Phân tích vectơ thành các thành phần trong Vật lý HSC
Tìm hiểu cách phân tích vectơ thành các thành phần vuông góc bằng lượng giác, quy ước dấu và lập luận vật lý rõ ràng. Có ví dụ có lời giải và bài tập theo phong cách HSC.
Một drone cứu hộ kéo với lực \(500\text{ N}\) theo hướng tạo góc \(30^\circ\) phía trên phương ngang. Drone không kéo với “500 N theo phương ngang và 500 N theo phương thẳng đứng”. Làm như vậy sẽ tạo thêm một lực không tồn tại. Thay vào đó, lực duy nhất \(500\text{ N}\) phải được phân tích theo hai phương đó.
Trước khi tính toán, hãy dự đoán điều này: thành phần theo phương ngang phải lớn hơn, nhỏ hơn hay bằng \(500\text{ N}\)?
Nó phải nhỏ hơn 500 N. Vectơ ban đầu bị nghiêng, nên chỉ một phần của nó hướng theo phương ngang. Phần còn lại hướng theo phương thẳng đứng. Phân tích một vectơ là quá trình xác định chính xác phần của vectơ hướng theo mỗi phương vuông góc.
01Phân tích một vectơ có nghĩa là gì?
Một vectơ có cả độ lớn và hướng. Lực, vận tốc, độ dời, gia tốc và động lượng đều là các đại lượng vectơ.
Giả sử một lực hướng chéo lên trên và sang phải. Thay vì làm việc với hướng chéo bất tiện đó, về mặt toán học, ta có thể thay nó bằng hai thành phần vuông góc:
- một thành phần theo phương ngang
- một thành phần theo phương thẳng đứng
Hai thành phần này kết hợp lại có tác dụng hoàn toàn giống với vectơ ban đầu.
Hãy hình dung một người đi chéo qua một công viên hình chữ nhật. Bạn có thể mô tả độ dời của họ là một hành trình theo đường chéo, hoặc là một quãng đường về phía đông cộng với một quãng đường về phía bắc. Trên thực tế, họ không nhất thiết phải đi theo hai đoạn đường riêng biệt đó. Các thành phần chỉ đơn giản là một cách khác để mô tả cùng một độ dời.
Phép so sánh này cũng có giới hạn. Các thành phần vectơ không nhất thiết là những sự kiện riêng biệt xảy ra lần lượt. Chúng là các phần toán học diễn ra đồng thời của cùng một vectơ.
02Vì sao các thành phần vuông góc lại hữu ích?
Vật lý trở nên dễ xử lý hơn nhiều khi ta chọn các trục phù hợp với bài toán.
Trong nhiều bài HSC, ta dùng:
- trục \(x\) cho chuyển động theo phương ngang
- trục \(y\) cho chuyển động theo phương thẳng đứng
Khi đó, một lực chéo có thể được xử lý riêng theo từng phương. Các định luật Newton có thể được áp dụng riêng theo phương ngang và phương thẳng đứng, chuyển động ném có thể được phân tích theo từng trục, và các lực trên mặt phẳng nghiêng có thể được so sánh rõ ràng hơn.
Ý tưởng quan trọng là:
Phân tích một vectơ không làm thay đổi vectơ đó. Nó chỉ thay đổi cách ta mô tả vectơ.
03Lượng giác đằng sau các thành phần
Phân tích một vectơ tạo ra một tam giác vuông.
Giả sử một vectơ có độ lớn \(V\) và tạo góc \(\theta\) phía trên trục ngang dương.
Các thành phần của nó là:
\[ V_x = V\cos\theta \]
\[ V_y = V\sin\theta \]
Trong đó:
- \(V\) là độ lớn của vectơ ban đầu
- \(V_x\) là thành phần theo phương ngang
- \(V_y\) là thành phần theo phương thẳng đứng
- \(\theta\) là góc được đo từ phương ngang dương
Tại sao dùng cosin cho phương ngang và sin cho phương thẳng đứng?
Hãy nhớ lại các tỉ số lượng giác cơ bản:
\[ \cos\theta = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}}, \qquad \sin\theta = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} \]
Trong tam giác vectơ của chúng ta, vectơ ban đầu \(V\) là cạnh huyền. Nếu \(\theta\) được đo từ phương ngang, \(V_x\) là cạnh kề của góc và \(V_y\) là cạnh đối.
Vì vậy:
\[ \cos\theta = \frac{V_x}{V} \]
suy ra \(V_x = V\cos\theta\).
Tương tự:
\[ \sin\theta = \frac{V_y}{V} \]
nên \(V_y = V\sin\theta\).
