Cộng các thành phần vectơ vuông góc trong Vật lý HSC
Tìm hiểu cách kết hợp các thành phần vectơ vuông góc, tính độ lớn của vectơ tổng hợp và xác định hướng chính xác. Có ví dụ có lời giải và bài tập theo phong cách HSC.
Bạn đi 30 m về phía đông, sau đó 40 m về phía bắc. Tổng quãng đường bạn đi là 70 m, nhưng giả sử một người bạn đi thẳng từ điểm xuất phát đến điểm kết thúc của bạn. Người đó đi bao xa?
Một dự đoán dễ nghĩ đến là 70 m. Xét cho cùng, \(30 + 40 = 70\). Nhưng hướng đông và hướng bắc là hai hướng khác nhau, nên các khoảng cách đó không thể được cộng như những số thông thường. Độ lớn của độ dịch chuyển theo đường thẳng là 50 m.
Bài toán đơn giản này chứa đựng ý tưởng chính của các thành phần vectơ vuông góc: kết hợp riêng từng phương, sau đó dựng lại một vectơ tổng hợp duy nhất từ các thành phần đó.
01Bắt đầu với hình vẽ
Hãy hình dung chuyển động của bạn trên một hệ lưới tọa độ.
- Chuyển động 30 m về phía đông chỉ làm thay đổi vị trí của bạn theo phương đông-tây.
- Chuyển động 40 m về phía bắc chỉ làm thay đổi vị trí của bạn theo phương bắc-nam.
- Độ dịch chuyển cuối cùng của bạn hướng theo đường chéo từ điểm xuất phát đến điểm kết thúc.
Hai chuyển động này tạo thành hai cạnh vuông góc của một tam giác vuông. Đường chéo là vectơ tổng hợp.
Vì hai thành phần vuông góc với nhau, định lý Pythagoras cho độ lớn:
\[ R = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50\text{ m} \]
Ở đây, \(R\) là độ lớn của độ dịch chuyển tổng hợp.
Hãy chú ý ý nghĩa của 50 m. Đây không phải là quãng đường bạn đã đi. Bạn vẫn đi tổng cộng 70 m theo quỹ đạo. 50 m là độ lớn của độ dịch chuyển từ điểm xuất phát.
Sự phân biệt này trở nên quan trọng bất cứ khi nào vectơ biểu diễn độ dịch chuyển, vận tốc, gia tốc, lực, điện trường hoặc bất kỳ đại lượng nào khác có cả độ lớn và hướng.
02Vì sao các thành phần lại hữu ích
Một vectơ chéo có thể khó xử lý trực tiếp. Việc phân tích thành phần thay nó bằng hai phần đơn giản hơn:
- một thành phần theo \(x\), thường nằm ngang
- một thành phần theo \(y\), thường thẳng đứng
Hai thành phần này vuông góc với nhau.
Giả sử một vectơ có các thành phần \(R_x\) và \(R_y\). Độ lớn của nó là
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \]
trong đó:
- \(R\) là độ lớn của vectơ tổng hợp
- \(R_x\) là thành phần theo phương ngang
- \(R_y\) là thành phần theo phương thẳng đứng
Công thức này đúng vì các thành phần tạo thành hai cạnh vuông góc của một tam giác vuông.
Phương trình này không phải là một công thức vectơ đặc biệt xuất hiện một cách tùy ý. Nó đơn giản chỉ là định lý Pythagoras.
03Các thành phần cần có dấu
Bây giờ, chúng ta cần thêm một mức độ chính xác nữa.
Chỉ nói rằng một thành phần có độ lớn 8 N là chưa đủ. Một lực 8 N hướng đông khác với một lực 8 N hướng tây.
Một quy ước dấu hữu ích là:
- đông hoặc phải: \(x\) dương
- tây hoặc trái: \(x\) âm
- bắc hoặc lên: \(y\) dương
- nam hoặc xuống: \(y\) âm
Vì vậy:
- 6 m về phía đông trở thành \(R_x = +6\text{ m}\)
- 6 m về phía tây trở thành \(R_x = -6\text{ m}\)
- 4 m về phía bắc trở thành \(R_y = +4\text{ m}\)
- 4 m về phía nam trở thành \(R_y = -4\text{ m}\)
Bạn có thể chọn quy ước ngược lại. Vật lý không quan trọng việc bạn gọi hướng nào là dương. Điều quan trọng là bạn phải nhất quán.
