Perubahan Kecepatan dan Pengurangan Vektor untuk Fisika HSC

Sebuah mobil bergerak ke timur dengan kecepatan 15 m/s. Beberapa detik kemudian, mobil tersebut bergerak ke utara dengan kecepatan 15 m/s. Speedometer menunjukkan angka yang sama pada kedua saat tersebut.

Jadi, apakah kecepatannya berubah?

Coba prediksi sebelum melanjutkan membaca. Mudah tergoda untuk mengatakan tidak karena kelajuannya tetap 15 m/s. Namun, kecepatan mencakup arah selain kelajuan. Berbelok ke utara mengubah kecepatan, meskipun besarnya tetap konstan.

Pertanyaan yang berguna bukan hanya “seberapa cepat benda bergerak sekarang?” Pertanyaannya adalah:

Vektor apa yang harus ditambahkan pada kecepatan awal agar menjadi kecepatan akhir?

Vektor tersebut adalah perubahan kecepatan.

01Bayangkan kecepatan sebagai sebuah panah

Vektor kecepatan dapat digambarkan sebagai sebuah panah.

• Panjang panah merepresentasikan kelajuan.
• Arah panah merepresentasikan arah gerak.

Kecepatan 10 m/s ke timur dapat direpresentasikan oleh panah yang menunjuk ke timur. Kecepatan 10 m/s ke utara memiliki panjang yang sama, tetapi menunjuk ke utara.

Artinya, dua benda dapat memiliki kelajuan yang sama tetapi kecepatan yang benar-benar berbeda.

Ini memberi kita model mental pertama:

Perubahan kecepatan adalah panah yang membawa Anda dari panah kecepatan awal ke panah kecepatan akhir.

Model ini berguna, tetapi memerlukan satu syarat penting. Vektor kecepatan awal dan akhir harus dibandingkan dari titik awal yang sama.

02Aturan pengurangan vektor

Kita menuliskan kecepatan awal sebagai \(\vec v_i\), dengan \(i\) berarti awal, dan kecepatan akhir sebagai \(\vec v_f\).

Perubahan kecepatan adalah

\[
\Delta \vec v = \vec v_f – \vec v_i
\]

Di sini:

• \(\Delta\) berarti “perubahan pada”
• \(\vec v\) berarti kecepatan
• \(\vec v_i\) adalah kecepatan awal
• \(\vec v_f\) adalah kecepatan akhir

Urutannya penting.

Urutannya selalu:

akhir dikurangi awal

bukan awal dikurangi akhir.

Mengapa? Susun ulang persamaannya:

\[
\vec v_f = \vec v_i + \Delta \vec v
\]

Jadi, \(\Delta \vec v\) tepat merupakan vektor kecepatan yang harus ditambahkan pada kecepatan awal untuk menghasilkan kecepatan akhir.

Itulah makna fisik dari pengurangan tersebut.

03Gerak satu dimensi: gunakan tanda untuk menunjukkan arah

Jika sebuah benda hanya bergerak sepanjang satu garis lurus, pengurangan vektor menjadi pengurangan biasa, asalkan Anda memberikan tanda yang berlawanan untuk arah yang berlawanan.

Sebagai contoh, Anda dapat memilih:

• timur sebagai positif
• barat sebagai negatif

Anda juga dapat memilih barat sebagai positif. Fisika tidak mempermasalahkan arah mana yang Anda pilih. Yang penting adalah Anda tetap konsisten.

04Berbalik arah sering membuat siswa keliru

Misalkan sebuah troli bergerak ke timur dengan kecepatan 8,0 m/s, lalu bergerak ke barat dengan kecepatan 6,0 m/s.

Kesalahan yang umum adalah:

\[
8.0-6.0=2.0\text{ m/s}
\]

Perhitungan tersebut hanya mengurangkan kelajuan. Arah geraknya telah diabaikan.

Pilih timur sebagai arah positif. Maka

\[
v_i=+8.0\text{ m/s}, \qquad v_f=-6.0\text{ m/s}
\]

Oleh karena itu,

\[
\begin{aligned}
\Delta v &= v_f-v_i\\
&=(-6.0)-(+8.0)\\
&=-14.0\text{ m/s}
\end{aligned}
\]

Perubahan kecepatannya adalah 14 m/s ke barat.

