Perahu Menyeberangi Arus: Kecepatan, Lintasan, dan Waktu Penyeberangan
Pelajari cara menggabungkan kecepatan perahu dan air, menentukan lintasan terhadap tanah, menghitung waktu penyeberangan, dan menghindari kesalahan umum pada kecepatan relatif.
Sebuah perahu diarahkan lurus menyeberangi sungai. Kelajuannya relatif terhadap air adalah 3,0 m s\(^{-1}\), sementara arus mengalir ke hilir dengan kelajuan 2,0 m s\(^{-1}\). Perahu jelas bergerak lebih cepat relatif terhadap tepi sungai daripada 3,0 m s\(^{-1}\), jadi berikut prediksi yang berguna: apakah arus membuat perahu mencapai tepi seberang lebih cepat?
Tidak. Perahu mencapai tepi seberang dalam waktu yang persis sama seperti jika air diam, asalkan arus sejajar dengan tepi sungai. Arus mengubah tempat perahu mendarat dan arah lintasannya terhadap tanah, tetapi tidak menambahkan komponen kecepatan apa pun untuk menyeberangi sungai.
Satu pembedaan ini menyelesaikan sebagian besar soal HSC tentang perahu dan arus.
01Perahu memiliki lebih dari satu kecepatan
Bayangkan sebuah ban berjalan raksasa bergerak ke timur sementara Anda berjalan ke utara melintasinya.
Relatif terhadap ban berjalan, Anda bergerak ke utara. Relatif terhadap lantai di bawahnya, Anda bergerak ke utara dan ke timur. Seseorang yang berdiri di lantai melihat gabungan kedua gerakan tersebut.
Perahu di sungai bekerja dengan cara yang sama:
- motor memberikan kecepatan kepada perahu relatif terhadap air
- arus memberikan kecepatan kepada air relatif terhadap tanah
- seseorang yang berdiri di tepi sungai melihat kecepatan perahu relatif terhadap tanah
Model ban berjalan berguna karena membuat penjumlahan vektor terlihat jelas. Model ini tidak tepat untuk setiap sungai karena arus sungai nyata dapat berubah kelajuan dan arah di berbagai bagian sungai.
Kita dapat menuliskan hubungan kecepatan relatif yang tepat sebagai
\[ \vec v_{BG} = \vec v_{BW} + \vec v_{WG} \]
dengan:
- \(\vec v_{BG}\) adalah kecepatan perahu relatif terhadap tanah
- \(\vec v_{BW}\) adalah kecepatan perahu relatif terhadap air
- \(\vec v_{WG}\) adalah kecepatan air relatif terhadap tanah
Pengamat di tepi sungai melihat \(\vec v_{BG}\). Kecepatan inilah yang menentukan lintasan perahu terhadap tanah.
02Uraikan gerak menjadi komponen menyeberangi sungai dan ke hilir
Metode termudah adalah memilih dua arah yang saling tegak lurus:
- menyeberangi sungai, tegak lurus terhadap tepi sungai
- ke hilir, sejajar dengan tepi sungai
Misalkan perahu diarahkan tepat menyeberangi sungai dengan kelajuan \(v_b\) relatif terhadap air, sementara arus memiliki kelajuan \(v_c\) ke hilir.
Maka kecepatan relatif terhadap tanah memiliki komponen
\[ v_{\text{across}} = v_b \]
dan
\[ v_{\text{downstream}} = v_c \]
Besar kecepatan perahu relatif terhadap tanah adalah
\[ v_g = \sqrt{v_b^2 + v_c^2} \]
dengan \(v_g\) adalah kelajuan perahu relatif terhadap tanah.
Sudut lintasannya terhadap tanah, \(\theta\), yang diukur ke arah hilir dari arah lurus menyeberang, memenuhi
\[ \tan \theta = \frac{v_c}{v_b} \]
Perhatikan apa yang dijelaskan oleh persamaan ini. Perahu mungkin diarahkan lurus menyeberang, tetapi belum tentu bergerak lurus menyeberang relatif terhadap tanah.