Đây là lý do các thành phần vectơ hoạt động hơi giống tiền đi vào và đi ra khỏi hai tài khoản ngân hàng riêng biệt. Phương đông-tây có một tài khoản, còn phương bắc-nam có một tài khoản khác. Một thành phần hướng tây có thể triệt tiêu một thành phần hướng đông, nhưng nó không thể trực tiếp triệt tiêu một thành phần hướng bắc.
Phép so sánh chỉ có ý nghĩa đến đó. Các thành phần là những đại lượng hình học có hướng, không phải các giao dịch tài chính thực sự.
04Cộng các thành phần cùng phương trước
Giả sử có nhiều vectơ cùng tác dụng. Đừng lập tức tính độ lớn của từng vectơ rồi cộng các độ lớn đó lại.
Thay vào đó, hãy cộng tất cả các thành phần theo \(x\):
\[ R_x = A_x + B_x + C_x + \cdots \]
Sau đó cộng tất cả các thành phần theo \(y\):
\[ R_y = A_y + B_y + C_y + \cdots \]
Chỉ sau đó mới dựng lại vectơ tổng hợp:
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \]
Công thức này cho độ lớn. Chúng ta vẫn cần xác định hướng.
05Xác định lại hướng
Giả sử vectơ tổng hợp có thành phần ngang dương và thành phần thẳng đứng dương.
Nếu góc phương \(\theta\) được đo từ trục \(x\) dương, thì
\[ \tan\theta = \frac{R_y}{R_x} \]
do đó
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) \]
Đối với độ dịch chuyển 30 m về phía đông và 40 m về phía bắc:
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{40}{30}\right) = 53.1^\circ \]
Vì vậy, độ dịch chuyển là
\[ 50\text{ m theo hướng }53.1^\circ\text{ về phía bắc so với hướng đông} \]
Cụm từ về phía bắc so với hướng đông rất quan trọng. Nó cho biết ta bắt đầu từ hướng đông, sau đó quay \(53.1^\circ\) về phía bắc.
Nếu thay vào đó bạn đo góc từ hướng bắc, góc sẽ là
\[ 90^\circ - 53.1^\circ = 36.9^\circ \]
nên cùng một hướng cũng có thể được viết là \(36.9^\circ\) về phía đông so với hướng bắc.
06Máy tính không biết vectơ nằm ở góc phần tư nào
Đây là một lỗi thường gặp.
Giả sử
\[ R_x = -8\text{ N}, \qquad R_y = 15\text{ N} \]
Thành phần \(x\) âm nghĩa là hướng tây. Thành phần \(y\) dương nghĩa là hướng bắc. Trước cả khi dùng máy tính, bạn đã biết vectơ tổng hợp hướng tây-bắc.
Nếu bạn tính
\[ \tan^{-1}\left(\frac{15}{8}\right) \]
bạn sẽ nhận được góc tham chiếu nhọn giữa vectơ và phương ngang hướng tây. Bạn vẫn cần các dấu của thành phần để xác định đúng góc phần tư.
Một bảng quyết định hữu ích là:
| \(R_x\) | \(R_y\) | Hướng của vectơ tổng hợp |
|---|---|---|
| dương | dương | đông-bắc |
| âm | dương | tây-bắc |
| âm | âm | tây-nam |
| dương | âm | đông-nam |
Khi tìm góc nhỏ so với phương ngang, thường rõ ràng nhất nếu dùng độ lớn của các thành phần:
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{|R_y|}{|R_x|}\right) \]
Sau đó dùng các dấu để mô tả hướng một cách chính xác.
Ví dụ có lời giải: Hai thành phần độ dịch chuyển vuông góc
Một xe tự hành nghiên cứu di chuyển 9.0 m về phía đông và 12.0 m về phía bắc. Hãy tìm độ lớn và hướng của độ dịch chuyển tổng hợp.
Bước 1
Chọn hướng đông là \(x\) dương và hướng bắc là \(y\) dương:
\[ R_x = 9.0\text{ m}, \qquad R_y = 12.0\text{ m} \]
Bước 2
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(9.0)^2 + (12.0)^2} = \sqrt{225} = 15.0\text{ m} \]
Bước 3
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{12.0}{9.0}\right) = 53.1^\circ \]
Bước 4
Độ dịch chuyển tổng hợp là
\[ \boxed{15.0\text{ m theo hướng }53.1^\circ\text{ về phía bắc so với hướng đông}} \]
Xe tự hành cách điểm xuất phát 15.0 m, theo hướng tạo góc \(53.1^\circ\) phía trên trục hướng đông.
