HSC भौतिकी के लिए सदिशों को घटकों में विभाजित करना

एक बचाव ड्रोन क्षैतिज से \(30^\circ\) ऊपर की दिशा में \(500\text{ N}\) के बल से खींचता है। ड्रोन “क्षैतिज रूप से 500 N और ऊर्ध्वाधर रूप से 500 N” नहीं खींचता। ऐसा करने पर हम अतिरिक्त बल गढ़ रहे होंगे। इसके बजाय, एक ही \(500\text{ N}\) का बल इन दोनों दिशाओं के बीच विभाजित होता है।

कुछ भी गणना करने से पहले यह अनुमान लगाइए: क्या क्षैतिज घटक \(500\text{ N}\) से अधिक, कम, या उसके बराबर होना चाहिए?

यह \(500\text{ N}\) से कम होना चाहिए। मूल सदिश झुका हुआ है, इसलिए उसका केवल एक भाग क्षैतिज दिशा में है। बाकी भाग ऊर्ध्वाधर दिशा में है। किसी सदिश को घटकों में विभाजित करना यह पता लगाने की प्रक्रिया है कि उसका कितना भाग प्रत्येक परस्पर लंबवत दिशा में है।

01किसी सदिश को घटकों में विभाजित करने का क्या अर्थ है?

एक सदिश में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। बल, वेग, विस्थापन, त्वरण और संवेग सभी सदिश हैं।

मान लीजिए कोई बल तिरछा ऊपर और दाईं ओर निर्देशित है। उस असुविधाजनक तिरछी दिशा के साथ सीधे काम करने के बजाय, हम गणितीय रूप से उसे दो परस्पर लंबवत घटकों से दर्शा सकते हैं:

• एक क्षैतिज घटक
• एक ऊर्ध्वाधर घटक

ये दोनों घटक मिलकर मूल सदिश के बिल्कुल समान प्रभाव को दर्शाते हैं।

कल्पना कीजिए कि कोई व्यक्ति एक आयताकार पार्क में तिरछे चल रहा है। आप उसके विस्थापन को एक तिरछी यात्रा के रूप में बता सकते हैं, या पूर्व दिशा में कुछ दूरी और उत्तर दिशा में कुछ दूरी के योग के रूप में। वास्तव में उसे इन दोनों अलग-अलग रास्तों पर चलना आवश्यक नहीं था। घटक केवल उसी विस्थापन को व्यक्त करने का एक दूसरा तरीका हैं।

इस उपमा की एक सीमा है। सदिश घटक आवश्यक रूप से अलग-अलग घटनाएँ नहीं हैं जो एक के बाद एक घटती हों। वे एक ही सदिश के एक साथ मौजूद गणितीय भाग हैं।

02परस्पर लंबवत घटक उपयोगी क्यों हैं

जब हम ऐसी अक्षें चुनते हैं जो समस्या के अनुरूप हों, तो भौतिकी बहुत आसान हो जाती है।

कई HSC समस्याओं में हम उपयोग करते हैं:

• क्षैतिज गति के लिए \(x\)-अक्ष
• ऊर्ध्वाधर गति के लिए \(y\)-अक्ष

तब किसी तिरछे बल को प्रत्येक दिशा में अलग-अलग संभाला जा सकता है। न्यूटन के नियमों को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में अलग-अलग लागू किया जा सकता है, प्रक्षेप्य गति का एक समय में एक अक्ष पर विश्लेषण किया जा सकता है, और ढलानों पर लगने वाले बलों की तुलना अधिक स्पष्ट रूप से की जा सकती है।

महत्वपूर्ण विचार यह है:

किसी सदिश को घटकों में विभाजित करने से सदिश नहीं बदलता। केवल उसे वर्णित करने का तरीका बदलता है।

03घटकों के पीछे की त्रिकोणमिति

किसी सदिश को घटकों में विभाजित करने पर एक समकोण त्रिभुज बनता है।

मान लीजिए किसी सदिश का परिमाण \(V\) है और वह धनात्मक क्षैतिज अक्ष से ऊपर की ओर \(\theta\) कोण बनाता है।

इसके घटक हैं:

\[ V_x = V\cos\theta \]

\[ V_y = V\sin\theta \]

यहाँ:

• \(V\) मूल सदिश का परिमाण है
• \(V_x\) उसका क्षैतिज घटक है
• \(V_y\) उसका ऊर्ध्वाधर घटक है
• \(\theta\) धनात्मक क्षैतिज दिशा से मापा गया कोण है

क्षैतिज दिशा में कोसाइन और ऊर्ध्वाधर दिशा में साइन क्यों?