Arah haluan dan lintasan terhadap tanah adalah dua hal yang berbeda.
03Waktu penyeberangan bergantung pada komponen yang melintasi sungai
Misalkan lebar sungai adalah \(d\).
Untuk mencapai tepi seberang, perahu harus menempuh jarak yang tegak lurus tersebut. Jadi waktu penyeberangan adalah
\[ t = \frac{d}{v_{\text{across}}} \]
dengan:
- \(t\) adalah waktu penyeberangan dalam sekon
- \(d\) adalah lebar sungai dalam meter
- \(v_{\text{across}}\) adalah komponen kecepatan perahu relatif terhadap tanah yang tegak lurus terhadap tepi sungai, dalam m s\(^{-1}\)
Di sinilah muncul kesalahan yang menggoda.
Seorang siswa mungkin menghitung kelajuan total relatif terhadap tanah dan menggunakan
\[ t = \frac{d}{v_g} \]
Hal itu terasa masuk akal karena \(t=d/v\) sudah familiar. Masalahnya, \(d\) adalah jarak untuk menyeberangi sungai, sedangkan \(v_g\) mengarah secara diagonal. Keduanya tidak berada dalam arah yang sama.
Ketika Anda menggunakan \(t=d/v\), jarak dan kecepatan harus mengacu pada arah yang sama.
Contoh soal: Perahu diarahkan lurus menyeberang
Sebuah sungai lebarnya 150 m. Sebuah perahu bergerak dengan kelajuan 3,0 m s\(^{-1}\) relatif terhadap air dan diarahkan tepat menyeberangi sungai. Arus mengalir ke hilir dengan kelajuan 1,2 m s\(^{-1}\). Tentukan waktu penyeberangan, perpindahan ke hilir, kelajuan relatif terhadap tanah, dan arah lintasan terhadap tanah.
Langkah 1
Karena arus sepenuhnya mengarah ke hilir, arus tidak memiliki komponen yang melintasi sungai. Oleh karena itu, kecepatan perahu relatif terhadap tanah pada arah menyeberangi sungai adalah 3,0 m s\(^{-1}\).
\[ t = \frac{d}{v_{\text{across}}} = \frac{150}{3.0} = 50\text{ s} \]
Perahu membutuhkan 50 s untuk menyeberang.
Langkah 2
\[ s_{\text{downstream}} = v_c t = 1.2(50) = 60\text{ m} \]
Perahu mendarat 60 m ke hilir dari titik yang tepat berseberangan dengan posisi awalnya.
Langkah 3
\[ v_g = \sqrt{3.0^2 + 1.2^2} = \sqrt{10.44} = 3.23\text{ m s}^{-1} \]
Jadi, seseorang di tepi sungai melihat perahu bergerak dengan kelajuan 3,23 m s\(^{-1}\).
Langkah 4
\[ \tan\theta = \frac{1.2}{3.0} \]
\[ \theta = \tan^{-1}(0.400) = 21.8^\circ \]
Lintasan perahu terhadap tanah adalah 21,8° ke hilir dari arah lurus menyeberang.
Hasil pentingnya adalah bahwa kelajuan relatif terhadap tanah adalah 3,23 m s\(^{-1}\), tetapi kelajuan untuk menyeberang tetap hanya 3,0 m s\(^{-1}\).
04Mengarahkan perahu lurus menyeberang tidak sama dengan mendarat tepat di seberang
Misalkan Anda benar-benar ingin perahu tiba di titik yang tepat berseberangan dengan posisi awalnya.
Apakah Anda tetap harus mengarahkan perahu lurus menyeberang?
Tidak. Anda perlu mengarahkan perahu ke hulu sehingga sebagian kecepatan perahu melalui air meniadakan arus.
Ini adalah masalah yang berbeda dari contoh sebelumnya.
