والسرعة الأرضية الناتجة.
الخطوة 1
تسهم الرياح بسرعة مقدارها \(30\text{ m s}^{-1}\) نحو الشمال.
ولكي تكون السرعة الأرضية المحصلة نحو الشرق تمامًا، يجب إذن أن تكون لسرعة الطائرة المتجهة بالنسبة إلى الهواء مركبة مقدارها
\[ 30\text{ m s}^{-1} \]
نحو الجنوب.
لتكن \(\theta\) الزاوية التي يجب أن تتجه بها الطائرة جنوب الشرق.
بما أن سرعتها الجوية الكلية هي \(100\text{ m s}^{-1}\)، فإن
\[ 100\sin\theta=30. \]
الخطوة 2
\[ \begin{aligned} \sin\theta&=\frac{30}{100}\\ \theta&=\sin^{-1}(0.30)\\ &=17.5^\circ. \end{aligned} \]
إذن اتجاه مقدمة الطائرة المطلوب هو
\[ \boxed{17.5^\circ\text{ جنوب الشرق}}. \]
الخطوة 3
المركبة الشرقية لسرعة الطائرة هي
\[ \begin{aligned} v_{\text{شرق}} &=100\cos(17.5^\circ)\\ &=95.4\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
ليس للرياح مركبة في اتجاه الشرق والغرب، ولذلك فهذه أيضًا هي السرعة الأرضية للطائرة.
إذن،
\[ \boxed{v_{PG}=95.4\text{ m s}^{-1}\text{ شرقًا تمامًا}}. \]
يوجّه الطيار الطائرة بزاوية \(17.5^\circ\) جنوب الشرق، لكن الطائرة تتحرك فوق الأرض نحو الشرق تمامًا.
وهنا توجد أيضًا مفاضلة مهمة. فقد استُخدم جزء من السرعة الجوية الثابتة للطائرة، البالغة \(100\text{ m s}^{-1}\)، لإلغاء الرياح الجانبية، ولم يتبقَّ سوى \(95.4\text{ m s}^{-1}\) متاحًا في الاتجاه الشرقي.
06المركبات تجعل مسائل الرياح الجانبية أسهل بكثير
بالنسبة إلى المتجهات البسيطة المتعامدة، غالبًا ما يكون المثلث كافيًا. أما في الاتجاهات الأقل ملاءمة، فحلّل كل سرعة متجهة إلى مركبات.
اختر اتجاه الشرق ليكون \(x\) الموجب، واتجاه الشمال ليكون \(y\) الموجب.
عندئذٍ
\[ v_{PG,x}=v_{PA,x}+v_{AG,x} \]
و
\[ v_{PG,y}=v_{PA,y}+v_{AG,y}. \]
وبعد معرفة مركبات المحصلة، يكون مقدارها
\[ v_{PG}=\sqrt{v_{PG,x}^{\,2}+v_{PG,y}^{\,2}} \]
ويمكن إيجاد اتجاهها باستخدام حساب المثلثات.
على سبيل المثال، إذا كان
\[ v_{PG,x}=70\text{ m s}^{-1} \]
و
\[ v_{PG,y}=25\text{ m s}^{-1}, \]
فإن
\[ v_{PG}=\sqrt{70^2+25^2}=74.3\text{ m s}^{-1}. \]
والزاوية شمال الشرق هي
\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{25}{70}\right)=19.7^\circ. \]
إذن السرعة المتجهة هي \(74.3\text{ m s}^{-1}\) بزاوية \(19.7^\circ\) شمال الشرق.
القرار الأساسي هو نفسه دائمًا: حلّل السرعات المتجهة بالنسبة إلى الاتجاهات الإحداثية نفسها، ثم اجمع المركبات المتناظرة.
07انتبه إلى اتجاه الرياح
في الحسابات الفيزيائية، يجب أن يصف متجه سرعة الرياح الاتجاه الذي يتحرك فيه الهواء فعليًا.
فإذا تحرك الهواء شمالًا بسرعة \(20\text{ m s}^{-1}\)، فإن
\[ \vec v_{AG}=20\text{ m s}^{-1}\text{ شمالًا}. \]
قد تصف اللغة اليومية ووصف الأرصاد الجوية الرياح باستخدام الاتجاه الذي تأتي منه. فعلى سبيل المثال، «الرياح الجنوبية» تأتي عادة من الجنوب وتتحرك نحو الشمال.
يمكن أن تؤدي هذه الصياغة إلى خطأ في الإشارة يمكن تجنبه.