Pikirkan apa yang harus dilakukan troli tersebut. Pertama, troli harus menghilangkan 8 m/s kecepatan ke arah timur hanya untuk mencapai kecepatan nol, kemudian memperoleh 6 m/s lagi ke arah barat. Jadi, perubahan kecepatan totalnya adalah 14 m/s ke arah barat.

Inilah alasan kecepatan bertanda sangat penting.

05Pengurangan vektor pada diagram

Dalam dua dimensi, sekadar menyebut satu arah positif dan arah lainnya negatif tidak lagi cukup. Benda dapat bergerak ke timur laut, barat daya, atau pada sudut lainnya.

Persamaan vektornya tetap

\[
\Delta \vec v=\vec v_f-\vec v_i
\]

Ada dua cara grafis yang berguna untuk memahami pengurangan tersebut.

Metode 1: Letakkan kedua kecepatan dengan pangkal yang sama

Gambarkan \(\vec v_i\) dan \(\vec v_f\) dari titik yang sama.

Kemudian gambarkan sebuah panah:

dari ujung \(\vec v_i\) ke ujung \(\vec v_f\).

Panah tersebut adalah \(\Delta\vec v\).

Arahnya penting. Jika Anda menggambar panah dari vektor akhir kembali ke vektor awal, Anda telah memperoleh \(-\Delta\vec v\), yaitu vektor yang berlawanan.

Metode 2: Ubah pengurangan menjadi penjumlahan

Pengurangan vektor selalu dapat ditulis ulang sebagai

\[
\Delta\vec v=\vec v_f+(-\vec v_i)
\]

Vektor \(-\vec v_i\) memiliki besar yang sama dengan \(\vec v_i\), tetapi menunjuk ke arah yang berlawanan.

Anda kemudian dapat menggunakan penjumlahan vektor biasa dengan metode ujung-ke-pangkal.

Cara yang agak konyol untuk mengingatnya adalah dengan membayangkan membatalkan rencana makan malam. Mengurangi rencana awal tidak sama dengan berpura-pura rencana itu tidak pernah ada. Anda memerlukan vektor “membatalkan rencana” yang sama besar tetapi berlawanan arah. Analogi ini tidak lagi begitu berguna ketika kita mulai menghitung komponen, tetapi cukup membantu untuk memahami mengapa mengurangkan suatu vektor berarti membalik arahnya.

06Diagram berskala dapat memberikan jawaban grafis

Jika sebuah soal meminta penentuan perubahan kecepatan secara grafis, Anda dapat menggunakan gambar berskala.

Sebagai contoh, misalkan skalanya adalah:

1 cm merepresentasikan 2 m/s

Jika panjang panah \(\Delta\vec v\) yang Anda ukur adalah 4,5 cm, besarnya merepresentasikan

\[
4.5\times2=9.0\text{ m/s}
\]

Kemudian Anda dapat mengukur arahnya menggunakan diagram tersebut.

Diagram berskala dibatasi oleh seberapa akurat Anda menggambar dan mengukurnya. Perhitungan komponen biasanya memberikan jawaban numerik yang lebih presisi.

Meski demikian, diagram tetap sangat berguna karena menunjukkan apa yang sebenarnya dimaksud oleh pengurangan tersebut.

07Perubahan kecepatan dua dimensi: kurangkan komponen

Setiap vektor kecepatan dua dimensi dapat diuraikan menjadi komponen-komponen yang saling tegak lurus.

Sistem koordinat yang praktis adalah:

• timur sebagai \(x\) positif
• utara sebagai \(y\) positif

Kita kemudian dapat menuliskan kecepatan sebagai

\[
\vec v=(v_x,v_y)
\]

dengan \(v_x\) adalah komponen timur-barat dan \(v_y\) adalah komponen utara-selatan.