Đó là nguồn gốc của các công thức thành phần. Chúng không phải là những công thức cần học thuộc tách rời khỏi lượng giác.
04Đừng học thuộc rằng “cosin luôn là phương ngang”
Đây là một trong những lỗi dễ mắc nhất khi phân tích vectơ.
Giả sử cùng một vectơ được mô tả bằng một góc đo từ phương thẳng đứng thay vì phương ngang. Khi đó, thành phần nào nằm kề góc?
Thành phần theo phương thẳng đứng.
Vì vậy, trong trường hợp đó:
\[ V_y = V\cos\theta \]
và
\[ V_x = V\sin\theta \]
Quy tắc hữu ích không phải là “phương ngang thì dùng cosin”.
Quy tắc hữu ích là:
- thành phần kề: dùng cosin
- thành phần đối: dùng sin
Luôn xem góc được vẽ ở đâu.
Ví dụ có lời giải: Lực tạo góc phía trên phương ngang
Một sợi dây kéo một thùng hàng với lực \(240\text{ N}\), tạo góc \(35^\circ\) phía trên phương ngang. Hãy tìm thành phần theo phương ngang và thành phần theo phương thẳng đứng của lực.
Bước 1
Góc \(35^\circ\) được đo từ phương ngang, nên thành phần theo phương ngang là thành phần kề. Dùng cosin.
\[ F_x = F\cos\theta \]
trong đó \(F = 240\text{ N}\) và \(\theta = 35^\circ\).
Bước 2
\[ F_x = 240\cos35^\circ = 196.6\text{ N} \]
Vậy:
\[ F_x \approx 197\text{ N} \]
Bước 3
Thành phần theo phương thẳng đứng là thành phần đối với góc, nên dùng sin:
\[ F_y = F\sin\theta \]
\[ F_y = 240\sin35^\circ = 137.7\text{ N} \]
Do đó:
\[ F_y \approx 138\text{ N} \]
Vì vậy, lực ban đầu \(240\text{ N}\) có thể được biểu diễn xấp xỉ bằng \(197\text{ N}\) theo phương ngang và \(138\text{ N}\) theo phương thẳng đứng.
Lưu ý rằng không thành phần nào lớn hơn lực ban đầu \(240\text{ N}\). Điều này đúng như ta dự đoán từ hình học.
05Các thành phần cần có dấu, không chỉ có độ lớn
Cho đến đây, vectơ của chúng ta hướng lên trên và sang phải. Cả hai thành phần đều dương.
Nhưng vectơ có thể hướng theo bất kỳ hướng nào. Trước khi phân tích vectơ, hãy chọn một quy ước dấu.
Một cách chọn phổ biến là:
- sang phải là \(x\) dương
- sang trái là \(x\) âm
- hướng lên là \(y\) dương
- hướng xuống là \(y\) âm
Dấu cho bạn biết hướng của một thành phần. Nó không phải là một phần của phép lượng giác.
Ví dụ, một vận tốc hướng xuống dưới và sang phải có:
- thành phần \(x\) dương
- thành phần \(y\) âm
Một lực hướng lên trên và sang trái có:
- thành phần \(x\) âm
- thành phần \(y\) dương
06Xác định hướng trước khi bấm máy tính
Giả sử một vận tốc hướng xuống dưới và sang trái.
Trước khi tính toán, bạn đã biết:
\[ v_x < 0 \]
và
\[ v_y < 0 \]
Dự đoán này rất hữu ích. Nếu sau đó máy tính cho bạn hai số dương, bạn sẽ biết rằng mình chưa đưa hướng vào kết quả.
Một phương pháp an toàn là:
- tìm độ lớn của các thành phần bằng một tam giác vuông
- gán dấu cho từng thành phần dựa trên hình vẽ và các trục bạn đã chọn
Cách này thường rõ ràng hơn so với việc dựa vào dấu do máy tính cho ra khi dùng những góc không thông thường.
Ví dụ có lời giải: Vận tốc được đo từ phương thẳng đứng
Một quả bóng có vận tốc \(18.0\text{ m s}^{-1}\), hướng lệch \(25^\circ\) sang trái so với phương thẳng đứng hướng xuống. Chọn sang phải là \(x\) dương và hướng lên là \(y\) dương. Hãy tìm các thành phần vận tốc theo phương ngang và phương thẳng đứng.
Bước 1
Quả bóng chuyển động sang trái, nên \(v_x\) âm.
Nó cũng chuyển động xuống dưới, nên \(v_y\) âm.
