Menguraikan Vektor menjadi Komponen untuk Fisika HSC

Sebuah drone penyelamat menarik dengan gaya 500 N pada sudut \(30^\circ\) di atas horizontal. Drone tersebut tidak menarik dengan “500 N secara horizontal dan 500 N secara vertikal”. Itu akan menciptakan gaya tambahan yang sebenarnya tidak ada. Sebaliknya, satu gaya sebesar 500 N tersebut harus diuraikan ke dalam dua arah itu.

Sebelum menghitung apa pun, buat prediksi berikut: apakah komponen horizontal harus lebih besar dari, lebih kecil dari, atau sama dengan 500 N?

Komponen horizontal harus lebih kecil dari 500 N. Vektor awal miring, sehingga hanya sebagian darinya yang mengarah secara horizontal. Sisanya mengarah secara vertikal. Menguraikan vektor adalah proses untuk menentukan secara tepat seberapa besar bagian vektor yang mengarah pada setiap arah yang saling tegak lurus.

01Apa artinya menguraikan sebuah vektor?

Sebuah vektor memiliki besar dan arah. Gaya, kecepatan, perpindahan, percepatan, dan momentum semuanya merupakan besaran vektor.

Misalkan sebuah gaya mengarah secara diagonal ke atas dan ke kanan. Daripada bekerja dengan arah diagonal yang kurang praktis itu, secara matematis kita dapat menggantinya dengan dua komponen yang saling tegak lurus:

• komponen horizontal
• komponen vertikal

Kedua komponen ini bersama-sama memberikan efek yang persis sama dengan vektor awal.

Bayangkan seseorang berjalan secara diagonal melintasi taman berbentuk persegi panjang. Anda dapat menggambarkan perpindahannya sebagai satu perjalanan diagonal, atau sebagai suatu jarak ke timur ditambah suatu jarak ke utara. Orang tersebut sebenarnya tidak perlu menempuh kedua jalur terpisah itu. Komponen hanyalah cara lain untuk menggambarkan perpindahan yang sama.

Namun, analogi itu memiliki keterbatasan. Komponen vektor tidak selalu merupakan kejadian terpisah yang berlangsung satu demi satu. Komponen adalah bagian matematis yang berlangsung secara bersamaan dari satu vektor.

02Mengapa komponen yang saling tegak lurus berguna

Fisika menjadi jauh lebih mudah jika kita memilih sumbu yang sesuai dengan persoalan.

Untuk banyak soal HSC, kita menggunakan:

• sumbu \(x\) untuk gerak horizontal
• sumbu \(y\) untuk gerak vertikal

Gaya diagonal kemudian dapat ditangani secara terpisah pada setiap arah. Hukum Newton dapat diterapkan secara horizontal dan vertikal, gerak proyektil dapat dianalisis satu sumbu pada satu waktu, dan gaya pada bidang miring dapat dibandingkan dengan lebih jelas.

Gagasan pentingnya adalah:

Menguraikan sebuah vektor tidak mengubah vektor tersebut. Yang berubah adalah cara kita menggambarkannya.

03Trigonometri di balik komponen vektor

Menguraikan sebuah vektor membentuk segitiga siku-siku.

Misalkan sebuah vektor memiliki besar \(V\) dan membentuk sudut \(\theta\) di atas arah horizontal positif.

Komponennya adalah:

\[ V_x = V\cos\theta \]

\[ V_y = V\sin\theta \]

Di sini:

• \(V\) adalah besar vektor awal
• \(V_x\) adalah komponen horizontalnya
• \(V_y\) adalah komponen vertikalnya
• \(\theta\) adalah sudut yang diukur dari arah horizontal positif

Mengapa menggunakan kosinus untuk arah horizontal dan sinus untuk arah vertikal?