Untuk menentukan perubahan kecepatan, kurangkan komponen yang bersesuaian:

\[
\Delta v_x=v_{fx}-v_{ix}
\]

dan

\[
\Delta v_y=v_{fy}-v_{iy}
\]

Oleh karena itu,

\[
\Delta\vec v=(\Delta v_x,\Delta v_y)
\]

Setelah memperoleh komponen-komponen tersebut, teorema Pythagoras memberikan besarnya:

\[
|\Delta\vec v|=\sqrt{(\Delta v_x)^2+(\Delta v_y)^2}
\]

Arah kemudian dapat ditentukan menggunakan trigonometri.

08Ketika kecepatan diberikan menggunakan sudut

Terkadang kecepatan awal atau akhir tidak berada tepat pada arah horizontal atau vertikal.

Misalkan sebuah benda bergerak dengan kelajuan \(v\) pada sudut \(\theta\) ke utara dari timur.

Komponennya adalah

\[
v_x=v\cos\theta
\]

dan

\[
v_y=v\sin\theta
\]

Kemudian Anda dapat mengurangkan komponen persis seperti sebelumnya.

09Aturan praktis yang berguna

10Kesalahpahaman yang paling menggoda: perubahan kelajuan bukan perubahan kecepatan

Perhatikan sebuah benda yang bergerak 10 m/s ke timur sebelum berbelok dan bergerak 10 m/s ke utara.

Perubahan kelajuannya adalah

\[
10-10=0\text{ m/s}
\]

Namun, perubahan kecepatannya bukan nol.

Menggunakan komponen,

\[
\vec v_i=(10,0)\text{ m/s}
\]

dan

\[
\vec v_f=(0,10)\text{ m/s}
\]

sehingga

\[
\begin{aligned}
\Delta\vec v
&=(0,10)-(10,0)\\
&=(-10,10)\text{ m/s}
\end{aligned}
\]

Besarnya adalah

\[
|\Delta\vec v|=\sqrt{(-10)^2+(10)^2}=14.1\text{ m/s}
\]

Kelajuannya tetap konstan, tetapi kecepatannya berubah secara signifikan karena arahnya berubah.

Hal ini menjadi sangat penting dalam gerak melingkar, ketika kelajuan suatu benda dapat tetap konstan sementara kecepatannya terus-menerus berubah.

11Pertanyaan dan solusi

Pertanyaan 1

Sebuah skuter bergerak ke barat dengan kecepatan 4,0 m/s dan mempercepat hingga bergerak ke barat dengan kecepatan 10 m/s. Tentukan perubahan kecepatannya.

Solusi 1

Perubahan kecepatannya adalah 6,0 m/s ke barat.

Pilih timur sebagai arah positif, sehingga barat adalah negatif.

\[
v_i=-4.0\text{ m/s},\qquad v_f=-10\text{ m/s}
\]

Menggunakan akhir dikurangi awal,

\[
\begin{aligned}
\Delta v&=v_f-v_i\\
&=(-10)-(-4.0)\\
&=-6.0\text{ m/s}
\end{aligned}
\]

Tanda negatif berarti ke barat.

Oleh karena itu,

\[
\boxed{\Delta v=6.0\text{ m/s ke barat}}
\]

Skuter tersebut sudah bergerak ke barat, dan kecepatan ke arah baratnya menjadi lebih besar, sehingga perubahan kecepatan juga harus mengarah ke barat.

Pertanyaan 2

Sebuah keping mula-mula bergerak ke timur dengan kecepatan 7,0 m/s. Setelah bertumbukan dengan penghalang, keping tersebut bergerak ke barat dengan kecepatan 3,0 m/s. Tentukan perubahan kecepatannya.

Solusi 2

Perubahan kecepatannya adalah 10 m/s ke barat.

Ambil timur sebagai arah positif.

\[
v_i=+7.0\text{ m/s},\qquad v_f=-3.0\text{ m/s}
\]

Maka

\[
\begin{aligned}
\Delta v&=v_f-v_i\\
&=(-3.0)-(+7.0)\\
&=-10\text{ m/s}
\end{aligned}
\]

Oleh karena itu,

\[
\boxed{\Delta v=10\text{ m/s ke barat}}
\]

Kesalahan yang menggoda adalah mengurangkan kelajuannya dan memperoleh 4,0 m/s. Cara itu mengabaikan pembalikan arah. Keping tersebut harus kehilangan 7,0 m/s kecepatan ke arah timur dan memperoleh 3,0 m/s kecepatan ke arah barat.

