HSC भौतिकी में लंबवत सदिश अवयवों का जोड़

आप 30 m पूर्व की ओर चलते हैं, फिर 40 m उत्तर की ओर। आपका कुल पथ 70 m है, लेकिन मान लीजिए कि आपका एक मित्र आपके शुरुआती बिंदु से सीधे आपके अंतिम बिंदु तक चलता है। वह कितनी दूरी तय करेगा?

एक सहज अनुमान 70 m हो सकता है। आखिरकार, \(30 + 40 = 70\)। लेकिन पूर्व और उत्तर अलग-अलग दिशाएँ हैं, इसलिए इन दूरियों को साधारण संख्याओं की तरह नहीं जोड़ा जा सकता। सीधी रेखा में विस्थापन 50 m है।

इस सरल समस्या में लंबवत सदिश अवयवों का मुख्य विचार छिपा है: दिशाओं को अलग-अलग संयोजित करें, फिर उन अवयवों से एकल परिणामी सदिश का पुनर्निर्माण करें।

01चित्र से शुरुआत करें

ग्रिड पर अपनी गति की कल्पना करें।

• 30 m पूर्व की ओर गति केवल आपकी पूर्व-पश्चिम स्थिति को बदलती है।
• 40 m उत्तर की ओर गति केवल आपकी उत्तर-दक्षिण स्थिति को बदलती है।
• आपका अंतिम विस्थापन शुरुआती बिंदु से अंतिम बिंदु तक तिरछी दिशा में है।

ये दोनों गतियाँ एक समकोण त्रिभुज की लंबवत भुजाएँ बनाती हैं। विकर्ण परिणामी सदिश है।

क्योंकि दोनों अवयव एक-दूसरे के लंबवत हैं, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय से परिमाण मिलता है:

\[ R = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50\text{ m} \]

यहाँ, \(R\) परिणामी विस्थापन का परिमाण है।

ध्यान दें कि 50 m का क्या अर्थ है। यह आपके द्वारा चली गई दूरी नहीं है। आपने पथ के साथ अब भी 70 m की दूरी तय की है। 50 m शुरुआती बिंदु से आपके विस्थापन का परिमाण है।

यह अंतर तब महत्वपूर्ण हो जाता है जब सदिश विस्थापन, वेग, त्वरण, बल, विद्युत क्षेत्र या ऐसी किसी अन्य राशि को दर्शाते हैं जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।

02अवयव उपयोगी क्यों हैं

किसी तिरछे सदिश के साथ सीधे काम करना कठिन हो सकता है। अवयव उसे दो सरल भागों में बदल देते हैं:

• एक \(x\)-अवयव, जो सामान्यतः क्षैतिज होता है
• एक \(y\)-अवयव, जो सामान्यतः ऊर्ध्वाधर होता है

ये अवयव एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।

मान लीजिए किसी सदिश के अवयव \(R_x\) और \(R_y\) हैं। उसका परिमाण है

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \]

जहाँ:

• \(R\) परिणामी सदिश का परिमाण है
• \(R_x\) उसका क्षैतिज अवयव है
• \(R_y\) उसका ऊर्ध्वाधर अवयव है

यह इसलिए काम करता है क्योंकि अवयव एक समकोण त्रिभुज की लंबवत भुजाएँ बनाते हैं।

यह समीकरण कोई विशेष सदिश सूत्र नहीं है जो अचानक कहीं से आ गया हो। यह केवल पाइथागोरस प्रमेय है।

03अवयवों के लिए चिह्न आवश्यक हैं

अब हमें सटीकता की एक और परत जोड़नी होगी।

केवल यह कहना पर्याप्त नहीं है कि किसी अवयव का परिमाण 8 N है। 8 N पूर्व की ओर लगाया गया बल, 8 N पश्चिम की ओर लगाए गए बल से अलग है।

एक उपयोगी चिह्न परंपरा है:

• पूर्व या दाईं ओर: धनात्मक \(x\)
• पश्चिम या बाईं ओर: ऋणात्मक \(x\)
• उत्तर या ऊपर की ओर: धनात्मक \(y\)
• दक्षिण या नीचे की ओर: ऋणात्मक \(y\)

इसलिए:

• 6 m पूर्व बनता है \(R_x = +6\text{ m}\)
• 6 m पश्चिम बनता है \(R_x = -6\text{ m}\)
• 4 m उत्तर बनता है \(R_y = +4\text{ m}\)
• 4 m दक्षिण बनता है \(R_y = -4\text{ m}\)

