Thuyền băng qua dòng chảy: Vận tốc, quỹ đạo và thời gian qua sông

Một chiếc thuyền hướng thẳng sang bờ bên kia của một con sông. Tốc độ của thuyền so với nước là 3.0 m s\(^{-1}\), trong khi dòng nước chảy xuôi với tốc độ 2.0 m s\(^{-1}\). Rõ ràng thuyền đang chuyển động nhanh hơn 3.0 m s\(^{-1}\) so với bờ sông, vì vậy đây là một dự đoán đáng xem xét: dòng chảy có làm thuyền đến bờ bên kia sớm hơn không?

Không. Thuyền đến bờ bên kia trong đúng khoảng thời gian như khi nước đứng yên, với điều kiện dòng chảy song song với hai bờ. Dòng chảy làm thay đổi vị trí thuyền cập bờ và hướng chuyển động của thuyền so với mặt đất, nhưng không tạo thêm bất kỳ thành phần vận tốc nào theo phương ngang qua sông.

Chỉ riêng sự phân biệt này đã giải quyết được phần lớn các câu hỏi HSC về thuyền và dòng chảy.

01Thuyền có nhiều hơn một vận tốc

Hãy tưởng tượng một băng chuyền khổng lồ đang chuyển động về phía đông trong khi bạn đi bộ về phía bắc trên đó.

So với băng chuyền, bạn đang chuyển động về phía bắc. So với sàn nhà bên dưới, bạn đang chuyển động vừa về phía bắc vừa về phía đông. Một người đứng trên sàn sẽ thấy sự kết hợp của hai chuyển động đó.

Một chiếc thuyền trên sông cũng hoạt động theo cách tương tự:

• động cơ tạo cho thuyền một vận tốc so với nước
• dòng chảy tạo cho nước một vận tốc so với mặt đất
• một người đứng trên bờ sông quan sát vận tốc của thuyền so với mặt đất

Mô hình băng chuyền hữu ích vì nó giúp ta hình dung rõ phép cộng vectơ. Tuy nhiên, nó không hoàn toàn chính xác với mọi con sông vì dòng chảy thực tế có thể thay đổi cả tốc độ lẫn hướng ở những vị trí khác nhau trên sông.

Ta có thể viết chính xác mối quan hệ vận tốc tương đối là

\[ \vec v_{BG} = \vec v_{BW} + \vec v_{WG} \]

trong đó:

• \(\vec v_{BG}\) là vận tốc của thuyền so với mặt đất
• \(\vec v_{BW}\) là vận tốc của thuyền so với nước
• \(\vec v_{WG}\) là vận tốc của nước so với mặt đất

Người quan sát đứng trên bờ sông nhìn thấy \(\vec v_{BG}\). Đây là vận tốc quyết định quỹ đạo so với mặt đất của thuyền.

02Phân tích chuyển động thành các thành phần ngang qua sông và xuôi dòng

Phương pháp đơn giản nhất là chọn hai phương vuông góc với nhau:

• ngang qua sông, vuông góc với hai bờ
• xuôi dòng, song song với hai bờ

Giả sử thuyền hướng thẳng sang bờ bên kia với tốc độ \(v_b\) so với nước, còn dòng chảy có tốc độ \(v_c\) theo hướng xuôi dòng.

Khi đó, vận tốc so với mặt đất có các thành phần

\[ v_{\text{ngang qua sông}} = v_b \]

và

\[ v_{\text{xuôi dòng}} = v_c \]

Do đó, độ lớn vận tốc của thuyền so với mặt đất là

\[ v_g = \sqrt{v_b^2 + v_c^2} \]

trong đó \(v_g\) là tốc độ của thuyền so với mặt đất.

Góc quỹ đạo so với mặt đất \(\theta\), được đo theo hướng xuôi dòng tính từ phương thẳng ngang qua sông, thỏa mãn

\[ \tan \theta = \frac{v_c}{v_b} \]

Hãy chú ý phương trình này đang mô tả điều gì. Thuyền có thể hướng thẳng sang bờ bên kia, nhưng không nhất thiết chuyển động thẳng sang bờ bên kia so với mặt đất.