Misalkan sebuah perahu memiliki kelajuan \(v_b\) relatif terhadap air dan arus memiliki kelajuan \(v_c\). Jika perahu diarahkan pada sudut \(\theta\) ke hulu dari arah lurus menyeberang, maka kecepatan perahu relatif terhadap air memiliki dua komponen:
\[ v_{\text{boat, across}} = v_b\cos\theta \]
dan
\[ v_{\text{boat, upstream}} = v_b\sin\theta \]
Agar mendarat tepat di seberang, komponen ke hulu harus tepat meniadakan arus ke hilir:
\[ v_b\sin\theta = v_c \]
Jadi,
\[ \sin\theta = \frac{v_c}{v_b} \]
Setelah gerak ke hilir ditiadakan, kecepatan perahu relatif terhadap tanah sepenuhnya mengarah menyeberangi sungai.
Namun, ada konsekuensinya. Sebagian kelajuan perahu digunakan untuk melawan arus, sehingga bagian yang tersisa untuk menyeberang menjadi lebih kecil.
Contoh soal: Mendarat tepat di seberang
Sebuah perahu dapat bergerak dengan kelajuan 4,0 m s\(^{-1}\) relatif terhadap air. Perahu harus menyeberangi sungai selebar 180 m dengan arus yang mengalir pada 1,5 m s\(^{-1}\). Pada sudut berapa perahu harus diarahkan agar mendarat tepat di seberang titik awalnya, dan berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk menyeberang?
Langkah 1
\[ v_b\sin\theta = v_c \]
Dengan memasukkan nilai kelajuannya,
\[ 4.0\sin\theta = 1.5 \]
\[ \sin\theta = \frac{1.5}{4.0} = 0.375 \]
\[ \theta = \sin^{-1}(0.375) = 22.0^\circ \]
Perahu harus diarahkan 22,0° ke hulu dari arah lurus menyeberang.
Langkah 2
\[ v_{\text{across}} = 4.0\cos(22.0^\circ) = 3.71\text{ m s}^{-1} \]
Anda juga dapat memperoleh hasil ini menggunakan teorema Pythagoras:
\[ v_{\text{across}} = \sqrt{4.0^2 - 1.5^2} = 3.71\text{ m s}^{-1} \]
Langkah 3
\[ t = \frac{180}{3.71} = 48.5\text{ s} \]
Perahu harus diarahkan 22,0° ke hulu dan membutuhkan waktu sekitar 48,5 s untuk menyeberang.
Perhatikan bahwa kita tidak menggunakan 4,0 m s\(^{-1}\) dalam perhitungan waktu penyeberangan. Setelah perahu diarahkan ke hulu, hanya sebagian dari kecepatan 4,0 m s\(^{-1}\)-nya yang mengarah menyeberangi sungai.
05Aturan cepat untuk menentukan metode pada soal sungai
| Jika soal meminta… | Carilah… |
|---|---|
| Waktu penyeberangan | Komponen kecepatan relatif terhadap tanah yang tegak lurus terhadap tepi sungai |
| Pergeseran ke hilir | Kecepatan relatif terhadap tanah ke hilir dan waktu penyeberangan |
| Kelajuan relatif terhadap tanah | Besar hasil penjumlahan vektor |
| Arah lintasan terhadap tanah | Perbandingan komponen kecepatan relatif terhadap tanah ke hilir dan melintasi sungai |
| Arah haluan agar mendarat di seberang | Komponen kecepatan perahu yang meniadakan arus |
| Apakah mendarat tepat di seberang mungkin | Apakah perahu dapat meniadakan arus sambil tetap memiliki komponen yang melintasi sungai |
Kebiasaan yang paling berguna adalah menggambar kedua sumbu sebelum menyentuh kalkulator.
06Kasus batas yang penting
Apa yang terjadi jika arus sama cepatnya dengan perahu?
Misalkan kelajuan maksimum perahu relatif terhadap air adalah 3,0 m s\(^{-1}\), dan arus juga bergerak dengan kelajuan 3,0 m s\(^{-1}\).
Agar mendarat tepat di seberang, perahu memerlukan komponen ke hulu sebesar 3,0 m s\(^{-1}\). Namun, seluruh kecepatan perahu kemudian harus mengarah ke hulu.
Komponen yang melintasi sungai akan menjadi nol.
