Menjumlahkan Komponen Vektor Tegak Lurus dalam Fisika HSC

Anda berjalan 30 m ke timur, lalu 40 m ke utara. Total lintasan Anda adalah 70 m, tetapi misalkan seorang teman berjalan lurus dari titik awal Anda ke titik akhir Anda. Seberapa jauh ia berjalan?

Perkiraan yang menggoda adalah 70 m. Lagi pula, \(30 + 40 = 70\). Namun, timur dan utara adalah arah yang berbeda, sehingga jarak tersebut tidak dapat dijumlahkan seperti bilangan biasa. Besar perpindahan garis lurusnya adalah 50 m.

Soal sederhana itu memuat gagasan utama tentang komponen vektor tegak lurus: gabungkan setiap arah secara terpisah, lalu susun kembali satu vektor resultan dari komponen-komponen tersebut.

01Mulailah dengan gambarnya

Bayangkan gerakan Anda pada sebuah kisi koordinat.

• Gerakan 30 m ke timur hanya mengubah posisi timur-barat Anda.
• Gerakan 40 m ke utara hanya mengubah posisi utara-selatan Anda.
• Perpindahan akhir Anda mengarah secara diagonal dari titik awal ke titik akhir.

Kedua gerakan tersebut membentuk sisi-sisi yang saling tegak lurus dari sebuah segitiga siku-siku. Diagonalnya adalah vektor resultan.

Karena kedua komponen saling tegak lurus, Teorema Pythagoras memberikan besarnya:

\[ R = \sqrt{30^2 + 40^2} = 50\text{ m} \]

Di sini, \(R\) adalah besar perpindahan resultan.

Perhatikan arti 50 m. Nilai ini bukan jarak yang Anda tempuh. Anda tetap menempuh 70 m sepanjang lintasan. Nilai tersebut adalah besar perpindahan Anda dari titik awal.

Perbedaan ini menjadi penting setiap kali vektor menyatakan perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, medan listrik, atau besaran lain yang memiliki besar dan arah.

02Mengapa komponen berguna

Vektor diagonal dapat sulit digunakan secara langsung. Komponen menggantikannya dengan dua bagian yang lebih sederhana:

• komponen \(x\), biasanya horizontal
• komponen \(y\), biasanya vertikal

Kedua komponen ini saling tegak lurus.

Misalkan sebuah vektor memiliki komponen \(R_x\) dan \(R_y\). Besarnya adalah

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \]

dengan:

• \(R\) adalah besar vektor resultan
• \(R_x\) adalah komponen horizontalnya
• \(R_y\) adalah komponen vertikalnya

Ini berlaku karena komponen-komponen tersebut membentuk sisi-sisi yang saling tegak lurus dari sebuah segitiga siku-siku.

Persamaan ini bukan rumus khusus vektor yang muncul begitu saja. Persamaan ini hanyalah Teorema Pythagoras.

03Komponen memerlukan tanda

Sekarang kita memerlukan satu tingkat ketelitian tambahan.

Mengatakan bahwa sebuah komponen memiliki besar 8 N saja tidak cukup. Gaya 8 N ke timur berbeda dari gaya 8 N ke barat.

Konvensi tanda yang berguna adalah:

• timur atau kanan: \(x\) positif
• barat atau kiri: \(x\) negatif
• utara atau atas: \(y\) positif
• selatan atau bawah: \(y\) negatif

Jadi:

• 6 m ke timur menjadi \(R_x = +6\text{ m}\)
• 6 m ke barat menjadi \(R_x = -6\text{ m}\)
• 4 m ke utara menjadi \(R_y = +4\text{ m}\)
• 4 m ke selatan menjadi \(R_y = -4\text{ m}\)

Anda dapat memilih konvensi yang berlawanan. Dalam fisika, tidak menjadi masalah arah mana yang Anda sebut positif. Yang penting adalah Anda tetap konsisten.

Inilah sebabnya komponen vektor sedikit menyerupai uang yang masuk dan keluar dari dua rekening bank yang terpisah. Arah timur-barat memiliki satu rekening, dan arah utara-selatan memiliki rekening lainnya. Kontribusi ke barat dapat meniadakan kontribusi ke timur, tetapi tidak dapat secara langsung meniadakan kontribusi ke utara.

Analogi tersebut berhenti sampai di situ. Komponen adalah besaran geometris yang memiliki arah, bukan transaksi keuangan yang sebenarnya.

04Jumlahkan komponen sejenis terlebih dahulu

Misalkan beberapa vektor bekerja sekaligus. Jangan langsung menghitung besar masing-masing vektor lalu menjumlahkan besar-besar tersebut.