Bước 2
Góc \(25^\circ\) được đo từ phương thẳng đứng. Vì vậy, thành phần theo phương thẳng đứng nằm kề góc.
Độ lớn của nó là:
\[ |v_y| = v\cos\theta \]
\[ |v_y| = 18.0\cos25^\circ = 16.31\text{ m s}^{-1} \]
Vì hướng là xuống dưới:
\[ v_y = -16.3\text{ m s}^{-1} \]
Bước 3
Thành phần theo phương ngang đối với góc \(25^\circ\):
\[ |v_x| = v\sin\theta \]
\[ |v_x| = 18.0\sin25^\circ = 7.61\text{ m s}^{-1} \]
Vì hướng là sang trái:
\[ v_x = -7.61\text{ m s}^{-1} \]
Vậy các thành phần vận tốc là:
\[ v_x = -7.61\text{ m s}^{-1}, \qquad v_y = -16.3\text{ m s}^{-1} \]
Các dấu âm là rất quan trọng. Nếu không có chúng, ta sẽ có đúng độ lớn của các thành phần nhưng sai vận tốc.
07Kiểm tra nhanh bằng định lý Pythagoras
Các thành phần khi kết hợp lại phải cho độ lớn của vectơ ban đầu.
Vì các thành phần vuông góc với nhau:
\[ V^2 = V_x^2 + V_y^2 \]
nên:
\[ V = \sqrt{V_x^2 + V_y^2} \]
Với ví dụ trước:
\[ \sqrt{(-7.61)^2 + (-16.3)^2} \approx 18.0\text{ m s}^{-1} \]
Các dấu âm biến mất khi bình phương, điều này hoàn toàn hợp lý. Định lý Pythagoras kiểm tra độ lớn, không kiểm tra hướng.
Đây là một cách kiểm tra lỗi hữu ích. Nếu các thành phần của bạn cho ra một độ lớn hoàn toàn khác vectơ ban đầu, thì đã có sai sót ở đâu đó.
08Các thành phần không phải là những phần có thể cộng theo cách thông thường
Một sai lầm dễ mắc là cho rằng nếu một lực \(100\text{ N}\) có các thành phần \(F_x\) và \(F_y\), thì:
\[ F_x + F_y = 100\text{ N} \]
Điều đó nhìn chung là sai.
Tại sao nó có vẻ hợp lý? Vì các đại lượng thông thường thường có thể chia thành những phần cộng trực tiếp với nhau. Nếu 100 đô la được chia cho hai người, số tiền của họ sẽ cộng lại thành 100 đô la.
Các thành phần vectơ vuông góc không hoạt động như vậy. Chúng hướng theo những phương khác nhau. Tổng vectơ của chúng tạo ra vectơ ban đầu.
Ví dụ, một lực \(100\text{ N}\) ở góc \(45^\circ\) có các thành phần:
\[ F_x = 100\cos45^\circ = 70.7\text{ N} \]
\[ F_y = 100\sin45^\circ = 70.7\text{ N} \]
Tổng số học thông thường của chúng là \(141.4\text{ N}\), nhưng vectơ ban đầu không hề tự nhiên tăng độ lớn.
Dùng định lý Pythagoras:
\[ F = \sqrt{70.7^2 + 70.7^2} \approx 100\text{ N} \]
Các thành phần vuông góc kết hợp theo hình học, không phải bằng cách đơn giản cộng độ lớn của chúng.
09Chọn trục phù hợp có thể làm bài toán dễ hơn
Các trục ngang và thẳng đứng rất phổ biến, nhưng không bắt buộc.
Hãy hình dung một vật nằm trên một mặt phẳng nghiêng. Nếu bạn chọn các trục ngang và thẳng đứng thông thường, một số lực có thể tạo những góc khá bất tiện. Thay vào đó, thường sẽ tốt hơn nếu chọn:
- một trục song song với mặt phẳng nghiêng
- một trục vuông góc với mặt phẳng nghiêng
Sau đó, bạn có thể phân tích trọng lực thành các thành phần theo các trục đó.
Đây vẫn là cùng một phương pháp vectơ. Chỉ có hệ tọa độ thay đổi.
Các định luật vật lý không phụ thuộc vào việc bạn chọn trục nào. Một lựa chọn hợp lý chỉ đơn giản làm cho các phương trình dễ xử lý hơn.
10Một phương pháp đáng tin cậy cho các câu hỏi HSC
Khi phân tích một vectơ, hãy làm theo trình tự này:
- Vẽ hoặc quan sát vectơ và các trục.
- Chọn các hướng dương.