Pertanyaan 3

Sebuah robot memiliki kecepatan awal \((3.0,4.0)\) m/s, dengan \(x\) positif ke timur dan \(y\) positif ke utara. Kecepatan akhirnya adalah \((-1.0,8.0)\) m/s.

Tentukan besar dan arah perubahan kecepatannya.

Solusi 3

Perubahan kecepatan memiliki besar 5,7 m/s dan mengarah \(45^\circ\) ke utara dari barat.

Kurangkan komponen awal dari komponen akhir:

\[
\begin{aligned}
\Delta\vec v
&=\vec v_f-\vec v_i\\
&=(-1.0,8.0)-(3.0,4.0)\\
&=(-4.0,4.0)\text{ m/s}
\end{aligned}
\]

Besarnya adalah

\[
\begin{aligned}
|\Delta\vec v|
&=\sqrt{(-4.0)^2+(4.0)^2}\\
&=\sqrt{32}\\
&=5.7\text{ m/s}
\end{aligned}
\]

Komponen ke arah barat dan ke arah utara memiliki besar yang sama, sehingga arahnya adalah

\[
\theta=45^\circ
\]

ke utara dari barat.

Oleh karena itu,

\[
\boxed{\Delta\vec v=5.7\text{ m/s pada }45^\circ\text{ ke utara dari barat}}
\]

Arah tersebut berasal dari komponen perubahan kecepatan, bukan secara langsung dari arah kecepatan awal maupun kecepatan akhir.

Pertanyaan 4

Seorang pelari bergerak ke timur dengan kecepatan 5,0 m/s dan kemudian bergerak ke utara dengan kecepatan 5,0 m/s. Seorang siswa berkata, “Kecepatan pelari tidak berubah karena kelajuannya tetap 5,0 m/s.”

Evaluasi pernyataan tersebut dan hitung besar perubahan kecepatannya.

Solusi 4

Pernyataan tersebut tidak benar. Kecepatan pelari berubah sebesar 7,1 m/s, dengan arah \(45^\circ\) ke utara dari barat.

Kecepatan mencakup arah, sehingga kelajuan awal dan akhir yang sama tidak berarti kecepatannya sama.

Menggunakan komponen,

\[
\vec v_i=(5.0,0)\text{ m/s}
\]

dan

\[
\vec v_f=(0,5.0)\text{ m/s}
\]

Oleh karena itu,

\[
\begin{aligned}
\Delta\vec v
&=(0,5.0)-(5.0,0)\\
&=(-5.0,5.0)\text{ m/s}
\end{aligned}
\]

Besarnya adalah

\[
\begin{aligned}
|\Delta\vec v|
&=\sqrt{(-5.0)^2+(5.0)^2}\\
&=\sqrt{50}\\
&=7.1\text{ m/s}
\end{aligned}
\]

Komponen ke arah barat dan ke arah utara yang sama besar menghasilkan arah \(45^\circ\) ke utara dari barat.

Penalaran siswa tersebut mencampuradukkan perubahan kelajuan, yang bernilai nol, dengan perubahan kecepatan, yang tidak bernilai nol.

Pertanyaan 5

Sebuah drone memulai selang waktu 8,0 s dengan bergerak ke timur pada kecepatan 6,0 m/s. Selama selang waktu tersebut, drone mengikuti lintasan melengkung, tetapi pada akhirnya kembali bergerak ke timur dengan kecepatan tepat 6,0 m/s.

Tentukan percepatan rata-ratanya selama selang waktu 8,0 s. Dapatkah Anda menyimpulkan bahwa percepatannya nol sepanjang selang waktu tersebut?

Solusi 5

Percepatan rata-ratanya nol, tetapi percepatan drone tidak selalu nol sepanjang selang waktu tersebut.

