Khoảng cách và độ dời trên mặt phẳng: Hướng dẫn Vật lý HSC
Tìm hiểu cách mô hình hóa hành trình hai chiều bằng quãng đường, độ dời, các thành phần vectơ và vectơ tổng hợp, với các ví dụ kiểu HSC có lời giải.
Thiết bị theo dõi thể chất của bạn cho biết bạn đã đi bộ 420 m. Bản đồ cho biết khi kết thúc, bạn chỉ cách vị trí xuất phát 110 m. Phép đo nào sai?
Không phép đo nào sai. Chúng đang đo hai đại lượng khác nhau. Quãng đường xét toàn bộ lộ trình bạn đã đi. Độ dời chỉ xét sự thay đổi từ vị trí xuất phát đến vị trí kết thúc.
Sự khác biệt này đặc biệt quan trọng khi chuyển động diễn ra trong hai chiều. Khi một hành trình có cả chuyển động theo hướng đông-tây và bắc-nam, chỉ cộng các con số lại với nhau là không đủ. Bạn cần sử dụng vectơ.
01Bắt đầu với lộ trình mà bạn có thể hình dung
Hãy tưởng tượng bạn đi bộ 60 m về phía đông, sau đó rẽ trái và đi 80 m về phía bắc.
Trước khi tính toán, hãy dự đoán: độ dời của bạn có phải là 140 m không?
Không thể. 140 m mô tả lộ trình mà bạn thực sự đã đi. Độ dời là sự thay đổi vị trí theo đường thẳng từ điểm xuất phát đến điểm kết thúc.
Điều này cho chúng ta sự phân biệt hữu ích đầu tiên:
| Đại lượng | Đại lượng đó đo gì | Loại |
|---|---|---|
| Quãng đường | Tổng độ dài của lộ trình đã đi | Vô hướng |
| Độ dời | Sự thay đổi vị trí từ điểm đầu đến điểm cuối | Vectơ |
Một đại lượng vô hướng chỉ có độ lớn. Một vectơ có cả độ lớn và hướng.
Vì vậy, 140 m là một giá trị quãng đường hợp lệ. Nhưng đó chưa đủ thông tin để xác định độ dời vì chưa có hướng.
02Độ dời không phụ thuộc vào lộ trình giữa hai điểm đầu-cuối
Hãy hình dung độ dời như một người bạn rất thiếu kiên nhẫn. Bạn bắt đầu kể toàn bộ câu chuyện về hành trình của mình, và họ ngắt lời: “Được rồi, nhưng bạn bắt đầu ở đâu và kết thúc ở đâu?”
Mọi thứ ở giữa đều không liên quan đến độ dời.
Về mặt toán học, độ dời là
\[ \Delta \vec r = \vec r_f - \vec r_i \]
trong đó:
- \(\Delta \vec r\) là vectơ độ dời
- \(\vec r_i\) là vectơ vị trí ban đầu
- \(\vec r_f\) là vectơ vị trí cuối cùng
Ký hiệu tam giác \(\Delta\) có nghĩa là “độ biến thiên của”.
Định nghĩa này giải thích một kết quả quan trọng. Nếu bạn rời nhà, đi loanh quanh tổng cộng 2 km rồi quay về nhà, quãng đường của bạn là 2 km nhưng độ dời bằng không.
Độ dời bằng không không có nghĩa là không có chuyển động.
03Cộng các chuyển động trong hai chiều
Giả sử một vật thực hiện nhiều chuyển động trước khi đến vị trí cuối cùng. Mỗi chuyển động có thể được biểu diễn bằng một vectơ.
Tổng độ dời là tổng vectơ:
\[ \Delta \vec r = \vec d_1 + \vec d_2 + \vec d_3 + \cdots \]
trong đó mỗi \(\vec d\) biểu diễn một độ dời trong hành trình.
Có hai cách chính để thực hiện phép cộng này:
- vẽ các vectơ nối đuôi nhau theo quy tắc đầu-đuôi
- phân tích mỗi vectơ thành các thành phần vuông góc, sau đó cộng các thành phần
Phương pháp vẽ giúp xây dựng trực giác. Phương pháp thành phần đáng tin cậy hơn khi tính toán.
Ví dụ có lời giải: Hành trình theo góc vuông
Một học sinh đi bộ 30 m về phía đông rồi 40 m về phía bắc. Hãy tìm tổng quãng đường và độ lớn cùng hướng của độ dời.