في مسألة HSC، حوّل الوصف إلى متجه فعلي قبل إجراء أي حساب:
في أي اتجاه يتحرك الهواء؟
بمجرد أن تعرف ذلك، ارسم السهم في ذلك الاتجاه.
08أكثر المفاهيم الخاطئة شيوعًا: الرياح تدفع الطائرة جانبياً
قد يساعدك قول «الرياح تدفع الطائرة شمالًا» أحيانًا على تصور النتيجة، لكنه ليس النموذج الأدق لهذه المسائل المتعلقة بالسرعة النسبية.
المعادلة
\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG} \]
تتعلق بسرعات متجهة مقاسة في أطر مرجعية مختلفة. وليست معادلة قوة.
وهذا الفرق مهم لأن السرعة والقوة تجيبان عن سؤالين مختلفين.
يخبرك حساب السرعة بكيفية اجتماع حركة الطائرة بالنسبة إلى الهواء مع حركة الهواء بالنسبة إلى الأرض.
أما حساب القوة فسيتضمن كميات مثل قوة الرفع، والسحب، والدفع، والتسارع، وقوانين نيوتن. وهذه مهمة لفهم كيفية اكتساب الطائرة سرعتها أو تغييرها، لكنها ليست مطلوبة لمجرد تحويل السرعة الجوية إلى سرعة أرضية.
لذلك لا ترسم تلقائيًا «قوة رياح» وتحاول استخدام \(F=ma\). إذا أعطتك المسألة سرعات وطلبت منك إيجاد اتجاه مقدمة الطائرة أو المسار أو السرعة الأرضية، فهي عادة مسألة جمع متجهات.
09حالة حدية مفيدة
افترض أن السرعة الجوية لطائرة هي \(50\text{ m s}^{-1}\)، وأن رياحًا جانبية تتحرك شمالًا بسرعة \(60\text{ m s}^{-1}\). هل يستطيع الطيار اختيار اتجاه لمقدمة الطائرة يجعل مسارها الأرضي نحو الشرق تمامًا؟
توقّع قبل أن تحسب.
لكي تتحرك الطائرة نحو الشرق تمامًا، ستحتاج إلى مركبة سرعة جوية مقدارها \(60\text{ m s}^{-1}\) نحو الجنوب لإلغاء الرياح.
لكن السرعة الجوية الكلية للطائرة لا تتجاوز \(50\text{ m s}^{-1}\).
ولا يمكن لأي مركبة من متجه مقداره \(50\text{ m s}^{-1}\) أن يكون مقدارها \(60\text{ m s}^{-1}\).
إذن فهذا مستحيل.
رياضيًا، سنحتاج إلى
\[ 50\sin\theta=60, \]
مما يعطي
\[ \sin\theta=1.2. \]
ولا توجد زاوية حقيقية جيبها أكبر من 1.
هذا ليس مجرد خطأ في الآلة الحاسبة. بل له معنى فيزيائي: لا تستطيع الطائرة توليد سرعة جوية جانبية كافية لإلغاء الرياح.
وهذا بالضبط نوع التفكير في الحالات الحدية الذي يحوّل حسابات المتجهات إلى فيزياء.
10طريقة موثوقة لمسائل HSC
عندما ترى مسألة عن طائرة ورياح، استخدم التسلسل الآتي:
حدّد الأطر المرجعية. حدّد سرعة الطائرة المتجهة بالنسبة إلى الهواء، وسرعة الهواء المتجهة بالنسبة إلى الأرض.
اكتب العلاقة المتجهة.
\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG} \]
اختر الإحداثيات. عادة ما يكون اتجاه الشرق-الغرب واتجاه الشمال-الجنوب مناسبين.
حلّل المتجهات المائلة إلى مركبات.
اجمع المركبات مع مراعاة الإشارات. ستكون مركبات الجنوب والغرب سالبة إذا اعتُبر الشمال والشرق موجبين.
أوجد مقدار المحصلة واتجاهها إذا كان ذلك مطلوبًا.
فسّر الاتجاه. اذكر بوضوح ما إذا كان اتجاه مقدمة الطائرة أم المسار الأرضي.
تمنعك الخطوة الأخيرة من الوقوع في خطأ شائع بصورة مدهشة: أن تحل المثلث بصورة صحيحة ثم تطلق الاسم الخطأ على الزاوية.