आप इसके उलट परंपरा भी चुन सकते हैं। भौतिकी को इससे फर्क नहीं पड़ता कि आप किस दिशा को धनात्मक कहते हैं। लेकिन यह आवश्यक है कि आप पूरी गणना में एक ही परंपरा का लगातार पालन करें।

इसीलिए सदिश अवयव कुछ हद तक ऐसे व्यवहार करते हैं जैसे दो अलग-अलग बैंक खातों में पैसा आ और जा रहा हो। पूर्व-पश्चिम के लिए एक खाता है और उत्तर-दक्षिण के लिए दूसरा। पश्चिम की ओर का योगदान पूर्व की ओर के योगदान को रद्द कर सकता है, लेकिन वह सीधे उत्तर की ओर के योगदान को रद्द नहीं कर सकता।

यह उपमा यहीं तक लागू होती है। अवयव दिशा वाली ज्यामितीय राशियाँ हैं, वास्तविक वित्तीय लेन-देन नहीं।

04पहले समान प्रकार के अवयव जोड़ें

मान लीजिए कई सदिश एक साथ कार्य करते हैं। प्रत्येक का परिमाण निकालकर उन परिमाणों को तुरंत न जोड़ें।

इसके बजाय, सभी \(x\)-अवयवों को जोड़ें:

\[ R_x = A_x + B_x + C_x + \cdots \]

फिर सभी \(y\)-अवयवों को जोड़ें:

\[ R_y = A_y + B_y + C_y + \cdots \]

उसके बाद ही परिणामी सदिश का पुनर्निर्माण करें:

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \]

इससे परिमाण मिलता है। हमें अभी दिशा भी ज्ञात करनी है।

05दिशा फिर से ज्ञात करना

मान लीजिए परिणामी सदिश का क्षैतिज अवयव धनात्मक और ऊर्ध्वाधर अवयव भी धनात्मक है।

यदि दिशा कोण \(\theta\) को धनात्मक \(x\)-अक्ष से मापा जाता है, तो

\[ \tan\theta = \frac{R_y}{R_x} \]

अतः

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) \]

30 m पूर्व और 40 m उत्तर के विस्थापन के लिए:

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{40}{30}\right) = 53.1^\circ \]

अतः विस्थापन है

\[ 50\text{ m, पूर्व से उत्तर की ओर }53.1^\circ \]

पूर्व से उत्तर की ओर वाक्यांश महत्वपूर्ण है। इसका अर्थ है कि पहले पूर्व की ओर मुख करें, फिर उत्तर की ओर \(53.1^\circ\) घूमें।

यदि इसके बजाय आप कोण को उत्तर से मापें, तो कोण होगा

\[ 90^\circ - 53.1^\circ = 36.9^\circ \]

इसलिए उसी दिशा को उत्तर से पूर्व की ओर \(36.9^\circ\) भी लिखा जा सकता है।

06कैलकुलेटर को आपके चतुर्थांश का पता नहीं होता

यहाँ एक सामान्य गलती होती है।

मान लीजिए

\[ R_x = -8\text{ N}, \qquad R_y = 15\text{ N} \]

ऋणात्मक \(x\)-अवयव का अर्थ पश्चिम है। धनात्मक \(y\)-अवयव का अर्थ उत्तर है। कैलकुलेटर का उपयोग करने से पहले ही आप जानते हैं कि परिणामी सदिश उत्तर-पश्चिम दिशा में है।

यदि आप गणना करते हैं

\[ \tan^{-1}\left(\frac{15}{8}\right) \]

तो आपको सदिश और पश्चिम की ओर क्षैतिज दिशा के बीच का न्यून कोण मिलता है। सही चतुर्थांश पहचानने के लिए फिर भी आपको अवयवों के चिह्नों का उपयोग करना होगा।

एक उपयोगी निर्णय सारणी है:

क्षैतिज दिशा से छोटा कोण निकालते समय अक्सर अवयवों के परिमाणों का उपयोग करना सबसे स्पष्ट होता है:

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{|R_y|}{|R_x|}\right) \]

फिर दिशा को सही ढंग से बताने के लिए चिह्नों का उपयोग करें।

07आकर्षक लेकिन गलत तरीका: परिमाणों को जोड़ना

मान लीजिए 10 N का एक बल पूर्व की ओर और दूसरा 10 N का बल उत्तर की ओर कार्य करता है।

परिणामी परिमाण कितना है?