Bước 1
\[ \text{quãng đường} = 30 + 40 = 70\text{ m} \]
Quãng đường là đại lượng vô hướng, vì vậy có thể cộng trực tiếp độ dài của hai đoạn đường.
Bước 2
Vị trí cuối cùng nằm cách điểm xuất phát 30 m về phía đông và 40 m về phía bắc.
Vì các thành phần này vuông góc với nhau, độ lớn độ dời \(d\) có thể được tìm bằng định lý Pythagoras:
\[ d = \sqrt{(30)^2 + (40)^2} = \sqrt{2500} = 50\text{ m} \]
Bước 3
Gọi \(\theta\) là góc lệch về phía bắc so với hướng đông.
\[ \tan\theta = \frac{40}{30} \]
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{40}{30}\right) = 53.1^\circ \]
Học sinh đi được quãng đường 70 m, nhưng độ dời là 50 m theo hướng \(53.1^\circ\) về phía bắc so với hướng đông.
Độ dời nhỏ hơn là hợp lý. Đường thẳng nối hai điểm ngắn hơn so với việc đi dọc theo hai cạnh của một tam giác vuông.
04Tại sao không phải lúc nào cũng có thể dùng ngay định lý Pythagoras
Một lỗi phổ biến là khi thấy hai vectơ độ dời, học sinh lập tức viết
\[ d = \sqrt{d_1^2+d_2^2} \]
Phương trình đó chỉ đúng khi hai đại lượng được bình phương là các thành phần vuông góc.
Nếu một độ dời hướng đông-bắc và một độ dời khác hướng tây, chúng không nhất thiết vuông góc. Trước tiên, hãy phân tích vectơ nghiêng thành các thành phần theo hướng đông-tây và bắc-nam.
Đây là bước then chốt trong hầu hết các bài toán độ dời hai chiều.
05Phân tích một vectơ thành các thành phần
Giả sử một độ dời có độ lớn \(d\) tạo với hướng đông một góc \(\theta\) lệch về phía bắc.
Bạn có thể thay một vectơ nghiêng đó bằng hai vectơ vuông góc:
\[ d_x = d\cos\theta \]
\[ d_y = d\sin\theta \]
trong đó:
- \(d_x\) là thành phần theo phương ngang
- \(d_y\) là thành phần theo phương thẳng đứng
- \(d\) là độ lớn của độ dời ban đầu
- \(\theta\) là góc được đo từ chiều dương của phương ngang
Tại sao dùng cosin cho thành phần ngang và sin cho thành phần thẳng đứng?
Trong tam giác vuông được tạo bởi vectơ, thành phần ngang là cạnh kề với \(\theta\), còn thành phần thẳng đứng là cạnh đối diện với \(\theta\).
Vì vậy:
\[ \cos\theta=\frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh huyền}} \]
và
\[ \sin\theta=\frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh huyền}} \]
Vectơ không thực sự bị tách thành hai chuyển động về mặt vật lý. Các thành phần chỉ là cách mô tả toán học của cùng một chuyển động.
06Chọn chiều dương trước khi tính toán
Dấu rất quan trọng vì độ dời có hướng.
Một quy ước phổ biến là:
- đông: \(x\) dương
- tây: \(x\) âm
- bắc: \(y\) dương
- nam: \(y\) âm
Bạn cũng có thể chọn quy ước ngược lại mà vẫn thu được kết quả vật lý chính xác, miễn là bạn nhất quán.
Ví dụ, 25 m về phía tây sẽ là
\[ d_x=-25\text{ m} \]
còn 12 m về phía bắc sẽ là
\[ d_y=+12\text{ m} \]
Dấu âm không có nghĩa là quãng đường âm. Nó ghi lại hướng dọc theo trục mà bạn đã chọn.
07Cộng các thành phần trước khi tìm vectơ tổng hợp
Sau khi đã phân tích mọi độ dời, hãy cộng tất cả các thành phần ngang với nhau và tất cả các thành phần thẳng đứng với nhau:
\[ \Delta x = d_{1x}+d_{2x}+\cdots \]
\[ \Delta y = d_{1y}+d_{2y}+\cdots \]
Ở đây, \(\Delta x\) là độ dời ngang tổng hợp và \(\Delta y\) là độ dời thẳng đứng tổng hợp.
Sau đó tính độ lớn của tổng độ dời:
\[ d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \]
và dùng lượng giác để xác định hướng.