Ingat kembali perbandingan trigonometri dasar:

\[ \cos\theta = \frac{\text{sisi samping}}{\text{sisi miring}}, \qquad \sin\theta = \frac{\text{sisi depan}}{\text{sisi miring}} \]

Dalam segitiga vektor kita, vektor awal \(V\) adalah sisi miring. Jika \(\theta\) diukur dari horizontal, \(V_x\) adalah sisi yang berdekatan dengan sudut dan \(V_y\) adalah sisi yang berhadapan dengan sudut.

Jadi:

\[ \cos\theta = \frac{V_x}{V} \]

yang dapat disusun ulang menjadi \(V_x = V\cos\theta\).

Demikian pula:

\[ \sin\theta = \frac{V_y}{V} \]

sehingga \(V_y = V\sin\theta\).

Dari sinilah rumus komponen berasal. Rumus-rumus tersebut bukan sesuatu yang harus dihafalkan secara terpisah dari trigonometri.

04Jangan menghafal bahwa “kosinus selalu untuk horizontal”

Ini adalah salah satu kesalahan komponen yang paling mudah dilakukan.

Misalkan vektor yang sama dijelaskan menggunakan sudut yang diukur dari vertikal, bukan dari horizontal. Komponen mana yang sekarang berdekatan dengan sudut tersebut?

Komponen vertikal.

Jadi, dalam kasus ini:

\[ V_y = V\cos\theta \]

dan

\[ V_x = V\sin\theta \]

Aturan yang berguna bukanlah “horizontal berarti kosinus”.

Aturan yang berguna adalah:

• komponen yang berdekatan dengan sudut: gunakan kosinus
• komponen yang berhadapan dengan sudut: gunakan sinus

Selalu perhatikan dari mana sudut digambar.

05Komponen memerlukan tanda, bukan hanya besar

Sejauh ini, vektor kita mengarah ke atas dan ke kanan. Kedua komponennya positif.

Namun, vektor dapat mengarah ke arah mana pun. Sebelum menguraikan vektor, pilih konvensi tanda.

Pilihan yang umum adalah:

• kanan adalah \(x\) positif
• kiri adalah \(x\) negatif
• atas adalah \(y\) positif
• bawah adalah \(y\) negatif

Tanda menunjukkan arah suatu komponen. Tanda bukanlah bagian dari trigonometri itu sendiri.

Sebagai contoh, kecepatan yang mengarah ke bawah dan ke kanan memiliki:

• komponen \(x\) positif
• komponen \(y\) negatif

Gaya yang mengarah ke atas dan ke kiri memiliki:

• komponen \(x\) negatif
• komponen \(y\) positif

06Tentukan arahnya sebelum menggunakan kalkulator

Misalkan sebuah kecepatan mengarah ke bawah dan ke kiri.

Sebelum menghitung, Anda sudah mengetahui bahwa:

\[ v_x < 0 \]

dan

\[ v_y < 0 \]

Prediksi ini berguna. Jika kalkulator kemudian memberikan dua angka positif, Anda tahu bahwa Anda belum memasukkan arah ke dalam jawaban.

Salah satu metode yang aman adalah:

1. tentukan besar komponen menggunakan segitiga siku-siku
2. berikan tanda pada setiap komponen berdasarkan diagram dan sumbu yang telah Anda pilih

Cara ini sering kali lebih jelas daripada mengandalkan tanda yang diberikan kalkulator ketika menggunakan sudut-sudut yang tidak biasa.

07Pemeriksaan cepat menggunakan Teorema Pythagoras

Komponen-komponen harus dapat digabungkan kembali untuk menghasilkan besar vektor awal.

Karena kedua komponen saling tegak lurus:

\[ V^2 = V_x^2 + V_y^2 \]

sehingga:

\[ V = \sqrt{V_x^2 + V_y^2} \]

Untuk contoh sebelumnya:

\[ \sqrt{(-7.61)^2 + (-16.3)^2} \approx 18.0\text{ m s}^{-1} \]

Tanda negatif hilang ketika dikuadratkan, dan hal ini masuk akal. Teorema Pythagoras memeriksa besar, bukan arah.