एक विद्यार्थी अनुमान लगा सकता है कि उत्तर 20 N होगा, क्योंकि दो 10 N के बल हैं। यह केवल तभी सही होता जब दोनों बल एक ही दिशा में होते।

लंबवत बलों के लिए,

\[ R = \sqrt{10^2 + 10^2} = 14.1\text{ N} \]

यह 20 N से कम क्यों है?

क्योंकि कोई भी बल परिणामी सदिश की दिशा में अपने पूरे 10 N का योगदान नहीं देता। दोनों बल अलग-अलग दिशाओं में हैं।

इससे हमें सीमाओं के बारे में भी एक उपयोगी बात पता चलती है। दो शून्येतर लंबवत अवयवों के लिए परिणामी परिमाण:

• किसी भी एकल अवयव से बड़ा होना चाहिए
• उनके परिमाणों के योग से छोटा होना चाहिए

10 N और 10 N के अवयवों के लिए:

\[ 10\text{ N} < 14.1\text{ N} < 20\text{ N} \]

कैलकुलेटर की गलतियाँ पकड़ने का यह एक तेज तरीका है।

08यदि कोई अवयव शून्य हो तो क्या होता है?

जब \(R_x = 0\) हो, तब स्पर्शज्या विधि का उपयोग सावधानी से करना चाहिए।

मान लीजिए

\[ R_x = 0, \qquad R_y = -7\text{ m/s} \]

कोई क्षैतिज अवयव है ही नहीं। सदिश सीधे दक्षिण की ओर है और उसका परिमाण 7 m/s है।

यह गणना करने का प्रयास

\[ \tan^{-1}\left(\frac{7}{0}\right) \]

अनावश्यक है। अवयव पहले ही दिशा बता देते हैं।

एक और भी रोचक सीमांत स्थिति है:

\[ R_x = 0, \qquad R_y = 0 \]

तब

\[ R = 0 \]

शून्य सदिश की कोई परिभाषित दिशा नहीं होती। किसी दिशा में संकेत करने के लिए कोई तीर ही नहीं है।

यह तब महत्वपूर्ण होता है जब दो या अधिक सदिश एक-दूसरे को बिल्कुल रद्द कर देते हैं।

09एक विश्वसनीय विधि

जब आपको लंबवत अवयवों को संयोजित करना हो, तो इस क्रम का उपयोग करें:

1. धनात्मक \(x\) और धनात्मक \(y\) दिशाएँ चुनें।
2. प्रत्येक अवयव को सही चिह्न के साथ लिखें।
3. \(R_x\) ज्ञात करने के लिए सभी \(x\)-अवयव जोड़ें।
4. \(R_y\) ज्ञात करने के लिए सभी \(y\)-अवयव जोड़ें।
5. परिमाण के लिए \(R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}\) का उपयोग करें।
6. संदर्भ कोण ज्ञात करने के लिए अवयवों के अनुपात का उपयोग करें।
7. वास्तविक दिशा बताने के लिए \(R_x\) और \(R_y\) के चिह्नों का उपयोग करें।
8. जाँचें कि परिमाण और चतुर्थांश भौतिक रूप से उचित हैं या नहीं।

चरण 7 को न छोड़ें। व्युत्क्रम स्पर्शज्या की गणना आपको कोण तो दे सकती है, लेकिन पूरी भौतिक दिशा नहीं बताती।

10प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

किसी बल का क्षैतिज अवयव 5.0 N पूर्व और ऊर्ध्वाधर अवयव 12.0 N उत्तर है। बल का परिमाण और दिशा ज्ञात करें।

समाधान 1

बल 13.0 N, पूर्व से उत्तर की ओर \(67.4^\circ\) है।

पूर्व और उत्तर को धनात्मक मानें:

\[ R_x = 5.0\text{ N}, \qquad R_y = 12.0\text{ N} \]

परिमाण है

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(5.0)^2 + (12.0)^2} = \sqrt{169} = 13.0\text{ N} \]

पूर्व से मापी गई दिशा है

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{12.0}{5.0}\right) = 67.4^\circ \]