मूल त्रिकोणमितीय अनुपात याद कीजिए:

\[ \cos\theta = \frac{\text{सन्निकट भुजा}}{\text{कर्ण}}, \qquad \sin\theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} \]

हमारे सदिश त्रिभुज में मूल सदिश \(V\) कर्ण है। यदि \(\theta\) को क्षैतिज दिशा से मापा गया है, तो \(V_x\) कोण की सन्निकट भुजा है और \(V_y\) सम्मुख भुजा है।

इसलिए:

\[ \cos\theta = \frac{V_x}{V} \]

जिसे पुनर्व्यवस्थित करने पर \(V_x = V\cos\theta\) मिलता है।

इसी प्रकार:

\[ \sin\theta = \frac{V_y}{V} \]

इसलिए \(V_y = V\sin\theta\)।

घटकों के सूत्र यहीं से आते हैं। ये ऐसे सूत्र नहीं हैं जिन्हें त्रिकोणमिति से अलग करके याद करना चाहिए।

04“कोसाइन हमेशा क्षैतिज होता है” याद न करें

यह घटकों से जुड़ी सबसे आसान गलतियों में से एक है।

मान लीजिए उसी सदिश को इस बार क्षैतिज के बजाय ऊर्ध्वाधर दिशा से मापे गए कोण द्वारा बताया गया है। अब कौन-सा घटक उस कोण के सन्निकट है?

ऊर्ध्वाधर घटक।

इसलिए इस स्थिति में:

\[ V_y = V\cos\theta \]

और

\[ V_x = V\sin\theta \]

उपयोगी नियम “क्षैतिज का मतलब कोसाइन” नहीं है।

उपयोगी नियम है:

• सन्निकट घटक: कोसाइन का उपयोग करें
• सम्मुख घटक: साइन का उपयोग करें

हमेशा देखें कि कोण कहाँ से खींचा गया है।

05घटकों के लिए केवल परिमाण नहीं, चिह्न भी आवश्यक हैं

अब तक हमारा सदिश ऊपर और दाईं ओर निर्देशित था। दोनों घटक धनात्मक थे।

लेकिन सदिश किसी भी दिशा में हो सकते हैं। सदिशों को घटकों में विभाजित करने से पहले एक चिह्न परंपरा चुनें।

एक सामान्य चुनाव है:

• दाईं ओर धनात्मक \(x\)
• बाईं ओर ऋणात्मक \(x\)
• ऊपर की ओर धनात्मक \(y\)
• नीचे की ओर ऋणात्मक \(y\)

चिह्न किसी घटक की दिशा बताता है। यह स्वयं त्रिकोणमिति का हिस्सा नहीं है।

उदाहरण के लिए, नीचे और दाईं ओर निर्देशित वेग में:

• धनात्मक \(x\)-घटक
• ऋणात्मक \(y\)-घटक

ऊपर और बाईं ओर निर्देशित बल में:

• ऋणात्मक \(x\)-घटक
• धनात्मक \(y\)-घटक

06कैलकुलेटर इस्तेमाल करने से पहले दिशा तय करें

मान लीजिए कोई वेग नीचे और बाईं ओर निर्देशित है।

गणना करने से पहले ही आप जानते हैं कि:

\[ v_x < 0 \]

और

\[ v_y < 0 \]

यह पूर्वानुमान उपयोगी है। यदि बाद में आपका कैलकुलेटर दो धनात्मक संख्याएँ देता है, तो आप जान जाएंगे कि आपने अभी तक दिशाओं को शामिल नहीं किया है।

एक सुरक्षित तरीका है:

1. समकोण त्रिभुज का उपयोग करके घटकों के परिमाण ज्ञात करें
2. आरेख और चुनी हुई अक्षों के आधार पर प्रत्येक घटक को उसका चिह्न दें

असामान्य कोणों के लिए कैलकुलेटर से मिलने वाले चिह्नों पर निर्भर रहने की तुलना में यह तरीका अक्सर अधिक स्पष्ट होता है।

07पाइथागोरस से एक त्वरित जाँच

घटकों को दोबारा मिलाने पर मूल सदिश का परिमाण मिलना चाहिए।

क्योंकि घटक परस्पर लंबवत हैं:

\[ V^2 = V_x^2 + V_y^2 \]

इसलिए:

\[ V = \sqrt{V_x^2 + V_y^2} \]

पिछले उदाहरण के लिए:

\[ \sqrt{(-7.61)^2 + (-16.3)^2} \approx 18.0\text{ m s}^{-1} \]