Sebaliknya, jumlahkan semua komponen \(x\):

\[ R_x = A_x + B_x + C_x + \cdots \]

Kemudian jumlahkan semua komponen \(y\):

\[ R_y = A_y + B_y + C_y + \cdots \]

Baru setelah itu Anda menyusun kembali resultannya:

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} \]

Ini memberikan besarnya. Kita masih perlu menentukan arahnya.

05Menentukan kembali arah

Misalkan resultan memiliki komponen horizontal positif dan komponen vertikal positif.

Jika sudut arah \(\theta\) diukur dari sumbu \(x\) positif, maka

\[ \tan\theta = \frac{R_y}{R_x} \]

sehingga

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{R_y}{R_x}\right) \]

Untuk perpindahan 30 m ke timur dan 40 m ke utara:

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{40}{30}\right) = 53.1^\circ \]

Jadi, perpindahannya adalah

\[ 50\text{ m pada }53.1^\circ\text{ ke utara dari timur} \]

Frasa ke utara dari timur penting. Artinya, mulailah dengan menghadap ke timur, lalu putar \(53.1^\circ\) menuju utara.

Jika Anda mengukurnya dari utara, sudutnya adalah

\[ 90^\circ - 53.1^\circ = 36.9^\circ \]

sehingga arah yang sama dapat ditulis sebagai \(36.9^\circ\) ke timur dari utara.

06Kalkulator tidak mengetahui kuadran Anda

Berikut adalah jebakan yang umum.

Misalkan

\[ R_x = -8\text{ N}, \qquad R_y = 15\text{ N} \]

Komponen \(x\) negatif berarti ke barat. Komponen \(y\) positif berarti ke utara. Sebelum menggunakan kalkulator, Anda sudah tahu bahwa resultan mengarah ke barat laut.

Jika Anda menghitung

\[ \tan^{-1}\left(\frac{15}{8}\right) \]

Anda memperoleh sudut acuan lancip antara vektor dan arah horizontal ke barat. Anda tetap perlu menggunakan tanda komponen untuk menentukan kuadran yang benar.

Tabel keputusan yang berguna adalah:

Saat mencari sudut kecil dari arah horizontal, sering kali paling jelas jika menggunakan besar komponen:

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{|R_y|}{|R_x|}\right) \]

Kemudian gunakan tanda-tandanya untuk menyatakan arah dengan benar.

07Kesalahan yang menggoda: menjumlahkan besar

Misalkan gaya 10 N bekerja ke timur dan gaya 10 N lainnya bekerja ke utara.

Berapa besar resultannya?

Seorang siswa mungkin memperkirakan 20 N karena terdapat dua gaya sebesar 10 N. Hal itu hanya benar jika kedua gaya mengarah ke arah yang sama.

Untuk gaya-gaya yang saling tegak lurus,

\[ R = \sqrt{10^2 + 10^2} = 14.1\text{ N} \]

Mengapa nilainya lebih kecil dari 20 N?

Karena tidak satu pun gaya memberikan seluruh 10 N-nya dalam arah resultan. Kedua gaya mengarah ke arah yang berbeda.

Hal ini juga memberi tahu kita sesuatu yang berguna tentang batas nilai. Untuk dua komponen tegak lurus yang tidak nol, besar resultan harus:

• lebih besar daripada masing-masing komponen
• lebih kecil daripada jumlah besar kedua komponen

Untuk komponen 10 N dan 10 N:

\[ 10\text{ N} < 14.1\text{ N} < 20\text{ N} \]

Ini adalah cara cepat untuk mendeteksi kesalahan kalkulator.

08Apa yang terjadi jika sebuah komponen bernilai nol?

Metode tangen memerlukan sedikit kehati-hatian saat \(R_x = 0\).

Misalkan

\[ R_x = 0, \qquad R_y = -7\text{ m/s} \]

Tidak ada komponen horizontal sama sekali. Vektor tersebut hanya mengarah ke selatan, dengan besar 7 m/s.

Mencoba menghitung

\[ \tan^{-1}\left(\frac{7}{0}\right) \]

tidak diperlukan. Komponen-komponennya sudah memberi tahu Anda arahnya.

Ada kasus batas yang bahkan lebih menarik:

\[ R_x = 0, \qquad R_y = 0 \]

Maka

\[ R = 0 \]

Vektor nol tidak memiliki arah yang terdefinisi. Tidak ada panah yang menunjuk ke arah mana pun.

Hal ini penting ketika dua atau lebih vektor saling meniadakan secara tepat.