Ini merupakan pemeriksaan kesalahan yang berguna. Jika komponen yang Anda peroleh menghasilkan besar yang jauh berbeda dari vektor awal, berarti ada sesuatu yang salah.

08Komponen bukanlah bagian yang dijumlahkan secara biasa

Kesalahan yang menggoda adalah berpikir bahwa jika gaya \(100\text{ N}\) memiliki komponen \(F_x\) dan \(F_y\), maka:

\[ F_x + F_y = 100\text{ N} \]

Secara umum, hal itu salah.

Mengapa gagasan ini terasa masuk akal? Karena besaran biasa sering kali dapat dibagi menjadi bagian-bagian yang dijumlahkan secara langsung. Jika $100 dibagi antara dua orang, jumlah uang yang mereka terima akan menjadi $100.

Komponen vektor yang saling tegak lurus tidak bekerja seperti itu. Komponen-komponen tersebut mengarah ke arah yang berbeda. Jumlah vektornya menghasilkan vektor awal.

Sebagai contoh, gaya \(100\text{ N}\) pada sudut \(45^\circ\) memiliki komponen:

\[ F_x = 100\cos45^\circ = 70.7\text{ N} \]

\[ F_y = 100\sin45^\circ = 70.7\text{ N} \]

Jumlah numerik biasa keduanya adalah \(141.4\text{ N}\), tetapi vektor awal tidak tiba-tiba menjadi lebih besar.

Dengan menggunakan Teorema Pythagoras:

\[ F = \sqrt{70.7^2 + 70.7^2} \approx 100\text{ N} \]

Komponen yang saling tegak lurus bergabung secara geometris, bukan dengan sekadar menjumlahkan besarnya.

09Memilih sumbu dapat mempermudah persoalan

Sumbu horizontal dan vertikal umum digunakan, tetapi tidak wajib.

Bayangkan sebuah balok diam di atas bidang miring. Jika Anda memilih sumbu horizontal dan vertikal biasa, beberapa gaya mungkin membentuk sudut yang kurang praktis. Sebagai gantinya, sering kali lebih baik memilih:

• satu sumbu sejajar dengan bidang miring
• satu sumbu tegak lurus terhadap bidang miring

Anda kemudian dapat menguraikan gaya berat menjadi komponen-komponen sepanjang sumbu tersebut.

Ini tetap merupakan metode vektor yang sama. Hanya sistem koordinatnya yang berubah.

Fisika tidak bergantung pada sumbu mana yang Anda pilih. Pilihan yang masuk akal hanya membuat persamaan menjadi lebih mudah.

10Metode yang andal untuk soal HSC

Ketika menguraikan sebuah vektor, gunakan urutan berikut:

1. Gambar atau periksa vektor dan sumbunya.
2. Pilih arah positif.
3. Prediksi tanda setiap komponen.
4. Tentukan posisi sudut yang diberikan.
5. Identifikasi komponen yang berdekatan dan yang berhadapan dengan sudut.
6. Gunakan kosinus untuk komponen yang berdekatan dan sinus untuk komponen yang berhadapan.
7. Terapkan tanda yang benar.
8. Periksa apakah komponen-komponen tersebut masuk akal secara fisika.

Untuk vektor dengan besar \(V\) pada sudut \(\theta\) dari arah horizontal positif, hal ini sering kali dapat disederhanakan menjadi:

\[ V_x = V\cos\theta, \qquad V_y = V\sin\theta \]

Namun, rumus ringkas ini hanya aman digunakan jika Anda memahami dari mana sudut diukur dan arah mana yang ditetapkan sebagai positif oleh sumbu Anda.

11Pertanyaan dan solusi

Pertanyaan 1

Seorang pesepeda bergerak dengan kecepatan \(12.0\text{ m s}^{-1}\) pada arah \(20^\circ\) ke utara dari timur. Ambil timur sebagai \(x\) positif dan utara sebagai \(y\) positif.

Tentukan komponen kecepatan pesepeda ke arah timur dan ke arah utara.