- Dự đoán dấu của từng thành phần.
- Xác định vị trí của góc đã cho.
- Xác định thành phần kề và thành phần đối.
- Dùng cosin cho thành phần kề và sin cho thành phần đối.
- Gán đúng dấu.
- Kiểm tra xem các thành phần có hợp lý về mặt vật lý hay không.
Với một vectơ có độ lớn \(V\) và góc \(\theta\) đo từ trục ngang dương, điều này thường rút gọn thành:
\[ V_x = V\cos\theta, \qquad V_y = V\sin\theta \]
Nhưng công thức ngắn gọn này chỉ an toàn khi bạn hiểu góc được đo từ đâu và các trục của bạn quy ước những hướng nào là dương.
11Câu hỏi và lời giải
Câu hỏi 1
Một người đi xe đạp chuyển động với tốc độ \(12.0\text{ m s}^{-1}\), theo hướng lệch \(20^\circ\) về phía bắc so với hướng đông. Chọn hướng đông là \(x\) dương và hướng bắc là \(y\) dương.
Hãy tìm các thành phần vận tốc theo hướng đông và hướng bắc của người đi xe đạp.
Lời giải 1
Các thành phần xấp xỉ là \(11.3\text{ m s}^{-1}\) về phía đông và \(4.10\text{ m s}^{-1}\) về phía bắc.
Góc được đo từ phương ngang hướng đông, nên thành phần hướng đông là thành phần kề và thành phần hướng bắc là thành phần đối.
\[ v_x = v\cos\theta \]
\[ v_y = v\sin\theta \]
Thay \(v = 12.0\text{ m s}^{-1}\) và \(\theta = 20^\circ\):
\[ v_x = 12.0\cos20^\circ = 11.28\text{ m s}^{-1} \]
\[ v_y = 12.0\sin20^\circ = 4.10\text{ m s}^{-1} \]
Do đó:
\[ v_x \approx 11.3\text{ m s}^{-1}, \qquad v_y \approx 4.10\text{ m s}^{-1} \]
Cả hai thành phần đều dương vì vận tốc hướng về phía đông và phía bắc.
Câu hỏi 2
Một lực \(75.0\text{ N}\) tác dụng theo hướng lệch \(40^\circ\) sang phải so với phương thẳng đứng hướng lên. Chọn sang phải là \(x\) dương và hướng lên là \(y\) dương.
Hãy tìm các thành phần \(x\) và \(y\) của lực.
Lời giải 2
Các thành phần là \(48.2\text{ N}\) theo chiều \(x\) dương và \(57.5\text{ N}\) theo chiều \(y\) dương.
Điểm dễ mắc bẫy là góc được đo từ phương thẳng đứng, không phải phương ngang. Vì vậy, thành phần theo phương thẳng đứng nằm kề góc \(40^\circ\).
Đối với thành phần theo phương ngang:
\[ F_x = F\sin\theta \]
\[ F_x = 75.0\sin40^\circ = 48.2\text{ N} \]
Đối với thành phần theo phương thẳng đứng:
\[ F_y = F\cos\theta \]
\[ F_y = 75.0\cos40^\circ = 57.5\text{ N} \]
Do đó:
\[ F_x = +48.2\text{ N}, \qquad F_y = +57.5\text{ N} \]
Nếu dùng cosin cho thành phần ngang chỉ vì nghĩ rằng “phương ngang là cosin”, bạn sẽ hoán đổi hai đáp án.
Câu hỏi 3
Một máy bay nhỏ có vận tốc so với không khí là \(65.0\text{ m s}^{-1}\), theo hướng lệch \(32^\circ\) về phía nam so với hướng tây.
Chọn hướng đông là \(x\) dương và hướng bắc là \(y\) dương.
Hãy tìm các thành phần vận tốc và kiểm tra rằng chúng tái tạo đúng tốc độ ban đầu.
Lời giải 3
Các thành phần vận tốc xấp xỉ là \(-55.1\text{ m s}^{-1}\) theo phương \(x\) và \(-34.4\text{ m s}^{-1}\) theo phương \(y\), và khi kết hợp lại chúng cho \(65.0\text{ m s}^{-1}\).
Hướng tây là \(x\) âm và hướng nam là \(y\) âm. Góc \(32^\circ\) được đo từ hướng tây, tức là từ phương ngang.