Kecepatan awal dan akhirnya identik:

\[
\vec v_i=\vec v_f
\]

Oleh karena itu,

\[
\Delta\vec v=\vec v_f-\vec v_i=\vec 0
\]

Percepatan rata-rata adalah perubahan kecepatan dibagi selang waktu yang berlalu:

\[
\begin{aligned}
\vec a_{\text{avg}}
&=\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}\\
&=\frac{\vec 0}{8.0\text{ s}}\\
&=\vec 0\text{ m/s}^2
\end{aligned}
\]

Jadi,

\[
\boxed{\vec a_{\text{avg}}=0\text{ m/s}^2}
\]

Namun, hal ini hanya membandingkan kecepatan pada awal dan akhir selang waktu. Soal menyatakan bahwa drone mengikuti lintasan melengkung, sehingga arah kecepatannya pasti berubah selama perjalanan. Kecepatan yang berubah berarti terdapat percepatan selama setidaknya sebagian dari gerak tersebut.

Ini merupakan keterbatasan penting dari besaran rata-rata. Percepatan rata-rata nol tidak membuktikan bahwa percepatan nol pada setiap saat.

Pertanyaan 6

Sebuah kendaraan bergerak dengan kecepatan 15 m/s pada sudut \(30^\circ\) ke utara dari timur. Dua detik kemudian, kelajuannya masih 15 m/s, tetapi kendaraan tersebut bergerak pada sudut \(30^\circ\) ke utara dari barat.

Seorang siswa berpendapat bahwa karena kelajuan dan dengan demikian energi kinetiknya tidak berubah, percepatan rata-ratanya pasti nol.

Tentukan percepatan rata-rata dan jelaskan kekeliruan dalam argumen siswa tersebut.

Solusi 6

Percepatan rata-ratanya adalah 13 m/s² ke barat, sehingga kesimpulan siswa tersebut tidak benar.

Ambil timur sebagai \(x\) positif dan utara sebagai \(y\) positif.

Untuk kecepatan awal,

\[
\begin{aligned}
v_{ix}&=15\cos30^\circ=13.0\text{ m/s}\\
v_{iy}&=15\sin30^\circ=7.5\text{ m/s}
\end{aligned}
\]

sehingga

\[
\vec v_i=(13.0,7.5)\text{ m/s}
\]

Untuk kecepatan akhir, komponen horizontal mengarah ke barat sementara komponen vertikal tetap mengarah ke utara:

\[
\vec v_f=(-13.0,7.5)\text{ m/s}
\]

Perubahan kecepatannya adalah

\[
\begin{aligned}
\Delta\vec v
&=\vec v_f-\vec v_i\\
&=(-13.0,7.5)-(13.0,7.5)\\
&=(-26.0,0)\text{ m/s}
\end{aligned}
\]

Jadi, perubahan kecepatan adalah 26,0 m/s ke barat.

Percepatan rata-rata adalah

\[
\begin{aligned}
\vec a_{\text{avg}}
&=\frac{\Delta\vec v}{\Delta t}\\
&=\frac{(-26.0,0)\text{ m/s}}{2.0\text{ s}}\\
&=(-13.0,0)\text{ m/s}^2
\end{aligned}
\]

Oleh karena itu,

\[
\boxed{\vec a_{\text{avg}}=13\text{ m/s}^2\text{ ke barat}}
\]

Kesalahan siswa tersebut adalah menganggap bahwa energi kinetik yang tidak berubah berarti kecepatan tidak berubah. Energi kinetik bergantung pada kelajuan, bukan arah. Kelajuan kendaraan tidak berubah, sehingga energi kinetiknya tidak berubah, tetapi arah kecepatannya telah berubah secara signifikan.

Inilah alasan perubahan kecepatan sangat penting dalam gerak melingkar dan gerak melengkung. Setelah Anda dapat menentukan \(\Delta\vec v\), langkah berikutnya adalah membaginya dengan selang waktu untuk menentukan percepatan rata-rata. Dari sana, gagasan vektor yang sama menjelaskan mengapa benda yang bergerak dengan kelajuan konstan mengelilingi sebuah lingkaran tetap mengalami percepatan.