Solusi 1

Komponennya kira-kira \(11.3\text{ m s}^{-1}\) ke timur dan \(4.10\text{ m s}^{-1}\) ke utara.

Sudut diukur dari arah horizontal ke timur, sehingga komponen ke timur berdekatan dengan sudut dan komponen ke utara berhadapan dengan sudut.

\[ v_x = v\cos\theta \]

\[ v_y = v\sin\theta \]

Dengan memasukkan \(v = 12.0\text{ m s}^{-1}\) dan \(\theta = 20^\circ\):

\[ v_x = 12.0\cos20^\circ = 11.28\text{ m s}^{-1} \]

\[ v_y = 12.0\sin20^\circ = 4.10\text{ m s}^{-1} \]

Oleh karena itu:

\[ v_x \approx 11.3\text{ m s}^{-1}, \qquad v_y \approx 4.10\text{ m s}^{-1} \]

Kedua komponen positif karena kecepatan mengarah ke timur dan utara.

Pertanyaan 2

Gaya sebesar \(75.0\text{ N}\) bekerja pada sudut \(40^\circ\) ke kanan dari arah vertikal ke atas. Ambil kanan sebagai \(x\) positif dan atas sebagai \(y\) positif.

Tentukan komponen \(x\) dan \(y\) dari gaya tersebut.

Solusi 2

Komponennya adalah \(48.2\text{ N}\) dalam arah \(x\) positif dan \(57.5\text{ N}\) dalam arah \(y\) positif.

Hal yang dapat menjebak adalah bahwa sudut diukur dari arah vertikal, bukan horizontal. Oleh karena itu, komponen vertikal berdekatan dengan sudut \(40^\circ\).

Untuk komponen horizontal:

\[ F_x = F\sin\theta \]

\[ F_x = 75.0\sin40^\circ = 48.2\text{ N} \]

Untuk komponen vertikal:

\[ F_y = F\cos\theta \]

\[ F_y = 75.0\cos40^\circ = 57.5\text{ N} \]

Oleh karena itu:

\[ F_x = +48.2\text{ N}, \qquad F_y = +57.5\text{ N} \]

Menggunakan kosinus untuk komponen horizontal hanya karena menganggap “horizontal adalah kosinus” akan membuat kedua jawaban tertukar.

Pertanyaan 3

Sebuah pesawat kecil memiliki kecepatan relatif terhadap udara sebesar \(65.0\text{ m s}^{-1}\), dengan arah \(32^\circ\) ke selatan dari barat.

Ambil timur sebagai \(x\) positif dan utara sebagai \(y\) positif.

Tentukan komponen kecepatannya dan verifikasi bahwa komponen tersebut menghasilkan kembali kelajuan awal.

Solusi 3

Komponen kecepatannya kira-kira \(-55.1\text{ m s}^{-1}\) dalam arah \(x\) dan \(-34.4\text{ m s}^{-1}\) dalam arah \(y\), dan keduanya bergabung kembali menghasilkan \(65.0\text{ m s}^{-1}\).

Barat adalah \(x\) negatif, dan selatan adalah \(y\) negatif. Sudut \(32^\circ\) diukur dari barat, yang merupakan arah horizontal.

Besar komponen horizontal adalah:

\[ |v_x| = v\cos\theta \]

\[ |v_x| = 65.0\cos32^\circ = 55.1\text{ m s}^{-1} \]

Oleh karena itu:

\[ v_x = -55.1\text{ m s}^{-1} \]

Besar komponen vertikal adalah:

\[ |v_y| = v\sin\theta \]

\[ |v_y| = 65.0\sin32^\circ = 34.4\text{ m s}^{-1} \]

Oleh karena itu:

\[ v_y = -34.4\text{ m s}^{-1} \]

Memeriksa besarnya:

\[ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(-55.1)^2 + (-34.4)^2} \approx 65.0\text{ m s}^{-1} \]

Pemeriksaan ini menegaskan bahwa besar komponen konsisten dengan kecepatan awal. Tanda-tandanya kemudian memberi tahu kita bahwa pesawat bergerak ke barat dan selatan.