09Metode yang dapat diandalkan

Saat Anda perlu menggabungkan komponen tegak lurus, gunakan urutan berikut:

1. Pilih arah \(x\) positif dan \(y\) positif.
2. Tuliskan setiap komponen dengan tanda yang benar.
3. Jumlahkan semua komponen \(x\) untuk mendapatkan \(R_x\).
4. Jumlahkan semua komponen \(y\) untuk mendapatkan \(R_y\).
5. Gunakan \(R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}\) untuk menentukan besar.
6. Gunakan perbandingan komponen untuk menentukan sudut acuan.
7. Gunakan tanda \(R_x\) dan \(R_y\) untuk menyatakan arah sebenarnya.
8. Periksa apakah besar dan kuadrannya masuk akal secara fisika.

Jangan melewatkan langkah 7. Perhitungan tangen invers dapat memberikan sebuah sudut tanpa memberi tahu Anda arah fisik secara lengkap.

10Soal dan solusi

Soal 1

Sebuah gaya memiliki komponen horizontal 5.0 N ke timur dan komponen vertikal 12.0 N ke utara. Tentukan besar dan arah gaya tersebut.

Solusi 1

Gaya tersebut adalah 13.0 N pada \(67.4^\circ\) ke utara dari timur.

Ambil timur dan utara sebagai arah positif:

\[ R_x = 5.0\text{ N}, \qquad R_y = 12.0\text{ N} \]

Besarnya adalah

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(5.0)^2 + (12.0)^2} = \sqrt{169} = 13.0\text{ N} \]

Arah yang diukur dari timur adalah

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{12.0}{5.0}\right) = 67.4^\circ \]

Kedua komponen bernilai positif, sehingga vektor mengarah ke timur laut.

Oleh karena itu,

\[ \boxed{R = 13.0\text{ N pada }67.4^\circ\text{ ke utara dari timur}} \]

Hasil ini masuk akal karena 13.0 N lebih besar daripada masing-masing komponen, tetapi lebih kecil daripada \(5.0 + 12.0 = 17.0\text{ N}\).

Soal 2

Kecepatan sebuah drone relatif terhadap tanah memiliki komponen 8.0 m/s ke barat dan 15.0 m/s ke utara. Tentukan kelajuan dan arahnya.

Solusi 2

Kecepatan drone tersebut adalah 17.0 m/s pada \(61.9^\circ\) ke utara dari barat.

Dengan menggunakan timur sebagai \(x\) positif dan utara sebagai \(y\) positif:

\[ R_x = -8.0\text{ m/s}, \qquad R_y = 15.0\text{ m/s} \]

Kelajuan adalah besar dari kecepatan:

\[ R = \sqrt{(-8.0)^2 + (15.0)^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17.0\text{ m/s} \]

Untuk sudut acuan dari arah horizontal:

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{15.0}{8.0}\right) = 61.9^\circ \]

Komponen \(x\) negatif dan komponen \(y\) positif menempatkan vektor di kuadran barat laut.

Oleh karena itu,

\[ \boxed{R = 17.0\text{ m/s pada }61.9^\circ\text{ ke utara dari barat}} \]

Kesalahan yang umum adalah melaporkan \(61.9^\circ\) ke utara dari timur. Kalkulator memberikan besar sudut acuan, tetapi tanda komponen menentukan kuadran yang benar.

Soal 3

Sebuah vektor mula-mula memiliki komponen 6.0 N ke timur dan 8.0 N ke utara. Komponen ke timurnya kemudian digandakan, sementara komponen ke utaranya tetap tidak berubah.

Seorang siswa menyatakan bahwa besar vektor tersebut juga pasti menjadi dua kali lipat. Tentukan apakah pernyataan tersebut benar, lalu hitung besar dan arah yang baru.

Solusi 3

Pernyataan tersebut tidak benar. Vektor baru memiliki besar 14.4 N pada \(33.7^\circ\) ke utara dari timur, bukan dua kali besar awal.

Pada awalnya,

\[ R_x = 6.0\text{ N}, \qquad R_y = 8.0\text{ N} \]

sehingga

\[ R_{\text{awal}} = \sqrt{6.0^2 + 8.0^2} = 10.0\text{ N} \]

Setelah komponen ke timur digandakan:

\[ R_x = 12.0\text{ N}, \qquad R_y = 8.0\text{ N} \]

Besar yang baru adalah

\[ R_{\text{baru}} = \sqrt{12.0^2 + 8.0^2} = \sqrt{208} = 14.4\text{ N} \]

Arahnya adalah

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{8.0}{12.0}\right) = 33.7^\circ \]

Oleh karena itu,

\[ \boxed{R_{\text{baru}} = 14.4\text{ N pada }33.7^\circ\text{ ke utara dari timur}} \]

Menggandakan satu komponen tidak menggandakan seluruh vektor karena komponen lainnya tidak berubah. Arahnya juga berubah: resultan berputar lebih dekat ke timur karena komponen ke timur menjadi lebih dominan.

