Jarak dan Perpindahan pada Bidang: Panduan Fisika HSC
Pelajari cara memodelkan perjalanan dua dimensi menggunakan jarak, perpindahan, komponen vektor, dan vektor resultan, dengan contoh soal bergaya HSC.
Pelacak kebugaran Anda menunjukkan bahwa Anda berjalan sejauh 420 m. Sebuah peta menunjukkan bahwa posisi akhir Anda hanya 110 m dari tempat Anda mulai. Pengukuran mana yang salah?
Tidak ada. Keduanya mengukur hal yang berbeda. Jarak memperhitungkan seluruh lintasan yang Anda tempuh. Perpindahan hanya memperhitungkan perubahan dari posisi awal ke posisi akhir.
Perbedaan ini menjadi sangat penting ketika gerak terjadi dalam dua dimensi. Begitu suatu perjalanan mencakup gerak timur-barat dan utara-selatan, sekadar menjumlahkan angka tidak lagi cukup. Anda memerlukan vektor.
01Mulailah dengan lintasan yang dapat Anda bayangkan
Bayangkan Anda berjalan 60 m ke timur, lalu berbelok ke kiri dan berjalan 80 m ke utara.
Sebelum menghitung apa pun, buat perkiraan: apakah perpindahan Anda 140 m?
Tidak mungkin. Angka 140 m menggambarkan lintasan yang benar-benar Anda tempuh. Perpindahan Anda adalah perubahan posisi dalam garis lurus dari titik awal ke titik akhir.
Ini memberi kita perbedaan penting pertama:
| Besaran | Apa yang diukur | Jenis |
|---|---|---|
| Jarak | Panjang total lintasan yang ditempuh | Skalar |
| Perpindahan | Perubahan posisi dari awal hingga akhir | Vektor |
Sebuah skalar hanya memiliki besar. Sebuah vektor memiliki besar dan arah.
Jadi, 140 m adalah jarak yang valid. Namun, informasi itu belum cukup untuk menyatakan perpindahan karena tidak ada arah yang diberikan.
02Perpindahan mengabaikan rute di antara titik awal dan titik akhir
Bayangkan perpindahan seperti seorang teman yang sangat tidak sabar. Anda mulai menceritakan seluruh perjalanan Anda, lalu mereka menyela, “Baiklah, tetapi dari mana kamu mulai, dan di mana kamu berakhir?”
Segala sesuatu di antaranya tidak relevan bagi perpindahan.
Secara formal, perpindahan adalah
\[ \Delta \vec r = \vec r_f - \vec r_i \]
dengan:
- \(\Delta \vec r\) adalah vektor perpindahan
- \(\vec r_i\) adalah vektor posisi awal
- \(\vec r_f\) adalah vektor posisi akhir
Simbol segitiga \(\Delta\) berarti “perubahan pada”.
Definisi ini menjelaskan sebuah hasil penting. Jika Anda meninggalkan rumah, berkeliling sejauh 2 km, lalu kembali dan berakhir di rumah, jarak Anda adalah 2 km tetapi perpindahan Anda nol.
Perpindahan nol tidak berarti tidak ada gerakan.
03Menjumlahkan gerak dalam dua dimensi
Misalkan sebuah benda bergerak beberapa kali sebelum mencapai posisi akhirnya. Setiap gerakan dapat direpresentasikan oleh sebuah vektor.
Perpindahan total adalah jumlah vektor:
\[ \Delta \vec r = \vec d_1 + \vec d_2 + \vec d_3 + \cdots \]
dengan setiap \(\vec d\) mewakili satu perpindahan selama perjalanan.
Ada dua cara utama untuk melakukan penjumlahan ini:
- menggambar vektor secara ujung-ke-pangkal
- menguraikan setiap vektor menjadi komponen-komponen yang saling tegak lurus, lalu menjumlahkan komponennya
Metode gambar membantu membangun intuisi. Metode komponen lebih andal untuk perhitungan.
Contoh soal: Perjalanan bersudut siku-siku
Seorang siswa berjalan 30 m ke timur lalu 40 m ke utara. Tentukan jarak total serta besar dan arah perpindahannya.
Langkah 1
\[ \text{jarak} = 30 + 40 = 70\text{ m} \]
Jarak adalah skalar, sehingga kedua panjang lintasan dapat langsung dijumlahkan.
