क्रॉसविंड में विमान: हेडिंग, ग्राउंड ट्रैक और हवा
जानिए कि वायु-सापेक्ष वेग और पवन वेग मिलकर विमान का ग्राउंड ट्रैक कैसे निर्धारित करते हैं। इसमें हल किए हुए HSC Physics उदाहरण, सामान्य भ्रांतियाँ और चुनौतीपूर्ण अभ्यास शामिल हैं।
एक विमान ठीक पूर्व की ओर मुंह किए हुए है, उसका इंजन हवा के सापेक्ष एक स्थिर चाल बनाए रखता है, फिर भी जमीन से देखने वाला व्यक्ति उसे उत्तर-पूर्व की ओर बहते हुए देखता है।
किसी चीज़ ने विमान की नाक को घुमाकर दूसरी दिशा में नहीं किया है। तो फिर वह जिस दिशा में मुंह किए हुए है, उससे अलग दिशा में कैसे जा सकता है?
आगे पढ़ने से पहले एक अनुमान लगाइए। मान लीजिए कि विमान आसपास की हवा के सापेक्ष \(80\text{ m s}^{-1}\) की चाल से पूर्व की ओर चलता है, जबकि हवा उस वायु को \(20\text{ m s}^{-1}\) की चाल से उत्तर की ओर ले जा रही है। जमीन पर खड़ा व्यक्ति विमान को पूर्व की ओर, उत्तर की ओर, या दोनों के बीच किसी दिशा में चलता हुआ देखेगा?
दोनों के बीच किसी दिशा में। विमान का एक वेग हवा के सापेक्ष है, जबकि चलती हुई हवा का अपना एक वेग जमीन के सापेक्ष है। जमीन पर मौजूद प्रेक्षक को इन दोनों का संयुक्त प्रभाव दिखाई देता है।
यही एक विचार विमान की हेडिंग और उसके ग्राउंड ट्रैक के बीच का अंतर समझाता है।
01एक साथ हो रही दो गतियों से शुरू करें
कल्पना कीजिए कि आप किसी हवाई अड्डे पर चलती हुई पट्टी के आर-पार सीधे चल रहे हैं।
पट्टी के सापेक्ष आप सीधे बगल की ओर बढ़ते हैं। लेकिन पट्टी स्वयं आपको आगे की ओर ले जाती है। स्थिर फर्श पर खड़ा व्यक्ति आपको तिरछी दिशा में चलता हुआ देखता है।
हवा में उड़ते विमान के साथ भी यही होता है:
- विमान आसपास की हवा के सापेक्ष चलता है
- हवा जमीन के सापेक्ष चलती है
- इसलिए, जमीन के सापेक्ष विमान का वेग इन दोनों गतियों के संयोजन से बनता है
यह उपमा उपयोगी है क्योंकि यह दोनों गतियों को अलग-अलग दिखाती है। इसकी सीमा यह है कि वास्तविक विमान अपनी चाल और दिशा बदल सकते हैं, जबकि हवाई अड्डे की चलती पट्टी सामान्यतः एक निश्चित गति से चलती है। फिर भी HSC के सदिश प्रश्नों के लिए, जोड़ का यही मूल विचार बिल्कुल वही है जिसकी हमें आवश्यकता है।
इस संबंध को हम इस प्रकार लिख सकते हैं
\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG} \]
जहाँ:
- \(\vec v_{PG}\) जमीन के सापेक्ष विमान का वेग है
- \(\vec v_{PA}\) हवा के सापेक्ष विमान का वेग है
- \(\vec v_{AG}\) जमीन के सापेक्ष हवा का वेग है, अर्थात पवन वेग
इन अधोलेखों को शाब्दिक रूप से पढ़ना उपयोगी है। \(PG\) का अर्थ है “जमीन के सापेक्ष विमान”। \(PA\) का अर्थ है “हवा के सापेक्ष विमान”। \(AG\) का अर्थ है “जमीन के सापेक्ष हवा”।
यह एक सदिश समीकरण है। दिशाएँ उतनी ही महत्वपूर्ण हैं जितने परिमाण।
02हेडिंग और ग्राउंड ट्रैक एक ही चीज़ नहीं हैं
हेडिंग वह दिशा है जिस ओर विमान का मुंह होता है।
सरलीकृत HSC मॉडल में, हवा के सापेक्ष विमान का वेग, \(\vec v_{PA}\), हेडिंग की दिशा में होता है।
ग्राउंड ट्रैक वह दिशा है जिसमें विमान वास्तव में पृथ्वी की सतह के ऊपर चलता है। यह \(\vec v_{PG}\) की दिशा है।
जब हवा नहीं चल रही हो,
\[ \vec v_{AG}=0 \]
तो
\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA} \]
और हेडिंग तथा ग्राउंड ट्रैक एक ही होते हैं।
क्रॉसविंड होने पर, सामान्यतः ऐसा नहीं होता।
यह अंतर आसानी से छूट सकता है, क्योंकि यांत्रिकी के पहले के कई प्रश्नों में किसी वस्तु की गति की दिशा बस वही होती है जिस दिशा में वह जा रही होती है। यहाँ हमें पूछना पड़ता है: किसके सापेक्ष जा रही है?