Độ lớn của thành phần theo phương ngang là:
\[ |v_x| = v\cos\theta \]
\[ |v_x| = 65.0\cos32^\circ = 55.1\text{ m s}^{-1} \]
Do đó:
\[ v_x = -55.1\text{ m s}^{-1} \]
Độ lớn của thành phần theo phương thẳng đứng là:
\[ |v_y| = v\sin\theta \]
\[ |v_y| = 65.0\sin32^\circ = 34.4\text{ m s}^{-1} \]
Do đó:
\[ v_y = -34.4\text{ m s}^{-1} \]
Kiểm tra độ lớn:
\[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(-55.1)^2 + (-34.4)^2} \approx 65.0\text{ m s}^{-1} \]
Phép kiểm tra xác nhận rằng độ lớn của các thành phần phù hợp với vận tốc ban đầu. Các dấu sau đó cho ta biết máy bay đang chuyển động về phía tây và phía nam.
Câu hỏi 4
Một học sinh phân tích một lực \(90.0\text{ N}\) và thu được các thành phần \(72.0\text{ N}\) sang phải và \(54.0\text{ N}\) hướng lên.
Một học sinh khác nói rằng đáp án chắc chắn sai vì \(72.0 + 54.0 = 126.0\text{ N}\), lớn hơn lực ban đầu \(90.0\text{ N}\).
Hãy xác định xem các thành phần này có khả thi hay không và giải thích lập luận của học sinh nào là đúng.
Lời giải 4
Các thành phần này là khả thi, và lập luận của học sinh thứ hai là sai.
Các thành phần vectơ vuông góc không cần phải cộng số học lại thành độ lớn ban đầu. Chúng kết hợp bằng định lý Pythagoras vì chúng tạo với nhau một góc \(90^\circ\).
Độ lớn tạo bởi các thành phần đã cho là:
\[ F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} \]
\[ F = \sqrt{(72.0)^2 + (54.0)^2} = \sqrt{5184 + 2916} = \sqrt{8100} = 90.0\text{ N} \]
Vì vậy, các thành phần này tái tạo chính xác lực ban đầu \(90.0\text{ N}\).
Sai lầm dễ mắc là coi các thành phần vectơ vuông góc giống như các phần vô hướng thông thường. Tổng số học của chúng, \(126.0\text{ N}\), không có ý nghĩa hữu ích nào với tư cách là độ lớn của lực ban đầu.
Câu hỏi 5
Một lực có độ lớn \(120\text{ N}\). Thành phần theo phương ngang của nó là \(+120\text{ N}\).
Một học sinh lập luận rằng lực vẫn có thể có một thành phần thẳng đứng khác không vì đề bài chỉ cho thành phần theo phương ngang.
Điều đó có thể xảy ra không? Hãy giải thích câu trả lời mà không chỉ dựa vào hình vẽ.
Lời giải 5
Không. Nếu lực tổng có độ lớn \(120\text{ N}\) và thành phần theo phương ngang của nó đã có độ lớn \(120\text{ N}\), thì thành phần theo phương thẳng đứng phải bằng không.
Độ lớn của một vectơ và các thành phần vuông góc của nó liên hệ với nhau bởi:
\[ F^2 = F_x^2 + F_y^2 \]
Thay \(F = 120\text{ N}\) và \(F_x = 120\text{ N}\):
\[ (120)^2 = (120)^2 + F_y^2 \]
Trừ \((120)^2\) ở cả hai vế ta được:
\[ F_y^2 = 0 \]
nên:
\[ F_y = 0\text{ N} \]
Bất kỳ thành phần thẳng đứng khác không nào cũng sẽ khiến
\[ \sqrt{F_x^2 + F_y^2} \]
lớn hơn \(120\text{ N}\).
Đây là một trường hợp giới hạn hữu ích. Một thành phần chỉ có thể bằng toàn bộ độ lớn của một vectơ khi vectơ nằm hoàn toàn dọc theo trục của thành phần đó.
12Các thành phần vectơ sẽ dẫn bạn đến đâu tiếp theo?
Khi bạn có thể phân tích vectơ một cách đáng tin cậy, một số nội dung trong Vật lý HSC sẽ trở nên dễ xử lý hơn nhiều. Bạn có thể tách vận tốc của chuyển động ném thành chuyển động theo phương ngang và phương thẳng đứng, phân tích các lực trên mặt phẳng nghiêng, và áp dụng các định luật Newton độc lập theo từng trục đã chọn.
Bước tiếp theo không phải là học thêm một cặp công thức lượng giác khác. Đó là học cách chọn các trục giúp bài toán vật lý trở nên đơn giản, sau đó xem mỗi phương như một phương trình riêng, đồng thời luôn nhớ rằng cả hai phương trình đều mô tả cùng một tình huống vật lý.