Langkah 2
Posisi akhir berada 30 m di sebelah timur dan 40 m di sebelah utara dari titik awal.
Karena komponen-komponen ini saling tegak lurus, besar perpindahan \(d\) dapat ditentukan menggunakan teorema Pythagoras:
\[ d = \sqrt{(30)^2 + (40)^2} = \sqrt{2500} = 50\text{ m} \]
Langkah 3
Misalkan \(\theta\) adalah sudut ke utara dari arah timur.
\[ \tan\theta = \frac{40}{30} \]
\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{40}{30}\right) = 53.1^\circ \]
Siswa tersebut menempuh jarak 70 m, tetapi perpindahannya adalah 50 m pada \(53.1^\circ\) ke utara dari timur.
Perpindahan yang lebih kecil ini masuk akal. Garis lurus antara dua titik lebih pendek daripada menempuh dua sisi segitiga siku-siku.
04Mengapa Pythagoras tidak selalu dapat langsung digunakan
Kesalahan umum adalah melihat dua vektor perpindahan lalu langsung menuliskan
\[ d = \sqrt{d_1^2+d_2^2} \]
Persamaan tersebut hanya berlaku ketika dua besaran yang dikuadratkan merupakan komponen yang saling tegak lurus.
Jika satu perpindahan mengarah ke timur laut dan perpindahan lainnya ke barat, keduanya belum tentu saling tegak lurus. Uraikan terlebih dahulu vektor yang bersudut menjadi komponen timur-barat dan utara-selatan.
Inilah langkah utama dalam sebagian besar soal perpindahan dua dimensi.
05Menguraikan vektor menjadi komponen
Misalkan sebuah perpindahan dengan besar \(d\) membentuk sudut \(\theta\) ke utara dari arah timur.
Anda dapat mengganti satu vektor bersudut tersebut dengan dua vektor yang saling tegak lurus:
\[ d_x = d\cos\theta \]
\[ d_y = d\sin\theta \]
dengan:
- \(d_x\) adalah komponen horizontal
- \(d_y\) adalah komponen vertikal
- \(d\) adalah besar perpindahan semula
- \(\theta\) adalah sudut yang diukur dari arah horizontal positif
Mengapa kosinus untuk komponen horizontal dan sinus untuk komponen vertikal?
Dalam segitiga siku-siku yang dibentuk oleh vektor, komponen horizontal merupakan sisi yang berdekatan dengan \(\theta\), sedangkan komponen vertikal merupakan sisi yang berhadapan dengan \(\theta\).
Jadi:
\[ \cos\theta=\frac{\text{sisi berdekatan}}{\text{hipotenusa}} \]
dan
\[ \sin\theta=\frac{\text{sisi berhadapan}}{\text{hipotenusa}} \]
Vektor tersebut tidak secara fisik terpecah menjadi dua gerakan. Komponen-komponen itu merupakan deskripsi matematis dari gerakan yang sama.
06Tentukan arah positif sebelum menghitung
Tanda penting karena perpindahan memiliki arah.
Konvensi yang umum adalah:
- timur: \(x\) positif
- barat: \(x\) negatif
- utara: \(y\) positif
- selatan: \(y\) negatif
Anda dapat memilih konvensi sebaliknya dan tetap mendapatkan fisika yang benar, asalkan Anda konsisten.
Sebagai contoh, 25 m ke barat adalah
\[ d_x=-25\text{ m} \]
sedangkan 12 m ke utara adalah
\[ d_y=+12\text{ m} \]
Tanda negatif tidak berarti jaraknya negatif. Tanda tersebut mencatat arah sepanjang sumbu yang Anda pilih.
07Jumlahkan komponen sebelum menentukan resultan
Setelah setiap perpindahan diuraikan, jumlahkan semua komponen horizontal dan semua komponen vertikal:
\[ \Delta x = d_{1x}+d_{2x}+\cdots \]
\[ \Delta y = d_{1y}+d_{2y}+\cdots \]
Di sini, \(\Delta x\) adalah perpindahan horizontal bersih dan \(\Delta y\) adalah perpindahan vertikal bersih.
Kemudian hitung besar perpindahan total:
\[ d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} \]
dan gunakan trigonometri untuk menentukan arahnya.