वर्ग करने पर ऋणात्मक चिह्न गायब हो जाते हैं, जो उचित है। पाइथागोरस परिमाण की जाँच करता है, दिशा की नहीं।

यह त्रुटि जाँचने का एक उपयोगी तरीका है। यदि आपके घटकों से प्राप्त परिमाण मूल सदिश के आसपास भी नहीं है, तो कहीं न कहीं गलती हुई है।

08घटक ऐसे हिस्से नहीं हैं जिन्हें सामान्य रूप से जोड़ा जाए

एक आकर्षक लेकिन गलत विचार यह है कि यदि किसी \(100\text{ N}\) बल के घटक \(F_x\) और \(F_y\) हैं, तो:

\[ F_x + F_y = 100\text{ N} \]

यह सामान्यतः गलत है।

यह उचित क्यों लग सकता है? क्योंकि साधारण राशियाँ अक्सर ऐसे भागों में बाँटी जाती हैं जिन्हें सीधे जोड़ा जा सकता है। यदि $100 को दो लोगों के बीच बाँटा जाए, तो उनकी राशियों का योग $100 होगा।

परस्पर लंबवत सदिश घटक इस तरह काम नहीं करते। वे अलग-अलग दिशाओं में निर्देशित होते हैं। उनका सदिश योग मूल सदिश देता है।

उदाहरण के लिए, \(45^\circ\) पर \(100\text{ N}\) के बल के घटक हैं:

\[ F_x = 100\cos45^\circ = 70.7\text{ N} \]

\[ F_y = 100\sin45^\circ = 70.7\text{ N} \]

इनका साधारण संख्यात्मक योग \(141.4\text{ N}\) है, लेकिन मूल सदिश किसी तरह बड़ा नहीं हो गया है।

पाइथागोरस का उपयोग करने पर:

\[ F = \sqrt{70.7^2 + 70.7^2} \approx 100\text{ N} \]

परस्पर लंबवत घटक ज्यामितीय रूप से संयोजित होते हैं, केवल उनके परिमाणों को जोड़ने से नहीं।

09अक्षों का चुनाव समस्या को आसान बना सकता है

क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अक्ष सामान्य हैं, लेकिन अनिवार्य नहीं हैं।

कल्पना कीजिए कि कोई ब्लॉक एक ढलान पर रखा है। यदि आप सामान्य क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अक्ष चुनते हैं, तो कई बल असुविधाजनक कोणों पर हो सकते हैं। इसके बजाय, अक्सर यह चुनना बेहतर होता है:

• एक अक्ष ढलान के समानांतर
• एक अक्ष ढलान के लंबवत

तब आप भार बल को इन अक्षों के अनुदिश घटकों में विभाजित कर सकते हैं।

यह वही सदिश विधि है। केवल निर्देशांक तंत्र बदला है।

भौतिकी को इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप कौन-सी अक्षें चुनते हैं। समझदारी से किया गया चुनाव केवल समीकरणों को आसान बनाता है।

10HSC प्रश्नों के लिए एक विश्वसनीय विधि

किसी सदिश को घटकों में विभाजित करते समय यह क्रम अपनाएँ:

1. सदिश और अक्षों को बनाएँ या ध्यान से देखें।
2. धनात्मक दिशाएँ चुनें।
3. प्रत्येक घटक के चिह्न का अनुमान लगाएँ।
4. दिए गए कोण की स्थिति पहचानें।
5. सन्निकट और सम्मुख घटकों की पहचान करें।
6. सन्निकट घटक के लिए कोसाइन और सम्मुख घटक के लिए साइन का उपयोग करें।
7. सही चिह्न लगाएँ।
8. जाँचें कि घटक भौतिक रूप से उचित हैं।

यदि किसी सदिश का परिमाण \(V\) है और वह धनात्मक क्षैतिज अक्ष से \(\theta\) कोण बनाता है, तो यह अक्सर संक्षेप में इस रूप में लिखा जा सकता है:

\[ V_x = V\cos\theta, \qquad V_y = V\sin\theta \]

लेकिन यह संक्षिप्त सूत्र तभी सुरक्षित है जब आप समझते हों कि कोण किस दिशा से मापा गया है और आपकी अक्षों में कौन-सी दिशाएँ धनात्मक मानी गई हैं।

11प्रश्न और समाधान

प्रश्न 1

एक साइकिल चालक \(12.0\text{ m s}^{-1}\) की चाल से पूर्व से \(20^\circ\) उत्तर की ओर चलता है। पूर्व को धनात्मक \(x\) और उत्तर को धनात्मक \(y\) मानें।