Hướng mũi thuyền và quỹ đạo so với mặt đất là hai khái niệm khác nhau.

03Thời gian qua sông phụ thuộc vào thành phần vận tốc ngang qua sông

Giả sử sông có chiều rộng \(d\).

Để đến bờ bên kia, thuyền phải đi hết khoảng cách vuông góc đó. Vì vậy, thời gian qua sông là

\[ t = \frac{d}{v_{\text{ngang qua sông}}} \]

trong đó:

• \(t\) là thời gian qua sông, tính bằng giây
• \(d\) là chiều rộng của sông, tính bằng mét
• \(v_{\text{ngang qua sông}}\) là thành phần vận tốc của thuyền so với mặt đất vuông góc với hai bờ, tính bằng m s\(^{-1}\)

Đây là chỗ rất dễ mắc một sai lầm tưởng như hợp lý.

Một học sinh có thể tính tổng tốc độ so với mặt đất rồi dùng

\[ t = \frac{d}{v_g} \]

Điều này có vẻ hợp lý vì công thức \(t=d/v\) rất quen thuộc. Vấn đề là \(d\) là khoảng cách ngang qua sông, còn \(v_g\) hướng theo đường chéo. Chúng không cùng phương.

Khi dùng \(t=d/v\), khoảng cách và vận tốc phải cùng nói về một phương.

04Hướng thẳng sang bờ bên kia không đồng nghĩa với cập bờ đúng điểm đối diện

Giả sử bạn thực sự muốn thuyền đến đúng điểm đối diện với vị trí xuất phát.

Bạn có nên tiếp tục hướng thẳng sang bờ bên kia không?

Không. Bạn cần hướng thuyền ngược dòng để một phần vận tốc của thuyền so với nước triệt tiêu dòng chảy.

Đây là một bài toán khác với ví dụ trước.

Gọi tốc độ của thuyền so với nước là \(v_b\) và tốc độ dòng chảy là \(v_c\). Nếu thuyền hướng một góc \(\theta\) về phía ngược dòng so với phương thẳng ngang qua sông, thì vận tốc của thuyền so với nước có hai thành phần:

\[ v_{\text{thuyền, ngang qua sông}} = v_b\cos\theta \]

và

\[ v_{\text{thuyền, ngược dòng}} = v_b\sin\theta \]

Để cập bờ đúng điểm đối diện, thành phần ngược dòng phải triệt tiêu chính xác dòng chảy xuôi dòng:

\[ v_b\sin\theta = v_c \]

Do đó

\[ \sin\theta = \frac{v_c}{v_b} \]

Sau khi chuyển động xuôi dòng đã được triệt tiêu, vận tốc của thuyền so với mặt đất hoàn toàn hướng ngang qua sông.

Tuy nhiên, điều này có một cái giá. Một phần tốc độ của thuyền được dùng để chống lại dòng chảy, nên phần còn lại dành cho việc qua sông sẽ nhỏ hơn.

05Quy tắc quyết định nhanh cho các bài toán về sông

Thói quen hữu ích nhất là vẽ hai trục trước khi chạm vào máy tính.

06Trường hợp giới hạn quan trọng

Điều gì xảy ra nếu dòng chảy có tốc độ đúng bằng tốc độ của thuyền?

Giả sử tốc độ cực đại của thuyền so với nước là 3.0 m s\(^{-1}\), và dòng chảy cũng có tốc độ 3.0 m s\(^{-1}\).

Để cập bờ đúng điểm đối diện, thuyền cần một thành phần vận tốc ngược dòng bằng 3.0 m s\(^{-1}\). Nhưng khi đó toàn bộ vận tốc của thuyền phải hướng ngược dòng.

Thành phần ngang qua sông của nó sẽ bằng không.

Vì vậy, mặc dù thuyền có thể triệt tiêu dòng chảy xuôi dòng, nó hoàn toàn không thể qua sông.

Nếu dòng chảy nhanh hơn thuyền, việc cập bờ đúng điểm đối diện cũng không thể thực hiện được. Thuyền không thể tạo ra một thành phần ngược dòng đủ lớn để triệt tiêu dòng chảy.