Metode ini berhasil karena \(\Delta x\) dan \(\Delta y\) saling tegak lurus, meskipun vektor-vektor perpindahan semula tidak.
Contoh soal: Perjalanan bersudut yang dilanjutkan dengan gerak ke barat
Sebuah robot lapangan bergerak 120 m pada \(35^\circ\) ke utara dari timur, lalu bergerak 80 m tepat ke barat. Tentukan jarak total dan perpindahan akhirnya.
Langkah 1
Robot benar-benar menempuh kedua segmen lintasan, sehingga
\[ \text{jarak}=120+80=200\text{ m} \]
Langkah 2
Untuk perpindahan 120 m,
\[ d_x=120\cos35^\circ=98.3\text{ m} \]
\[ d_y=120\sin35^\circ=68.8\text{ m} \]
Jadi, gerakan pertama memberikan kontribusi 98.3 m ke timur dan 68.8 m ke utara.
Langkah 3
Perpindahan kedua memiliki komponen
\[ d_x=-80\text{ m}, \qquad d_y=0 \]
Oleh karena itu,
\[ \Delta x=98.3-80=18.3\text{ m} \]
\[ \Delta y=68.8+0=68.8\text{ m} \]
Robot berakhir 18.3 m di sebelah timur dan 68.8 m di sebelah utara dari titik awalnya.
Langkah 4
\[ d=\sqrt{(18.3)^2+(68.8)^2} =71.2\text{ m} \]
Langkah 5
Misalkan \(\theta\) adalah sudut ke utara dari arah timur.
\[ \tan\theta=\frac{68.8}{18.3} \]
\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{68.8}{18.3}\right) =75.1^\circ \]
Robot menempuh jarak 200 m, tetapi perpindahan akhirnya adalah 71.2 m pada \(75.1^\circ\) ke utara dari timur.
Perhatikan apa yang terjadi. Perjalanan ke barat meniadakan sebagian besar komponen ke timur dari perjalanan pertama, tetapi sama sekali tidak meniadakan komponen ke utara.
08Arah resultan perlu diperiksa agar masuk akal
Kalkulator Anda mungkin memberikan sudut seperti \(30^\circ\), tetapi sudut saja tidak menunjukkan di kuadran mana vektor tersebut berada.
Misalkan Anda menghitung
\[ \Delta x=-20\text{ m}, \qquad \Delta y=15\text{ m} \]
Perpindahan mengarah ke barat dan utara, sehingga vektor tersebut harus berada di kuadran barat laut.
Jika Anda menghitung
\[ \tan^{-1}\left(\frac{15}{20}\right)=36.9^\circ \]
arah lengkapnya adalah \(36.9^\circ\) ke utara dari barat.
Selalu periksa tanda komponen sebelum menyatakan suatu arah.
Hasil kalkulator bukan pengganti pemahaman tentang ke arah mana vektor menunjuk.
09Jarak dan perpindahan mengikuti aturan yang berbeda
Siswa sering mencoba memperlakukan jarak seolah-olah jarak adalah perhitungan komponen lainnya.
Bukan demikian.
Untuk perjalanan yang terdiri atas beberapa segmen lurus:
\[ \text{jarak}=d_1+d_2+d_3+\cdots \]
dengan setiap \(d\) merupakan panjang positif dari satu segmen.
Untuk perpindahan, arah berpengaruh:
\[ \Delta \vec r=\vec d_1+\vec d_2+\vec d_3+\cdots \]
Hal ini menghasilkan aturan yang berguna:
\[ \text{besar perpindahan}\leq \text{jarak yang ditempuh} \]
Kedua besaran tersebut sama hanya ketika benda bergerak langsung dari titik awal ke titik akhir tanpa berubah arah atau bergerak kembali ke arah sebelumnya.
Jika perhitungan Anda menghasilkan besar perpindahan yang lebih besar daripada jarak yang ditempuh, berarti ada sesuatu yang salah.
10Metode yang andal untuk perjalanan dua dimensi
Untuk sebagian besar soal perpindahan bergaya HSC, gunakan urutan berikut:
- Tentukan arah positif \(x\) dan \(y\).
- Uraikan setiap perpindahan bersudut menjadi komponen \(x\) dan \(y\).
- Berikan tanda yang benar pada setiap komponen.
- Jumlahkan semua komponen \(x\).