11الأسئلة والحلول
السؤال 1
تشير مقدمة طائرة إلى الشمال تمامًا وتتحرك بسرعة \(90\text{ m s}^{-1}\) بالنسبة إلى الهواء. وتتحرك الرياح شرقًا بسرعة \(40\text{ m s}^{-1}\).
أوجد السرعة الأرضية للطائرة واتجاه مسارها الأرضي.
الحل 1
تتحرك الطائرة بسرعة تقارب \(\boxed{98.5\text{ m s}^{-1}}\)، على مسار أرضي بزاوية \(\boxed{24.0^\circ\text{ شرق الشمال}}\).
سرعة الطائرة الجوية المتجهة وسرعة الرياح المتجهة متعامدتان:
\[ v_{PA}=90\text{ m s}^{-1}\text{ شمالًا} \]
و
\[ v_{AG}=40\text{ m s}^{-1}\text{ شرقًا}. \]
وباستخدام
\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG}, \]
يكون مقدار السرعة الأرضية المتجهة
\[ \begin{aligned} v_{PG} &=\sqrt{90^2+40^2}\\ &=\sqrt{9700}\\ &=98.5\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
لتكن \(\theta\) الزاوية شرق الشمال. عندئذٍ
\[ \begin{aligned} \tan\theta&=\frac{40}{90}\\ \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{40}{90}\right)\\ &=24.0^\circ. \end{aligned} \]
يظل اتجاه مقدمة الطائرة نحو الشمال تمامًا، لكن مسارها الأرضي يقع بزاوية \(24.0^\circ\) شرق الشمال. والمصيدة هنا هي افتراض أن الاتجاه الذي تشير إليه الطائرة يجب أن يكون أيضًا الاتجاه الذي تتحرك فيه بالنسبة إلى الأرض.
السؤال 2
تبلغ السرعة الجوية لطائرة \(150\text{ m s}^{-1}\). وتتحرك الرياح غربًا بسرعة \(45\text{ m s}^{-1}\). يريد الطيار مسارًا أرضيًا نحو الشمال تمامًا.
أوجد:
a. اتجاه مقدمة الطائرة المطلوب، معبرًا عنه بزاوية شرق الشمال
b. السرعة الأرضية الناتجة.
الحل 2
اتجاه مقدمة الطائرة المطلوب هو \(\boxed{17.5^\circ\text{ شرق الشمال}}\)، والسرعة الأرضية الناتجة تقارب \(\boxed{143\text{ m s}^{-1}}\).
لكي يكون المسار الأرضي نحو الشمال تمامًا، يجب أن تساوي مركبة السرعة الأرضية في اتجاه الشرق-الغرب صفرًا.
تسهم الرياح بسرعة
\[ 45\text{ m s}^{-1}\text{ غربًا}. \]
ولذلك يجب أن توفر الطائرة مركبة مساوية لها،
\[ 45\text{ m s}^{-1}\text{ شرقًا}. \]
لتكن \(\theta\) زاوية اتجاه مقدمة الطائرة شرق الشمال. ومع سرعة جوية مقدارها \(150\text{ m s}^{-1}\)،
\[ \begin{aligned} 150\sin\theta&=45\\ \sin\theta&=0.300\\ \theta&=17.5^\circ. \end{aligned} \]
بالنسبة إلى الجزء a،
\[ \boxed{\theta=17.5^\circ\text{ شرق الشمال}}. \]
المركبة الشمالية لسرعة الطائرة الجوية هي
\[ \begin{aligned} v_{\text{شمال}} &=150\cos(17.5^\circ)\\ &=143\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
ليس للرياح مركبة في اتجاه الشمال-الجنوب، لذلك
\[ \boxed{v_{PG}=143\text{ m s}^{-1}\text{ شمالًا}}. \]
السرعة الأرضية أقل من السرعة الجوية لأن جزءًا من سرعة الطائرة الجوية يُستخدم لإلغاء الرياح الجانبية.
السؤال 3
تبلغ السرعة الجوية لطائرة \(120\text{ m s}^{-1}\)، وتتجه مقدمتها بزاوية \(20^\circ\) شمال الشرق. وفي الوقت نفسه، تبلغ سرعة الرياح المتجهة \(35\text{ m s}^{-1}\) نحو الجنوب تمامًا.
حدّد السرعة الأرضية المتجهة للطائرة، موضحًا مقدار السرعة واتجاهها.
الحل 3
السرعة الأرضية المتجهة للطائرة تقارب \(\boxed{113\text{ m s}^{-1}}\) بزاوية \(\boxed{2.5^\circ\text{ جنوب الشرق}}\).