Điều này cho ta điều kiện chính xác hơn:

\[ v_b > v_c \]

là điều kiện cần nếu thuyền vừa phải triệt tiêu dòng chảy vừa phải tiến được sang bờ bên kia.

07Quan niệm sai cần tránh

Dòng chảy mạnh hơn thường làm tăng tốc độ so với mặt đất của thuyền khi thuyền hướng thẳng sang bờ bên kia. Điều đó có thể khiến ta tưởng rằng thuyền sẽ qua sông nhanh hơn.

Nhưng một vận tốc lớn hơn theo sai hướng không giúp bạn đi hết khoảng cách cần thiết.

Điều này giống như việc bạn đến muộn khi hẹn gặp một người sống ở ngay phía bắc chỗ bạn, rồi tự hào thông báo rằng mình đang chạy rất nhanh về phía đông. Tốc độ ấn tượng. Chỉ hơi có vấn đề về phương hướng.

Đối với thời gian qua sông, trước tiên hãy hỏi một câu:

Thuyền thực sự đang tiến về phía bờ đối diện nhanh đến mức nào?

Chính thành phần đó, chứ không phải tổng tốc độ, quyết định thời gian.

08Câu hỏi và lời giải

Câu hỏi 1

Một chiếc thuyền hướng thẳng ngang qua một con sông rộng 90 m. Tốc độ của thuyền so với nước là 2.5 m s\(^{-1}\), và dòng chảy xuôi với tốc độ 0.80 m s\(^{-1}\).

Hãy tính thời gian qua sông và khoảng cách thuyền trôi xuôi dòng.

Lời giải 1

Thuyền mất 36 s để qua sông và cập bờ tại vị trí cách 28.8 m về phía xuôi dòng.

Dòng chảy song song với hai bờ nên không làm thay đổi thành phần vận tốc 2.5 m s\(^{-1}\) của thuyền theo phương ngang qua sông.

Thời gian qua sông là

\[ t = \frac{d}{v_{\text{ngang qua sông}}} = \frac{90}{2.5} = 36\text{ s} \]

Trong 36 s đó, dòng chảy cuốn thuyền xuôi dòng:

\[ s_{\text{xuôi dòng}} = v_c t = 0.80(36) = 28.8\text{ m} \]

Vì vậy, thuyền qua sông trong 36 s và đến vị trí cách điểm đối diện trực tiếp 28.8 m về phía xuôi dòng.

Ý chính là chuyển động qua sông và trôi xuôi dòng diễn ra đồng thời. Bạn không cộng thêm một khoảng “thời gian trôi” riêng sau khi thuyền đã qua sông.

Câu hỏi 2

Một chiếc thuyền chuyển động với tốc độ 5.0 m s\(^{-1}\) so với nước và hướng thẳng ngang qua một con sông rộng 200 m. Dòng chảy xuôi với tốc độ 3.0 m s\(^{-1}\).

Hãy tìm:

• thời gian qua sông
• độ dời xuôi dòng
• tốc độ của thuyền so với mặt đất
• góc của quỹ đạo so với mặt đất lệch về phía xuôi dòng so với phương thẳng ngang qua sông
• quãng đường thuyền đi được so với mặt đất trong quá trình qua sông

Lời giải 2

Thuyền qua sông trong 40 s, trôi 120 m xuôi dòng, có tốc độ so với mặt đất là 5.83 m s\(^{-1}\), đi theo quỹ đạo lệch 31.0° về phía xuôi dòng so với phương thẳng ngang qua sông và đi được khoảng 233 m so với mặt đất.