साइकिल चालक के वेग के पूर्वमुखी और उत्तरमुखी घटक ज्ञात कीजिए।

समाधान 1

घटक लगभग \(11.3\text{ m s}^{-1}\) पूर्व दिशा में और \(4.10\text{ m s}^{-1}\) उत्तर दिशा में हैं।

कोण पूर्वमुखी क्षैतिज दिशा से मापा गया है, इसलिए पूर्वमुखी घटक सन्निकट है और उत्तरमुखी घटक सम्मुख है।

\[ v_x = v\cos\theta \]

\[ v_y = v\sin\theta \]

\(v = 12.0\text{ m s}^{-1}\) और \(\theta = 20^\circ\) रखने पर:

\[ v_x = 12.0\cos20^\circ = 11.28\text{ m s}^{-1} \]

\[ v_y = 12.0\sin20^\circ = 4.10\text{ m s}^{-1} \]

अतः:

\[ v_x \approx 11.3\text{ m s}^{-1}, \qquad v_y \approx 4.10\text{ m s}^{-1} \]

दोनों घटक धनात्मक हैं क्योंकि वेग पूर्व और उत्तर दिशाओं की ओर है।

प्रश्न 2

\(75.0\text{ N}\) का एक बल ऊर्ध्वाधर ऊपर की दिशा से \(40^\circ\) दाईं ओर कार्य करता है। दाईं ओर को धनात्मक \(x\) और ऊपर की ओर को धनात्मक \(y\) मानें।

बल के \(x\)- और \(y\)-घटक ज्ञात कीजिए।

समाधान 2

घटक धनात्मक \(x\)-दिशा में \(48.2\text{ N}\) और धनात्मक \(y\)-दिशा में \(57.5\text{ N}\) हैं।

यहाँ ध्यान देने वाली बात यह है कि कोण ऊर्ध्वाधर दिशा से मापा गया है, क्षैतिज दिशा से नहीं। इसलिए ऊर्ध्वाधर घटक \(40^\circ\) कोण के सन्निकट है।

क्षैतिज घटक के लिए:

\[ F_x = F\sin\theta \]

\[ F_x = 75.0\sin40^\circ = 48.2\text{ N} \]

ऊर्ध्वाधर घटक के लिए:

\[ F_y = F\cos\theta \]

\[ F_y = 75.0\cos40^\circ = 57.5\text{ N} \]

अतः:

\[ F_x = +48.2\text{ N}, \qquad F_y = +57.5\text{ N} \]

सिर्फ इसलिए कि “क्षैतिज का मतलब कोसाइन” है, क्षैतिज घटक के लिए कोसाइन का उपयोग करने पर दोनों उत्तर आपस में बदल जाएंगे।

प्रश्न 3

एक छोटे विमान का वायु के सापेक्ष वेग \(65.0\text{ m s}^{-1}\) है और उसकी दिशा पश्चिम से \(32^\circ\) दक्षिण की ओर है।

पूर्व को धनात्मक \(x\) और उत्तर को धनात्मक \(y\) मानें।

वेग के घटक ज्ञात कीजिए और सत्यापित कीजिए कि उनसे मूल चाल पुनः प्राप्त होती है।

समाधान 3

वेग के घटक लगभग \(x\)-दिशा में \(-55.1\text{ m s}^{-1}\) और \(y\)-दिशा में \(-34.4\text{ m s}^{-1}\) हैं, और वे मिलकर \(65.0\text{ m s}^{-1}\) की मूल चाल देते हैं।

पश्चिम ऋणात्मक \(x\) है और दक्षिण ऋणात्मक \(y\) है। \(32^\circ\) का कोण पश्चिम दिशा से मापा गया है, जो क्षैतिज है।

क्षैतिज घटक का परिमाण है:

\[ |v_x| = v\cos\theta \]

\[ |v_x| = 65.0\cos32^\circ = 55.1\text{ m s}^{-1} \]

अतः:

\[ v_x = -55.1\text{ m s}^{-1} \]

ऊर्ध्वाधर घटक का परिमाण है:

\[ |v_y| = v\sin\theta \]

\[ |v_y| = 65.0\sin32^\circ = 34.4\text{ m s}^{-1} \]

अतः:

\[ v_y = -34.4\text{ m s}^{-1} \]

परिमाण की जाँच:

\[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(-55.1)^2 + (-34.4)^2} \approx 65.0\text{ m s}^{-1} \]

यह जाँच पुष्टि करती है कि घटकों के परिमाण मूल वेग के अनुरूप हैं। इसके बाद चिह्न हमें बताते हैं कि विमान पश्चिम और दक्षिण की ओर चल रहा है।