“के सापेक्ष” वाला यही वाक्यांश इस भौतिकी का अधिकांश भाग समझाता है।
03हल किया हुआ उदाहरण: पूर्व की ओर जा रहा विमान वास्तव में कौन-सा पथ अपनाता है?
एक विमान का हवा के सापेक्ष वेग \(80\text{ m s}^{-1}\) ठीक पूर्व की ओर है। पवन वेग \(20\text{ m s}^{-1}\) ठीक उत्तर की ओर है। विमान की जमीन के सापेक्ष चाल और उसके ग्राउंड ट्रैक की दिशा ज्ञात कीजिए।
चरण 1
हवा के सापेक्ष विमान का वेग है
\[ \vec v_{PA}=80\text{ m s}^{-1}\text{ पूर्व} \]
और पवन वेग है
\[ \vec v_{AG}=20\text{ m s}^{-1}\text{ उत्तर}. \]
क्योंकि पूर्व और उत्तर परस्पर लंबवत हैं, ये सदिश एक समकोण त्रिभुज की दो छोटी भुजाएँ बनाते हैं।
चरण 2
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके,
\[ \begin{aligned} v_{PG} &=\sqrt{(80)^2+(20)^2}\\ &=\sqrt{6800}\\ &=82.5\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
चरण 3
मान लें कि \(\theta\), पूर्व से उत्तर की ओर मापा गया कोण है।
\[ \begin{aligned} \tan\theta&=\frac{20}{80}\\ \theta&=\tan^{-1}(0.25)\\ &=14.0^\circ. \end{aligned} \]
अतः विमान का जमीन के सापेक्ष वेग लगभग
\[ \boxed{82.5\text{ m s}^{-1}\text{, पूर्व से }14.0^\circ\text{ उत्तर की ओर}}. \]
विमान की हेडिंग अभी भी पूर्व है, क्योंकि उसकी नाक और हवा के सापेक्ष उसका वेग उसी ओर हैं। उसका ग्राउंड ट्रैक पूर्व से \(14.0^\circ\) उत्तर की ओर है, क्योंकि जब वह हवा के भीतर पूर्व की ओर उड़ता है, तो चलती हुई हवा उसे उत्तर की ओर भी ले जाती है।
एक थोड़ी आश्चर्यजनक बात पर ध्यान दें: जमीन के सापेक्ष चाल विमान की \(80\text{ m s}^{-1}\) की एयरस्पीड से अधिक है। क्रॉसविंड ने एक अतिरिक्त वेग घटक जोड़ दिया है, इसलिए परिणामी सदिश का परिमाण अधिक है।
04पायलट क्रॉसविंड की ओर क्यों मोड़ते हैं
मान लीजिए पिछले उदाहरण वाला विमान वास्तव में जमीन के ऊपर ठीक पूर्व की दिशा वाला ग्राउंड ट्रैक बनाए रखना चाहता है।
सिर्फ पूर्व की ओर मुंह करना काम नहीं करेगा। हवा का उत्तर की ओर घटक विमान को बहाव देगा।
पायलट को क्या करना चाहिए?