Jadi, meskipun perahu dapat meniadakan arus ke hilir, perahu sama sekali tidak akan menyeberangi sungai.
Jika arus lebih cepat daripada perahu, mendarat tepat di seberang juga tidak mungkin. Perahu tidak dapat menghasilkan komponen ke hulu yang cukup besar untuk meniadakan arus.
Hal ini memberikan syarat yang lebih tepat:
\[ v_b > v_c \]
diperlukan jika perahu harus sekaligus meniadakan arus dan tetap bergerak melintasi sungai.
07Kesalahpahaman yang harus dihindari
Arus yang lebih kuat biasanya meningkatkan kelajuan relatif terhadap tanah ketika perahu diarahkan lurus menyeberang. Hal ini dapat membuat seolah-olah perahu seharusnya menyeberang lebih cepat.
Namun, kecepatan yang lebih besar pada arah yang salah tidak membantu Anda menempuh jarak yang diperlukan.
Ini seperti terlambat menemui seseorang yang tinggal tepat di sebelah utara Anda, lalu dengan bangga mengumumkan bahwa Anda sedang berlari sangat cepat ke timur. Kelajuannya mengesankan. Navigasinya sedikit bermasalah.
Untuk waktu penyeberangan, ajukan satu pertanyaan terlebih dahulu:
Seberapa cepat perahu benar-benar bergerak menuju tepi seberang?
Komponen itulah, bukan kelajuan total, yang menentukan waktu.
08Pertanyaan dan solusi
Pertanyaan 1
Sebuah perahu diarahkan tepat menyeberangi sungai selebar 90 m. Kelajuannya relatif terhadap air adalah 2,5 m s\(^{-1}\), dan arus mengalir ke hilir pada 0,80 m s\(^{-1}\).
Hitung waktu penyeberangan dan jarak yang ditempuh perahu ke hilir.
Solusi 1
Perahu membutuhkan 36 s untuk menyeberang dan mendarat 28,8 m ke hilir.
Arus sejajar dengan tepi sungai, sehingga tidak mengubah komponen perahu sebesar 2,5 m s\(^{-1}\) yang melintasi sungai.
Waktu penyeberangan adalah
\[ t = \frac{d}{v_{\text{across}}} = \frac{90}{2.5} = 36\text{ s} \]
Selama 36 s tersebut, arus membawa perahu ke hilir:
\[ s_{\text{downstream}} = v_c t = 0.80(36) = 28.8\text{ m} \]
Jadi, perahu menyeberang dalam 36 s dan tiba 28,8 m ke hilir dari titik yang tepat berseberangan.
Gagasan utamanya adalah bahwa penyeberangan dan pergeseran ke hilir terjadi secara bersamaan. Anda tidak menambahkan “waktu hanyut” tersendiri setelah perahu selesai menyeberang.
Pertanyaan 2
Sebuah perahu bergerak dengan kelajuan 5,0 m s\(^{-1}\) relatif terhadap air dan diarahkan tepat menyeberangi sungai selebar 200 m. Arus mengalir ke hilir pada 3,0 m s\(^{-1}\).
Tentukan:
- waktu penyeberangan
- perpindahan ke hilir
- kelajuan perahu relatif terhadap tanah
- sudut lintasannya terhadap tanah ke arah hilir dari arah lurus menyeberang
- jarak yang ditempuh relatif terhadap tanah selama penyeberangan
Solusi 2
Perahu menyeberang dalam 40 s, bergerak 120 m ke hilir, memiliki kelajuan relatif terhadap tanah sebesar 5,83 m s\(^{-1}\), mengikuti lintasan 31,0° ke hilir dari arah lurus menyeberang, dan menempuh sekitar 233 m relatif terhadap tanah.