दोनों अवयव धनात्मक हैं, इसलिए सदिश उत्तर-पूर्व दिशा में है।

अतः,

\[ \boxed{R = 13.0\text{ N, पूर्व से उत्तर की ओर }67.4^\circ} \]

यह परिणाम उचित है क्योंकि 13.0 N किसी भी एक अवयव से बड़ा है, लेकिन \(5.0 + 12.0 = 17.0\text{ N}\) से छोटा है।

प्रश्न 2

भूमि के सापेक्ष एक ड्रोन के वेग के अवयव 8.0 m/s पश्चिम और 15.0 m/s उत्तर हैं। उसकी चाल और दिशा ज्ञात करें।

समाधान 2

ड्रोन का वेग 17.0 m/s, पश्चिम से उत्तर की ओर \(61.9^\circ\) है।

पूर्व को धनात्मक \(x\) और उत्तर को धनात्मक \(y\) मानते हुए:

\[ R_x = -8.0\text{ m/s}, \qquad R_y = 15.0\text{ m/s} \]

चाल, वेग का परिमाण है:

\[ R = \sqrt{(-8.0)^2 + (15.0)^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17.0\text{ m/s} \]

क्षैतिज दिशा से संदर्भ कोण के लिए:

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{15.0}{8.0}\right) = 61.9^\circ \]

ऋणात्मक \(x\)-अवयव और धनात्मक \(y\)-अवयव सदिश को उत्तर-पश्चिम चतुर्थांश में रखते हैं।

अतः,

\[ \boxed{R = 17.0\text{ m/s, पश्चिम से उत्तर की ओर }61.9^\circ} \]

एक सामान्य गलती \(61.9^\circ\) पूर्व से उत्तर की ओर लिखना है। कैलकुलेटर संदर्भ कोण का परिमाण देता है, लेकिन अवयवों के चिह्न यह निर्धारित करते हैं कि सही चतुर्थांश कौन-सा है।

प्रश्न 3

किसी सदिश के प्रारंभिक अवयव 6.0 N पूर्व और 8.0 N उत्तर हैं। फिर उसके पूर्व की ओर वाले अवयव को दोगुना कर दिया जाता है, जबकि उत्तर की ओर वाला अवयव अपरिवर्तित रहता है।

एक विद्यार्थी दावा करता है कि सदिश का परिमाण भी अवश्य दोगुना हो जाएगा। निर्धारित करें कि यह दावा सही है या नहीं, और नया परिमाण तथा दिशा ज्ञात करें।

समाधान 3

दावा गलत है। नए सदिश का परिमाण 14.4 N, पूर्व से उत्तर की ओर \(33.7^\circ\) है, न कि प्रारंभिक परिमाण का दोगुना।

प्रारंभ में,

\[ R_x = 6.0\text{ N}, \qquad R_y = 8.0\text{ N} \]

अतः

\[ R_{\text{initial}} = \sqrt{6.0^2 + 8.0^2} = 10.0\text{ N} \]

पूर्व की ओर वाला अवयव दोगुना होने के बाद:

\[ R_x = 12.0\text{ N}, \qquad R_y = 8.0\text{ N} \]

नया परिमाण है

\[ R_{\text{new}} = \sqrt{12.0^2 + 8.0^2} = \sqrt{208} = 14.4\text{ N} \]

दिशा है

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{8.0}{12.0}\right) = 33.7^\circ \]

अतः,

\[ \boxed{R_{\text{new}} = 14.4\text{ N, पूर्व से उत्तर की ओर }33.7^\circ} \]

एक अवयव को दोगुना करने से पूरा सदिश दोगुना नहीं होता, क्योंकि दूसरा अवयव नहीं बदला है। दिशा भी बदलती है: परिणामी सदिश पूर्व की दिशा के अधिक निकट घूम जाता है क्योंकि पूर्व की ओर वाला अवयव अब अधिक प्रभावी हो गया है।

प्रश्न 4

किसी वस्तु पर चार अवयवी बल कार्य करते हैं:

• 9.0 N पूर्व
• 4.0 N पश्चिम
• 12.0 N दक्षिण
• 7.0 N उत्तर

परिणामी बल का परिमाण और दिशा ज्ञात करें।

एक विद्यार्थी इसके बजाय चारों परिमाणों को जोड़कर 32 N लिखता है। त्रुटि समझाइए।

समाधान 4

परिणामी बल 7.07 N, पूर्व से दक्षिण की ओर \(45.0^\circ\) है। 32 N का उत्तर गलत है क्योंकि विपरीत अवयव आंशिक रूप से एक-दूसरे को रद्द करते हैं; वे सभी एक ही दिशा में योगदान नहीं देते।