एक स्वाभाविक अनुमान यह है कि विमान को दक्षिण-पूर्व की ओर मुंह करना चाहिए, और यह सही है। हवा के सापेक्ष विमान के वेग में दक्षिण की ओर ऐसा घटक होना चाहिए जो उत्तर की ओर पवन वेग को ठीक-ठीक निरस्त कर दे।
इसे विंड करेक्शन कहा जाता है।
महत्वपूर्ण विचार यह नहीं है कि “हवा के विपरीत मुड़ो” जैसी कोई याद की हुई नियमावली अपनाई जाए। वास्तविक आवश्यकता है
\[ \text{विमान के वेग का पार्श्व घटक}+\text{पवन वेग का पार्श्व घटक}=0. \]
यदि ये घटक एक-दूसरे को निरस्त कर दें, तो परिणामी जमीनी वेग में कोई पार्श्व घटक नहीं रहता।
कल्पना कीजिए कि पहली डेट की थोड़ी अटपटी व्यवस्था है, जिसमें एक व्यक्ति लगातार उत्तर की ओर भटकता रहता है और दूसरा लगातार बातचीत को दक्षिण की ओर खींचता रहता है। यदि दोनों प्रवृत्तियाँ बराबर और विपरीत हों, तो किसी तरह यह जोड़ी पूर्व की ओर बढ़ती रह सकती है। यह उपमा सदिश घटकों के एक-दूसरे को निरस्त करने का प्रतिनिधित्व करती है। जैसे ही हम यह पूछना शुरू करते हैं कि दोनों में से कोई भी व्यक्ति इस तरह क्यों चल रहा है, यह उपमा उपयोगी नहीं रहती।
05हल किया हुआ उदाहरण: कौन-सी हेडिंग विमान को पूर्व की ओर ट्रैक पर रखती है?
एक विमान की एयरस्पीड \(100\text{ m s}^{-1}\) है। हवा \(30\text{ m s}^{-1}\) की चाल से उत्तर की ओर चलती है। पायलट चाहता है कि विमान का ग्राउंड ट्रैक ठीक पूर्व की ओर हो। आवश्यक हेडिंग और परिणामी जमीन के सापेक्ष चाल ज्ञात कीजिए।
चरण 1
हवा \(30\text{ m s}^{-1}\) का उत्तर की ओर घटक देती है।
परिणामी जमीनी वेग ठीक पूर्व की ओर होने के लिए, हवा के सापेक्ष विमान के वेग में इसलिए
\[ 30\text{ m s}^{-1} \]
का दक्षिण की ओर घटक होना चाहिए।
मान लें कि \(\theta\) वह कोण है जितना विमान को पूर्व से दक्षिण की ओर हेड करना चाहिए।
उसकी कुल एयरस्पीड \(100\text{ m s}^{-1}\) है, इसलिए
\[ 100\sin\theta=30. \]
चरण 2
\[ \begin{aligned} \sin\theta&=\frac{30}{100}\\ \theta&=\sin^{-1}(0.30)\\ &=17.5^\circ. \end{aligned} \]
इसलिए आवश्यक हेडिंग है
\[ \boxed{\text{पूर्व से }17.5^\circ\text{ दक्षिण की ओर}}. \]
चरण 3
विमान का पूर्व की ओर घटक है
\[ \begin{aligned} v_{\text{पूर्व}} &=100\cos(17.5^\circ)\\ &=95.4\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
हवा का कोई पूर्व-पश्चिम घटक नहीं है, इसलिए यही विमान की जमीन के सापेक्ष चाल भी है।
अतः,
\[ \boxed{v_{PG}=95.4\text{ m s}^{-1}\text{ ठीक पूर्व}}. \]
पायलट विमान को पूर्व से \(17.5^\circ\) दक्षिण की ओर मोड़ता है, लेकिन जमीन के ऊपर विमान ठीक पूर्व की ओर यात्रा करता है।
यहाँ एक महत्वपूर्ण समझौता भी है। विमान की निश्चित \(100\text{ m s}^{-1}\) एयरस्पीड का कुछ भाग क्रॉसविंड को निरस्त करने में उपयोग हो गया है, इसलिए पूर्व दिशा में केवल \(95.4\text{ m s}^{-1}\) ही उपलब्ध बचता है।
06घटक क्रॉसविंड के प्रश्नों को बहुत आसान बनाते हैं
सरल लंबवत सदिशों के लिए, अक्सर एक त्रिभुज ही पर्याप्त होता है। कम सुविधाजनक दिशाओं के लिए, प्रत्येक वेग को घटकों में विभाजित करें।
धनात्मक \(x\) दिशा को पूर्व और धनात्मक \(y\) दिशा को उत्तर चुनें।