اعتبر الشرق اتجاه \(x\) الموجب والشمال اتجاه \(y\) الموجب.
لسرعة الطائرة المتجهة بالنسبة إلى الهواء المركبتان
\[ \begin{aligned} v_{PA,x}&=120\cos20^\circ\\ &=112.8\text{ m s}^{-1}, \end{aligned} \]
و
\[ \begin{aligned} v_{PA,y}&=120\sin20^\circ\\ &=41.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
سرعة الرياح المتجهة نحو الجنوب تمامًا، لذلك
\[ v_{AG,x}=0 \]
و
\[ v_{AG,y}=-35\text{ m s}^{-1}. \]
بجمع المركبات المتناظرة،
\[ \begin{aligned} v_{PG,x}&=112.8+0\\ &=112.8\text{ m s}^{-1}, \end{aligned} \]
و
\[ \begin{aligned} v_{PG,y}&=41.0-35\\ &=6.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
هذه النتيجة ما تزال في الواقع تميل قليلًا إلى شمال الشرق، لا إلى جنوبه. لذلك يُوجد الاتجاه الصحيح من
\[ \begin{aligned} \theta &=\tan^{-1}\left(\frac{6.0}{112.8}\right)\\ &=3.0^\circ. \end{aligned} \]
السرعة الأرضية هي
\[ \begin{aligned} v_{PG} &=\sqrt{112.8^2+6.0^2}\\ &=113.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
إذن،
\[ \boxed{v_{PG}\approx113\text{ m s}^{-1}\text{ بزاوية }3.0^\circ\text{ شمال الشرق}}. \]
تكمن الفكرة المهمة في الإشارات. فاتجاه مقدمة الطائرة يمنحها مركبة شمالية مقدارها \(41.0\text{ m s}^{-1}\)، بينما لا تزيل الرياح منها سوى \(35\text{ m s}^{-1}\). ويساعد رسم تخطيطي سريع أو التحقق من المركبات على تجنب الاستنتاج المغري لكنه الخاطئ بأن أي رياح جنوبية لا بد أن تجعل المسار الأرضي يميل إلى جنوب الشرق.
السؤال 4
يمكن لطائرة الحفاظ على سرعة جوية مقدارها \(70\text{ m s}^{-1}\). وهي تحتاج إلى التحرك على مسار أرضي نحو الشرق تمامًا. وتتحرك الرياح نحو الشمال تمامًا.
لكل سرعة رياح أدناه، حدّد ما إذا كان المسار الأرضي نحو الشرق تمامًا ممكنًا. وإذا كان ممكنًا، فأوجد اتجاه مقدمة الطائرة المطلوب.
a. \(42\text{ m s}^{-1}\)
b. \(70\text{ m s}^{-1}\)
c. \(75\text{ m s}^{-1}\)
اشرح السبب الفيزيائي لأي حالة يكون فيها التحرك شرقًا مستحيلًا.
الحل 4
المسار نحو الشرق تمامًا ممكن في الجزء a، ويعطي حالة حدية تكون فيها السرعة الشرقية صفرًا في الجزء b، ويكون مستحيلًا في الجزء c.
لكي يكون المسار الأرضي نحو الشرق تمامًا، يجب أن تنتج الطائرة مركبة سرعة جوية نحو الجنوب مساوية في المقدار لسرعة الرياح المتجهة نحو الشمال.
بالنسبة إلى الجزء a،
\[ 70\sin\theta=42. \]
إذن،
\[ \begin{aligned} \sin\theta&=0.600\\ \theta&=36.9^\circ. \end{aligned} \]
لذلك يجب أن تتجه مقدمة الطائرة
\[ \boxed{36.9^\circ\text{ جنوب الشرق}}. \]
وستكون سرعتها الأرضية نحو الشرق
\[ \begin{aligned} v_{PG} &=70\cos36.9^\circ\\ &=56.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
بالنسبة إلى الجزء b،
\[ 70\sin\theta=70, \]
إذن
\[ \sin\theta=1 \]
و
\[ \theta=90^\circ. \]
سيتعين على الطائرة أن تشير بمقدمتها نحو الجنوب تمامًا. وستُستخدم سرعتها الجوية كلها، البالغة \(70\text{ m s}^{-1}\)، لإلغاء الرياح الشمالية البالغة \(70\text{ m s}^{-1}\).
