Distancia y desplazamiento en un plano: guía de Física HSC
Aprende a modelar recorridos bidimensionales utilizando distancia, desplazamiento, componentes vectoriales y vectores resultantes, con ejemplos resueltos al estilo HSC.
Tu monitor de actividad física dice que caminaste 420 m. Un mapa dice que terminaste a solo 110 m de donde comenzaste. ¿Cuál de las dos mediciones es incorrecta?
Ninguna. Están midiendo cosas distintas. La distancia tiene en cuenta todo el camino que recorriste. El desplazamiento solo tiene en cuenta el cambio entre tu posición inicial y tu posición final.
Esta diferencia se vuelve especialmente importante cuando el movimiento ocurre en dos dimensiones. Cuando un recorrido incluye movimiento este-oeste y norte-sur, ya no basta con simplemente sumar números. Necesitas vectores.
01Empieza por el recorrido que puedes visualizar
Imagina que caminas 60 m hacia el este, luego giras a la izquierda y caminas 80 m hacia el norte.
Antes de calcular nada, predice lo siguiente: ¿tu desplazamiento es de 140 m?
No puede serlo. Los 140 m describen el recorrido que realmente caminaste. Tu desplazamiento es el cambio de posición en línea recta desde el inicio hasta el final.
Esto nos da nuestra primera distinción útil:
| Magnitud | Qué mide | Tipo |
|---|---|---|
| Distancia | Longitud total del recorrido realizado | Escalar |
| Desplazamiento | Cambio de posición desde el inicio hasta el final | Vector |
Un escalar solo tiene magnitud. Un vector tiene tanto magnitud como dirección.
Por tanto, 140 m es una distancia válida. No es información suficiente para indicar un desplazamiento porque no se ha especificado ninguna dirección.
02El desplazamiento ignora la ruta entre los extremos
Piensa en el desplazamiento como un amigo muy impaciente. Empiezas a contarle toda la historia de tu recorrido y te interrumpe diciendo: «Bien, pero ¿dónde empezaste y dónde terminaste?».
Todo lo que ocurre entre esos dos puntos es irrelevante para el desplazamiento.
Formalmente, el desplazamiento es
\[
\Delta \vec r = \vec r_f – \vec r_i
\]
donde:
- \(\Delta \vec r\) es el vector de desplazamiento
- \(\vec r_i\) es el vector de posición inicial
- \(\vec r_f\) es el vector de posición final
El símbolo triangular \(\Delta\) significa «cambio en».
Esta definición explica un resultado importante. Si sales de casa, recorres 2 km dando vueltas y terminas de nuevo en casa, tu distancia es de 2 km, pero tu desplazamiento es cero.
Un desplazamiento cero no significa que no haya habido movimiento.
03Suma de movimientos en dos dimensiones
Supón que un objeto se mueve varias veces antes de alcanzar su posición final. Cada movimiento puede representarse mediante un vector.
El desplazamiento total es la suma vectorial:
\[
\Delta \vec r = \vec d_1 + \vec d_2 + \vec d_3 + \cdots
\]
donde cada \(\vec d\) representa un desplazamiento durante el recorrido.
Hay dos formas principales de realizar esta suma:
- dibujar los vectores colocándolos de punta a cola
- descomponer cada vector en componentes perpendiculares y luego sumar las componentes
El método gráfico ayuda a desarrollar la intuición. El método de componentes es más fiable para los cálculos.
Ejemplo resuelto: Un recorrido en ángulo recto
Un estudiante camina 30 m hacia el este y luego 40 m hacia el norte. Calcula la distancia total y la magnitud y dirección del desplazamiento.
Paso 1
\[
\text{distancia} = 30 + 40 = 70\text{ m}
\]
La distancia es un escalar, por lo que las dos longitudes del recorrido pueden sumarse directamente.
Paso 2
La posición final está 30 m al este y 40 m al norte del punto de partida.