Ví dụ có lời giải: Cộng các thành phần của hai lực trước
Hai lực tác dụng lên một vật nhỏ. Lực A có thành phần \(+12\text{ N}\) theo phương ngang và \(-5\text{ N}\) theo phương thẳng đứng. Lực B có thành phần \(-4\text{ N}\) theo phương ngang và \(+11\text{ N}\) theo phương thẳng đứng. Hãy tìm độ lớn và hướng của hợp lực.
Bước 1
\[ R_x = 12 + (-4) = 8\text{ N} \]
Vậy thành phần ngang tổng hợp là 8 N về phía đông.
Bước 2
\[ R_y = -5 + 11 = 6\text{ N} \]
Vậy thành phần thẳng đứng tổng hợp là 6 N về phía bắc.
Bước 3
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10\text{ N} \]
Bước 4
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{6}{8}\right) = 36.9^\circ \]
Cả hai thành phần tổng hợp đều dương, nên lực nằm trong góc phần tư đông-bắc.
Do đó,
\[ \boxed{R = 10\text{ N theo hướng }36.9^\circ\text{ về phía bắc so với hướng đông}} \]
Bước quan trọng diễn ra trước khi dùng định lý Pythagoras: chúng ta kết hợp tất cả các tác dụng theo phương ngang với các tác dụng theo phương ngang khác, và tất cả các tác dụng theo phương thẳng đứng với các tác dụng theo phương thẳng đứng khác.
07Sai lầm dễ mắc: cộng các độ lớn
Giả sử một lực 10 N tác dụng về phía đông và một lực 10 N khác tác dụng về phía bắc.
Độ lớn của hợp lực là bao nhiêu?
Một học sinh có thể dự đoán là 20 N vì có hai lực 10 N. Điều đó chỉ đúng nếu hai lực cùng hướng.
Đối với các lực vuông góc,
\[ R = \sqrt{10^2 + 10^2} = 14.1\text{ N} \]
Tại sao giá trị này nhỏ hơn 20 N?
Vì không lực nào đóng góp trọn vẹn 10 N theo hướng của hợp lực. Hai lực chỉ theo hai hướng khác nhau.
Điều này cũng cho ta một nhận xét hữu ích về giới hạn. Với hai thành phần vuông góc khác không, độ lớn của vectơ tổng hợp phải:
- lớn hơn từng thành phần riêng lẻ
- nhỏ hơn tổng độ lớn của hai thành phần
Với hai thành phần 10 N và 10 N:
\[ 10\text{ N} < 14.1\text{ N} < 20\text{ N} \]
Đây là một cách nhanh để phát hiện lỗi khi bấm máy tính.
08Điều gì xảy ra khi một thành phần bằng không?
Phương pháp dùng tang cần được xử lý cẩn thận khi \(R_x = 0\).
Giả sử
\[ R_x = 0, \qquad R_y = -7\text{ m/s} \]
Hoàn toàn không có thành phần theo phương ngang. Vectơ đơn giản là hướng nam, với độ lớn 7 m/s.
Việc cố tính
\[ \tan^{-1}\left(\frac{7}{0}\right) \]
là không cần thiết. Các thành phần đã cho bạn biết hướng.
Có một trường hợp biên còn thú vị hơn:
\[ R_x = 0, \qquad R_y = 0 \]
Khi đó
\[ R = 0 \]
Vectơ không có hướng xác định. Không có mũi tên nào để chỉ về bất kỳ hướng nào.
Điều này quan trọng khi hai hoặc nhiều vectơ triệt tiêu hoàn toàn lẫn nhau.
09Một phương pháp đáng tin cậy
Khi cần kết hợp các thành phần vuông góc, hãy làm theo thứ tự sau:
- Chọn hướng \(x\) dương và hướng \(y\) dương.
- Viết mỗi thành phần với dấu chính xác.
- Cộng tất cả các thành phần theo \(x\) để tìm \(R_x\).
- Cộng tất cả các thành phần theo \(y\) để tìm \(R_y\).
- Dùng \(R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}\) để tìm độ lớn.
- Dùng tỉ số các thành phần để tìm góc tham chiếu.
- Dùng dấu của \(R_x\) và \(R_y\) để nêu hướng thực tế.