ومن ثم ستكون مركبتها الشرقية
\[ 70\cos90^\circ=0. \]
إذن ستكون سرعة الطائرة الأرضية المحصلة صفرًا. يمكنها تجنب الانحراف شمالًا، لكنها لا تستطيع إحراز أي تقدم فعلي نحو الشرق. وهذه هي الحالة الحدية.
بالنسبة إلى الجزء c، يتطلب إلغاء الرياح
\[ 70\sin\theta=75, \]
أو
\[ \sin\theta=\frac{75}{70}=1.07. \]
ولا توجد زاوية حقيقية تحقق هذا الشرط.
إذن يكون المسار الأرضي نحو الشرق تمامًا
\[ \boxed{\text{مستحيلًا عندما تكون سرعة الرياح }75\text{ m s}^{-1}}. \]
والسبب الفيزيائي هو أن الطائرة ستحتاج إلى مركبة سرعة نحو الجنوب أكبر من سرعتها الجوية الكلية البالغة \(70\text{ m s}^{-1}\). ولا يمكن لأي مركبة من متجه أن تتجاوز مقدار ذلك المتجه.
النقطة الدقيقة هي الجزء b. فمجرد القدرة على إلغاء الرياح الجانبية لا يكفي لضمان حركة مفيدة على طول المسار المطلوب. عند سرعة الرياح الحدية بالضبط، لا يتبقى شيء للحركة إلى الأمام.
السؤال 5
يحلل طالبان الموقف نفسه.
للطائرة سرعة متجهة مقدارها \(100\text{ m s}^{-1}\) نحو الشرق تمامًا بالنسبة إلى الهواء. وتتحرك الرياح شمالًا بسرعة \(25\text{ m s}^{-1}\).
يقول الطالب A:
«لا بد أن تتسارع الطائرة نحو الشمال لأن لسرعتها الأرضية مركبة شمالية.»
ويقول الطالب B:
«يمكن أن تكون للطائرة مركبة ثابتة من السرعة الأرضية نحو الشمال من دون أن يكون لها تسارع نحو الشمال.»
أي الطالبين على صواب؟ اشرح كيف يمكن للطائرة أن تتحرك نحو الشمال الشرقي بسرعة متجهة ثابتة مع بقاء اتجاه مقدمتها نحو الشرق.
الحل 5
\[ \boxed{\text{الطالب B هو الصحيح.}} \]
وجود مركبة سرعة نحو الشمال لا يتطلب تلقائيًا تسارعًا نحو الشمال.
السرعة الأرضية المتجهة للطائرة هي
\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG}. \]
إذا ظلت كل من السرعة الجوية المتجهة للطائرة وسرعة الرياح المتجهة ثابتة، فإن مجموعهما المتجهي يظل ثابتًا أيضًا.
المركبتان هما
\[ v_{PG,x}=100\text{ m s}^{-1} \]
و
\[ v_{PG,y}=25\text{ m s}^{-1}. \]
إذن تتحرك الطائرة بسرعة أرضية متجهة ثابتة نحو الشمال الشرقي. ولذلك يكون تسارعها بالنسبة إلى الأرض
\[ \boxed{\vec a=0}. \]
يمكن أن يظل اتجاه مقدمة الطائرة نحو الشرق لأن اتجاه المقدمة يصف اتجاه \(\vec v_{PA}\)، أي سرعة الطائرة المتجهة بالنسبة إلى الهواء المحيط. والهواء المتحرك نفسه يحمل الطائرة شمالًا بالنسبة إلى الأرض.
خطأ الطالب A هو الخلط بين السرعة والتسارع. لا يحتاج الجسم إلى قوة في اتجاه كل مركبة من مركبات سرعته. ولا يلزم التسارع إلا عندما تتغير السرعة المتجهة.
12إلى أين تقودنا هذه الفكرة بعد ذلك؟
مسائل الرياح الجانبية مثال على السرعة النسبية، حيث يمكن لمراقبين مختلفين قياس سرعات متجهة مختلفة للجسم نفسه.
عندما تصبح مرتاحًا في قراءة معادلة مثل
\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG}, \]
يمكن استخدام المنطق نفسه مع القوارب التي تعبر تيارات مائية، والأشخاص الذين يمشون داخل مركبات متحركة، وغيرها من صور الحركة التي تُرى من أطر مرجعية مختلفة.
والعادة المفيدة هي ألا تكتفي بالسؤال: «ما سرعته؟» بل اسأل بدلًا من ذلك: «سرعته بالنسبة إلى ماذا؟»
هذا هو السؤال الذي يفصل بين اتجاه مقدمة الطائرة ومسارها الفعلي فوق الأرض.