Como estas componentes son perpendiculares, la magnitud del desplazamiento \(d\) puede hallarse utilizando el teorema de Pitágoras:
\[
d = \sqrt{(30)^2 + (40)^2}
= \sqrt{2500}
= 50\text{ m}
\]
Paso 3
Sea \(\theta\) el ángulo al norte del este.
\[
\tan\theta = \frac{40}{30}
\]
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{40}{30}\right)
= 53.1^\circ
\]
El estudiante recorre una distancia de 70 m, pero su desplazamiento es de 50 m a \(53.1^\circ\) al norte del este.
Que el desplazamiento sea menor tiene sentido. Una línea recta entre dos puntos es más corta que recorrer los dos lados de un triángulo rectángulo.
04Por qué Pitágoras no siempre funciona de inmediato
Un error común consiste en ver dos vectores de desplazamiento y escribir inmediatamente
\[
d = \sqrt{d_1^2+d_2^2}
\]
Esa ecuación solo funciona cuando las dos cantidades que se elevan al cuadrado son componentes perpendiculares.
Si un desplazamiento apunta al noreste y otro al oeste, no son necesariamente perpendiculares. Primero descompón el vector inclinado en componentes este-oeste y norte-sur.
Este es el paso clave en la mayoría de los problemas de desplazamiento bidimensional.
05Descomposición de un vector en componentes
Supón que un desplazamiento de magnitud \(d\) forma un ángulo \(\theta\) al norte del este.
Puedes sustituir ese único vector inclinado por dos vectores perpendiculares:
\[
d_x = d\cos\theta
\]
\[
d_y = d\sin\theta
\]
donde:
- \(d_x\) es la componente horizontal
- \(d_y\) es la componente vertical
- \(d\) es la magnitud del desplazamiento original
- \(\theta\) es el ángulo medido desde la dirección horizontal positiva
¿Por qué se usa el coseno para la componente horizontal y el seno para la vertical?
En el triángulo rectángulo formado por el vector, la componente horizontal es adyacente a \(\theta\), mientras que la componente vertical es opuesta a \(\theta\).
Por tanto:
\[
\cos\theta=\frac{\text{adyacente}}{\text{hipotenusa}}
\]
y
\[
\sin\theta=\frac{\text{opuesto}}{\text{hipotenusa}}
\]
El vector no se ha dividido físicamente en dos movimientos. Las componentes son una descripción matemática del mismo movimiento.
06Elige las direcciones positivas antes de calcular
Los signos importan porque el desplazamiento tiene dirección.
Una convención habitual es:
- este: \(x\) positivo
- oeste: \(x\) negativo
- norte: \(y\) positivo
- sur: \(y\) negativo
Podrías elegir la convención opuesta y aun así obtener la física correcta, siempre que seas coherente.
Por ejemplo, 25 m hacia el oeste serían
\[
d_x=-25\text{ m}
\]
mientras que 12 m hacia el norte serían
\[
d_y=+12\text{ m}
\]
El signo negativo no significa una distancia negativa. Indica la dirección a lo largo del eje que hayas elegido.
07Suma las componentes antes de hallar la resultante
Una vez descompuestos todos los desplazamientos, suma todas las componentes horizontales y todas las componentes verticales:
\[
\Delta x = d_{1x}+d_{2x}+\cdots
\]
\[
\Delta y = d_{1y}+d_{2y}+\cdots
\]
Aquí, \(\Delta x\) es el desplazamiento horizontal neto y \(\Delta y\) es el desplazamiento vertical neto.
A continuación, calcula la magnitud del desplazamiento total:
\[
d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}
\]
y utiliza trigonometría para determinar su dirección.
Esto funciona porque \(\Delta x\) y \(\Delta y\) son perpendiculares, aunque los vectores de desplazamiento originales no lo fueran.