पहले क्षैतिज अवयवों को जोड़ें:

\[ R_x = 9.0 - 4.0 = 5.0\text{ N} \]

अतः परिणामी क्षैतिज अवयव 5.0 N पूर्व की ओर है।

अब ऊर्ध्वाधर अवयवों को जोड़ें:

\[ R_y = 7.0 - 12.0 = -5.0\text{ N} \]

अतः परिणामी ऊर्ध्वाधर अवयव 5.0 N दक्षिण की ओर है।

परिमाण है

\[ R = \sqrt{(5.0)^2 + (-5.0)^2} = \sqrt{50} = 7.07\text{ N} \]

संदर्भ कोण है

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{5.0}{5.0}\right) = 45.0^\circ \]

क्योंकि \(R_x\) धनात्मक और \(R_y\) ऋणात्मक है, इसलिए परिणामी सदिश दक्षिण-पूर्व की ओर है।

अतः,

\[ \boxed{R = 7.07\text{ N, पूर्व से दक्षिण की ओर }45.0^\circ} \]

\(9.0 + 4.0 + 12.0 + 7.0\) जोड़ना प्रत्येक बल को ऐसे मानता है जैसे वे सभी एक ही रेखा पर एक ही दिशा में कार्य कर रहे हों। यह रद्द होने के प्रभाव और अंतिम क्षैतिज तथा ऊर्ध्वाधर अवयवों के बीच लंबवत संबंध-दोनों को अनदेखा करता है।

प्रश्न 5

किसी वस्तु पर सभी बल-अवयवों को जोड़ने के बाद परिणाम है

\[ R_x = 0\text{ N}, \qquad R_y = 0\text{ N} \]

एक विद्यार्थी लिखता है, “परिमाण शून्य है, इसलिए दिशा अवश्य \(0^\circ\) होगी।”

क्या यह सही है? समझाइए कि परिणामी सदिश वास्तव में वस्तु के बारे में क्या बताता है।

समाधान 5

विद्यार्थी का निष्कर्ष गलत है। परिणामी बल का परिमाण 0 N है और उसकी कोई परिभाषित दिशा नहीं है।

परिमाण के समीकरण का उपयोग करने पर:

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0\text{ N} \]

लेकिन दिशा यह बताती है कि कोई शून्येतर सदिश किस ओर संकेत करता है। शून्य सदिश की कोई लंबाई नहीं होती, इसलिए ऐसा कोई तीर नहीं है जिसकी दिशा मापी जा सके। उसकी दिशा को \(0^\circ\) कहना गलत रूप से यह संकेत देगा कि वह पूर्व की ओर है।

शून्य परिणामी बल का यह अर्थ भी नहीं है कि वस्तु अवश्य स्थिर है। न्यूटन के दूसरे नियम से,

\[ \vec F_{\text{net}} = m\vec a \]

इसलिए शून्य परिणामी बल का अर्थ है

\[ \vec a = 0 \]

उस वस्तु के लिए जिसका द्रव्यमान शून्य नहीं है। इसलिए उसका वेग स्थिर रहता है। वस्तु स्थिर हो सकती है, या वह पहले से स्थिर वेग से गतिशील हो सकती है।

यह सीमांत स्थिति एक उपयोगी स्मरण है कि अवयव आपको कैलकुलेटर से अधिक जानकारी देते हैं। कोई कोण निकालने से पहले, यह पूछें कि क्या वास्तव में कोई शून्येतर परिणामी सदिश है जिसकी दिशा ज्ञात करनी है।

जब आप लंबवत अवयवों को जोड़ना और उनसे परिणामी सदिश प्राप्त करना सीख लेते हैं, तो अगला चरण है किसी सदिश को विपरीत प्रक्रिया से अवयवों में विभाजित करना: परिमाण और कोण से शुरुआत करके उसके \(x\)- और \(y\)-अवयव ज्ञात करना। यह वही ज्यामिति है जिसे उलटी दिशा में लागू किया जाता है, और इसी से कोण पर लगे बलों, वेगों, क्षेत्रों और प्रक्षेप्य गति को अवयव-दर-अवयव संभाला जा सकता है।