Thành phần ngang qua sông là 5.0 m s\(^{-1}\), do đó

\[ t = \frac{200}{5.0} = 40\text{ s} \]

Độ dời xuôi dòng là

\[ s_{\text{xuôi dòng}} = 3.0(40) = 120\text{ m} \]

Tốc độ so với mặt đất là độ lớn của tổng vectơ:

\[ v_g = \sqrt{5.0^2 + 3.0^2} = \sqrt{34} = 5.83\text{ m s}^{-1} \]

Đối với góc quỹ đạo so với mặt đất,

\[ \tan\theta = \frac{3.0}{5.0} \]

\[ \theta = \tan^{-1}(0.600) = 31.0^\circ \]

Thuyền chuyển động theo đường chéo so với mặt đất. Quãng đường theo quỹ đạo so với mặt đất là

\[ s_g = v_g t = 5.83(40) \approx 233\text{ m} \]

Ta cũng thu được kết quả tương tự từ tam giác độ dời:

\[ s_g = \sqrt{200^2 + 120^2} \approx 233\text{ m} \]

Chiều rộng 200 m của con sông không phải là tổng quãng đường theo quỹ đạo so với mặt đất của thuyền. Nó chỉ là thành phần vuông góc của độ dời đó.

Câu hỏi 3

Hai chiếc thuyền giống hệt nhau phải qua hai con sông riêng biệt, mỗi con sông đều rộng 160 m.

Thuyền A chuyển động với tốc độ 4.0 m s\(^{-1}\) so với nước đứng yên.

Thuyền B cũng chuyển động với tốc độ 4.0 m s\(^{-1}\) so với nước, nhưng con sông của nó có dòng chảy 3.0 m s\(^{-1}\) song song với hai bờ.

Cả hai thuyền đều hướng thẳng sang bờ bên kia.

Một học sinh lập luận rằng Thuyền B sẽ đến trước vì tốc độ của nó so với mặt đất là

\[ \sqrt{4.0^2 + 3.0^2} = 5.0\text{ m s}^{-1} \]

Học sinh đó có đúng không? Hãy tính thời gian qua sông của mỗi thuyền và giải thích kết quả.

Lời giải 3

Không. Cả hai thuyền đều mất 40 s để qua sông.

Thuyền A có vận tốc ngang qua sông bằng 4.0 m s\(^{-1}\), do đó

\[ t_A = \frac{160}{4.0} = 40\text{ s} \]

Thuyền B cũng có vận tốc ngang qua sông bằng 4.0 m s\(^{-1}\). Dòng chảy thêm một thành phần 3.0 m s\(^{-1}\) theo hướng xuôi dòng, nhưng không thêm gì theo phương ngang qua sông.

Vì vậy,

\[ t_B = \frac{160}{4.0} = 40\text{ s} \]

Tốc độ của Thuyền B so với mặt đất đúng là 5.0 m s\(^{-1}\), nhưng một phần vận tốc đó hướng xuôi dòng. Phần tốc độ so với mặt đất tăng thêm không giúp thuyền tiến gần bờ đối diện hơn.

Phép tính tốc độ so với mặt đất của học sinh là đúng. Sai lầm nằm ở việc dùng độ lớn của vận tốc so với mặt đất để trả lời một câu hỏi chỉ phụ thuộc vào thành phần vuông góc của vận tốc đó.

Câu hỏi 4

Một chiếc thuyền có thể chuyển động với tốc độ 4.0 m s\(^{-1}\) so với nước. Nó phải qua một con sông rộng 120 m có dòng chảy với tốc độ 3.0 m s\(^{-1}\).

Một học sinh tính đúng rằng thuyền phải hướng

\[ \sin^{-1}\left(\frac{3.0}{4.0}\right) = 48.6^\circ \]

về phía ngược dòng so với phương thẳng ngang qua sông để cập bờ đúng điểm đối diện.

Sau đó, học sinh tính thời gian qua sông là

\[ t = \frac{120}{4.0} = 30\text{ s} \]

Hãy xác định sai lầm và tính thời gian qua sông đúng.

Lời giải 4

Thời gian qua sông đúng là khoảng 45.4 s. Sai lầm là coi toàn bộ tốc độ 4.0 m s\(^{-1}\) của thuyền như thể nó hướng ngang qua sông.

Thuyền được hướng một góc \(48.6^\circ\) về phía ngược dòng so với phương thẳng ngang qua sông. Thành phần 3.0 m s\(^{-1}\) theo hướng ngược dòng của nó triệt tiêu dòng chảy.