तब
\[ v_{PG,x}=v_{PA,x}+v_{AG,x} \]
और
\[ v_{PG,y}=v_{PA,y}+v_{AG,y}. \]
परिणामी घटक ज्ञात हो जाने पर, उसका परिमाण है
\[ v_{PG}=\sqrt{v_{PG,x}^{\,2}+v_{PG,y}^{\,2}} \]
और उसकी दिशा त्रिकोणमिति का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है।
उदाहरण के लिए, यदि
\[ v_{PG,x}=70\text{ m s}^{-1} \]
और
\[ v_{PG,y}=25\text{ m s}^{-1}, \]
तो
\[ v_{PG}=\sqrt{70^2+25^2}=74.3\text{ m s}^{-1}. \]
पूर्व से उत्तर की ओर कोण है
\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{25}{70}\right)=19.7^\circ. \]
अतः वेग \(74.3\text{ m s}^{-1}\) है, जिसकी दिशा पूर्व से \(19.7^\circ\) उत्तर की ओर है।
मुख्य निर्णय हमेशा एक ही होता है: वेगों को एक ही निर्देशांक दिशाओं के सापेक्ष घटकों में विभाजित करें, फिर समान दिशा वाले घटकों को जोड़ें।
07हवा की दिशा को लेकर सावधान रहें
भौतिकी की गणना में, पवन वेग सदिश को उस दिशा का वर्णन करना चाहिए जिसमें हवा वास्तव में चल रही है।
इसलिए यदि हवा \(20\text{ m s}^{-1}\) की चाल से उत्तर की ओर चलती है, तो
\[ \vec v_{AG}=20\text{ m s}^{-1}\text{ उत्तर}. \]
रोजमर्रा की भाषा और मौसम-विज्ञान में हवा का वर्णन उस दिशा से भी किया जा सकता है जहाँ से हवा आती है। उदाहरण के लिए, “southerly” हवा सामान्यतः दक्षिण से आती है और उत्तर की ओर चलती है।
यह भाषा एक टाली जा सकने वाली चिह्न-संबंधी गलती पैदा कर सकती है।
HSC की गणना में, कोई भी गणित करने से पहले वर्णन को वास्तविक सदिश में बदलें:
हवा किस दिशा में चल रही है?
यह पता चल जाने के बाद, तीर उसी दिशा में बनाइए।
08सबसे सामान्य भ्रांति: हवा विमान को बगल की ओर धकेलती है
यह कहना कि “हवा विमान को उत्तर की ओर धकेलती है” कभी-कभी परिणाम की कल्पना करने में मदद कर सकता है, लेकिन इन सापेक्ष-वेग प्रश्नों के लिए यह सबसे स्पष्ट मॉडल नहीं है।
समीकरण
\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG} \]
अलग-अलग संदर्भ तंत्रों में मापे गए वेगों के बारे में है। यह बल का समीकरण नहीं है।
यह अंतर महत्वपूर्ण है क्योंकि वेग और बल अलग-अलग प्रश्नों के उत्तर देते हैं।
वेग की गणना आपको बताती है कि हवा के सापेक्ष विमान की गति, जमीन के सापेक्ष हवा की गति के साथ कैसे संयुक्त होती है।
बल की गणना में उत्थापन, ड्रैग, प्रणोद, त्वरण और न्यूटन के नियम जैसी राशियाँ शामिल होंगी। यह समझने के लिए वे महत्वपूर्ण हैं कि विमान अपना वेग कैसे स्थापित या परिवर्तित करता है, लेकिन केवल वायु-सापेक्ष वेग को जमीन-सापेक्ष वेग में बदलने के लिए उनकी आवश्यकता नहीं है।
इसलिए अपने-आप कोई “पवन बल” बनाकर \(F=ma\) लगाने की कोशिश न करें। यदि प्रश्न में वेग दिए गए हैं और हेडिंग, ट्रैक या जमीन के सापेक्ष चाल पूछी गई है, तो सामान्यतः यह सदिश जोड़ का प्रश्न है।
09एक उपयोगी सीमांत स्थिति
मान लीजिए किसी विमान की एयरस्पीड \(50\text{ m s}^{-1}\) है और क्रॉसविंड \(60\text{ m s}^{-1}\) की चाल से उत्तर की ओर चलती है। क्या पायलट ऐसी हेडिंग चुन सकता है जिससे ग्राउंड ट्रैक ठीक पूर्व की ओर हो?