Soal 4

Empat gaya komponen bekerja pada sebuah benda:

• 9.0 N ke timur
• 4.0 N ke barat
• 12.0 N ke selatan
• 7.0 N ke utara

Tentukan besar dan arah gaya netto.

Seorang siswa justru menjumlahkan besar keempat gaya dan memperoleh 32 N. Jelaskan kesalahannya.

Solusi 4

Gaya netto adalah 7.07 N pada \(45.0^\circ\) ke selatan dari timur. Jawaban 32 N salah karena komponen yang berlawanan arah saling meniadakan sebagian, bukan semuanya memberikan kontribusi dalam arah yang sama.

Pertama, gabungkan komponen horizontal:

\[ R_x = 9.0 - 4.0 = 5.0\text{ N} \]

Jadi, komponen horizontal netto adalah 5.0 N ke timur.

Sekarang gabungkan komponen vertikal:

\[ R_y = 7.0 - 12.0 = -5.0\text{ N} \]

Jadi, komponen vertikal netto adalah 5.0 N ke selatan.

Besarnya adalah

\[ R = \sqrt{(5.0)^2 + (-5.0)^2} = \sqrt{50} = 7.07\text{ N} \]

Sudut acuannya adalah

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{5.0}{5.0}\right) = 45.0^\circ \]

Karena \(R_x\) positif dan \(R_y\) negatif, resultan mengarah ke tenggara.

Oleh karena itu,

\[ \boxed{R = 7.07\text{ N pada }45.0^\circ\text{ ke selatan dari timur}} \]

Menjumlahkan \(9.0 + 4.0 + 12.0 + 7.0\) memperlakukan setiap gaya seolah-olah bekerja pada garis yang sama dan dalam arah yang sama. Cara tersebut mengabaikan baik peniadaan maupun hubungan tegak lurus antara komponen horizontal dan vertikal akhir.

Soal 5

Setelah semua komponen gaya pada sebuah benda dijumlahkan, hasilnya adalah

\[ R_x = 0\text{ N}, \qquad R_y = 0\text{ N} \]

Seorang siswa menulis, “Besarnya nol, jadi arahnya pasti \(0^\circ\).”

Apakah ini benar? Jelaskan apa yang sebenarnya diberitahukan oleh vektor resultan tentang benda tersebut.

Solusi 5

Kesimpulan siswa tersebut tidak benar. Gaya resultan memiliki besar 0 N dan tidak memiliki arah yang terdefinisi.

Dengan menggunakan persamaan besar:

\[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0\text{ N} \]

Namun, arah menjelaskan ke mana sebuah vektor yang tidak nol menunjuk. Vektor nol tidak memiliki panjang, sehingga tidak ada panah yang orientasinya dapat diukur. Menyatakan arahnya sebagai \(0^\circ\) akan secara keliru menunjukkan bahwa vektor tersebut mengarah ke timur.

Gaya resultan nol juga tidak secara otomatis berarti bahwa benda diam. Dari hukum kedua Newton,

\[ \vec F_{\text{net}} = m\vec a \]

sehingga gaya netto nol berarti

\[ \vec a = 0 \]

untuk benda dengan massa yang tidak nol. Oleh karena itu, kecepatannya tetap konstan. Benda tersebut dapat berada dalam keadaan diam, atau dapat sudah bergerak dengan kecepatan konstan.

Kasus batas ini menjadi pengingat yang berguna bahwa komponen memberi tahu Anda lebih banyak daripada kalkulator. Sebelum mencari sudut, pertama-tama tanyakan apakah benar-benar ada resultan yang tidak nol dan perlu ditentukan arahnya.

Setelah Anda dapat menjumlahkan komponen tegak lurus dan menentukan kembali resultannya, langkah berikutnya adalah menguraikan sebuah vektor dengan arah sebaliknya: mulai dari besar dan sudut, lalu menentukan komponen \(x\) dan \(y\)-nya. Ini adalah geometri yang sama tetapi dikerjakan secara terbalik, dan inilah yang memungkinkan gaya miring, kecepatan, medan, dan gerak proyektil ditangani komponen demi komponen.