Phương pháp này đúng vì \(\Delta x\) và \(\Delta y\) vuông góc với nhau, ngay cả khi các vectơ độ dời ban đầu không vuông góc.
Ví dụ có lời giải: Một hành trình nghiêng rồi chuyển động về phía tây
Một robot thực địa di chuyển 120 m theo hướng \(35^\circ\) về phía bắc so với hướng đông, sau đó đi 80 m thẳng về phía tây. Hãy tìm tổng quãng đường và độ dời cuối cùng của nó.
Bước 1
Robot thực sự đi qua cả hai đoạn đường, vì vậy
\[ \text{quãng đường}=120+80=200\text{ m} \]
Bước 2
Đối với độ dời 120 m,
\[ d_x=120\cos35^\circ=98.3\text{ m} \]
\[ d_y=120\sin35^\circ=68.8\text{ m} \]
Vì vậy, chuyển động thứ nhất tạo ra thành phần 98.3 m về phía đông và 68.8 m về phía bắc.
Bước 3
Độ dời thứ hai có các thành phần
\[ d_x=-80\text{ m}, \qquad d_y=0 \]
Do đó,
\[ \Delta x=98.3-80=18.3\text{ m} \]
\[ \Delta y=68.8+0=68.8\text{ m} \]
Robot kết thúc ở vị trí cách điểm xuất phát 18.3 m về phía đông và 68.8 m về phía bắc.
Bước 4
\[ d=\sqrt{(18.3)^2+(68.8)^2} =71.2\text{ m} \]
Bước 5
Gọi \(\theta\) là góc lệch về phía bắc so với hướng đông.
\[ \tan\theta=\frac{68.8}{18.3} \]
\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{68.8}{18.3}\right) =75.1^\circ \]
Robot đi được quãng đường 200 m, nhưng độ dời cuối cùng là 71.2 m theo hướng \(75.1^\circ\) về phía bắc so với hướng đông.
Hãy chú ý điều đã xảy ra. Hành trình về phía tây đã triệt tiêu phần lớn thành phần hướng đông của hành trình thứ nhất, nhưng không làm triệt tiêu thành phần hướng bắc.
08Hướng của vectơ tổng hợp cần được kiểm tra tính hợp lý
Máy tính của bạn có thể trả về một góc như \(30^\circ\), nhưng chỉ một giá trị góc không cho biết vectơ nằm ở góc phần tư nào.
Giả sử bạn tính được
\[ \Delta x=-20\text{ m}, \qquad \Delta y=15\text{ m} \]
Độ dời hướng về phía tây và phía bắc, vì vậy nó phải nằm trong góc phần tư tây-bắc.
Nếu bạn tính
\[ \tan^{-1}\left(\frac{15}{20}\right)=36.9^\circ \]
thì hướng đầy đủ là \(36.9^\circ\) về phía bắc so với hướng tây.
Luôn kiểm tra dấu của các thành phần trước khi nêu hướng.
Kết quả từ máy tính không thể thay thế việc xác định vectơ thực sự hướng về phía nào.
09Quãng đường và độ dời tuân theo các quy tắc khác nhau
Học sinh thường cố xử lý quãng đường như thể đó là một phép tính thành phần khác.
Không phải như vậy.
Đối với một hành trình gồm nhiều đoạn thẳng:
\[ \text{quãng đường}=d_1+d_2+d_3+\cdots \]
trong đó mỗi \(d\) là độ dài dương của một đoạn.
Đối với độ dời, hướng có ý nghĩa:
\[ \Delta \vec r=\vec d_1+\vec d_2+\vec d_3+\cdots \]
Điều này dẫn đến một quy tắc hữu ích:
\[ \text{độ lớn của độ dời}\leq \text{quãng đường đã đi} \]
Hai đại lượng chỉ bằng nhau khi vật đi trực tiếp từ điểm xuất phát đến điểm kết thúc mà không đổi hướng hoặc quay ngược lại.
Nếu phép tính của bạn cho độ lớn độ dời lớn hơn quãng đường đã đi, thì đã có sai sót.
10Một phương pháp đáng tin cậy cho các hành trình hai chiều
Đối với hầu hết các bài toán độ dời kiểu HSC, hãy sử dụng trình tự sau:
- Chọn chiều dương của \(x\) và \(y\).
- Phân tích mọi độ dời nghiêng thành các thành phần \(x\) và \(y\).
- Gán dấu đúng cho từng thành phần.
- Cộng tất cả các thành phần \(x\).
- Cộng tất cả các thành phần \(y\).