- Kiểm tra xem độ lớn và góc phần tư có hợp lý về mặt vật lý hay không.
Đừng bỏ qua bước 7. Phép tính tang nghịch đảo có thể cho bạn một góc nhưng không cho biết đầy đủ hướng vật lý.
10Câu hỏi và lời giải
Câu hỏi 1
Một lực có thành phần theo phương ngang là 5.0 N về phía đông và thành phần theo phương thẳng đứng là 12.0 N về phía bắc. Hãy tìm độ lớn và hướng của lực.
Lời giải 1
Lực là 13.0 N theo hướng \(67.4^\circ\) về phía bắc so với hướng đông.
Chọn hướng đông và hướng bắc là dương:
\[ R_x = 5.0\text{ N}, \qquad R_y = 12.0\text{ N} \]
Độ lớn là
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(5.0)^2 + (12.0)^2} = \sqrt{169} = 13.0\text{ N} \]
Hướng đo từ hướng đông là
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{12.0}{5.0}\right) = 67.4^\circ \]
Cả hai thành phần đều dương, nên vectơ hướng đông-bắc.
Do đó,
\[ \boxed{R = 13.0\text{ N theo hướng }67.4^\circ\text{ về phía bắc so với hướng đông}} \]
Kết quả này hợp lý vì 13.0 N lớn hơn từng thành phần nhưng nhỏ hơn \(5.0 + 12.0 = 17.0\text{ N}\).
Câu hỏi 2
Vận tốc của một máy bay không người lái so với mặt đất có các thành phần 8.0 m/s về phía tây và 15.0 m/s về phía bắc. Hãy tìm tốc độ và hướng chuyển động của nó.
Lời giải 2
Vận tốc của máy bay không người lái là 17.0 m/s theo hướng \(61.9^\circ\) về phía bắc so với hướng tây.
Chọn hướng đông là \(x\) dương và hướng bắc là \(y\) dương:
\[ R_x = -8.0\text{ m/s}, \qquad R_y = 15.0\text{ m/s} \]
Tốc độ là độ lớn của vận tốc:
\[ R = \sqrt{(-8.0)^2 + (15.0)^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17.0\text{ m/s} \]
Đối với góc tham chiếu tính từ phương ngang:
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{15.0}{8.0}\right) = 61.9^\circ \]
Thành phần \(x\) âm và thành phần \(y\) dương đặt vectơ trong góc phần tư tây-bắc.
Do đó,
\[ \boxed{R = 17.0\text{ m/s theo hướng }61.9^\circ\text{ về phía bắc so với hướng tây}} \]
Một lỗi thường gặp là ghi \(61.9^\circ\) về phía bắc so với hướng đông. Máy tính chỉ cho độ lớn của góc tham chiếu, còn dấu của các thành phần mới quyết định góc phần tư nào là đúng.
Câu hỏi 3
Một vectơ ban đầu có các thành phần 6.0 N về phía đông và 8.0 N về phía bắc. Sau đó, thành phần hướng đông của nó được tăng gấp đôi trong khi thành phần hướng bắc không đổi.
Một học sinh cho rằng độ lớn của vectơ cũng phải tăng gấp đôi. Hãy xác định nhận định này có đúng không, đồng thời tính độ lớn và hướng mới.
Lời giải 3
Nhận định này là không đúng. Vectơ mới có độ lớn 14.4 N theo hướng \(33.7^\circ\) về phía bắc so với hướng đông, chứ không phải gấp đôi độ lớn ban đầu.
Ban đầu,
\[ R_x = 6.0\text{ N}, \qquad R_y = 8.0\text{ N} \]
nên
\[ R_{\text{ban đầu}} = \sqrt{6.0^2 + 8.0^2} = 10.0\text{ N} \]
Sau khi thành phần hướng đông tăng gấp đôi:
\[ R_x = 12.0\text{ N}, \qquad R_y = 8.0\text{ N} \]
Độ lớn mới là
\[ R_{\text{mới}} = \sqrt{12.0^2 + 8.0^2} = \sqrt{208} = 14.4\text{ N} \]
Hướng là
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{8.0}{12.0}\right) = 33.7^\circ \]
Do đó,
\[ \boxed{R_{\text{mới}} = 14.4\text{ N theo hướng }33.7^\circ\text{ về phía bắc so với hướng đông}} \]
Tăng gấp đôi một thành phần không làm cả vectơ tăng gấp đôi vì thành phần còn lại không thay đổi. Hướng cũng thay đổi: vectơ tổng hợp quay gần về hướng đông hơn vì thành phần hướng đông đã trở nên chiếm ưu thế hơn.