गणना करने से पहले अनुमान लगाइए।
ठीक पूर्व की ओर जाने के लिए, विमान को हवा के सापेक्ष \(60\text{ m s}^{-1}\) का दक्षिण की ओर वेग घटक चाहिए होगा ताकि वह हवा को निरस्त कर सके।
लेकिन विमान की पूरी एयरस्पीड ही केवल \(50\text{ m s}^{-1}\) है।
\(50\text{ m s}^{-1}\) परिमाण वाले किसी सदिश का कोई भी घटक \(60\text{ m s}^{-1}\) परिमाण का नहीं हो सकता।
इसलिए यह असंभव है।
गणितीय रूप से, हमें चाहिए होगा
\[ 50\sin\theta=60, \]
जिससे मिलता है
\[ \sin\theta=1.2. \]
ऐसा कोई वास्तविक कोण नहीं है जिसकी sine का मान 1 से अधिक हो।
यह केवल कैलकुलेटर की त्रुटि नहीं है। इसका भौतिक अर्थ है: विमान इतनी अधिक पार्श्व वायु-सापेक्ष गति उत्पन्न नहीं कर सकता कि हवा को निरस्त कर सके।
यही वह सीमांत-स्थिति वाला तर्क है जो सदिश गणनाओं को वास्तविक भौतिकी में बदल देता है।
10HSC प्रश्नों के लिए एक विश्वसनीय विधि
जब भी आपको विमान और हवा का प्रश्न दिखाई दे, यह क्रम अपनाएँ:
संदर्भ तंत्रों को बताइए। हवा के सापेक्ष विमान का वेग और जमीन के सापेक्ष हवा का वेग पहचानिए।
सदिश संबंध लिखिए।
\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG} \]
निर्देशांक चुनिए। पूर्व-पश्चिम और उत्तर-दक्षिण आमतौर पर सुविधाजनक होते हैं।
कोण पर स्थित सदिशों को घटकों में विभाजित कीजिए।
चिह्नों के साथ घटकों को जोड़िए। यदि उत्तर और पूर्व को धनात्मक चुना गया है, तो दक्षिण और पश्चिम के घटक ऋणात्मक होंगे।
यदि आवश्यक हो, परिणामी सदिश का परिमाण और दिशा ज्ञात कीजिए।
दिशा की व्याख्या कीजिए। स्पष्ट रूप से बताइए कि यह हेडिंग है या ग्राउंड ट्रैक।
अंतिम चरण एक आश्चर्यजनक रूप से सामान्य गलती को रोकता है: त्रिभुज सही बनाना, लेकिन फिर गलत कोण का नाम लिख देना।
11प्रश्न और समाधान
प्रश्न 1
एक विमान ठीक उत्तर की ओर मुंह किए हुए है और हवा के सापेक्ष \(90\text{ m s}^{-1}\) की चाल से चलता है। हवा \(40\text{ m s}^{-1}\) की चाल से पूर्व की ओर चलती है।
विमान की जमीन के सापेक्ष चाल और ग्राउंड ट्रैक की दिशा ज्ञात कीजिए।
समाधान 1
विमान लगभग \(\boxed{98.5\text{ m s}^{-1}}\) की चाल से चलता है, और उसका ग्राउंड ट्रैक \(\boxed{\text{उत्तर से }24.0^\circ\text{ पूर्व की ओर}}\) है।
विमान का वायु-सापेक्ष वेग और पवन वेग एक-दूसरे के लंबवत हैं:
\[ v_{PA}=90\text{ m s}^{-1}\text{ उत्तर} \]
और
\[ v_{AG}=40\text{ m s}^{-1}\text{ पूर्व}. \]
इसका उपयोग करते हुए
\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG}, \]
जमीन के सापेक्ष वेग का परिमाण है
\[ \begin{aligned} v_{PG} &=\sqrt{90^2+40^2}\\ &=\sqrt{9700}\\ &=98.5\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
मान लें कि \(\theta\), उत्तर से पूर्व की ओर मापा गया कोण है। तब
\[ \begin{aligned} \tan\theta&=\frac{40}{90}\\ \theta&=\tan^{-1}\left(\frac{40}{90}\right)\\ &=24.0^\circ. \end{aligned} \]