Pertanyaan 4

Seorang siswa menguraikan gaya sebesar \(90.0\text{ N}\) dan memperoleh komponen \(72.0\text{ N}\) ke kanan dan \(54.0\text{ N}\) ke atas.

Siswa lain mengatakan bahwa jawaban tersebut pasti salah karena \(72.0 + 54.0 = 126.0\text{ N}\), yang lebih besar daripada gaya awal sebesar \(90.0\text{ N}\).

Tentukan apakah komponen tersebut mungkin, dan jelaskan penalaran siswa mana yang benar.

Solusi 4

Komponen tersebut mungkin, dan penalaran siswa kedua salah.

Komponen vektor yang saling tegak lurus tidak harus dijumlahkan secara numerik untuk menghasilkan besar vektor awal. Komponen-komponen tersebut digabungkan menggunakan Teorema Pythagoras karena arahnya membentuk sudut \(90^\circ\) satu sama lain.

Besar yang dihasilkan oleh komponen yang diusulkan adalah:

\[ F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} \]

\[ F = \sqrt{(72.0)^2 + (54.0)^2} = \sqrt{5184 + 2916} = \sqrt{8100} = 90.0\text{ N} \]

Jadi, komponen tersebut menghasilkan kembali gaya awal sebesar \(90.0\text{ N}\) secara tepat.

Kesalahan yang menggoda adalah memperlakukan komponen vektor yang saling tegak lurus seperti bagian-bagian skalar biasa. Jumlah aritmetiknya, \(126.0\text{ N}\), tidak memiliki makna yang berguna sebagai besar gaya awal.

Pertanyaan 5

Sebuah gaya memiliki besar \(120\text{ N}\). Komponen horizontalnya adalah \(+120\text{ N}\).

Seorang siswa berpendapat bahwa gaya tersebut masih dapat memiliki komponen vertikal yang tidak nol karena soal hanya memberikan komponen horizontal.

Apakah itu mungkin? Berikan alasan untuk jawaban Anda tanpa hanya mengandalkan diagram.

Solusi 5

Tidak. Jika gaya total memiliki besar \(120\text{ N}\) dan komponen horizontalnya sudah memiliki besar \(120\text{ N}\), komponen vertikalnya harus nol.

Besar sebuah vektor dan komponen-komponennya yang saling tegak lurus berhubungan melalui:

\[ F^2 = F_x^2 + F_y^2 \]

Dengan memasukkan \(F = 120\text{ N}\) dan \(F_x = 120\text{ N}\):

\[ (120)^2 = (120)^2 + F_y^2 \]

Mengurangkan \((120)^2\) dari kedua ruas menghasilkan:

\[ F_y^2 = 0 \]

sehingga:

\[ F_y = 0\text{ N} \]

Komponen vertikal apa pun yang tidak nol akan membuat

\[ \sqrt{F_x^2 + F_y^2} \]

lebih besar daripada \(120\text{ N}\).

Ini merupakan kasus batas yang berguna. Sebuah komponen hanya dapat sama dengan seluruh besar vektor jika vektor tersebut sepenuhnya terletak sepanjang sumbu komponen itu.

12Ke mana pemahaman tentang komponen membawa Anda selanjutnya

Setelah Anda dapat menguraikan vektor dengan andal, beberapa konsep Fisika HSC menjadi jauh lebih mudah dipahami. Anda dapat memisahkan kecepatan proyektil menjadi gerak horizontal dan vertikal, menguraikan gaya pada bidang miring, dan menerapkan hukum Newton secara terpisah sepanjang sumbu yang dipilih.

Langkah berikutnya bukanlah mempelajari sepasang rumus trigonometri lainnya. Langkah berikutnya adalah belajar memilih sumbu yang membuat persoalan fisika menjadi sederhana, kemudian memperlakukan setiap arah sebagai persamaannya sendiri sambil tetap mengingat bahwa kedua persamaan tersebut menggambarkan situasi fisik yang sama.