- Jumlahkan semua komponen \(y\).
- Gunakan teorema Pythagoras pada komponen bersih.
- Gunakan trigonometri untuk menentukan arah.
- Periksa tanda untuk menentukan kuadran yang benar.
- Jika jarak juga diminta, jumlahkan panjang segmen lintasan yang sebenarnya secara terpisah.
Gagasan pentingnya ada pada langkah 6. Pythagoras digunakan pada bagian akhir, setelah Anda memperoleh dua komponen bersih yang saling tegak lurus.
11Pertanyaan dan solusi
Pertanyaan 1
Seorang pesepeda bergerak 90 m ke timur lalu 120 m ke utara.
Hitung jarak total yang ditempuh dan perpindahan pesepeda tersebut dari titik awal.
Solusi 1
Pesepeda tersebut menempuh jarak 210 m dan memiliki perpindahan 150 m pada \(53.1^\circ\) ke utara dari timur.
Jarak adalah panjang seluruh lintasan:
\[ \text{jarak}=90+120=210\text{ m} \]
Perpindahan ke timur dan ke utara saling tegak lurus, sehingga besar perpindahannya adalah
\[ d=\sqrt{(90)^2+(120)^2} =\sqrt{22500} =150\text{ m} \]
Untuk arahnya,
\[ \tan\theta=\frac{120}{90} \]
\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{120}{90}\right) =53.1^\circ \]
Jadi, perubahan posisi dalam garis lurus adalah 150 m pada \(53.1^\circ\) ke utara dari timur. Menjumlahkan 90 m dan 120 m untuk memperoleh 210 m akan menghasilkan jarak, bukan perpindahan.
Pertanyaan 2
Sebuah drone survei bergerak 150 m pada \(40^\circ\) ke utara dari timur. Drone tersebut kemudian bergerak 90 m tepat ke selatan.
Tentukan besar dan arah perpindahan akhirnya dari titik awal.
Solusi 2
Perpindahan akhir drone kira-kira 115 m pada \(33^\circ\) ke utara dari timur.
Pertama, uraikan perpindahan 150 m:
\[ d_x=150\cos40^\circ=114.9\text{ m} \]
\[ d_y=150\sin40^\circ=96.4\text{ m} \]
Gerakan kedua adalah 90 m ke selatan, sehingga komponen vertikalnya adalah \(-90\text{ m}\).
Oleh karena itu,
\[ \Delta x=114.9\text{ m} \]
\[ \Delta y=96.4-90=6.4\text{ m} \]
Besarnya adalah
\[ d=\sqrt{(114.9)^2+(6.4)^2} \approx115.1\text{ m} \]
Untuk arahnya,
\[ \theta=\tan^{-1}\left(\frac{6.4}{114.9}\right) \approx3.2^\circ \]
Jadi, perpindahannya kira-kira 115 m pada \(3.2^\circ\) ke utara dari timur.
Hal penting yang perlu dihindari adalah menganggap gerakan kedua sejauh 90 m harus langsung dikurangkan dari besar 150 m. Hal itu tidak dapat dilakukan karena kedua vektor tidak terletak pada garis yang sama. Hanya komponen-komponen yang searah yang dapat langsung dijumlahkan atau dikurangkan.
Pertanyaan 3
Seorang siswa berjalan 70 m ke timur, 40 m ke utara, 70 m ke barat, dan 10 m ke selatan.
Seorang teman sekelas menyatakan bahwa perpindahannya nol karena gerakan ke timur dan ke barat saling meniadakan.
Tentukan jarak yang ditempuh dan perpindahan sebenarnya. Jelaskan kesalahan dalam penalaran teman sekelas tersebut.
Solusi 3
Siswa tersebut menempuh jarak 190 m dan memiliki perpindahan 30 m ke utara.
Jarak total adalah
\[ \text{jarak}=70+40+70+10=190\text{ m} \]
Untuk perpindahan, jumlahkan komponennya.
Secara horizontal,
\[ \Delta x=70-70=0\text{ m} \]
Secara vertikal,
\[ \Delta y=40-10=30\text{ m} \]
Oleh karena itu,
\[ d=\sqrt{0^2+30^2}=30\text{ m} \]
Teman sekelas tersebut hanya benar sebagian. Komponen timur-barat memang saling meniadakan, tetapi komponen utara-selatan tidak. Siswa berakhir 30 m di sebelah utara titik awal.