Câu hỏi 4
Bốn lực thành phần tác dụng lên một vật:
- 9.0 N về phía đông
- 4.0 N về phía tây
- 12.0 N về phía nam
- 7.0 N về phía bắc
Hãy tìm độ lớn và hướng của hợp lực.
Một học sinh lại cộng độ lớn của cả bốn lực và đưa ra kết quả 32 N. Hãy giải thích sai sót.
Lời giải 4
Hợp lực là 7.07 N theo hướng \(45.0^\circ\) về phía nam so với hướng đông. Kết quả 32 N là sai vì các thành phần ngược hướng triệt tiêu một phần lẫn nhau thay vì tất cả cùng đóng góp theo một hướng.
Trước tiên, kết hợp các thành phần theo phương ngang:
\[ R_x = 9.0 - 4.0 = 5.0\text{ N} \]
Vậy thành phần ngang tổng hợp là 5.0 N về phía đông.
Tiếp theo, kết hợp các thành phần theo phương thẳng đứng:
\[ R_y = 7.0 - 12.0 = -5.0\text{ N} \]
Vậy thành phần thẳng đứng tổng hợp là 5.0 N về phía nam.
Độ lớn là
\[ R = \sqrt{(5.0)^2 + (-5.0)^2} = \sqrt{50} = 7.07\text{ N} \]
Góc tham chiếu là
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{5.0}{5.0}\right) = 45.0^\circ \]
Vì \(R_x\) dương và \(R_y\) âm, vectơ tổng hợp hướng đông-nam.
Do đó,
\[ \boxed{R = 7.07\text{ N theo hướng }45.0^\circ\text{ về phía nam so với hướng đông}} \]
Việc cộng \(9.0 + 4.0 + 12.0 + 7.0\) coi mọi lực như thể chúng cùng tác dụng dọc theo một đường thẳng và cùng một hướng. Cách làm đó bỏ qua cả sự triệt tiêu lẫn mối quan hệ vuông góc giữa các thành phần ngang và thẳng đứng cuối cùng.
Câu hỏi 5
Sau khi cộng tất cả các thành phần lực tác dụng lên một vật, ta thu được
\[ R_x = 0\text{ N}, \qquad R_y = 0\text{ N} \]
Một học sinh viết: “Độ lớn bằng không, nên hướng phải là \(0^\circ\).”
Điều này có đúng không? Hãy giải thích vectơ tổng hợp thực sự cho bạn biết điều gì về vật.
Lời giải 5
Kết luận của học sinh là không đúng. Hợp lực có độ lớn 0 N và không có hướng xác định.
Dùng phương trình tính độ lớn:
\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0\text{ N} \]
Nhưng hướng mô tả một vectơ khác không chỉ về phía nào. Vectơ không có độ dài bằng không, nên không có mũi tên nào có phương hướng để đo. Gọi hướng của nó là \(0^\circ\) sẽ tạo ấn tượng sai rằng nó chỉ về phía đông.
Hợp lực bằng không cũng không tự động có nghĩa là vật đứng yên. Theo định luật II Newton,
\[ \vec F_{\text{net}} = m\vec a \]
nên hợp lực bằng không có nghĩa là
\[ \vec a = 0 \]
đối với một vật có khối lượng khác không. Vì vậy, vận tốc của vật không đổi. Vật có thể đang đứng yên, hoặc có thể đã chuyển động với vận tốc không đổi.
Trường hợp biên này là một lời nhắc hữu ích rằng các thành phần cho bạn biết nhiều hơn những gì máy tính cho biết. Trước khi tìm một góc, trước hết hãy hỏi xem có thực sự tồn tại một vectơ tổng hợp khác không cần xác định hướng hay không.
Khi bạn đã có thể cộng các thành phần vuông góc và xác định lại vectơ tổng hợp, bước tiếp theo là phân tích một vectơ theo chiều ngược lại của quá trình trên: bắt đầu từ độ lớn và góc, rồi tìm các thành phần theo \(x\) và \(y\). Đó chính là cùng một hình học nhưng được thực hiện theo chiều ngược lại, và đây là điều cho phép xử lý từng thành phần đối với lực nghiêng, vận tốc, trường và chuyển động ném.