Ejemplo resuelto: Un recorrido inclinado seguido de un movimiento hacia el oeste
Un robot de campo recorre 120 m a \(35^\circ\) al norte del este y luego recorre 80 m directamente hacia el oeste. Calcula su distancia total y su desplazamiento final.
Paso 1
El robot recorre realmente ambos tramos, por lo que
\[
\text{distancia}=120+80=200\text{ m}
\]
Paso 2
Para el desplazamiento de 120 m,
\[
d_x=120\cos35^\circ=98.3\text{ m}
\]
\[
d_y=120\sin35^\circ=68.8\text{ m}
\]
Por tanto, el primer movimiento aporta 98.3 m hacia el este y 68.8 m hacia el norte.
Paso 3
El segundo desplazamiento tiene componentes
\[
d_x=-80\text{ m}, \qquad d_y=0
\]
Por tanto,
\[
\Delta x=98.3-80=18.3\text{ m}
\]
\[
\Delta y=68.8+0=68.8\text{ m}
\]
El robot termina 18.3 m al este y 68.8 m al norte de donde comenzó.
Paso 4
\[
d=\sqrt{(18.3)^2+(68.8)^2}
=71.2\text{ m}
\]
Paso 5
Sea \(\theta\) el ángulo al norte del este.
\[
\tan\theta=\frac{68.8}{18.3}
\]
\[
\theta=\tan^{-1}\left(\frac{68.8}{18.3}\right)
=75.1^\circ
\]
El robot recorre una distancia de 200 m, pero su desplazamiento final es de 71.2 m a \(75.1^\circ\) al norte del este.
Observa lo que ha ocurrido. El recorrido hacia el oeste anuló la mayor parte de la componente hacia el este del primer recorrido, pero no anuló en absoluto la componente hacia el norte.
08La dirección de la resultante necesita una comprobación de coherencia
Tu calculadora podría devolver un ángulo como \(30^\circ\), pero un ángulo por sí solo no indica en qué cuadrante se encuentra el vector.
Supón que calculas
\[
\Delta x=-20\text{ m}, \qquad \Delta y=15\text{ m}
\]
El desplazamiento apunta hacia el oeste y hacia el norte, por lo que debe encontrarse en el cuadrante noroeste.
Si calculas
\[
\tan^{-1}\left(\frac{15}{20}\right)=36.9^\circ
\]
la dirección completa es \(36.9^\circ\) al norte del oeste.
Comprueba siempre los signos de las componentes antes de indicar una dirección.
El resultado de una calculadora no sustituye a saber hacia dónde apunta el vector.
09La distancia y el desplazamiento siguen reglas diferentes
Los estudiantes suelen intentar tratar la distancia como si fuera otro cálculo de componentes.
No lo es.
Para un recorrido formado por varios segmentos rectos:
\[
\text{distancia}=d_1+d_2+d_3+\cdots
\]
donde cada \(d\) es la longitud positiva de un segmento.
Para el desplazamiento, la dirección importa:
\[
\Delta \vec r=\vec d_1+\vec d_2+\vec d_3+\cdots
\]
Esto conduce a una regla útil:
\[
\text{magnitud del desplazamiento}\leq \text{distancia recorrida}
\]
Las dos cantidades son iguales únicamente cuando el objeto se desplaza directamente desde su punto de partida hasta su punto final sin cambiar de dirección ni retroceder.
Si tu cálculo da una magnitud de desplazamiento mayor que la distancia recorrida, algo ha salido mal.
10Un método fiable para recorridos bidimensionales
Para la mayoría de los problemas de desplazamiento al estilo HSC, utiliza esta secuencia:
- Elige las direcciones positivas de \(x\) e \(y\).
- Descompón cada desplazamiento inclinado en componentes \(x\) e \(y\).
- Asigna a cada componente el signo correcto.
- Suma todas las componentes \(x\).
- Suma todas las componentes \(y\).
- Utiliza el teorema de Pitágoras sobre las componentes netas.