विमान की हेडिंग ठीक उत्तर की ओर ही रहती है, लेकिन उसका ग्राउंड ट्रैक उत्तर से \(24.0^\circ\) पूर्व की ओर है। यहाँ जाल यह मान लेना है कि विमान जिस दिशा में मुंह किए हुए है, जमीन के सापेक्ष भी उसे उसी दिशा में चलना चाहिए।
प्रश्न 2
एक विमान की एयरस्पीड \(150\text{ m s}^{-1}\) है। हवा \(45\text{ m s}^{-1}\) की चाल से पश्चिम की ओर चलती है। पायलट ठीक उत्तर की दिशा वाला ग्राउंड ट्रैक चाहता है।
ज्ञात कीजिए:
a. आवश्यक हेडिंग, जिसे उत्तर से पूर्व की ओर कोण के रूप में व्यक्त किया जाए
b. परिणामी जमीन के सापेक्ष चाल।
समाधान 2
आवश्यक हेडिंग \(\boxed{\text{उत्तर से }17.5^\circ\text{ पूर्व की ओर}}\) है, और परिणामी जमीन के सापेक्ष चाल लगभग \(\boxed{143\text{ m s}^{-1}}\) है।
ठीक उत्तर की दिशा वाले ग्राउंड ट्रैक के लिए, विमान के जमीनी वेग का पूर्व-पश्चिम घटक शून्य होना चाहिए।
हवा का योगदान है
\[ 45\text{ m s}^{-1}\text{ पश्चिम}. \]
इसलिए विमान को बराबर परिमाण का घटक देना होगा,
\[ 45\text{ m s}^{-1}\text{ पूर्व}. \]
मान लें कि \(\theta\), विमान की हेडिंग का उत्तर से पूर्व की ओर कोण है। \(150\text{ m s}^{-1}\) की एयरस्पीड के साथ,
\[ \begin{aligned} 150\sin\theta&=45\\ \sin\theta&=0.300\\ \theta&=17.5^\circ. \end{aligned} \]
भाग a के लिए,
\[ \boxed{\theta=\text{उत्तर से }17.5^\circ\text{ पूर्व की ओर}}. \]
हवा के सापेक्ष विमान के वेग का उत्तर की ओर घटक है
\[ \begin{aligned} v_{\text{उत्तर}} &=150\cos(17.5^\circ)\\ &=143\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
हवा का कोई उत्तर-दक्षिण घटक नहीं है, इसलिए
\[ \boxed{v_{PG}=143\text{ m s}^{-1}\text{ उत्तर}}. \]
जमीन के सापेक्ष चाल एयरस्पीड से कम है क्योंकि विमान के वायु-सापेक्ष वेग का एक भाग पार्श्व हवा को निरस्त करने में उपयोग हो रहा है।
प्रश्न 3
एक विमान की एयरस्पीड \(120\text{ m s}^{-1}\) है और उसकी हेडिंग पूर्व से \(20^\circ\) उत्तर की ओर है। उसी समय, पवन वेग \(35\text{ m s}^{-1}\) ठीक दक्षिण की ओर है।
विमान का जमीनी वेग ज्ञात कीजिए, जिसमें उसकी चाल और दिशा दोनों दी जाएँ।
समाधान 3
विमान का जमीन के सापेक्ष वेग लगभग \(\boxed{113\text{ m s}^{-1}}\) है, जिसकी दिशा \(\boxed{\text{पूर्व से }2.5^\circ\text{ दक्षिण की ओर}}\) है।
पूर्व को धनात्मक \(x\) और उत्तर को धनात्मक \(y\) मानें।
हवा के सापेक्ष विमान के वेग के घटक हैं
\[ \begin{aligned} v_{PA,x}&=120\cos20^\circ\\ &=112.8\text{ m s}^{-1}, \end{aligned} \]
और
\[ \begin{aligned} v_{PA,y}&=120\sin20^\circ\\ &=41.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
पवन वेग ठीक दक्षिण की ओर है, इसलिए
\[ v_{AG,x}=0 \]
और
\[ v_{AG,y}=-35\text{ m s}^{-1}. \]
समान दिशा वाले घटकों को जोड़ने पर,
\[ \begin{aligned} v_{PG,x}&=112.8+0\\ &=112.8\text{ m s}^{-1}, \end{aligned} \]
और