- Dùng định lý Pythagoras với các thành phần tổng hợp.
- Dùng lượng giác để tìm hướng.
- Kiểm tra các dấu để xác định đúng góc phần tư.
- Nếu bài toán cũng yêu cầu quãng đường, hãy cộng riêng độ dài của các đoạn đường thực tế.
Ý tưởng quan trọng nằm ở bước 6. Chỉ sử dụng định lý Pythagoras ở cuối, sau khi bạn đã tạo được hai thành phần tổng hợp vuông góc.
11Câu hỏi và lời giải
Câu hỏi 1
Một người đi xe đạp đi 90 m về phía đông rồi 120 m về phía bắc.
Hãy tính tổng quãng đường đã đi và độ dời của người đi xe đạp so với điểm xuất phát.
Lời giải 1
Người đi xe đạp đi được quãng đường 210 m và có độ dời 150 m theo hướng \(53.1^\circ\) về phía bắc so với hướng đông.
Quãng đường là tổng độ dài của toàn bộ lộ trình:
\[ \text{quãng đường}=90+120=210\text{ m} \]
Các độ dời theo hướng đông và bắc vuông góc với nhau, vì vậy độ lớn độ dời là
\[ d=\sqrt{(90)^2+(120)^2} =\sqrt{22500} =150\text{ m} \]
Đối với hướng,
\[ \tan\theta=\frac{120}{90} \]
\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{120}{90}\right) =53.1^\circ \]
Vì vậy, sự thay đổi vị trí theo đường thẳng là 150 m theo hướng \(53.1^\circ\) về phía bắc so với hướng đông. Cộng 90 m và 120 m để được 210 m sẽ cho quãng đường, không phải độ dời.
Câu hỏi 2
Một máy bay không người lái khảo sát di chuyển 150 m theo hướng \(40^\circ\) về phía bắc so với hướng đông. Sau đó, nó di chuyển 90 m thẳng về phía nam.
Hãy tìm độ lớn và hướng của độ dời cuối cùng so với điểm xuất phát.
Lời giải 2
Độ dời cuối cùng của máy bay không người lái xấp xỉ 115 m theo hướng \(33^\circ\) về phía bắc so với hướng đông.
Trước tiên, phân tích độ dời 150 m:
\[ d_x=150\cos40^\circ=114.9\text{ m} \]
\[ d_y=150\sin40^\circ=96.4\text{ m} \]
Chuyển động thứ hai là 90 m về phía nam, nên thành phần thẳng đứng của nó là \(-90\text{ m}\).
Do đó,
\[ \Delta x=114.9\text{ m} \]
\[ \Delta y=96.4-90=6.4\text{ m} \]
Độ lớn là
\[ d=\sqrt{(114.9)^2+(6.4)^2} \approx115.1\text{ m} \]
Đối với hướng,
\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{6.4}{114.9}\right) \approx3.2^\circ \]
Vì vậy, độ dời xấp xỉ 115 m theo hướng \(3.2^\circ\) về phía bắc so với hướng đông.
Điểm dễ mắc bẫy ở đây là cho rằng chuyển động 90 m thứ hai phải được trừ trực tiếp khỏi độ lớn 150 m. Không thể làm như vậy vì hai vectơ không nằm trên cùng một đường thẳng. Chỉ các thành phần tương ứng mới có thể được cộng hoặc trừ trực tiếp.
Câu hỏi 3
Một học sinh đi bộ 70 m về phía đông, 40 m về phía bắc, 70 m về phía tây và 10 m về phía nam.
Một bạn cùng lớp cho rằng độ dời bằng không vì các chuyển động về phía đông và phía tây triệt tiêu nhau.
Hãy xác định quãng đường đã đi và độ dời thực tế. Giải thích sai sót trong lập luận của bạn học đó.
Lời giải 3
Học sinh đi được quãng đường 190 m và có độ dời 30 m về phía bắc.
Tổng quãng đường là
\[ \text{quãng đường}=70+40+70+10=190\text{ m} \]
Đối với độ dời, hãy cộng các thành phần.
Theo phương ngang,
\[ \Delta x=70-70=0\text{ m} \]
Theo phương thẳng đứng,
\[ \Delta y=40-10=30\text{ m} \]
Do đó,
\[ d=\sqrt{0^2+30^2}=30\text{ m} \]
Bạn cùng lớp chỉ đúng một phần. Các thành phần đông-tây đúng là triệt tiêu nhau, nhưng các thành phần bắc-nam thì không. Học sinh kết thúc ở vị trí cách điểm xuất phát 30 m về phía bắc.