Sebuah vektor dapat memiliki perpindahan nol dalam satu dimensi tanpa memiliki perpindahan total nol.
Pertanyaan 4
Dua vektor perpindahan masing-masing memiliki besar 50 m. Sudut di antara keduanya adalah \(60^\circ\).
Seorang siswa berpendapat bahwa perpindahan resultannya pasti 100 m karena \(50+50=100\).
Tanpa menganggap kedua vektor saling tegak lurus, tentukan besar resultannya.
Solusi 4
Perpindahan resultan memiliki besar kira-kira 86.6 m, bukan 100 m.
Pilih perpindahan pertama sebesar 50 m agar mengarah sepanjang sumbu \(x\) positif. Komponennya adalah
\[ d_{1x}=50\text{ m}, \qquad d_{1y}=0 \]
Vektor kedua berada \(60^\circ\) di atas vektor pertama, sehingga
\[ d_{2x}=50\cos60^\circ=25\text{ m} \]
\[ d_{2y}=50\sin60^\circ=43.3\text{ m} \]
Dengan demikian, komponen bersihnya adalah
\[ \Delta x=50+25=75\text{ m} \]
\[ \Delta y=43.3\text{ m} \]
Sekarang komponen bersih saling tegak lurus, sehingga teorema Pythagoras dapat digunakan:
\[ d=\sqrt{(75)^2+(43.3)^2} \]
\[ d\approx86.6\text{ m} \]
Hasil 100 m dari siswa tersebut hanya akan benar jika kedua perpindahan menunjuk tepat ke arah yang sama.
Menghitung \(\sqrt{50^2+50^2}\) juga akan salah, karena vektor semula dipisahkan oleh sudut \(60^\circ\), bukan \(90^\circ\).
Pertanyaan 5
Sebuah robot mula-mula bergerak 100 m pada \(30^\circ\) ke utara dari timur. Robot tersebut kemudian bergerak tepat ke barat.
Setelah kedua gerakan tersebut, robot berada tepat di sebelah utara titik awalnya.
Tentukan jarak gerakan ke barat dan perpindahan akhir robot.
Solusi 5
Robot harus bergerak 86.6 m ke barat, dan perpindahan akhirnya adalah 50.0 m ke utara.
Uraikan perpindahan pertama:
\[ d_x=100\cos30^\circ=86.6\text{ m} \]
\[ d_y=100\sin30^\circ=50.0\text{ m} \]
Agar robot berakhir tepat di sebelah utara titik awalnya, perpindahan horizontal bersihnya harus nol.
Oleh karena itu, gerakan ke barat harus meniadakan komponen 86.6 m ke timur:
\[ 86.6-d_{\text{barat}}=0 \]
sehingga
\[ d_{\text{barat}}=86.6\text{ m} \]
Gerakan ke barat tidak memiliki komponen vertikal, sehingga komponen 50.0 m ke utara tetap tidak berubah.
Jadi,
\[ \Delta x=0 \]
\[ \Delta y=50.0\text{ m} \]
dan perpindahan akhirnya adalah 50.0 m ke utara.
Gagasan tersembunyinya adalah bahwa “tepat di sebelah utara” bukan sekadar deskripsi sudut. Frasa tersebut memberikan suatu batasan matematis: komponen horizontal akhir harus sama dengan nol.
12Apa yang dapat dipahami selanjutnya dari konsep ini
Menguraikan perpindahan menjadi komponen bukan sekadar trik untuk soal perjalanan. Struktur yang sama muncul di seluruh Fisika HSC.
Kecepatan dapat diuraikan menjadi komponen horizontal dan vertikal. Begitu pula percepatan dan gaya. Gerak proyektil menjadi lebih mudah ditangani karena gerak horizontal dan vertikal dapat dianalisis secara terpisah sebelum digabungkan kembali.
Kebiasaan yang perlu dipertahankan sederhana: ketika suatu soal vektor terlihat rumit, tanyakan bagian mana yang mengarah sepanjang sumbu yang Anda pilih. Jumlahkan komponen-komponen tersebut terlebih dahulu. Susun kembali resultannya hanya setelah arah-arah terpisah tersebut sudah masuk akal.