\[ \begin{aligned} v_{PG,y}&=41.0-35\\ &=6.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
यह परिणाम वास्तव में अभी भी पूर्व से थोड़ा उत्तर की ओर है, दक्षिण की ओर नहीं। इसलिए सही दिशा इससे मिलती है
\[ \begin{aligned} \theta &=\tan^{-1}\left(\frac{6.0}{112.8}\right)\\ &=3.0^\circ. \end{aligned} \]
जमीन के सापेक्ष चाल है
\[ \begin{aligned} v_{PG} &=\sqrt{112.8^2+6.0^2}\\ &=113.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
अतः,
\[ \boxed{v_{PG}\approx113\text{ m s}^{-1}\text{, पूर्व से }3.0^\circ\text{ उत्तर की ओर}}. \]
महत्वपूर्ण तर्क चिह्नों में है। विमान की हेडिंग उसे \(41.0\text{ m s}^{-1}\) का उत्तर की ओर घटक देती है, जबकि हवा उसमें से केवल \(35\text{ m s}^{-1}\) घटाती है। एक सरल रेखाचित्र या घटकों की जाँच उस आकर्षक लेकिन गलत निष्कर्ष से बचाती है कि दक्षिण की ओर चलने वाली कोई भी हवा ग्राउंड ट्रैक को पूर्व से दक्षिण की ओर कर देगी।
प्रश्न 4
एक विमान \(70\text{ m s}^{-1}\) की एयरस्पीड बनाए रख सकता है। उसे जमीन पर ठीक पूर्व की दिशा वाले ग्राउंड ट्रैक के साथ यात्रा करनी है। हवा ठीक उत्तर की ओर चलती है।
नीचे दी गई प्रत्येक पवन चाल के लिए निर्धारित कीजिए कि ठीक पूर्व की दिशा वाला ग्राउंड ट्रैक संभव है या नहीं। यदि संभव हो, तो आवश्यक हेडिंग ज्ञात कीजिए।
a. \(42\text{ m s}^{-1}\)
b. \(70\text{ m s}^{-1}\)
c. \(75\text{ m s}^{-1}\)
जिस भी स्थिति में पूर्व की ओर यात्रा असंभव हो, उसका भौतिक कारण समझाइए।
समाधान 4
भाग a में ठीक पूर्व की दिशा वाला ट्रैक संभव है, भाग b में एक सीमांत स्थिति मिलती है जिसमें पूर्व की ओर चाल शून्य है, और भाग c में यह असंभव है।
ठीक पूर्व की दिशा वाले ग्राउंड ट्रैक के लिए, विमान को दक्षिण की ओर ऐसा वायु-सापेक्ष वेग घटक उत्पन्न करना होगा जिसका परिमाण उत्तर की ओर पवन वेग के बराबर हो।
भाग a के लिए,
\[ 70\sin\theta=42. \]
अतः,
\[ \begin{aligned} \sin\theta&=0.600\\ \theta&=36.9^\circ. \end{aligned} \]
इसलिए विमान की हेडिंग होनी चाहिए
\[ \boxed{\text{पूर्व से }36.9^\circ\text{ दक्षिण की ओर}}. \]
उसकी पूर्व की ओर जमीन-सापेक्ष चाल होगी
\[ \begin{aligned} v_{PG} &=70\cos36.9^\circ\\ &=56.0\text{ m s}^{-1}. \end{aligned} \]
भाग b के लिए,
\[ 70\sin\theta=70, \]
इसलिए
\[ \sin\theta=1 \]
और
\[ \theta=90^\circ. \]
विमान को ठीक दक्षिण की ओर मुंह करना होगा। उसकी पूरी \(70\text{ m s}^{-1}\) एयरस्पीड \(70\text{ m s}^{-1}\) की उत्तर की ओर हवा को निरस्त करने में उपयोग हो जाएगी।
इसलिए उसका पूर्व की ओर घटक होगा
\[ 70\cos90^\circ=0. \]
अतः उसका परिणामी जमीनी वेग शून्य होगा। वह उत्तर की ओर बहने से तो बच सकता है, लेकिन वास्तव में पूर्व की ओर कोई प्रगति नहीं कर सकता। यही सीमांत स्थिति है।
भाग c के लिए, हवा को निरस्त करने हेतु आवश्यक होगा
\[ 70\sin\theta=75, \]
या
\[ \sin\theta=\frac{75}{70}=1.07. \]