प्रश्न 4

एक विद्यार्थी \(90.0\text{ N}\) के बल को घटकों में विभाजित करके दाईं ओर \(72.0\text{ N}\) और ऊपर की ओर \(54.0\text{ N}\) प्राप्त करता है।

दूसरा विद्यार्थी कहता है कि उत्तर अवश्य गलत है क्योंकि \(72.0 + 54.0 = 126.0\text{ N}\), जो मूल \(90.0\text{ N}\) से अधिक है।

निर्धारित कीजिए कि क्या ये घटक संभव हैं, और समझाइए कि किस विद्यार्थी का तर्क सही है।

समाधान 4

ये घटक संभव हैं, और दूसरे विद्यार्थी का तर्क गलत है।

परस्पर लंबवत सदिश घटकों का संख्यात्मक योग मूल परिमाण के बराबर होना आवश्यक नहीं है। वे पाइथागोरस के अनुसार संयोजित होते हैं क्योंकि वे एक-दूसरे से \(90^\circ\) पर निर्देशित होते हैं।

प्रस्तावित घटकों से बनने वाला परिमाण है:

\[ F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} \]

\[ F = \sqrt{(72.0)^2 + (54.0)^2} = \sqrt{5184 + 2916} = \sqrt{8100} = 90.0\text{ N} \]

इसलिए ये घटक मूल \(90.0\text{ N}\) बल को बिल्कुल पुनः प्राप्त करते हैं।

आकर्षक लेकिन गलत विचार यह है कि परस्पर लंबवत सदिश घटकों को साधारण अदिश भागों की तरह माना जाए। उनका अंकगणितीय योग \(126.0\text{ N}\), मूल बल के परिमाण के रूप में कोई उपयोगी अर्थ नहीं रखता।

प्रश्न 5

एक बल का परिमाण \(120\text{ N}\) है। उसका क्षैतिज घटक \(+120\text{ N}\) है।

एक विद्यार्थी तर्क देता है कि बल का ऊर्ध्वाधर घटक फिर भी शून्य से भिन्न हो सकता है क्योंकि प्रश्न में केवल क्षैतिज घटक दिया गया है।

क्या यह संभव है? केवल आरेख पर निर्भर हुए बिना अपने उत्तर का औचित्य बताइए।

समाधान 5

नहीं। यदि कुल बल का परिमाण \(120\text{ N}\) है और उसके क्षैतिज घटक का परिमाण पहले से ही \(120\text{ N}\) है, तो उसका ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होना ही चाहिए।

किसी सदिश के परिमाण और उसके परस्पर लंबवत घटकों के बीच संबंध है:

\[ F^2 = F_x^2 + F_y^2 \]

\(F = 120\text{ N}\) और \(F_x = 120\text{ N}\) रखने पर:

\[ (120)^2 = (120)^2 + F_y^2 \]

दोनों पक्षों से \((120)^2\) घटाने पर:

\[ F_y^2 = 0 \]

अतः:

\[ F_y = 0\text{ N} \]

कोई भी शून्य से भिन्न ऊर्ध्वाधर घटक

\[ \sqrt{F_x^2 + F_y^2} \]

को \(120\text{ N}\) से अधिक बना देगा।

यह एक उपयोगी सीमांत स्थिति है। कोई घटक किसी सदिश के पूरे परिमाण के बराबर केवल तभी हो सकता है जब सदिश पूरी तरह उसी घटक की अक्ष के अनुदिश हो।

12घटकों की समझ आपको आगे कहाँ ले जाती है

जब आप सदिशों को विश्वसनीय रूप से घटकों में विभाजित करना सीख लेते हैं, तो HSC Physics की कई अवधारणाएँ बहुत अधिक समझने योग्य हो जाती हैं। आप प्रक्षेप्य के वेग को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गति में अलग कर सकते हैं, झुके हुए तल पर बलों को घटकों में विभाजित कर सकते हैं, और चुनी हुई अक्षों के अनुदिश न्यूटन के नियमों को स्वतंत्र रूप से लागू कर सकते हैं।

अगला कदम त्रिकोणमिति के किसी और जोड़े सूत्र को सीखना नहीं है। अगला कदम ऐसी अक्षें चुनना सीखना है जो भौतिकी को सरल बना दें, फिर प्रत्येक दिशा को उसके अपने समीकरण के रूप में संभालना है, जबकि यह याद रखना है कि दोनों समीकरण उसी एक भौतिक परिस्थिति का वर्णन करते हैं।