Khi đó, thành phần ngang qua sông còn lại là

\[ v_{\text{ngang qua sông}} = \sqrt{4.0^2 - 3.0^2} = \sqrt{7} = 2.65\text{ m s}^{-1} \]

Do đó, thời gian qua sông là

\[ t = \frac{120}{2.65} = 45.4\text{ s} \]

Vì vậy, thuyền mất khoảng 45.4 s.

Sai lầm dễ mắc là nghĩ rằng vì tốc độ của thuyền so với nước bằng 4.0 m s\(^{-1}\), nên nó qua sông với tốc độ 4.0 m s\(^{-1}\). Điều đó chỉ đúng khi toàn bộ vận tốc của thuyền so với nước hướng ngang qua sông.

Câu hỏi 5

Một con sông rộng 180 m có dòng chảy thay đổi đột ngột tại vị trí giữa sông.

Trong 90 m đầu tiên, dòng chảy có tốc độ 1.0 m s\(^{-1}\) theo hướng xuôi dòng. Trong 90 m tiếp theo, tốc độ dòng chảy là 3.0 m s\(^{-1}\) theo hướng xuôi dòng.

Một chiếc thuyền luôn hướng thẳng sang bờ bên kia trong suốt hành trình và duy trì tốc độ không đổi 3.0 m s\(^{-1}\) so với nước tại vị trí của nó.

Hãy tìm tổng thời gian qua sông và độ dời xuôi dòng. Quỹ đạo của thuyền so với mặt đất có phải là một đường thẳng duy nhất không?

Lời giải 5

Thuyền mất 60 s để qua sông, trôi tổng cộng 120 m xuôi dòng, và quỹ đạo so với mặt đất của nó không phải là một đường thẳng duy nhất.

Quan sát quan trọng là cả hai dòng chảy đều song song với bờ sông. Không dòng nào làm thay đổi thành phần vận tốc 3.0 m s\(^{-1}\) của thuyền theo phương ngang qua sông.

Trong 90 m đầu tiên,

\[ t_1 = \frac{90}{3.0} = 30\text{ s} \]

Trong 90 m tiếp theo,

\[ t_2 = \frac{90}{3.0} = 30\text{ s} \]

Do đó,

\[ t_{\text{tổng}} = 30 + 30 = 60\text{ s} \]

Trong nửa đầu, độ dời xuôi dòng là

\[ s_1 = 1.0(30) = 30\text{ m} \]

Trong nửa sau,

\[ s_2 = 3.0(30) = 90\text{ m} \]

Vì vậy, tổng độ dời xuôi dòng là

\[ s_{\text{xuôi dòng}} = 30 + 90 = 120\text{ m} \]

Quỹ đạo so với mặt đất không phải là một đường thẳng duy nhất. Trong nửa sau của con sông, thành phần vận tốc xuôi dòng so với mặt đất lớn hơn, nên hướng của vận tốc tổng hợp thay đổi. Vì vậy, trong mô hình đơn giản hóa này, đường đi đổi hướng tại điểm giữa sông.

Câu hỏi này cho thấy một giả định ngầm quan trọng trong các bài toán về sông đơn giản hơn: để quỹ đạo so với mặt đất là một đường thẳng, các thành phần vận tốc phải không đổi.

09Ý tưởng này dẫn đến điều gì tiếp theo

Các bài toán về thuyền và dòng chảy thực chất là các bài toán về vận tốc tương đối. Khi bạn có thể phân tích vận tốc thành các thành phần vuông góc và xác định đúng hệ quy chiếu, phương pháp tương tự cũng áp dụng được cho máy bay trong gió, người bơi trong dòng nước chảy và các chuyển động khác qua một môi trường đang chuyển động.

Bước hữu ích tiếp theo là học cách xử lý các trường hợp vật được cho một hướng chuyển động bất kỳ thay vì chỉ đơn giản là “thẳng sang bờ bên kia” hoặc “hướng để cập bờ đúng điểm đối diện”. Vật lý không thay đổi. Hãy phân tích vận tốc thành các thành phần, cộng vận tốc của môi trường theo từng thành phần, rồi dùng vận tốc so với mặt đất thu được để dự đoán chuyển động.