- Utiliza trigonometría para hallar la dirección.
- Comprueba los signos para identificar el cuadrante correcto.
- Si también se pide la distancia, suma por separado las longitudes de los segmentos del recorrido real.
La idea importante está en el paso 6. Pitágoras se aplica al final, después de haber obtenido dos componentes netas perpendiculares.
11Preguntas y soluciones
Pregunta 1
Un ciclista recorre 90 m hacia el este y luego 120 m hacia el norte.
Calcula la distancia total recorrida y el desplazamiento del ciclista desde el punto de partida.
Solución 1
El ciclista recorre una distancia de 210 m y tiene un desplazamiento de 150 m a \(53.1^\circ\) al norte del este.
La distancia es la longitud total del recorrido:
\[
\text{distancia}=90+120=210\text{ m}
\]
Los desplazamientos hacia el este y hacia el norte son perpendiculares, por lo que la magnitud del desplazamiento es
\[
d=\sqrt{(90)^2+(120)^2}
=\sqrt{22500}
=150\text{ m}
\]
Para la dirección,
\[
\tan\theta=\frac{120}{90}
\]
\[
\theta=\tan^{-1}\left(\frac{120}{90}\right)
=53.1^\circ
\]
Por tanto, el cambio de posición en línea recta es de 150 m a \(53.1^\circ\) al norte del este. Sumar 90 m y 120 m para obtener 210 m daría la distancia, no el desplazamiento.
Pregunta 2
Un dron de topografía recorre 150 m a \(40^\circ\) al norte del este. Después recorre 90 m directamente hacia el sur.
Halla la magnitud y la dirección de su desplazamiento final desde el punto de partida.
Solución 2
El desplazamiento final del dron es aproximadamente de 115 m a \(33^\circ\) al norte del este.
Primero, descompón el desplazamiento de 150 m:
\[
d_x=150\cos40^\circ=114.9\text{ m}
\]
\[
d_y=150\sin40^\circ=96.4\text{ m}
\]
El segundo movimiento es de 90 m hacia el sur, por lo que su componente vertical es \(-90\text{ m}\).
Por tanto,
\[
\Delta x=114.9\text{ m}
\]
\[
\Delta y=96.4-90=6.4\text{ m}
\]
La magnitud es
\[
d=\sqrt{(114.9)^2+(6.4)^2}
\approx115.1\text{ m}
\]
Para la dirección,
\[
\theta=\tan^{-1}\left(\frac{6.4}{114.9}\right)
\approx3.2^\circ
\]
Por tanto, el desplazamiento es aproximadamente de 115 m a \(3.2^\circ\) al norte del este.
La trampa importante consiste en suponer que el segundo movimiento de 90 m debe restarse directamente de la magnitud de 150 m. No se puede hacer, porque los dos vectores no están sobre la misma línea. Solo pueden sumarse o restarse directamente componentes correspondientes.
Pregunta 3
Un estudiante camina 70 m hacia el este, 40 m hacia el norte, 70 m hacia el oeste y 10 m hacia el sur.
Un compañero afirma que el desplazamiento es cero porque los movimientos hacia el este y hacia el oeste se anulan.
Determina la distancia recorrida y el desplazamiento real. Explica el error en el razonamiento del compañero.
Solución 3
El estudiante recorre una distancia de 190 m y tiene un desplazamiento de 30 m hacia el norte.
La distancia total es
\[
\text{distancia}=70+40+70+10=190\text{ m}
\]
Para el desplazamiento, suma las componentes.
Horizontalmente,
\[
\Delta x=70-70=0\text{ m}
\]
Verticalmente,
\[
\Delta y=40-10=30\text{ m}
\]
Por tanto,
\[
d=\sqrt{0^2+30^2}=30\text{ m}
\]
El compañero solo tiene razón en parte. Las componentes este-oeste sí se anulan, pero las componentes norte-sur no. El estudiante termina 30 m al norte del punto de partida.