Komponen yang melintasi sungai adalah 5,0 m s\(^{-1}\), jadi
\[ t = \frac{200}{5.0} = 40\text{ s} \]
Perpindahan ke hilir adalah
\[ s_{\text{downstream}} = 3.0(40) = 120\text{ m} \]
Kelajuan relatif terhadap tanah adalah besar hasil penjumlahan vektor:
\[ v_g = \sqrt{5.0^2 + 3.0^2} = \sqrt{34} = 5.83\text{ m s}^{-1} \]
Untuk sudut lintasan terhadap tanah,
\[ \tan\theta = \frac{3.0}{5.0} \]
\[ \theta = \tan^{-1}(0.600) = 31.0^\circ \]
Perahu bergerak secara diagonal relatif terhadap tanah. Jarak lintasannya terhadap tanah adalah
\[ s_g = v_g t = 5.83(40) \approx 233\text{ m} \]
Hasil yang sama diperoleh dari segitiga perpindahan:
\[ s_g = \sqrt{200^2 + 120^2} \approx 233\text{ m} \]
Lebar sungai 200 m bukanlah jarak total lintasan perahu terhadap tanah. Itu hanyalah komponen tegak lurus dari perpindahan tersebut.
Pertanyaan 3
Dua perahu identik harus menyeberangi dua sungai berbeda yang masing-masing selebar 160 m.
Perahu A bergerak dengan kelajuan 4,0 m s\(^{-1}\) relatif terhadap air diam.
Perahu B juga bergerak dengan kelajuan 4,0 m s\(^{-1}\) relatif terhadap air, tetapi sungainya memiliki arus 3,0 m s\(^{-1}\) yang sejajar dengan tepi sungai.
Kedua perahu diarahkan tepat menyeberang.
Seorang siswa berpendapat bahwa Perahu B akan tiba lebih dahulu karena kelajuannya relatif terhadap tanah adalah
\[ \sqrt{4.0^2 + 3.0^2} = 5.0\text{ m s}^{-1} \]
Apakah siswa tersebut benar? Hitung waktu penyeberangan untuk setiap perahu dan jelaskan hasilnya.
Solusi 3
Tidak. Kedua perahu membutuhkan 40 s untuk menyeberang.
Perahu A memiliki kecepatan melintasi sungai sebesar 4,0 m s\(^{-1}\), jadi
\[ t_A = \frac{160}{4.0} = 40\text{ s} \]
Perahu B juga memiliki kecepatan melintasi sungai sebesar 4,0 m s\(^{-1}\). Arus menambahkan komponen 3,0 m s\(^{-1}\) ke hilir, tetapi tidak menambahkan apa pun pada arah melintasi sungai.
Oleh karena itu,
\[ t_B = \frac{160}{4.0} = 40\text{ s} \]
Kelajuan Perahu B relatif terhadap tanah memang benar 5,0 m s\(^{-1}\), tetapi sebagian dari kecepatan tersebut mengarah ke hilir. Kelajuan tambahan relatif terhadap tanah tidak membantunya mendekati tepi seberang.
Perhitungan siswa untuk kelajuan relatif terhadap tanah benar. Kesalahannya adalah menggunakan besar kecepatan relatif terhadap tanah untuk menjawab pertanyaan yang hanya ditentukan oleh komponen tegak lurusnya.
Pertanyaan 4
Sebuah perahu dapat bergerak dengan kelajuan 4,0 m s\(^{-1}\) relatif terhadap air. Perahu harus menyeberangi sungai selebar 120 m dengan arus 3,0 m s\(^{-1}\).
Seorang siswa menghitung dengan benar bahwa perahu harus diarahkan
\[ \sin^{-1}\left(\frac{3.0}{4.0}\right) = 48.6^\circ \]
ke hulu dari arah lurus menyeberang agar mendarat tepat di seberang.
Siswa tersebut kemudian menghitung waktu penyeberangan sebagai
\[ t = \frac{120}{4.0} = 30\text{ s} \]
Identifikasi kesalahannya dan hitung waktu penyeberangan yang benar.
Solusi 4
Waktu penyeberangan yang benar adalah sekitar 45,4 s. Kesalahannya adalah memperlakukan seluruh kelajuan perahu sebesar 4,0 m s\(^{-1}\) seolah-olah mengarah melintasi sungai.
Perahu diarahkan \(48.6^\circ\) ke hulu dari arah lurus menyeberang. Komponen ke hulu sebesar 3,0 m s\(^{-1}\) meniadakan arus.