कोई वास्तविक कोण इस शर्त को पूरा नहीं करता।
अतः ठीक पूर्व की दिशा वाला ग्राउंड ट्रैक
\[ \boxed{\text{असंभव है जब पवन चाल }75\text{ m s}^{-1}\text{ हो}}. \]
भौतिक कारण यह है कि विमान को दक्षिण की ओर ऐसा वेग घटक चाहिए होगा जो उसकी कुल \(70\text{ m s}^{-1}\) एयरस्पीड से भी अधिक हो। किसी सदिश का कोई घटक उस सदिश के परिमाण से अधिक नहीं हो सकता।
सूक्ष्म बात भाग b में है। केवल पार्श्व हवा को निरस्त कर पाना ही इच्छित ट्रैक पर उपयोगी यात्रा की गारंटी नहीं देता। ठीक सीमांत पवन चाल पर आगे की गति के लिए कुछ भी शेष नहीं रहता।
प्रश्न 5
दो विद्यार्थी एक ही स्थिति का विश्लेषण करते हैं।
एक विमान का हवा के सापेक्ष वेग \(100\text{ m s}^{-1}\) ठीक पूर्व की ओर है। हवा \(25\text{ m s}^{-1}\) की चाल से उत्तर की ओर चलती है।
विद्यार्थी A कहता है:
“विमान को उत्तर की ओर त्वरण करना ही होगा क्योंकि उसके जमीनी वेग में उत्तर की ओर घटक है।”
विद्यार्थी B कहता है:
“विमान के जमीनी वेग में उत्तर की ओर एक स्थिर घटक हो सकता है, बिना उत्तर की ओर त्वरण हुए।”
कौन-सा विद्यार्थी सही है? समझाइए कि विमान स्थिर वेग से उत्तर-पूर्व की ओर कैसे चल सकता है, जबकि उसकी हेडिंग पूर्व की ओर ही रहती है।
समाधान 5
\[ \boxed{\text{विद्यार्थी B सही है।}} \]
उत्तर की ओर वेग घटक होने का यह अर्थ नहीं है कि उत्तर की ओर त्वरण भी होना ही चाहिए।
विमान का जमीनी वेग है
\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG}. \]
यदि विमान का वायु-सापेक्ष वेग और पवन वेग दोनों स्थिर रहें, तो उनका सदिश योग भी स्थिर रहेगा।
घटक हैं
\[ v_{PG,x}=100\text{ m s}^{-1} \]
और
\[ v_{PG,y}=25\text{ m s}^{-1}. \]
इसलिए विमान एक स्थिर उत्तर-पूर्वी जमीनी वेग से चलता है। अतः जमीन के सापेक्ष उसका त्वरण है
\[ \boxed{\vec a=0}. \]
हेडिंग पूर्व की ओर रह सकती है क्योंकि हेडिंग \(\vec v_{PA}\), यानी आसपास की हवा के सापेक्ष विमान के वेग की दिशा का वर्णन करती है। चलती हुई हवा स्वयं विमान को जमीन के सापेक्ष उत्तर की ओर ले जाती है।
विद्यार्थी A की गलती वेग और त्वरण को एक ही समझ लेना है। किसी वस्तु को उसके वेग के हर घटक की दिशा में बल की आवश्यकता नहीं होती। त्वरण केवल तब आवश्यक होता है जब वेग बदलता है।
12यह विचार आगे कहाँ ले जाता है
क्रॉसविंड के प्रश्न सापेक्ष वेग का एक उदाहरण हैं, जहाँ अलग-अलग प्रेक्षक एक ही वस्तु के लिए अलग-अलग वेग माप सकते हैं।
जब आप ऐसे समीकरण को पढ़ने में सहज हो जाएँ
\[ \vec v_{PG}=\vec v_{PA}+\vec v_{AG}, \]
तो यही तर्क धाराओं को पार करती नावों, चलते वाहनों के भीतर चल रहे लोगों और अलग-अलग संदर्भ तंत्रों से देखी गई अन्य गतियों पर भी लागू किया जा सकता है।
उपयोगी आदत यह है कि केवल यह पूछना बंद करें, “इसका वेग क्या है?” और इसके बजाय पूछें, “इसका वेग किसके सापेक्ष है?”
यही वह प्रश्न है जो विमान की हेडिंग को जमीन के ऊपर उसके वास्तविक ट्रैक से अलग करता है।