Một vectơ có thể có độ dời bằng không trong một chiều mà tổng độ dời vẫn khác không.
Câu hỏi 4
Hai vectơ độ dời đều có độ lớn 50 m. Góc giữa chúng là \(60^\circ\).
Một học sinh lập luận rằng độ dời tổng hợp phải là 100 m vì \(50+50=100\).
Không giả định rằng hai vectơ vuông góc, hãy xác định độ lớn của vectơ tổng hợp.
Lời giải 4
Độ dời tổng hợp có độ lớn xấp xỉ 86.6 m, không phải 100 m.
Chọn độ dời 50 m thứ nhất hướng dọc theo chiều dương của trục \(x\). Các thành phần của nó là
\[ d_{1x}=50\text{ m}, \qquad d_{1y}=0 \]
Vectơ thứ hai nằm phía trên vectơ thứ nhất một góc \(60^\circ\), nên
\[ d_{2x}=50\cos60^\circ=25\text{ m} \]
\[ d_{2y}=50\sin60^\circ=43.3\text{ m} \]
Do đó, các thành phần tổng hợp là
\[ \Delta x=50+25=75\text{ m} \]
\[ \Delta y=43.3\text{ m} \]
Lúc này các thành phần tổng hợp vuông góc với nhau, nên có thể dùng định lý Pythagoras:
\[ d=\sqrt{(75)^2+(43.3)^2} \]
\[ d\approx86.6\text{ m} \]
Kết quả 100 m của học sinh chỉ đúng nếu cả hai độ dời đều hướng chính xác theo cùng một hướng.
Tính \(\sqrt{50^2+50^2}\) cũng sẽ sai, vì hai vectơ ban đầu tạo với nhau góc \(60^\circ\), không phải \(90^\circ\).
Câu hỏi 5
Một robot trước tiên di chuyển 100 m theo hướng \(30^\circ\) về phía bắc so với hướng đông. Sau đó, nó di chuyển thẳng về phía tây.
Sau cả hai chuyển động, robot nằm thẳng về phía bắc so với vị trí xuất phát.
Hãy xác định quãng đường của chuyển động về phía tây và độ dời cuối cùng của robot.
Lời giải 5
Robot phải di chuyển 86.6 m về phía tây, và độ dời cuối cùng là 50.0 m về phía bắc.
Phân tích độ dời thứ nhất:
\[ d_x=100\cos30^\circ=86.6\text{ m} \]
\[ d_y=100\sin30^\circ=50.0\text{ m} \]
Để robot kết thúc ở vị trí thẳng về phía bắc so với điểm xuất phát, độ dời ngang tổng hợp của nó phải bằng không.
Do đó, chuyển động về phía tây phải triệt tiêu thành phần 86.6 m về phía đông:
\[ 86.6-d_{\text{tây}}=0 \]
nên
\[ d_{\text{tây}}=86.6\text{ m} \]
Chuyển động về phía tây không có thành phần thẳng đứng, vì vậy thành phần 50.0 m về phía bắc vẫn không thay đổi.
Do đó,
\[ \Delta x=0 \]
\[ \Delta y=50.0\text{ m} \]
và độ dời cuối cùng là 50.0 m về phía bắc.
Ý tưởng ẩn ở đây là “thẳng về phía bắc” không chỉ đơn thuần là mô tả một góc. Nó đặt ra một điều kiện toán học: thành phần ngang cuối cùng phải bằng không.
12Điều này mở ra kiến thức gì tiếp theo
Phân tích độ dời thành các thành phần không chỉ là một mẹo dành cho các bài toán hành trình. Cùng một cấu trúc xuất hiện xuyên suốt chương trình Vật lý HSC.
Vận tốc có thể được phân tích thành các thành phần ngang và thẳng đứng. Gia tốc và lực cũng vậy. Chuyển động ném trở nên dễ xử lý vì chuyển động theo phương ngang và phương thẳng đứng có thể được phân tích riêng biệt trước khi kết hợp lại.
Thói quen cần ghi nhớ rất đơn giản: khi một bài toán vectơ trông phức tạp, hãy tự hỏi những phần nào hướng dọc theo các trục mà bạn đã chọn. Cộng các thành phần đó trước. Chỉ dựng lại vectơ tổng hợp sau khi các hướng riêng biệt đã hợp lý.