Dengan demikian, komponen yang tersisa untuk melintasi sungai adalah
\[ v_{\text{across}} = \sqrt{4.0^2 - 3.0^2} = \sqrt{7} = 2.65\text{ m s}^{-1} \]
Oleh karena itu, waktu penyeberangan adalah
\[ t = \frac{120}{2.65} = 45.4\text{ s} \]
Jadi, perahu membutuhkan waktu sekitar 45,4 s.
Kesalahan yang menggoda adalah menganggap bahwa karena kelajuan perahu relatif terhadap air adalah 4,0 m s\(^{-1}\), perahu menyeberangi sungai dengan kelajuan 4,0 m s\(^{-1}\). Hal itu hanya benar ketika seluruh kecepatan perahu relatif terhadap air mengarah melintasi sungai.
Pertanyaan 5
Sebuah sungai selebar 180 m memiliki arus yang berubah secara tiba-tiba di tengah sungai.
Untuk 90 m pertama, arus mengalir ke hilir pada 1,0 m s\(^{-1}\). Untuk 90 m kedua, arus mengalir ke hilir pada 3,0 m s\(^{-1}\).
Sebuah perahu diarahkan tepat menyeberang sepanjang perjalanan dan mempertahankan kelajuan konstan 3,0 m s\(^{-1}\) relatif terhadap air setempat.
Tentukan waktu penyeberangan total dan perpindahan ke hilir. Apakah lintasan perahu terhadap tanah berupa satu garis lurus?
Solusi 5
Perahu membutuhkan 60 s untuk menyeberang, bergerak total 120 m ke hilir, dan lintasannya terhadap tanah bukan satu garis lurus.
Pengamatan kuncinya adalah bahwa kedua arus sejajar dengan tepi sungai. Tidak satu pun arus mengubah komponen perahu sebesar 3,0 m s\(^{-1}\) yang melintasi sungai.
Untuk 90 m pertama,
\[ t_1 = \frac{90}{3.0} = 30\text{ s} \]
Untuk 90 m kedua,
\[ t_2 = \frac{90}{3.0} = 30\text{ s} \]
Oleh karena itu,
\[ t_{\text{total}} = 30 + 30 = 60\text{ s} \]
Selama setengah bagian pertama, perpindahan ke hilir adalah
\[ s_1 = 1.0(30) = 30\text{ m} \]
Selama setengah bagian kedua,
\[ s_2 = 3.0(30) = 90\text{ m} \]
Jadi, perpindahan total ke hilir adalah
\[ s_{\text{downstream}} = 30 + 90 = 120\text{ m} \]
Lintasan terhadap tanah bukan satu garis lurus. Pada separuh kedua sungai, komponen kecepatan relatif terhadap tanah ke arah hilir menjadi lebih besar, sehingga arah kecepatan resultan berubah. Oleh karena itu, dalam model sederhana ini, arah lintasan berubah di titik tengah.
Pertanyaan ini menunjukkan sebuah asumsi penting yang tersembunyi dalam soal sungai yang lebih sederhana: lintasan lurus terhadap tanah mengharuskan komponen-komponen kecepatan tetap konstan.
09Gagasan ini mengarah ke mana selanjutnya
Soal perahu dan arus sebenarnya adalah soal kecepatan relatif. Setelah Anda dapat memisahkan kecepatan menjadi komponen-komponen yang saling tegak lurus dan menentukan kerangka acuan yang benar, metode yang sama dapat digunakan untuk pesawat terbang dalam angin, perenang dalam air yang mengalir, dan gerak lain melalui medium yang bergerak.
Langkah berguna berikutnya adalah mempelajari kasus ketika benda diberi arah haluan sembarang, bukan sekadar “lurus menyeberang” atau “diarahkan agar mendarat tepat di seberang”. Fisikanya tidak berubah. Uraikan kecepatan menjadi komponen-komponen, tambahkan kecepatan medium untuk setiap komponen, lalu gunakan kecepatan relatif terhadap tanah yang dihasilkan untuk memprediksi gerak.