Un vector puede tener desplazamiento cero en una dimensión sin tener un desplazamiento total igual a cero.
Pregunta 4
Dos vectores de desplazamiento tienen cada uno una magnitud de 50 m. El ángulo entre ellos es de \(60^\circ\).
Un estudiante sostiene que el desplazamiento resultante debe ser de 100 m porque \(50+50=100\).
Sin suponer que los vectores son perpendiculares, determina la magnitud de su resultante.
Solución 4
El desplazamiento resultante tiene una magnitud aproximada de 86.6 m, no de 100 m.
Elige que el primer desplazamiento de 50 m apunte a lo largo del eje \(x\) positivo. Sus componentes son
\[
d_{1x}=50\text{ m}, \qquad d_{1y}=0
\]
El segundo vector está \(60^\circ\) por encima del primero, por lo que
\[
d_{2x}=50\cos60^\circ=25\text{ m}
\]
\[
d_{2y}=50\sin60^\circ=43.3\text{ m}
\]
Por tanto, las componentes netas son
\[
\Delta x=50+25=75\text{ m}
\]
\[
\Delta y=43.3\text{ m}
\]
Ahora las componentes netas son perpendiculares, por lo que puede utilizarse el teorema de Pitágoras:
\[
d=\sqrt{(75)^2+(43.3)^2}
\]
\[
d\approx86.6\text{ m}
\]
El resultado de 100 m del estudiante solo sería correcto si ambos desplazamientos apuntaran exactamente en la misma dirección.
También sería incorrecto calcular \(\sqrt{50^2+50^2}\), porque los vectores originales están separados por \(60^\circ\), no por \(90^\circ\).
Pregunta 5
Un robot se mueve primero 100 m a \(30^\circ\) al norte del este. Después se mueve directamente hacia el oeste.
Tras ambos movimientos, el robot se encuentra directamente al norte de su posición inicial.
Determina la distancia del movimiento hacia el oeste y el desplazamiento final del robot.
Solución 5
El robot debe desplazarse 86.6 m hacia el oeste, y su desplazamiento final es de 50.0 m hacia el norte.
Descompón el primer desplazamiento:
\[
d_x=100\cos30^\circ=86.6\text{ m}
\]
\[
d_y=100\sin30^\circ=50.0\text{ m}
\]
Para que el robot termine directamente al norte de su posición inicial, su desplazamiento horizontal neto debe ser cero.
Por tanto, el movimiento hacia el oeste debe anular la componente de 86.6 m hacia el este:
\[
86.6-d_{\text{oeste}}=0
\]
por lo que
\[
d_{\text{oeste}}=86.6\text{ m}
\]
El movimiento hacia el oeste no tiene componente vertical, por lo que la componente de 50.0 m hacia el norte permanece sin cambios.
Así,
\[
\Delta x=0
\]
\[
\Delta y=50.0\text{ m}
\]
y el desplazamiento final es de 50.0 m hacia el norte.
La idea implícita es que «directamente al norte» no es simplemente una descripción del ángulo. Impone una restricción matemática: la componente horizontal final debe ser igual a cero.
12Lo que esto permite abordar a continuación
Descomponer el desplazamiento en componentes no es solo un truco para resolver problemas de recorridos. La misma estructura aparece en toda la Física HSC.
La velocidad puede descomponerse en componentes horizontal y vertical. Lo mismo ocurre con la aceleración y la fuerza. El movimiento de proyectiles se vuelve manejable porque el movimiento horizontal y el vertical pueden analizarse por separado antes de volver a combinarse.
La idea que debes conservar es sencilla: cuando un problema de vectores parezca complicado, pregúntate qué partes apuntan a lo largo de los ejes que has elegido. Suma primero esas componentes. Reconstruye la resultante solo después de que las direcciones por separado tengan sentido.